यूनिपोटेंसी

गणित में, वलय R का एक यूनिपोटेंसी तत्व r ऐसा है कि r − 1 एक शून्यशक्तिशाली तत्व है; दूसरे शब्दों में, (r − 1)ⁿ कुछ n के लिए शून्य है।विशेष रूप से, एक वर्ग आव्यूहों M एक 'एकशक्‍त आव्यूहों' है यदि और केवल यदि इसका अभिलक्षणिक बहुपद P(t),t − 1 की घात है। इस प्रकार एक एकशक्‍त आव्यूहोंके सभी आइगेनवैल्यू ​​​​1 हैं।

'अर्ध-यूनिपोटेंसी' शब्द का अर्थ है कि कुछ शक्ति यूनिपोटेंसी है, उदाहरण के लिए आइगेनवैल्यू ​​​​के साथ एक विकर्ण आव्यूहों के लिए जो एकता की सभी जड़ें हैं।

बीजगणितीय समूहों सिद्धांत में, एक समूह तत्व 'एकशक्‍त' होता है यदि यह एक निश्चित प्राकृतिक समूह प्रतिनिधित्व में एकशक्‍त रूप से कार्य करता है। एक 'एकशक्‍त सजातीय बीजगणितीय समूह' तब एक ऐसा समूह होता है जिसके सभी तत्व एकशक्‍त होते हैं।

परिभाषा

आव्यूहों के साथ परिभाषा

समूह $\mathbb {U} _{n}$ पर विचार करें (गणित) ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों के साथ $1$ विकर्ण के अनुदिश है, इसलिए वे आव्यूहों का समूह हैं।

$\mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.$

फिर, एक यूनिपोटेंसी समूह को कुछ $\mathbb {U} _{n}$उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। योजना का उपयोग करके समूह $\mathbb {U} _{n}$ समूह योजना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)$

और एक सजातीय समूह योजना अप्रभावी है यदि यह इस योजना की एक बंद समूह योजना है।

रिंग सिद्धांत के साथ परिभाषा

एक सजातीय बीजगणितीय समूह का एक तत्व x एकशक्‍त होता है जब उसका संबद्ध सही अनुवाद ऑपरेटर, r_x होता है, जी के सजातीय समन्वय रिंग ए[जी] पर, ए[जी] के रैखिक मानचित्र के रिंग के एक तत्व के रूप में स्थानीय रूप से एकशक्‍त है। (स्थानीय रूप से एकशक्‍त का मतलब है कि ए [जी] के किसी भी परिमित-आयामी स्थिर उप-स्थान पर इसका प्रतिबंध सामान्य रिंग-सैद्धांतिक अर्थ में एकशक्‍त है।)

एक सजातीय बीजगणितीय समूह को 'एकशक्‍त' कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व एकशक्‍त हैं। कोई भी एकरूपी बीजगणितीय समूह विकर्ण प्रविष्टियों 1 के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों के समूह के एक बंद उपसमूह के लिए समरूपी है, और उलटा (तर्क) ऐसा कोई भी उपसमूह एकरूपी है। विशेष रूप से कोई भी यूनिपोटेंसी समूह एक शून्यशक्तिशाली समूह है, यद्यपि इसका विपरीत सत्य नहीं है (प्रति उदाहरण: GL_n(k) के विकर्ण आव्यूहों)।

उदाहरण के लिए, $\mathbb {U} _{n}$का मानक प्रतिनिधित्व $k^{n}$ पर मानक आधार के साथ $e_{i}$ निश्चित वेक्टर $e_{1}$ है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ परिभाषा

यदि एक एकशक्‍त समूह एक सजातीय विविधता पर कार्य करता है, तो इसकी सभी कक्षाएँ बंद हो जाती हैं, और यदि यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थल पर रैखिक रूप से कार्य करता है तो इसमें एक गैर-शून्य निश्चित सदिश होता है। वस्तुत:, बाद वाले गुण एकाधिकारहीन समूहों की विशेषता बताते है।विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि कोई असतहीय अर्धसरल निरूपण नहीं हैं।

उदाहरण

U_n

निस्सन्देह, आव्यूहों का समूह $\mathbb {U} _{n}$ अशक्तिशाली है. निचली केंद्रीय श्रृंखला का उपयोग

$\mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e$

जहां

$\mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]$ और $\mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]$

वहाँ संबद्ध एकाधिकार समूह हैं। उदाहरण के लिए, पर $n=4$, केंद्रीय श्रृंखला आव्यूहों का समूह हैं

$\mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, ${}_{}^{}$