धारिता: Difference between revisions
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''''' | '''''धारिता, [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत चालक]]''' (''इलेक्ट्रिक चालक) पर संग्रहीत [[ आवेश |आवेश]] की मात्रा और विद्युत क्षमता में अंतर का अनुपात है। धारिता के दो प्रकार है जो आपस में एक दूसरे से सम्बंधित है: ''सेल्फ धारिता (स्व धारिता) ''और ''म्यूचुअल धारिता (पारस्परिक धारिता)''।<ref name=Harrington_2003>{{cite book |last=Harrington |first=Roger F. |author-link=Roger F. Harrington |title=Introduction to Electromagnetic Engineering |publisher=Dover Publications |year=2003 |edition=1st |page=43 |isbn=0-486-43241-6}}</ref>{{rp|237–238}} कोई भी वस्तु जिसे विद्युत रूप से आवेशित किया जा सकता है वह आत्म धारिता प्रदर्शित करता है। इस मामले में वस्तु और जमीन के बीच[[ संभावित अंतर | संभावित विद्युत अंतर]] मापा जाता है। पारस्परिक धारिता को दो चालकों के बीच मापा जाता है,और यह संधारित्र के संचालन में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, (प्रतिरोधों और [[Index.php?title=प्रारंभ करने वालों|प्रारंभ करने वालों]] के साथ) इस उद्देश्य के लिए एक प्राथमिक रैखिक इलेक्ट्रॉनिक घटक के रूप में उपकरण डिज़ाइन किया गया है। [[ संधारित्र |संधारित्र]] के संचालन को समझने के लिए पारस्परिक धारिता की धारणा विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। एक विशिष्ट संधारित्र में, दो चालकों का उपयोग इलेक्ट्रिक आवेश को अलग करने के लिए किया जाता है, जिसमें एक चालक को धनात्मक रूप से आवेशित किया जाता है और दूसरा ऋणात्मक रूप से आवेशित किया जाता है, लेकिन तंत्र का कुल आवेश शून्य होता है। | ||
धारिता केवल संधारित्र के रूपरेखा की ज्यामिति का एक कार्य है, उदाहरण के लिए, प्लेटों का विरोधी सतह क्षेत्र और उनके बीच की दूरी, और प्लेटों के बीच परावैद्युत पदार्थ की पारगम्यता। कई परावैद्युत पदार्थ के लिए, पारगम्यता और धारिता, चालकों के बीच [[ संभावित अंतर |संभावित विद्युत अंतर]] और उन पर उपस्थित कुल आवेश से स्वतंत्र है। | |||
धारिता की एसआई इकाई अंग्रेजी भौतिक वैज्ञानिक[[ माइकल फैराडे ]]के नाम पर फैराड (प्रतीक: एफ) है। 1 फैराड संधारित्र, जब 1[[ कूलम्ब | कूलम्ब]] विद्युत आवेश के साथ आरोपित किया जाता है, तो इसकी प्लेटों के बीच 1 [[ वाल्ट |वोल्ट]] का संभावित अंतर होता है।<ref>{{cite web |url=http://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/farad |title=Definition of 'farad' |publisher=Collins}}</ref> धारिता के वुत्पन्न को [[ इलास्टेंस |इलास्टेंस]] कहा जाता है। | |||
== स्व | == स्व धारिता == | ||
विद्युत | विद्युत परिपथ में, धारिता शब्द आमतौर पर दो आसन्न चालकों के बीच पारस्परिक धारिता के लिए एक आशुलिपि (शॉर्टहैंड) है, जैसे कि एक संधारित्र की दो प्लेटें। हालांकि, एक पृथक संधारित्र के लिए, स्व धारिता नामक एक संपत्ति भी मौजूद है, जो कि विद्युत आवेश की मात्रा है जिसे एक अलग संधारित्र में जोड़ा जाना चाहिए ताकि इसकी विद्युत क्षमता को एक इकाई (यानी एक वोल्ट, अधिकांश माप प्रणालियों में) तक बढ़ाया जा सके।<ref>{{cite book|author=William D. Greason| title=Electrostatic discharge in electronics|url=https://books.google.com/books?id=404fAQAAIAAJ|year=1992|publisher=Research Studies Press|isbn=978-0-86380-136-5 |page=48}}</ref> इस विभव के लिए संदर्भ बिंदु, इस क्षेत्र के अंदर केंद्रित संधारित्र के साथ अनंत त्रिज्या का एक सैद्धांतिक खोखला क्षेत्र है। | ||
गणितीय रूप से, एक | गणितीय रूप से, एक संधारित्र की स्व धारिता को परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">C = \frac{q}{V},</math> | <math display="block">C = \frac{q}{V},</math> | ||
जहाँ पे | |||
* | *q चालक पर आयोजित शुल्क है, | ||
*<math display="inline">V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\sigma}{r}\,dS</math> विद्युत क्षमता है, | *<math display="inline">V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\sigma}{r}\,dS</math> विद्युत क्षमता है, | ||
*σ सतह आवेश घनत्व है। | *σ सतह आवेश घनत्व है। | ||
* | *''dS'' चालक की सतह पर क्षेत्र का एक असीम तत्व है, | ||
*r | *r चालक पर एक निश्चित बिंदु m से ds तक लंबाई है | ||
*<math>\varepsilon_0</math> [[ वैक्यूम पारगम्यता ]] है | *<math>\varepsilon_0</math>[[ वैक्यूम पारगम्यता |वैक्यूम पारगम्यता]] है | ||
इस पद्धति का उपयोग करते हुए, स्व धारिता के एक संचालन क्षेत्र की त्रिज्या R है:<ref name="NSW">[https://web.archive.org/web/20090226225105/http://www.phys.unsw.edu.au/COURSES/FIRST_YEAR/pdf%20files/5Capacitanceanddielectr.pdf Lecture notes]; University of New South Wales</ref> | |||
== | <math display="block">C = 4 \pi \varepsilon_0 R </math> | ||
ये ,सामान्य रूप एक समानांतर-प्लेट संधारित्र है, जिसमें दो प्रवाहकीय प्लेटें होती हैं,और ये दोनों प्लेट एक दूसरे के ऊपर रखीं होती हैं,आमतौर पर प्लेट एक दूसरे के ऊपर ऐसे रखीं होती है जैसे डाइइलेक्ट्रिक | स्व धारिता के उदाहरण मान हैं: | ||
*एक वैन डी[[ ग्राफ जनरेटर से | ग्राफ जनरेटर]] की शीर्ष प्लेट के लिए,आमतौर पर एक वृत्त त्रिज्या में 20 सेमी: 22.24 पीएफ, | |||
*ग्रह पृथ्वी: लगभग 710 µf।<ref>{{cite book | last1 = Tipler | first1 = Paul | last2 = Mosca | first2 = Gene | title = Physics for Scientists and Engineers | publisher = Macmillan | year = 2004 | edition = 5th | page = 752 | isbn = 978-0-7167-0810-0 }}</ref> | |||
एक विद्युत चुम्बकीय कुंडल की अंतर-घुमावदार धारिता को कभी-कभी आत्म धारिता कहा जाता है,<ref>{{cite journal| title=Self capacitance of inductors|doi=10.1109/63.602562 |author1=Massarini, A. |author2=Kazimierczuk, M.K. |year=1997 |volume=12 |issue=4 |pages=671–676 |journal=IEEE Transactions on Power Electronics |postscript=: example of the use of the term 'self capacitance'.|bibcode=1997ITPE...12..671M |citeseerx=10.1.1.205.7356 }}</ref> लेकिन यह एक अलग घटना है।यह वास्तव में कॉइल के अलग-अलग मोड़ के बीच पारस्परिक धारिता है और अवांछित,या [[ परजीवी समाई |परजीवी धारिता]] का एक रूप है। यह आत्म धारिता उच्च आवृत्तियों के लिए महत्वपूर्ण विचार है: यह कॉइल के [[ विद्युत प्रतिबाधा |विद्युत प्रतिबाधा]] को बदलता है और समानांतर विद्युत अनुनाद को जन्म देता है। कई अनुप्रयोगों में यह एक अवांछनीय प्रभाव है और परिपथ के सही संचालन के लिए एक ऊपरी आवृत्ति सीमा निर्धारित करता है।{{citation needed|date=May 2017}} | |||
== पारस्परिक धारिता == | |||
ये ,सामान्य रूप एक समानांतर-प्लेट संधारित्र है, जिसमें दो प्रवाहकीय प्लेटें होती हैं,और ये दोनों प्लेट एक दूसरे के ऊपर रखीं होती हैं,आमतौर पर प्लेट एक दूसरे के ऊपर ऐसे रखीं होती है जैसे डाइइलेक्ट्रिक सामग्री उन दोनों प्लेट के बीच में रखा हो। एक समानांतर प्लेट संधारित्र में, धारिता संधारित्र प्लेटों के सतह क्षेत्र के समानुपाती और दो प्लेट के बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है। | |||
यदि प्लेटों पर आवेश +Q और, -Q हैं, और V प्लेटों के बीच [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] देता है, तो | यदि प्लेटों पर आवेश +Q और, -Q हैं, और V प्लेटों के बीच [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] देता है, तो धारिता को C द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। <math display="block">C = \frac{q}{V},</math> | ||
जो वोल्टेज और विद्युत धारा में सम्बन्ध प्रदर्शित करता है | जो वोल्टेज और विद्युत धारा में सम्बन्ध प्रदर्शित करता है | ||
<math display="block">i(t) = C \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t},</math> | <math display="block">i(t) = C \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t},</math> | ||
जहां पर {{sfrac|d''v''(''t'')|d''t''}} वोल्टेज परिवर्तन की तात्कालिक दर है। | |||
एक संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा ''W'' के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है: | एक संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा ''W'' के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है: | ||
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== | == धारिताआव्यूह == | ||
उपरोक्त चर्चा दो संचालन प्लेटों के मामले तक सीमित है, हालांकि मनमानी आकार और आकृति | उपरोक्त चर्चा दो संचालन प्लेटों के मामले तक सीमित है, हालांकि मनमानी आकार और आकृति की है। ये परिभाषा <math>C = Q/V</math> तब लागू नहीं है जब दो से अधिक आवेशित की गयी प्लेटें होती हैं , या जब दो प्लेटों पर नेट आवेश शून्य नहीं होता है। इस मामले को संभालने के लिए, मैक्सवेल ने अपने संभावित गुणांक पेश किए। यदि तीन (लगभग आदर्श) चालकों को आवेश <math>Q_1, Q_2, Q_3</math>, दिया जाता है तो चालक 1 पर दिया गया वोल्टेज है: | ||
<math display="block">V_1 = P_{11}Q_1 + P_{12} Q_2 + P_{13}Q_3, </math> | <math display="block">V_1 = P_{11}Q_1 + P_{12} Q_2 + P_{13}Q_3, </math> | ||
और इसी तरह अन्य वोल्टेज के लिये [[ हरमन वॉन हेल्महोल्त्ज़ |हरमन वॉन हेल्महोल्त्ज़]] और[[ सर विलियम थॉमसन ]]ने प्रदिर्शित किया कि क्षमता के गुणांक सममित हैं, और इसलिए <math>P_{12} = P_{21}</math> होगा। इस प्रकार प्रणाली को | और इसी तरह अन्य वोल्टेज के लिये [[ हरमन वॉन हेल्महोल्त्ज़ |हरमन वॉन हेल्महोल्त्ज़]] और[[ सर विलियम थॉमसन | सर विलियम थॉमसन]] ने प्रदिर्शित किया कि क्षमता के गुणांक सममित हैं,और इसलिए <math>P_{12} = P_{21}</math> होगा। इस प्रकार प्रणाली को पारस्परिक धारिता आव्यूह के रूप में ज्ञात गुणांक के संग्रह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: | ||
<math display="block">P_{ij} = \frac{\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}</math> | <math display="block">P_{ij} = \frac{\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}</math> | ||
इससे दो वस्तुओं के बीच, पारस्परिक धारिता <math>C_{m}</math> को दो वस्तुओं के बीच कुल | इससे दो वस्तुओं के बीच, पारस्परिक धारिता <math>C_{m}</math> को दो वस्तुओं के बीच कुल आवेश ''Q के लिए हल करके और <math>C_{m}=Q/V</math> उपयोग करके'' परिभाषित किया जा सकता है<ref name="Jackson1999">{{cite book |last=Jackson |first=John David |title=Classical Electrodynamic |publisher=John Wiley & Sons |year=1999 |edition=3rd |page=43 |isbn=978-0-471-30932-1}}</ref> | ||
<math display="block">C_m = \frac{1}{(P_{11} + P_{22})-(P_{12} + P_{21})}</math> | <math display="block">C_m = \frac{1}{(P_{11} + P_{22})-(P_{12} + P_{21})}</math> | ||
चूंकि कोई भी वास्तविक उपकरण दो प्लेटों में से प्रत्येक पर पूरी तरह से समान और विपरीत आवेश नहीं रखता है, यह पारस्परिक धारिता है जो संधारित्र पर वर्णित की जाती है। | चूंकि कोई भी वास्तविक उपकरण दो प्लेटों में से प्रत्येक पर पूरी तरह से समान और विपरीत आवेश नहीं रखता है, यह पारस्परिक धारिता है जो संधारित्र पर वर्णित की जाती है। | ||
गुणांकों का संग्रह <math>C_{ij} = \frac{\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}</math>धारिता | गुणांकों का संग्रह <math>C_{ij} = \frac{\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}</math> धारिता आव्यूह के रूप में जाना जाता है,<ref name=maxwell>{{cite book| last =Maxwell | first =James | author-link =James Clerk Maxwell | title = A treatise on electricity and magnetism |volume=1 | publisher = Clarendon Press | year = 1873 | chapter =3 | at =p. 88ff | chapter-url = https://archive.org/details/electricandmagne01maxwrich}}</ref><ref>{{Cite web |title=Capacitance : Charge as a Function of Voltage |url=http://www.av8n.com/physics/capacitance.htm |website=Av8n.com |access-date=20 September 2010}}</ref><ref>{{cite journal |last1= Smolić |first1= Ivica |last2= Klajn |first2= Bruno |date= 2021 |title= Capacitance matrix revisited |url= https://www.jpier.org/PIERB/pier.php?paper=21011501 |journal= Progress in Electromagnetics Research B |volume= 92 |pages= 1–18 |doi= 10.2528/PIERB21011501|arxiv=2007.10251 |access-date= 4 May 2021|doi-access= free }}</ref> और यह इलास्टेंस[[ मैट्रिक्स उलटा | आव्यूह का उलटा]] है। | ||
== संधारित्र == | |||
विद्युत परिपथ में उपयोग किए जाने वाले ज्यादातर संधारित्र की धारिता साधारणतौर पर फैराड की तुलना में बहुत छोटी है। आज सबसे ज्यादा साधारण उपयोग में आने वाली धारिता की उपइकाई [[ सूक्ष्म |सूक्ष्म]] फ़ारड (µf), [[ नैनो |नैनो]] फ़ारड (nf), [[ पिको- |पिको-]] फराड (pf), सूक्ष्मपरिपथ और [[ स्त्री |स्त्री]] फारड (Ff) मे हैं। हालांकि, विशेष रूप से बनाए गए [[ सुपरकैपेसिटर |उच्च संधारित्र]] बहुत बड़े हो सकते हैं (जितना सैकड़ों फैराड्स), और परजीवी संधारित्र तत्व एक फेमटोफराड से कम हो सकते हैं। अतीत में, पुराने ऐतिहासिक पाठ में वैकल्पिक उपइकाई का उपयोग किया गया था; माइक्रोफारड के लिए (एमएफ) और (एमएफडी), [[ पिको- |पिको-]] फराड "pfd", (PF) के लिए; लेकिन अब यह अप्रचलित माना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.justradios.com/MFMMFD.html |title=Capacitor MF-MMFD Conversion Chart |website=Just Radios}}</ref><ref>{{cite book |url=https://archive.org/details/FundamentalsOfElectronics93400A1b |title=Fundamentals of Electronics |volume=1b — Basic Electricity — Alternating Current |publisher=Bureau of Naval Personnel |year=1965 |page=[https://archive.org/details/FundamentalsOfElectronics93400A1b/page/n58 197]}}</ref> | |||
यदि संधारित्र की ज्यामिति और संधारित्रों के बीच ऊष्मारोधी के परावैद्युत गुण ज्ञात हों तो धारिता की गणना की जा सकती है। <br>जब एक धनात्मक आवेश एक सुचालक को दिया जाता है, यह आवेश एक विद्युत क्षेत्र बनाता है, जोकि सुचालक पर स्थानांतरित किए जाने वाले किसी भी अन्य धनात्मक आवेश को प्रतिकर्षित करता है; यानी,आवश्यक वोल्टेज बढ़ाता है। लेकिन अगर पास में एक अन्य सुचालक है,और अगर उस पर एक ऋणात्मक आवेश है, दूसरे धनात्मक आवेश को प्रतिकर्षित करने वाले धनात्मक चालक का विद्युत क्षेत्र कमजोर हो जाता है (दूसरा धनात्मक आवेश भी ऋणात्मक आवेश के आकर्षण बल को महसूस करता है)। इसलिए एक ऋणात्मक आवेश वाले दूसरे सुचालक के साथ दूसरे के कारण, पहले से ही धनात्मक आवेश किए गए पहले चालक पर धनात्मक आवेश करना आसान हो जाता है,और इसके विपरीत; जिससे आवश्यक वोल्टेज को कम किया जा सके। <br>एक मात्रात्मक उदाहरण के रूप में दो समानांतर प्लेटों से निर्मित एक संधारित्र की धारिता पर विचार करें, जब दोनों प्लेटों का क्षेत्रफल A है जो कि एक दूरी d द्वारा अलग किए गए हैं। यदि d पर्याप्त रूप से ''A'' के सबसे छोटे कॉर्ड के संबंध में छोटा है, तो सटीकता के उच्च स्तर के लिए: | |||
<math display="block">\ C=\varepsilon\frac{A}{d}</math>ध्यान दें कि | <math display="block">\ C=\varepsilon\frac{A}{d}</math>ध्यान दें कि | ||
<math>\varepsilon=\varepsilon_0 \varepsilon_r</math> | <math>\varepsilon=\varepsilon_0 \varepsilon_r</math> जहाँ पे | ||
*C धारिता है, फैराड्स में; | |||
* | *A दो प्लेटों के ओवरलैप का क्षेत्र है, वर्ग मीटर में; | ||
* | |||
*ε<sub>0</sub> वैक्यूम पारगम्यता है (ε<sub>0</sub> ≈ {{val|8.854|e=-12|u=F.m-1}}); | *ε<sub>0</sub> वैक्यूम पारगम्यता है (ε<sub>0</sub> ≈ {{val|8.854|e=-12|u=F.m-1}}); | ||
* | *''ε''<sub>r</sub> प्लेटों के बीच सामग्री के [[ सापेक्ष पारगम्यता |सापेक्ष पारगम्यता]] (परावैद्युत नियतांक) ''ε''<sub>r</sub> = 1 हवा के लिए); तथा | ||
* | *D प्लेटों के बीच बीच की दूरी है,मीटर में; | ||
धारिता अतिव्यापन के क्षेत्र के लिए समानुपाती है और संवाहक शीट के बीच के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती है। धारिता जितनी अधिक होती है शीट एक दूसरे के उतनी करीब होती हैं। | |||
समीकरण एक अच्छा सन्निकटन है यदि | समीकरण एक अच्छा सन्निकटन है यदि D प्लेटों के अन्य आयामों की तुलना में छोटा है, ताकि संधारित्र क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र समान हो, और परिधि के चारों ओर तथाकथित '''अचल क्षेत्र''' धारिता में केवल एक छोटा योगदान प्रदान करता है। | ||
उपरोक्त समीकरण के लिए समीकरण का संयोजन, एक समतल-प्लेट संधारित्र के लिए संग्रहीत ऊर्जा है: | |||
<math display="block"> W_\text{stored} = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{A}{d} V^2.</math> | <math display="block"> W_\text{stored} = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{A}{d} V^2.</math> | ||
जहां | जहां W ऊर्जा है, जूल्स में; C धारिता है, फैराड्स में;और V वोल्ट में वोल्टेज है। | ||
== | == अवांछित धारिता == | ||
{{Main| | {{Main|पराश्रयी संधारित्र}} | ||
कोई भी दो | कोई भी दो पास के चालक एक संधारित्र के रूप में कार्य कर सकते हैं, हालांकि धारिता तब तक छोटा होता है जब तक कि लंबी दूरी के लिए या एक बड़े क्षेत्र में एक साथ करीब न हों। इस (अक्सर अवांछित) धारिता को परजीवी या अवांछित (पथभ्रष्ट) कहा जाता है। अवांछित धारिता संकेतों को अन्यथा पृथक परिपथ [[ क्रॉसस्टॉक (इलेक्ट्रॉनिक्स) |क्रॉसस्टॉक (इलेक्ट्रॉनिक्स)]] नामक एक प्रभाव) के बीच लीक करने की अनुमति दे सकता है, और यह [[ उच्च आवृत्ति |उच्च आवृत्ति]] पर परिपथ के उचित कामकाज के लिए एक सीमित कारक हो सकता है। | ||
एम्पलीफायर | एम्पलीफायर परिपथ में इनपुट और आउटपुट के बीच अवांछित धारिता दुःखदायी हो सकता है क्योंकि यह फीडबैक के लिए एक पथ बना सकता है, जिससे एम्पलीफायर में अस्थिरता और [[ परजीवी दोलन |परजीवी दोलन]] हो सकता है। यह अक्सर विश्लेषणात्मक उद्देश्यों के लिए एक इनपुट-टू-ग्राउंड धारिता और एक आउटपुट-टू-ग्राउंड धारिता के संयोजन के साथ इस धारिता को बदलने के लिए सुविधाजनक होता है; मूल कॉन्फ़िगरेशन-इनपुट-टू-आउटपुट धारिता को अक्सर (pi-) पीआई-कॉन्फ़िगरेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रतिस्थापन को प्रभावित करने के लिए मिलर के प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है: यह बताता है कि, यदि दो नोड्स का लाभ अनुपात 1/k है, तो दो नोड्स को जोड़ने के लिए एक विद्युत प्रतिबाधा Z, को ''Z''/(1 − ''K'') के साथ बदला जा सकता है; पहले नोड और ग्राउंड नोड के बीच प्रतिबाधा ''Z''/(1 − ''K'') दूसरे नोड और ग्राउंड नोड के बीच प्रतिबाधा ''KZ''/(''K'' − 1)। चूंकि धारिता प्रतिबाधा के साथ विपरीत रूप से भिन्न होती है, इंटर्नोड धारिता, C, को KC की एक धारिता द्वारा इनपुट से ग्राउंड तक और धारिता (''K'' − 1)''C''/''K'' आउटपुट से ग्राउंड तक। जब इनपुट-टू-आउटपुट लाभ बहुत बड़ा होता है, तो समतुल्य इनपुट-टू-ग्राउंड प्रतिबाधा बहुत कम होता है जबकि आउटपुट-टू-ग्राउंड प्रतिबाधा अनिवार्य रूप से मूल (इनपुट-टू-आउटपुट) प्रतिबाधा के बराबर होता है। | ||
== साधारण आकृतियों के साथ | == साधारण आकृतियों के साथ चालकों की धारिता == | ||
लाप्लास समीकरण ∇<sup>2</sup>''φ'' = 0 को हल करने के लिए एक निरन्तर विभव (स्थिर विभव)''φ'' 0 3-स्पेस में एम्बेडेड चालकों की 2-आयामी सतह पर एकव्यवस्था मात्रा की धारिता की गणना<sup>2</sup> की जाती है। यह समरूपता द्वारा सरल किया गया है।अधिक जटिल मामलों में प्रारम्भिक फंक्शन के संदर्भ में कोई व्याख्या नहीं है। | |||
सामान्य स्थितियों के लिए, विश्लेषणात्मक कार्यों का उपयोग एक दूसरे को विभिन्न ज्यामिति को मैप करने के लिए किया जा सकता है। श्वार्ज़ -क्रिस्टोफेल मैपिंग भी देखें। | |||