बॉक्स में गैस: Difference between revisions
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[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, बॉक्स में क्वांटम कण के परिणामों का उपयोग बॉक्स में क्वांटम [[आदर्श गैस]] के लिए [[संतुलन समाधान|संतुलन स्थिति]] को देखने के लिए किया जा सकता है, जो ऐसा बॉक्स होता है जिसमें बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो तात्कालिक को छोड़कर | [[क्वांटम यांत्रिकी]] में, '''बॉक्स में क्वांटम कण''' के परिणामों का उपयोग बॉक्स में क्वांटम [[आदर्श गैस]] के लिए [[संतुलन समाधान|संतुलन स्थिति]] को देखने के लिए किया जा सकता है, जो ऐसा बॉक्स होता है जिसमें बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो तात्कालिक को छोड़कर दूसरे के साथ इंटरैक्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार थर्मलीकरण कोलिसन इस सरल मॉडल का उपयोग मौलिक आदर्श गैस के साथ-साथ विभिन्न क्वांटम आदर्श गैसों जैसे कि आदर्श मैसिव [[फर्मी गैस]], आदर्श मैसिव [[बोस गैस]] और साथ ही [[ काला शरीर |ब्लैक बॉडी]] विकिरण ([[फोटॉन गैस]]) का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, जिसे द्रव्यमान रहित माना जा सकता है। इस प्रकार बोस गैस, जिसमें थर्मलाइजेशन को सामान्यतः संतुलित द्रव्यमान के साथ फोटॉन की इंटरैक्ट से सुविधाजनक माना जाता है। | ||
मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों, बोस-आइंस्टीन आँकड़ों या फ़र्मी-डिराक आँकड़ों के परिणामों का उपयोग करते हुए, और बहुत बड़े बॉक्स की सीमा पर विचार करते हुए, थॉमस-फ़र्मी सन्निकटन ([[एनरिको फर्मी]] और [[लेवेलिन थॉमस]] के नाम पर) का उपयोग डीजेनरेट को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार आंतरिक ऊर्जा स्तर, और अभिन्न के रूप में स्थितियो पर योग यह गैस के थर्मोडायनामिक गुणों की गणना [[विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] या भव्य विभाजन फलन के उपयोग से करने में सक्षम बनाता है। यह परिणाम बड़े और द्रव्यमान रहित दोनों कणों पर प्रयुक्त होते है। अधिक संपूर्ण गणनाएँ भिन्न-भिन्न लेखों पर छोड़ दी जाती है, किन्तु इस लेख में कुछ सरल उदाहरण दिए जाते है। | मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों, बोस-आइंस्टीन आँकड़ों या फ़र्मी-डिराक आँकड़ों के परिणामों का उपयोग करते हुए, और बहुत बड़े बॉक्स की सीमा पर विचार करते हुए, थॉमस-फ़र्मी सन्निकटन ([[एनरिको फर्मी]] और [[लेवेलिन थॉमस]] के नाम पर) का उपयोग डीजेनरेट को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार आंतरिक ऊर्जा स्तर, और अभिन्न के रूप में स्थितियो पर योग यह गैस के थर्मोडायनामिक गुणों की गणना [[विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] या भव्य विभाजन फलन के उपयोग से करने में सक्षम बनाता है। यह परिणाम बड़े और द्रव्यमान रहित दोनों कणों पर प्रयुक्त होते है। अधिक संपूर्ण गणनाएँ भिन्न-भिन्न लेखों पर छोड़ दी जाती है, किन्तु इस लेख में कुछ सरल उदाहरण दिए जाते है। | ||
==थॉमस-स्थितियो की अधोगति के लिए फर्मी सन्निकटन== | ==थॉमस-स्थितियो की अधोगति के लिए फर्मी सन्निकटन== | ||
एक बॉक्स में | एक बॉक्स में मैसिव और द्रव्यमान रहित दोनों कणों के लिए,संतुलन स्थितिकण की अवस्थाओं की गणना क्वांटम संख्याओं केसंतुलन स्थितिसमुच्चय {{nowrap|[''n<sub>x</sub>'', ''n<sub>y</sub>'', ''n<sub>z</sub>'']}} द्वारा की जाती है। संवेग का परिमाण किसके द्वारा दिया गया है? | ||
:<math>p=\frac{h}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2} \qquad \qquad n_x,n_y,n_z=1,2,3,\ldots </math> | :<math>p=\frac{h}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2} \qquad \qquad n_x,n_y,n_z=1,2,3,\ldots </math> | ||
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:<math>n=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}=\frac{2Lp}{h}</math> | :<math>n=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}=\frac{2Lp}{h}</math> | ||
मान लीजिए कि क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय F बताता है जहां F कण की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री की संख्या है जिसे कोलिसन द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्पिन {{frac|1|2}} कण में f=2 होगा, प्रत्येक स्पिन अवस्था के लिए | मान लीजिए कि क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय F बताता है जहां F कण की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री की संख्या है जिसे कोलिसन द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्पिन {{frac|1|2}} कण में f=2 होगा, प्रत्येक स्पिन अवस्था के लिए n के बड़े मानों के लिए, उपरोक्त समीकरण से p से कम या उसके समान संवेग परिमाण वाले स्थितियो की संख्या लगभग है | ||
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= \frac{4\pi f}{3} \left(\frac{Lp}{h}\right)^3 | = \frac{4\pi f}{3} \left(\frac{Lp}{h}\right)^3 | ||
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जो त्रिज्या n के गोले के आयतन का केवल f गुना है, जिसे | जो त्रिज्या n के गोले के आयतन का केवल f गुना है, जिसे 8 से विभाजित किया गया है क्योंकि यह केवल धनात्मक ''n<sub>i</sub>'' वाला अष्टक है इसलिए माना जाता है। कि सातत्य सन्निकटन का उपयोग करते हुए, p और ''p+dp'' के मध्य संवेग के परिमाण वाली अवस्थाओं की संख्या है | ||
:<math>dg = \frac{\pi}{2}~f n^2\,dn = \frac{4\pi fV}{h^3}~ p^2\,dp</math> | :<math>dg = \frac{\pi}{2}~f n^2\,dn = \frac{4\pi fV}{h^3}~ p^2\,dp</math> | ||
जहां V=L<sup>3</sup>बॉक्स का आयतन है। ध्यान दें कि इस सातत्य सन्निकटन का उपयोग करने में, जिसे थॉमस-फर्मी सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है, इस प्रकार निम्न-ऊर्जा वाले स्थितियो को चिह्नित करने की क्षमता खो जाती है, जिसमें ग्राउंड अवस्था भी सम्मिलित है जहां ''N''<sub>i</sub>= 1. अधिकतर स्थितियों में यह कोई समस्या नहीं होती है, किन्तु जब बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट या बोस-आइंस्टीन कंडेनसेशन पर विचार किया जाता है, जिसमें गैस का बड़ा भाग ग्राउंड अवस्था में या उसके निकट होता है, तो कम ऊर्जा वाले स्थितियो से निपटने की क्षमता महत्वपूर्ण हो जाती है। | जहां ''V=L<sup>3</sup>'' बॉक्स का आयतन है। ध्यान दें कि इस सातत्य सन्निकटन का उपयोग करने में, जिसे थॉमस-फर्मी सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है, इस प्रकार निम्न-ऊर्जा वाले स्थितियो को चिह्नित करने की क्षमता खो जाती है, जिसमें ग्राउंड अवस्था भी सम्मिलित है जहां ''N''<sub>i</sub>= 1. अधिकतर स्थितियों में यह कोई समस्या नहीं होती है, किन्तु जब बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट या बोस-आइंस्टीन कंडेनसेशन पर विचार किया जाता है, जिसमें गैस का बड़ा भाग ग्राउंड अवस्था में या उसके निकट होता है, तो कम ऊर्जा वाले स्थितियो से निपटने की क्षमता महत्वपूर्ण हो जाती है। | ||
बिना किसी अनुमान के, ऊर्जा ε<sub>i</sub> वाले कणों की संख्या द्वारा दिया गया है | बिना किसी अनुमान के, ऊर्जा ε<sub>i</sub> वाले कणों की संख्या द्वारा दिया गया है | ||
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e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}-1, & \text{for particles obeying Bose-Einstein statistics}\\ | e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}-1, & \text{for particles obeying Bose-Einstein statistics}\\ | ||
e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}+1, & \text{for particles obeying Fermi-Dirac statistics}\\ | e^{\beta(\varepsilon_i-\mu)}+1, & \text{for particles obeying Fermi-Dirac statistics}\\ | ||
\end{cases}</math> β = 1/k<sub>B</sub>T बोल्ट्जमैन के स्थिर k<sub>B</sub> [[तापमान]] T और [[रासायनिक क्षमता]] μ के साथ। (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े बोस-आइंस्टीन आँकड़े और फर्मी-डिराक आँकड़े देखें।) | \end{cases}</math> ''β = 1/k<sub>B</sub>T'' बोल्ट्जमैन के स्थिर ''k<sub>B</sub>'' [[तापमान]] T और [[रासायनिक क्षमता]] μ के साथ। (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े बोस-आइंस्टीन आँकड़े और फर्मी-डिराक आँकड़े देखें।) | ||
थॉमस-फर्मी सन्निकटन का उपयोग करके E और E+dE के मध्य ऊर्जा वाले कणों | थॉमस-फर्मी सन्निकटन का उपयोग करके ''E'' और ''E+dE'' के मध्य ऊर्जा वाले कणों ''dN<sub>E</sub>'' की संख्या है: | ||
:<math>dN_E= \frac{dg_E}{\Phi(E)} </math> | :<math>dN_E= \frac{dg_E}{\Phi(E)} </math> | ||
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==ऊर्जा वितरण== | ==ऊर्जा वितरण== | ||
इस आलेख के पिछले अनुभागों से प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, अब | इस आलेख के पिछले अनुभागों से प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, अब बॉक्स में गैस के लिए कुछ वितरण निर्धारित किए जा सकते हैं। कणों की प्रणाली के लिए, वेरिएबल <math>A</math> के लिए वितरण <math>P_A</math> को अभिव्यक्ति <math>P_AdA</math> के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो कणों का वह अंश है जिसमें <math>A</math> और <math>A+dA</math> के मध्य <math>A</math> का मान होता है। | ||
:<math>P_A~dA = \frac{dN_A}{N} = \frac{dg_A}{N\Phi_A}</math> | :<math>P_A~dA = \frac{dN_A}{N} = \frac{dg_A}{N\Phi_A}</math> | ||
जहाँ | जहाँ | ||
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:<math>\Phi(E)=e^{\beta(E-\mu)}</math> | :<math>\Phi(E)=e^{\beta(E-\mu)}</math> | ||
ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करना और | ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करना और ''N'' के लिए समाधान देना | ||
:<math>N = \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\,\,e^{\beta\mu}</math> | :<math>N = \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\,\,e^{\beta\mu}</math> | ||
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जहाँ <math> z=e^{\beta\mu}.</math> | जहाँ <math> z=e^{\beta\mu}.</math> | ||
ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करने और | ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करने और ''N'' के लिए समाधान करने से [[कण संख्या]] मिलती है | ||
:<math>N = \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\textrm{Li}_{3/2}(z)</math> | :<math>N = \left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\textrm{Li}_{3/2}(z)</math> | ||
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:<math>N = \left(\frac{Vf}{\Lambda_{\rm c}^3}\right)\zeta(3/2),</math> | :<math>N = \left(\frac{Vf}{\Lambda_{\rm c}^3}\right)\zeta(3/2),</math> | ||
जहाँ <math>\zeta(z)</math> [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] को दर्शाता है। जिस तापमान पर {{math|1=Λ = Λ<sub>c</sub>}}क्रांतिक तापमान है. इस महत्वपूर्ण तापमान से नीचे के तापमान के लिए, कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण का कोई समाधान नहीं है। क्रांतिक तापमान वह तापमान है जिस पर बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बनना प्रारंभ होता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समस्या यह है कि सातत्य सन्निकटन में ग्राउंड स्थिति को नजरअंदाज कर दिया गया है। चूँकि, यह पता चला है कि कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण उत्तेजित अवस्था में बोसॉन की संख्या को अच्छी तरह से व्यक्त करता है, और इस प्रकार: | जहाँ <math>\zeta(z)</math> [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] को दर्शाता है। जिस तापमान पर {{math|1=Λ = Λ<sub>c</sub>}} क्रांतिक तापमान है. इस महत्वपूर्ण तापमान से नीचे के तापमान के लिए, कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण का कोई समाधान नहीं है। क्रांतिक तापमान वह तापमान है जिस पर बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बनना प्रारंभ होता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समस्या यह है कि सातत्य सन्निकटन में ग्राउंड स्थिति को नजरअंदाज कर दिया गया है। चूँकि, यह पता चला है कि कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण उत्तेजित अवस्था में बोसॉन की संख्या को अच्छी तरह से व्यक्त करता है, और इस प्रकार: | ||
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:<math>U_\nu~d\nu = \left(\frac{N\,h\nu}{V}\right) P_\nu~d\nu = \frac{4\pi f h\nu^3 }{c^3}~\frac{1}{e^{(h\nu-\mu)/k_{\rm B}T}-1}~d\nu.</math> | :<math>U_\nu~d\nu = \left(\frac{N\,h\nu}{V}\right) P_\nu~d\nu = \frac{4\pi f h\nu^3 }{c^3}~\frac{1}{e^{(h\nu-\mu)/k_{\rm B}T}-1}~d\nu.</math> | ||
अन्य थर्मोडायनामिक मापदंडों को बड़े कणों के स्थिति में अनुरूप रूप से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आवृत्ति वितरण फलन को एकीकृत करना और | अन्य थर्मोडायनामिक मापदंडों को बड़े कणों के स्थिति में अनुरूप रूप से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आवृत्ति वितरण फलन को एकीकृत करना और ''N'' के लिए समाधान करना कणों की संख्या देता है: | ||
:<math>N=\frac{16\,\pi V}{c^3h^3\beta^3}\,\mathrm{Li}_3\left(e^{\mu/k_{\rm B}T}\right).</math> | :<math>N=\frac{16\,\pi V}{c^3h^3\beta^3}\,\mathrm{Li}_3\left(e^{\mu/k_{\rm B}T}\right).</math> | ||
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:<math>N=\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\left[-\textrm{Li}_{3/2}(-z)\right]</math> | :<math>N=\left(\frac{Vf}{\Lambda^3}\right)\left[-\textrm{Li}_{3/2}(-z)\right]</math> | ||
फिर जहाँ, LI<sub> | फिर जहाँ, ''LI<sub>s</sub>(z)'' बहु लघुगणक फलन है और {{math|Λ}} [[थर्मल डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य]] है। आगे के परिणाम आदर्श फर्मी गैस पर लेख में पाए जा सकते हैं। इस प्रकार फर्मी गैस के अनुप्रयोग [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]], वाइट बौनों के सिद्धांत और सामान्य रूप से [[पतित पदार्थ|डेजेनेरेट पदार्थ]] में पाए जाते हैं। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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* Vu-Quoc, L., [http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_%28statistical_mechanics%29 Configuration integral (statistical mechanics)], 2008. this wiki site is down; see [https://web.archive.org/web/20120428193950/http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_%28statistical_mechanics%29 this article in the web archive on 2012 April 28]. | * Vu-Quoc, L., [http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_%28statistical_mechanics%29 Configuration integral (statistical mechanics)], 2008. this wiki site is down; see [https://web.archive.org/web/20120428193950/http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_%28statistical_mechanics%29 this article in the web archive on 2012 April 28]. | ||
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Latest revision as of 11:25, 12 August 2023
क्वांटम यांत्रिकी में, बॉक्स में क्वांटम कण के परिणामों का उपयोग बॉक्स में क्वांटम आदर्श गैस के लिए संतुलन स्थिति को देखने के लिए किया जा सकता है, जो ऐसा बॉक्स होता है जिसमें बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो तात्कालिक को छोड़कर दूसरे के साथ इंटरैक्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार थर्मलीकरण कोलिसन इस सरल मॉडल का उपयोग मौलिक आदर्श गैस के साथ-साथ विभिन्न क्वांटम आदर्श गैसों जैसे कि आदर्श मैसिव फर्मी गैस, आदर्श मैसिव बोस गैस और साथ ही ब्लैक बॉडी विकिरण (फोटॉन गैस) का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, जिसे द्रव्यमान रहित माना जा सकता है। इस प्रकार बोस गैस, जिसमें थर्मलाइजेशन को सामान्यतः संतुलित द्रव्यमान के साथ फोटॉन की इंटरैक्ट से सुविधाजनक माना जाता है।
मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों, बोस-आइंस्टीन आँकड़ों या फ़र्मी-डिराक आँकड़ों के परिणामों का उपयोग करते हुए, और बहुत बड़े बॉक्स की सीमा पर विचार करते हुए, थॉमस-फ़र्मी सन्निकटन (एनरिको फर्मी और लेवेलिन थॉमस के नाम पर) का उपयोग डीजेनरेट को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार आंतरिक ऊर्जा स्तर, और अभिन्न के रूप में स्थितियो पर योग यह गैस के थर्मोडायनामिक गुणों की गणना विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) या भव्य विभाजन फलन के उपयोग से करने में सक्षम बनाता है। यह परिणाम बड़े और द्रव्यमान रहित दोनों कणों पर प्रयुक्त होते है। अधिक संपूर्ण गणनाएँ भिन्न-भिन्न लेखों पर छोड़ दी जाती है, किन्तु इस लेख में कुछ सरल उदाहरण दिए जाते है।
थॉमस-स्थितियो की अधोगति के लिए फर्मी सन्निकटन
एक बॉक्स में मैसिव और द्रव्यमान रहित दोनों कणों के लिए,संतुलन स्थितिकण की अवस्थाओं की गणना क्वांटम संख्याओं केसंतुलन स्थितिसमुच्चय [nx, ny, nz] द्वारा की जाती है। संवेग का परिमाण किसके द्वारा दिया गया है?
जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है और L बॉक्स के किनारे की लंबाई है। किसी कण की प्रत्येक संभावित अवस्था को धनात्मक पूर्णांकों के त्रि-आयामी ग्रिड पर बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है। इस प्रकार उद्गम से किसी बिन्दु तक की दूरी होती है
मान लीजिए कि क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय F बताता है जहां F कण की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री की संख्या है जिसे कोलिसन द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्पिन 1⁄2 कण में f=2 होगा, प्रत्येक स्पिन अवस्था के लिए n के बड़े मानों के लिए, उपरोक्त समीकरण से p से कम या उसके समान संवेग परिमाण वाले स्थितियो की संख्या लगभग है
जो त्रिज्या n के गोले के आयतन का केवल f गुना है, जिसे 8 से विभाजित किया गया है क्योंकि यह केवल धनात्मक ni वाला अष्टक है इसलिए माना जाता है। कि सातत्य सन्निकटन का उपयोग करते हुए, p और p+dp के मध्य संवेग के परिमाण वाली अवस्थाओं की संख्या है
जहां V=L3 बॉक्स का आयतन है। ध्यान दें कि इस सातत्य सन्निकटन का उपयोग करने में, जिसे थॉमस-फर्मी सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है, इस प्रकार निम्न-ऊर्जा वाले स्थितियो को चिह्नित करने की क्षमता खो जाती है, जिसमें ग्राउंड अवस्था भी सम्मिलित है जहां Ni= 1. अधिकतर स्थितियों में यह कोई समस्या नहीं होती है, किन्तु जब बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट या बोस-आइंस्टीन कंडेनसेशन पर विचार किया जाता है, जिसमें गैस का बड़ा भाग ग्राउंड अवस्था में या उसके निकट होता है, तो कम ऊर्जा वाले स्थितियो से निपटने की क्षमता महत्वपूर्ण हो जाती है।
बिना किसी अनुमान के, ऊर्जा εi वाले कणों की संख्या द्वारा दिया गया है