तर्कवाद: Difference between revisions
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रसेल के लिए, शब्द या तो चीजें या अवधारणाएं हैं: जो कुछ भी विचार का विषय हो सकता है, या किसी भी सही या गलत प्रस्ताव में हो सकता है, या के रूप में गिना जा सकता है, मैं शब्द कहता हूं। अतः यह दार्शनिक शब्दावली का सबसे व्यापक शब्द है। मैं इसके पर्यायवाची के रूप में इकाई, विशिष्ट और इकाई शब्दों का उपयोग करूंगा। पहले दो इस तथ्य पर जोर देते हैं कि प्रत्येक पद है, जबकि तीसरा इस तथ्य से लिया गया है कि प्रत्येक पद का अस्तित्व है, अर्थात कुछ अर्थों में है। आदमी, क्षण, संख्या, वर्ग, संबंध, कल्पना, या कुछ और जिसका उल्लेख किया जा सकता है, निश्चित रूप से शब्द होगा; और इस बात से इनकार करना कि फलां चीज शब्द है, हमेशा गलत होना चाहिए (रसेल 1903:43) | रसेल के लिए, शब्द या तो चीजें या अवधारणाएं हैं: जो कुछ भी विचार का विषय हो सकता है, या किसी भी सही या गलत प्रस्ताव में हो सकता है, या के रूप में गिना जा सकता है, मैं शब्द कहता हूं। अतः यह दार्शनिक शब्दावली का सबसे व्यापक शब्द है। मैं इसके पर्यायवाची के रूप में इकाई, विशिष्ट और इकाई शब्दों का उपयोग करूंगा। पहले दो इस तथ्य पर जोर देते हैं कि प्रत्येक पद है, जबकि तीसरा इस तथ्य से लिया गया है कि प्रत्येक पद का अस्तित्व है, अर्थात कुछ अर्थों में है। आदमी, क्षण, संख्या, वर्ग, संबंध, कल्पना, या कुछ और जिसका उल्लेख किया जा सकता है, निश्चित रूप से शब्द होगा; और इस बात से इनकार करना कि फलां चीज शब्द है, हमेशा गलत होना चाहिए (रसेल 1903:43) | ||
शब्दों के बीच, दो प्रकारों को अलग करना संभव है, जिन्हें मैं क्रमशः चीजें और अवधारणाएं कहूंगा; पहले वे शब्द हैं जो उचित नामों से संकेतित होते हैं, बाद वाले वे शब्द हैं जो अन्य सभी शब्दों से संकेतित होते हैं। . . अवधारणाओं के बीच, फिर से, कम से कम दो प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए, अर्थात् वे जो विशेषणों द्वारा इंगित किए जाते हैं और वे जो क्रिया द्वारा इंगित किए जाते हैं (1903:44)। | |||
पहले प्रकार को अधिकांशतः विधेय या वर्ग-अवधारणाएँ कहा जाएगा; उत्तरार्द्ध हमेशा या लगभग हमेशा संबंध होते हैं। (1903:44) | |||
मैं किसी प्रस्ताव की शर्तों के बारे में उन शब्दों के रूप में बात करूंगा, चाहे वे कितने ही असंख्य क्यों न हों, जो प्रस्ताव में होते हैं और उन विषयों के रूप में माने जा सकते हैं जिनके बारे में प्रस्ताव है। यह किसी प्रस्ताव की शर्तों की विशेषता है कि उनमें से किसी को भी किसी अन्य इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बिना हमारे प्रस्ताव को समाप्त किए। इस प्रकार हम कहेंगे कि सुकरात मानव है, यह केवल पद वाला प्रस्ताव है; प्रस्ताव के शेष घटक में से क्रिया है, दूसरा विधेय है... . विधेय, क्रिया के अतिरिक्त अन्य अवधारणाएँ हैं, जो केवल पद या विषय वाले प्रस्तावों में होती हैं। (1903:45) | |||
मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का प्रमाणित है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) किसी भी प्रकार से उस विशिष्ट के दिमाग को सम्मलित नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है। | मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का प्रमाणित है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) किसी भी प्रकार से उस विशिष्ट के दिमाग को सम्मलित नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है। | ||
वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या निर्णय से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात प्रस्ताव फलन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। किन्तु यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को सामान्यतः अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस सीमा तक निर्णय का दृष्टिकोण आवश्यक है। (1909 पृष्ठ 66) | |||
वर्ग अवधारणा की विशेषता, जैसा कि सामान्य रूप से शब्दों से अलग है, यह है कि x प्रस्तावात्मक कार्य है जब, और केवल तभी, जब u वर्ग-अवधारणा है। (1903:56) | |||
71. वर्ग को विस्तारात्मक या जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, हम उस प्रकार की वस्तु को परिभाषित कर सकते हैं जो वर्ग है, या उस प्रकार की अवधारणा जो वर्ग को दर्शाती है: यह इसका सटीक अर्थ हैइस संबंध में विस्तार और आशय का विरोध। किन्तु यद्यपि सामान्य धारणा को इस दो-तरफा विधि से परिभाषित किया जा सकता है, विशेष वर्गों को, जब तक कि वे परिमित न हों, केवल जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ऐसी और ऐसी अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में। . . तर्क में; विस्तारित परिभाषा अनंत वर्गों पर समान रूप से लागू होती प्रतीत होती है, किन्तु व्यावहारिक रूप से, यदि हम इसका प्रयास करते हैं, तो मृत्यु अपने लक्ष्य को प्राप्त करने से पहले हमारे प्रशंसनीय प्रयास को छोटा कर देगी। (1903:69) | |||
===नेचुरल संख्याएं की परिभाषा=== | ===नेचुरल संख्याएं की परिभाषा=== | ||
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===असंदेह्यता का समाधान: प्रकारों का पदानुक्रम=== | ===असंदेह्यता का समाधान: प्रकारों का पदानुक्रम=== | ||
गोडल ने 1944:131 में देखा कि "रसेल ने कक्षाओं के विस्तारीकरण दृष्टिकोण के खिलाफ दो कारण पेश किए हैं, जिसमें (1) शून्य कक्ष, जो बहुत अच्छी प्रकार से संग्रह नहीं हो सकता है, और (2) इकाई कक्ष, जो अपने एकल तत्वों से एकसार होना चाहिए।" उन्होंने सुझाव दिया कि रसेल को इन्हें कल्पित, | गोडल ने 1944:131 में देखा कि "रसेल ने कक्षाओं के विस्तारीकरण दृष्टिकोण के खिलाफ दो कारण पेश किए हैं, जिसमें (1) शून्य कक्ष, जो बहुत अच्छी प्रकार से संग्रह नहीं हो सकता है, और (2) इकाई कक्ष, जो अपने एकल तत्वों से एकसार होना चाहिए।" उन्होंने सुझाव दिया कि रसेल को इन्हें कल्पित, किन्तु यह और निकलना चाहिए था कि सभी कक्षाएं (जैसे कि कक्षा-के-कक्षा जो नंबर 2, 3, आदि की परिभाषा करती हैं) कल्पनात्मक हैं। | ||
किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया, अपने 1903 में परिशिष्ट A: फ्रेग के तार्किक और अंखगणितीय धरोहर में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला: | किन्तु रसेल ने ऐसा नहीं किया, अपने 1903 में परिशिष्ट A: फ्रेग के तार्किक और अंखगणितीय धरोहर में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला: | ||
: "जो तार्किक धरोहर इस प्रकार हमारे ऊपर थोपा जा रहा है, वह यह है: प्रस्तावना का विषय एकल शब्द नहीं हो सकता, बल्कि मूल रूप से कई शब्द हो सकते हैं; यह वह स्थिति है जिसमें 0 और 1 के अतिरिक्त कोई अन्य नंबर जो संख्याएं घोषित करते हैं।" (1903:516) | : "जो तार्किक धरोहर इस प्रकार हमारे ऊपर थोपा जा रहा है, वह यह है: प्रस्तावना का विषय एकल शब्द नहीं हो सकता, बल्कि मूल रूप से कई शब्द हो सकते हैं; यह वह स्थिति है जिसमें 0 और 1 के अतिरिक्त कोई अन्य नंबर जो संख्याएं घोषित करते हैं।" (1903:516) | ||
निम्नलिखित सूचना में "कक्षा जैसे कई" के शब्दों का उपयोग हुआ है - कक्षा वह श्रेणी है जिसमें वे शब्द (चीजें) सम्मिलित होते हैं जो प्रस्तावनात्मक क्रिया को पूरा करते हैं, | निम्नलिखित सूचना में "कक्षा जैसे कई" के शब्दों का उपयोग हुआ है - कक्षा वह श्रेणी है जिसमें वे शब्द (चीजें) सम्मिलित होते हैं जो प्रस्तावनात्मक क्रिया को पूरा करते हैं, किन्तु यह वस्तु खुद में चीज नहीं है। | ||
: "इस प्रकार अंतिम निष्कर्ष है, कि कक्षाओं के सही सिद्धांत विषयों के तार्किक धरोहर चैप्टर VI की तुलना में भी विस्तारशील है; कक्षा जैसे कई वह विषय है जो सदैव किसी प्रस्तावनात्मक क्रिया द्वारा परिभाषित होता है, और यह आधुनिक गणित के लिए पर्याप्त है" (1903:518)। | : "इस प्रकार अंतिम निष्कर्ष है, कि कक्षाओं के सही सिद्धांत विषयों के तार्किक धरोहर चैप्टर VI की तुलना में भी विस्तारशील है; कक्षा जैसे कई वह विषय है जो सदैव किसी प्रस्तावनात्मक क्रिया द्वारा परिभाषित होता है, और यह आधुनिक गणित के लिए पर्याप्त है" (1903:518)। | ||
ऐसा लगता है जैसे कि गोपालक खेती के सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़े) को तीन कल्पनात्मक चारों में एकत्र करे (भेड़ों के लिए, गायों के लिए दूसरा और घोड़ों के लिए तीसरा) जो कि उसके कल्पनात्मक गोदामों में स्थित हैं। वास्तव में जो उपस्तिथ है, वे हैं भेड़, गाय और घोड़े (विस्तार), | ऐसा लगता है जैसे कि गोपालक खेती के सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़े) को तीन कल्पनात्मक चारों में एकत्र करे (भेड़ों के लिए, गायों के लिए दूसरा और घोड़ों के लिए तीसरा) जो कि उसके कल्पनात्मक गोदामों में स्थित हैं। वास्तव में जो उपस्तिथ है, वे हैं भेड़, गाय और घोड़े (विस्तार), किन्तु कल्पनात्मक "धारणाएँ" गोदाम और खेती नहीं हैं।{{or|date=May 2019}} | ||
जब रसेल ने घोषित किया कि सभी कक्षाएं उपयुक्त कल्पनात्मक भ्रामक हैं, तो उन्होंने "इकाई" कक्ष की समस्या को हल कर दिया था, | जब रसेल ने घोषित किया कि सभी कक्षाएं उपयुक्त कल्पनात्मक भ्रामक हैं, तो उन्होंने "इकाई" कक्ष की समस्या को हल कर दिया था, किन्तु समग्र समस्या ठीक नहीं हुई थी; वरना यह नए रूप में आ गई थी: "अब तो यह जरूरी हो जाएगा कि (1) शब्दें, (2) कक्षाएं, (3) कक्षाओं के कक्षाएं, और इसी प्रकार से अनंतता तक का अंतर करना पड़ेगा; हमें यह मानना होगा कि समुच्चय के किसी भी सदस्य का किसी भी अन्य समुच्चय के सदस्य के रूप में आना संभव नहीं है, और x ε u इसका मतलब है कि x को उस समुच्चय का सदस्य होना चाहिए जो u से डिग्री कम है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्तावना हो जाएगी; और इस प्रकार से विरोध से बचा जाएगा"(1903:517)। | ||
यह रसेल की "प्रकार का सिद्धांत" है। इसे यह सुनिश्चित करने के लिए कि x ε x जैसे अप्रेडिकटिव अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में उपयोग किया जा सके, रसेल ने इस प्रकार की कार्यकारी अनुमान के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाएं विधेय परिभाषाओं हैं। इस अनुमान के लिए, उन्होंने "फलन-आदेश" और विवाद- "प्रकार" के धारणाएं ज़रूरी किए। पहले, फलन (और उनके विस्तार-के-रूप में-कक्षाएं, अर्थात् "आव्यूह") को उनके "आदेश" द्वारा वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फलन आदेश 1 के होते हैं, फलन के फलन (कक्षाओं के कक्षाएं) के आदेश 2 के होते हैं, और इसी प्रकार। आगे, उन्होंने फलन के तर्कों (फलन के "इनपुट") के "प्रकार" को तय किया, अर्थात् उनके "प्रासंगिक अर्थ के विस्तार", अर्थात् वे प्रविष्टियों अल्फा (व्यक्तियों? कक्षाओं? कक्षाओं-के-कक्षाओं? आदि) क्या हैं, जो f(x) में डाले जाएं, वे कौन से ऐसे प्रविष्टियां हैं जो मानवीय परिणाम ω को मानवीय बनाते हैं। ध्यान दें कि इसका मतलब है कि "प्रकार" अर्थात् मिश्रित आदेश का हो सकता है, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है: | यह रसेल की "प्रकार का सिद्धांत" है। इसे यह सुनिश्चित करने के लिए कि x ε x जैसे अप्रेडिकटिव अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में उपयोग किया जा सके, रसेल ने इस प्रकार की कार्यकारी अनुमान के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाएं विधेय परिभाषाओं हैं। इस अनुमान के लिए, उन्होंने "फलन-आदेश" और विवाद- "प्रकार" के धारणाएं ज़रूरी किए। पहले, फलन (और उनके विस्तार-के-रूप में-कक्षाएं, अर्थात् "आव्यूह") को उनके "आदेश" द्वारा वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फलन आदेश 1 के होते हैं, फलन के फलन (कक्षाओं के कक्षाएं) के आदेश 2 के होते हैं, और इसी प्रकार। आगे, उन्होंने फलन के तर्कों (फलन के "इनपुट") के "प्रकार" को तय किया, अर्थात् उनके "प्रासंगिक अर्थ के विस्तार", अर्थात् वे प्रविष्टियों अल्फा (व्यक्तियों? कक्षाओं? कक्षाओं-के-कक्षाओं? आदि) क्या हैं, जो f(x) में डाले जाएं, वे कौन से ऐसे प्रविष्टियां हैं जो मानवीय परिणाम ω को मानवीय बनाते हैं। ध्यान दें कि इसका मतलब है कि "प्रकार" अर्थात् मिश्रित आदेश का हो सकता है, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है: | ||
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"विधेय",के माध्यम से, रसेल का अर्थ है कि फलन को अपने चरण (चरणों) के "प्रकार" से अधिक आदेश होना चाहिए। इसलिए, फलन (क्रम 2 का) जो वर्गों का वर्ग बनाता है, केवल अपने चरण (चरणों) के वे प्रस्तावनात्मक अर्गुमेंट्स स्वीकार कर सकता है जो वर्ग (प्रकार 1) और विशिष्ट (प्रकार 0) होते हैं, क्योंकिये निम्नतर अभिव्यक्तियां होती हैं। प्रकार 3 केवल प्रकार 2, 1 या 0 इत्यादि को स्वीकार कर सकता है। किन्तु इन प्रकारों को मिश्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, इस वाक्य के सत्य होने के लिए: "z ने 1947 विश्व सीरीज जीती", वह विशिष्ट (प्रकार 0) "जो डिमैगियो और/या अपने अन्य साथियों के नाम स्वीकार कर सकता है", और यह हो सकता है व्यक्तिगत खिलाड़ियों द यांकीज़ के वर्ग (प्रकार 1) को स्वीकार करें। | "विधेय",के माध्यम से, रसेल का अर्थ है कि फलन को अपने चरण (चरणों) के "प्रकार" से अधिक आदेश होना चाहिए। इसलिए, फलन (क्रम 2 का) जो वर्गों का वर्ग बनाता है, केवल अपने चरण (चरणों) के वे प्रस्तावनात्मक अर्गुमेंट्स स्वीकार कर सकता है जो वर्ग (प्रकार 1) और विशिष्ट (प्रकार 0) होते हैं, क्योंकिये निम्नतर अभिव्यक्तियां होती हैं। प्रकार 3 केवल प्रकार 2, 1 या 0 इत्यादि को स्वीकार कर सकता है। किन्तु इन प्रकारों को मिश्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, इस वाक्य के सत्य होने के लिए: "z ने 1947 विश्व सीरीज जीती", वह विशिष्ट (प्रकार 0) "जो डिमैगियो और/या अपने अन्य साथियों के नाम स्वीकार कर सकता है", और यह हो सकता है व्यक्तिगत खिलाड़ियों द यांकीज़ के वर्ग (प्रकार 1) को स्वीकार करें। | ||
द्विघात सिद्धांत (न्यूनीकरण का अभिगृहीत) होता है कि किसी भी आदेश के किसी भी फलन को उसके उपयुक्त आदेश के प्रामाणिक फलन में घटाया जा सकता है।<ref>"The axiom of reducibility is the assumption that, given any function φẑ, there is a formally equivalent, ''predicative'' function, i.e. there is a predicative function which is true when φz is true and false when φz is false. In symbols, the axiom is: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡<sub>z</sub> .ψ!z." (''PM'' 1913/1962 edition:56, the original uses x with a circumflex). Here φẑ indicates the function with variable ẑ, i.e. φ(x) where x is argument "z"; φz indicates the value of the function given argument "z"; ≡<sub>z</sub> indicates "equivalence for all z"; ψ!z indicates a predicative function, i.e. one with no variables except individuals.</ref> पहले संस्करण को सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि एनथ आदेश प्रामाणिक फलन को "सब से नीचे तक" बड़े "आव्यूह" या व्यक्तिगत परमाणु वाक्यों का समूह के रूप में व्यक्त करने की जरूरत नहीं होती। "क्योंकि व्यवहार में केवल परस्पर आधारित चरों के प्रकार प्रासंगिक होते हैं; इस प्रकार, किसी दिए गए संदर्भ में पाए जाने वाले सबसे निम्नतम प्रकार को व्यक्तियों का प्रकार कहा जा सकता है" (पृष्ठ 161)। | द्विघात सिद्धांत (न्यूनीकरण का अभिगृहीत) होता है कि किसी भी आदेश के किसी भी फलन को उसके उपयुक्त आदेश के प्रामाणिक फलन में घटाया जा सकता है।<ref>"The axiom of reducibility is the assumption that, given any function φẑ, there is a formally equivalent, ''predicative'' function, i.e. there is a predicative function which is true when φz is true and false when φz is false. In symbols, the axiom is: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡<sub>z</sub> .ψ!z." (''PM'' 1913/1962 edition:56, the original uses x with a circumflex). Here φẑ indicates the function with variable ẑ, i.e. φ(x) where x is argument "z"; φz indicates the value of the function given argument "z"; ≡<sub>z</sub> indicates "equivalence for all z"; ψ!z indicates a predicative function, i.e. one with no variables except individuals.</ref> पहले संस्करण को सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि एनथ आदेश प्रामाणिक फलन को "सब से नीचे तक" बड़े "आव्यूह" या व्यक्तिगत परमाणु वाक्यों का समूह के रूप में व्यक्त करने की जरूरत नहीं होती। "क्योंकि व्यवहार में केवल परस्पर आधारित चरों के प्रकार प्रासंगिक होते हैं; इस प्रकार, किसी दिए गए संदर्भ में पाए जाने वाले सबसे निम्नतम प्रकार को व्यक्तियों का प्रकार कहा जा सकता है" (पृष्ठ 161)। किन्तु द्विघात सिद्धांत प्रस्तावित करता है कि सिद्धांत में विद्यमानता "सब से नीचे तक" अवश्य संभव है। | ||
चूंकि, 1927 के दूसरे संस्करण तक, रसेल ने द्विघात सिद्धांत पर आत्मसमर्पण कर दिया था और उन्होंने निर्धारित किया था कि उन्हें वास्तव में विभाजित प्रमाणिक फलन को "सब से नीचे तक" उसके आधारभूत प्रस्तावनात्मक वाक्यों तक पहुंचाना होगा, जिसे तार्किक ऑपरेटरों के साथ जोड़ा जाता है: | चूंकि, 1927 के दूसरे संस्करण तक, रसेल ने द्विघात सिद्धांत पर आत्मसमर्पण कर दिया था और उन्होंने निर्धारित किया था कि उन्हें वास्तव में विभाजित प्रमाणिक फलन को "सब से नीचे तक" उसके आधारभूत प्रस्तावनात्मक वाक्यों तक पहुंचाना होगा, जिसे तार्किक ऑपरेटरों के साथ जोड़ा जाता है: | ||
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यह "स्ट्रोक" शेफर का स्ट्रोक है - जिसे PM के 2वें संस्करण में अपनाया गया था - एकल द्वितार्किक तार्किक फलन है जिससे सभी अन्य तार्किक फलन को परिभाषित किया जा सकता है। | यह "स्ट्रोक" शेफर का स्ट्रोक है - जिसे PM के 2वें संस्करण में अपनाया गया था - एकल द्वितार्किक तार्किक फलन है जिससे सभी अन्य तार्किक फलन को परिभाषित किया जा सकता है। | ||
इसके परिणाम में, रसेल के सिद्धांत का अस्थिर हो जाना था। रसेल इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे: कि "आदेशिकता और कार्डिनलों का सिद्धांत बच जाता है... | इसके परिणाम में, रसेल के सिद्धांत का अस्थिर हो जाना था। रसेल इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे: कि "आदेशिकता और कार्डिनलों का सिद्धांत बच जाता है... किन्तु अप्रशासनिक और वास्तविक संख्याएँ सामान्य रूप से ठीक से नहीं निपटा जा सकता है।... शायद कुछ और सिद्धांत, आदेशिकता की तुलना में कम विरोधनीय हो, ऐसा परिणाम दे सकता है, किन्तु हमें ऐसा सिद्धांत खोज में सफलता नहीं मिली है" (पीएम 1927:xiv) | ||
गोडल 1944 सहमत है कि रसेल के लॉजिसिस्ट परियोजना को रोक दिया गया था; उन्हें ऐसा लगता है कि अंकित संख्याएँ भी बच नहीं गईं: | गोडल 1944 सहमत है कि रसेल के लॉजिसिस्ट परियोजना को रोक दिया गया था; उन्हें ऐसा लगता है कि अंकित संख्याएँ भी बच नहीं गईं: | ||
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Latest revision as of 15:23, 8 September 2023
गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जिसमे या से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है।[1] बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन को समर्थित किया, जो गोटलोब फ्रीज ने प्रारंभ किया और फिर रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।
सिंहावलोकन
इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित तर्कसंगत संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को नेचुरल संख्याएं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि नेचुरल संख्याएं स्वंय भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे।
ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से नेचुरल संख्याएं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में नेचुरल संख्याएं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।
यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत भी इस समस्या का सामना करता है।
वहीं, 1903 में रसेल ने "गणित के सिद्धांत" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में प्रारंभिक धारणाओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने "गणितीय सिद्धांत" में एकत्र किया था।[2]
आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार ZFC) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। विलार्ड वान ऑरमैन क्विन के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है।
इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे नेचुरल संख्याएं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।[3] इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए डेविड हिल्बर्ट के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।
इस प्रकार तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की प्रकार ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। चूंकि , ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क प्रथम-क्रम तर्क के प्रमेयों और उच्च-क्रम तर्क के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्यतः - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, किन्तु अर्थ संबंधी प्रमाणो को नहीं। इसलिए, यह प्रमाणित कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि नेचुरल संख्याएं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की समानता में कम विश्वसनीय है।[4]
तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से[5] और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के समय विश्लेषणात्मक दर्शन के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।
'तर्कवाद' नाम की उत्पत्ति
आइवर ग्राटन-गिनीज का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में लुई कॉटुरेट और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।
सामान्यतः रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे विशिष्ट के रूप में प्रस्तुत किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलतबअर्थात के अतिरिक्त (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, किन्तु उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया। , जिससे 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)।[6]
रुडोल्फ कार्नाप (1929) के लगभग उसी समय, किन्तु स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का उपयोग किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का उपयोग किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का उपयोग किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, किन्तु वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।
तर्कवाद का निर्णय , या लक्ष्य
इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को प्रतीकात्मक तर्क (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। बीजगणितीय तर्क (बूलियन तर्क) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के स