तर्कवाद: Difference between revisions

गणित के दर्शन में, '''[[तर्क]]वाद''' फलन है जो एक या एक से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में [[मॉडल सिद्धांत]] हो सकता है।<ref>[http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php Logicism]. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080220075703/http://www.philosophyprofessor.com/philosophies/logicism.php|date=2008-02-20}}.</ref> [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड]] ने इस फलन को समर्थित किया, जो [[भगवान का शुक्र है फ्रीज|गोटलोब फ्रीज]] ने प्रारंभ किया और फिर [[रिचर्ड डेडेकाइंड]] और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।

इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित राष्ट्रीय संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके [[वास्तविक संख्या]]ओं की विशेषता बताने वाले [[स्वयंसिद्ध]] को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इस और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अलावा 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि प्राकृतिक संख्याएं खुद भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे।

[[अंकगणित की नींव|ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक]] के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की [[ज्ञानमीमांसा]] और [[आंटलजी]] प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।  

यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की शुरुआत थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। हालाँकि,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की खोज हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] भी इस समस्या का सामना करता है।

वहीं, 1903 में रसेल ने "[[गणित के सिद्धांत]]" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में [[आदिम धारणा|प्रारंभिक धारणा]]ओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के दावे का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने [[गणितीय सिद्धांत|"गणितीय सिद्धांत"]] में एकत्र किया था।<ref>{{cite SEP |url-id=principia-mathematica |title=Principia Mathematica}}</ref>

आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार [[ZFC]]) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य साबित हुए हैं, लेकिन इस प्रक्रिया में कक्षाओं, सेटों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक#सिमेंटिक्स के अलावा अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन]] के बाद के विचार का प्रभाव।

कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है।<ref>[http://philpapers.org/rec/RAAOTP "On the philosophical relevance of Gödel's incompleteness theorems"]</ref> इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए [[डेविड हिल्बर्ट]] के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके तहत 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत साबित किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत तरीकों' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के हिस्से के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत तरीकों' के बारे में संदिग्ध हों। बहरहाल, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।

तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की तरह ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। हालाँकि, ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क [[प्रथम-क्रम तर्क]] के प्रमेयों और [[उच्च-क्रम तर्क]] के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम तरीकों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्य तौर पर - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन अर्थ संबंधी दावों को नहीं। इसलिए, यह दावा कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि प्राकृतिक संख्याओं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की तुलना में कम विश्वसनीय है।<ref>{{cite book |last1=Gabbay |first1=Dov M. |title=तर्क और गणित की नींव में अध्ययन|date=2009 |publisher=Elsevier, inc. |location=Amsterdam |isbn=978-0-444-52012-8 |pages=59–90 |edition=Volume 153 |url=https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/153/suppl/C |access-date=1 September 2019}}</ref>

तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से<ref>{{Citation|last=Reck|first=Erich|year=1997|title=''Frege's Influence on Wittgenstein: Reversing Metaphysics via the Context Principle''|s2cid=31255155 |url=https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20180824183548/https://pdfs.semanticscholar.org/a5e1/f41223452caf0775fe03ed08417e3530a9b8.pdf|url-status=dead|archive-date=2018-08-24}}</ref> और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के दौरान [[विश्लेषणात्मक दर्शन]] के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।

[[आइवर ग्राटन-गिनीज]] का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में [[लुई कॉटुरेट]] और अन्य लोगों द्वारा पेश किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।

[[रुडोल्फ कार्नाप]] (1929) के लगभग उसी समय, लेकिन स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का इस्तेमाल किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का इस्तेमाल किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का इस्तेमाल किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, लेकिन वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।

==तर्कवाद का इरादा, या लक्ष्य==

तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को [[प्रतीकात्मक तर्क]] (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। [[बीजगणितीय तर्क]] ([[बूलियन तर्क]]) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (गैर) से शुरू होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह तय करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] (यानी [1] ए से भौतिक रूप से बी और [का तात्पर्य है) 2] ए, कोई बी प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं।

प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से शुरू करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की तुलना में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के [[रचनावाद (गणित का दर्शन)]] के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944)।

गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. लेकिन यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े हिस्से को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अलावा, युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।

क्लेन 1952 इसे इस प्रकार बताता है: लीबनिज़ (1666) ने सबसे पहले तर्क को ऐसे विज्ञान के रूप में देखा जिसमें अन्य सभी विज्ञानों के अंतर्निहित विचार और सिद्धांत सम्मलित थे। डेडेकाइंड (1888) और फ़्रीज (1884, 1893, 1903) तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में गणितीय धारणाओं को परिभाषित करने में लगे हुए थे, और पीनो (1889, 1894-1908) गणितीय प्रमेयों को तार्किक प्रतीकवाद में व्यक्त करने में लगे हुए थे (पृष्ठ 43); पिछले पैराग्राफ में उन्होंने रसेल और व्हाइटहेड को तर्कवादी स्कूल के उदाहरण के रूप में सम्मलित किया है, अन्य दो मूलभूत स्कूल अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक या स्वयंसिद्ध स्कूल हैं (पृष्ठ 43)।

फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से शुरुआत की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?

: मुझे सबसे पहले यह पता लगाना था कि केवल अनुमानों के माध्यम से, विचार के उन नियमों के एकमात्र समर्थन से, जो सभी विवरणों से परे हैं, अंकगणित में कितनी दूर तक आगे बढ़ा जा सकता है। मेरा प्रारंभिक कदम क्रम में क्रमबद्ध करने की अवधारणा को तार्किक परिणाम तक कम करने का प्रयास करना था, ताकि वहां से संख्या की अवधारणा की ओर आगे बढ़ा जा सके। किसी भी सहज ज्ञान युक्त चीज़ को यहां बिना ध्यान दिए प्रवेश करने से रोकने के लिए मुझे अनुमानों की श्रृंखला को अंतराल से मुक्त रखने के लिए हर संभव प्रयास करना पड़ा। . . मुझे भाषा की अपर्याप्तता बाधा लगी; इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कितने बोझिल भावों को स्वीकार करने के लिए तैयार था, जैसे-जैसे रिश्ते अधिक से अधिक जटिल होते गए, मैं उस सटीकता को प्राप्त करने में कम सक्षम होता गया जो मेरे उद्देश्य के लिए आवश्यक थी। यही कमी मुझे वर्तमान विचारधारा के विचार तक ले गयी। इसलिए, इसका पहला उद्देश्य हमें अनुमानों की श्रृंखला की वैधता का सबसे विश्वसनीय परीक्षण प्रदान करना है और हर उस पूर्वधारणा को इंगित करना है जो किसी का ध्यान नहीं जाने देने की कोशिश करती है (वैन हाइजेनोर्ट 1967:5 में फ़्रीज 1879)।

डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन किया है। उनका मानना ​​था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए:

:अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को स्थान और समय की अंतर्ज्ञान की धारणाओं से पूरी तरह स्वतंत्र मानता हूं, कि मैं इसे विचार के नियमों का तत्काल परिणाम मानता हूं . . . संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं। . . [और] केवल संख्याओं के विज्ञान के निर्माण की विशुद्ध तार्किक प्रक्रिया के माध्यम से। . . क्या हम अंतरिक्ष और समय के बारे में अपनी धारणाओं को अपने दिमाग में बनाए गए इस संख्या-डोमेन के साथ संबंध में लाकर जांच करने के लिए सटीक रूप से तैयार हैं (डेडेकाइंड 1887 डोवर रिपब्लिकेशन 1963:31)।

पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना इरादा बताया है:

:गणित की नींव से संबंधित प्रश्न, हालांकि हाल के दिनों में कई लोगों द्वारा हल किए गए हैं, फिर भी संतोषजनक समाधान का अभाव है। कठिनाई का मुख्य स्रोत भाषा की अस्पष्टता है। ¶ इसीलिए हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों की सावधानीपूर्वक जांच करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। मेरा लक्ष्य इस परीक्षा को देना है (पीनो 1889 वैन हाइजेनोर्ट 1967:85 में)।

रसेल 1903 अपने 190 की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन करता हैगणित के 3 सिद्धांत:

: वर्तमान कार्य की उत्पत्ति के बारे में कुछ शब्द चर्चा किए गए प्रश्नों के महत्व को दर्शाने का काम कर सकते हैं। लगभग छह साल पहले, मैंने डायनेमिक्स के दर्शन की जांच शुरू की थी। . . . [दो प्रश्नों से - अंतरिक्ष के संबंधपरक सिद्धांत में त्वरण और पूर्ण गति] मुझे ज्यामिति के सिद्धांतों की फिर से जांच करने के लिए प्रेरित किया गया, वहां से निरंतरता और अनंत के दर्शन तक, और फिर, के अर्थ की खोज करने की दृष्टि से कोई भी शब्द, प्रतीकात्मक तर्क के लिए (प्रस्तावना 1903:vi-vii)।

[[डेडेकाइंड]] और [[पूछा]] की ज्ञानमीमांसा रसेल की तुलना में कम अच्छी तरह से परिभाषित लगती है, लेकिन दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (आमतौर पर विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये कानून अपने आप में पर्याप्त होंगे।

डेडेकाइंड का तर्क 1 से शुरू होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी तरह से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि सिस्टम एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) ए, बी, सी की समग्रता है; उनका दावा है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि: