असंयुक्त संघ

This article is about समुच्चय पर संचालन. For कंप्यूटर विज्ञान शब्द का अर्थ, see टैग यूनियन. For ग्राफ़ पर संचालन, see disjoint union of graphs.

Not to be confused with विच्छेदनात्मक यूनियन.

असंयुक्त यूनियन

File:PolygonsSetDisjointUnion.svg
Type	समुच्चय संचालन
Field	समुच्चय सिद्धांत
Statement	असंयुक्त यूनियन $A\sqcup B$ समुच्चय का A और B के तत्वों से निर्मित समुच्चय है A और B जिस समुच्चय से वे आते हैं उसके नाम के साथ लेबल (अनुक्रमित) किया जाता है। तो, दोनों से संबंधित एक तत्व A और B असंयुक्त संघ में दो अलग-अलग लेबलों के साथ दो बार प्रकट होता है.
Symbolic statement	$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}$$

गणित में समुच्चयों के एक समूह का एक असंयुक्त यूनियन (या विभेदित यूनियन) एक समुच्चय $A$ है जिसे अधिकांशतः ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ द्वारा दर्शाया जाता है $(A_{i}:i\in I)$ प्रत्येक $A_{i}$ के $A,$ में एक इंजेक्शन के साथ, जैसे कि इन इंजेक्शनों की छवियां $A$ का एक विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) बनाती हैं इस प्रकार (अर्थात् $A$ का प्रत्येक तत्व इन छवियों में से पुर्णतः एक से संबंधित है)। इस प्रकार जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चयों के समूह का असंयुक्त यूनियन ही उनका यूनियन है।

श्रेणी सिद्धांत में, असंयुक्त यूनियन समुच्चयों की श्रेणी का सहउत्पाद है, और इस प्रकार आक्षेप तक परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, संकेतन ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$ अधिकांशतः प्रयोग किया जाता है.

दो समुच्चयों का असंयुक्त यूनियन $A$ और $B$ इन्फिक्स संकेतन $A\sqcup B$ के साथ लिखा गया है कुछ लेखक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हैं इस प्रकार $A\uplus B$ या $A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B$ (संबंधित के साथ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ या ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$) का उपयोग किया जाता है

असंबद्ध यूनियन के निर्माण का मानक विधि परिभाषित करना है क्रमित युग्म $A$ के समुच्चय के रूप में $(x,i)$ ऐसा है कि $x\in A_{i},$ और इंजेक्शन $A_{i}\to A$ है जैसा $x\mapsto (x,i).$ है

उदाहरण

समुच्चय $A_{0}=\{5,6,7\}$ और $A_{1}=\{5,6\}.$ पर विचार करें संबंधित समुच्चय ${\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}$ बनाकर समुच्चय तत्वों को समुच्चय मूल के अनुसार अनुक्रमित करना संभव है जहां प्रत्येक जोड़ी में दूसरा तत्व मूल समुच्चय की सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है (उदाहरण के लिए,)। इस प्रकार $0$ में $(5,0)$ में सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है जिससे $A_{0},$ असंयुक्त यूनियन $A_{0}\sqcup A_{1}$ फिर इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$$A_0\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->A_1=A_0^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cup <!--\; \cup \; -->A_1^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\{(5,0),(6,0)$$