बोस गैस: Difference between revisions
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आदर्श बोस गैस पदार्थ का क्वांटम-यांत्रिक चरण है, जो मौलिक [[आदर्श गैस]] के समान है। यह बोसोन से बना है, जिसमें स्पिन का पूर्णांक मान होता है, और बोस-आइंस्टीन आँकड़ों का पालन करता है। [[फोटॉन गैस]] के लिए [[ सत्येन्द्र नाथ बोस ]] द्वारा बोसोन के सांख्यिकीय यांत्रिकी को विकसित किया गया था, और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा बड़े पैमाने पर कणों तक विस्तारित किया गया था, जिन्होंने अनुभव किया था कि बोसोन की आदर्श गैस मौलिक आदर्श गैस के विपरीत कम पर्याप्त तापमान पर घनीभूत हो जाएगी। इस कंडेनसेट को बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट के रूप में जाना जाता है। | आदर्श बोस गैस पदार्थ का क्वांटम-यांत्रिक चरण है, जो मौलिक [[आदर्श गैस]] के समान है। यह बोसोन से बना है, जिसमें स्पिन का पूर्णांक मान होता है, और बोस-आइंस्टीन आँकड़ों का पालन करता है। [[फोटॉन गैस]] के लिए [[ सत्येन्द्र नाथ बोस |सत्येन्द्र नाथ बोस]] द्वारा बोसोन के सांख्यिकीय यांत्रिकी को विकसित किया गया था, और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा बड़े पैमाने पर कणों तक विस्तारित किया गया था, जिन्होंने अनुभव किया था कि बोसोन की आदर्श गैस मौलिक आदर्श गैस के विपरीत कम पर्याप्त तापमान पर घनीभूत हो जाएगी। इस कंडेनसेट को बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट के रूप में जाना जाता है। | ||
== परिचय और उदाहरण == | == परिचय और उदाहरण == | ||
बोसोन [[क्वांटम यांत्रिकी]] कण हैं जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, या समकक्ष, जिसमें पूर्णांक [[स्पिन (भौतिकी)]] होता है। इन कणों को प्राथमिक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: ये हैं हिग्स [[बोसॉन]], फोटॉन, ग्लूऑन, डब्ल्यू और जेड बोसॉन और काल्पनिक [[गुरुत्वाकर्षण]]; या [[हाइड्रोजन]] के परमाणु की तरह मिश्रित, का परमाणु <sup>16</sup>O, [[ड्यूटेरियम]] का केंद्रक, [[मेसन]] आदि। इसके अतिरिक्त, अधिक जटिल प्रणालियों में कुछ [[ quisiparticle | क्विसिपआर्टिकल]] को भी बोसोन माना जा सकता है जैसे [[plasmon|प्लसमोन]] ([[प्लाज्मा दोलन]] का क्वांटा)। | बोसोन [[क्वांटम यांत्रिकी]] कण हैं जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, या समकक्ष, जिसमें पूर्णांक [[स्पिन (भौतिकी)]] होता है। इन कणों को प्राथमिक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: ये हैं हिग्स [[बोसॉन]], फोटॉन, ग्लूऑन, डब्ल्यू और जेड बोसॉन और काल्पनिक [[गुरुत्वाकर्षण]]; या [[हाइड्रोजन]] के परमाणु की तरह मिश्रित, का परमाणु <sup>16</sup>O, [[ड्यूटेरियम]] का केंद्रक, [[मेसन]] आदि। इसके अतिरिक्त, अधिक जटिल प्रणालियों में कुछ [[ quisiparticle |क्विसिपआर्टिकल]] को भी बोसोन माना जा सकता है जैसे [[plasmon|प्लसमोन]] ([[प्लाज्मा दोलन]] का क्वांटा)। | ||
सत्येंद्र नाथ बोस द्वारा विकसित पहला मॉडल जिसने कई बोसोन के साथ गैस का उपचार किया, वह फोटॉन गैस थी, फोटॉन की गैस थी। यह मॉडल प्लैंक के नियम और [[ श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण ]] की अच्छी समझ की ओर ले जाता है। फोटॉन गैस को किसी भी तरह के बड़े पैमाने पर गैर-अंतःक्रियात्मक बोसोन के समूह में सरलता से विस्तारित किया जा सकता है। [[फोनन]] गैस, जिसे [[डेबी मॉडल]] के रूप में भी जाना जाता है, एक उदाहरण है जहां धातु के क्रिस्टल जाली के कंपन के सामान्य विधियों को प्रभावी द्रव्यमान रहित बोसोन के रूप में माना जा सकता है। [[पीटर डेबी]] ने कम तापमान पर धातुओं की ताप क्षमता के व्यवहार को समझाने के लिए फोनन गैस मॉडल का प्रयोग किया। | सत्येंद्र नाथ बोस द्वारा विकसित पहला मॉडल जिसने कई बोसोन के साथ गैस का उपचार किया, वह फोटॉन गैस थी, फोटॉन की गैस थी। यह मॉडल प्लैंक के नियम और [[ श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण |श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण]] की अच्छी समझ की ओर ले जाता है। फोटॉन गैस को किसी भी तरह के बड़े पैमाने पर गैर-अंतःक्रियात्मक बोसोन के समूह में सरलता से विस्तारित किया जा सकता है। [[फोनन]] गैस, जिसे [[डेबी मॉडल]] के रूप में भी जाना जाता है, एक उदाहरण है जहां धातु के क्रिस्टल जाली के कंपन के सामान्य विधियों को प्रभावी द्रव्यमान रहित बोसोन के रूप में माना जा सकता है। [[पीटर डेबी]] ने कम तापमान पर धातुओं की ताप क्षमता के व्यवहार को समझाने के लिए फोनन गैस मॉडल का प्रयोग किया। | ||
बोस गैस का दिलचस्प उदाहरण [[हीलियम -4]] परमाणुओं का समूह है। जब की प्रणाली <sup>4</sup>He परमाणुओं को पूर्ण शून्य के समीप तापमान तक ठंडा किया जाता है, कई क्वांटम यांत्रिक प्रभाव उपस्थित होते हैं। 2.17 [[केल्विन]] से नीचे, पहनावा [[सुपरफ्लुइड हीलियम -4]] के रूप में व्यवहार करना प्रारंभ कर देता है, लगभग शून्य चिपचिपाहट वाला तरल | बोस गैस का दिलचस्प उदाहरण [[हीलियम -4]] परमाणुओं का समूह है। जब की प्रणाली <sup>4</sup>He परमाणुओं को पूर्ण शून्य के समीप तापमान तक ठंडा किया जाता है, कई क्वांटम यांत्रिक प्रभाव उपस्थित होते हैं। 2.17 [[केल्विन]] से नीचे, पहनावा [[सुपरफ्लुइड हीलियम -4]] के रूप में व्यवहार करना प्रारंभ कर देता है, लगभग शून्य चिपचिपाहट वाला तरल पदार्थ बोस गैस सबसे सरल मात्रात्मक मॉडल है जो इस [[चरण संक्रमण]] की व्याख्या करता है। मुख्य रूप से जब बोसोन की गैस को ठंडा किया जाता है, तो यह बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बनाता है, ऐसी स्थिति जहां बड़ी संख्या में बोसोन सबसे कम ऊर्जा, जमीनी अवस्था पर कब्जा कर लेते हैं, और क्वांटम प्रभाव मैक्रोस्कोपिक रूप से [[तरंग हस्तक्षेप]] की तरह दिखाई देते हैं। | ||
बोस-आइंस्टीन संघनित और बोस गैसों का सिद्धांत भी [[ अतिचालकता ]] की कुछ विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है जहां आवेश वाहक जोड़े (कूपर जोड़े) में युगल होते हैं और बोसॉन की तरह व्यवहार करते हैं। परिणामस्वरूप, सुपरकंडक्टर्स कम तापमान पर [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता]] नहीं होने जैसा व्यवहार करते हैं। | बोस-आइंस्टीन संघनित और बोस गैसों का सिद्धांत भी [[ अतिचालकता |अतिचालकता]] की कुछ विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है जहां आवेश वाहक जोड़े (कूपर जोड़े) में युगल होते हैं और बोसॉन की तरह व्यवहार करते हैं। परिणामस्वरूप, सुपरकंडक्टर्स कम तापमान पर [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता]] नहीं होने जैसा व्यवहार करते हैं। | ||
अर्ध-पूर्णांक कणों (जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] या [[हीलियम -3]] परमाणुओं) के समतुल्य मॉडल, जो फर्मी-डिराक आंकड़ों का पालन करते हैं, को [[फर्मी गैस]] (गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों का समूह) कहा जाता है। कम पर्याप्त कण [[संख्या घनत्व]] और उच्च तापमान पर, फर्मी गैस और बोस गैस दोनों मौलिक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करते हैं।<ref>{{Cite book|last=Schwabl|first=Franz|url=https://books.google.com/books?id=kWjwCAAAQBAJ&q=classical+limit+fermi+gas|title=सांख्यिकीय यांत्रिकी|date=2013-03-09|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-662-04702-6|language=en}}</ref> | अर्ध-पूर्णांक कणों (जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] या [[हीलियम -3]] परमाणुओं) के समतुल्य मॉडल, जो फर्मी-डिराक आंकड़ों का पालन करते हैं, को [[फर्मी गैस]] (गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों का समूह) कहा जाता है। कम पर्याप्त कण [[संख्या घनत्व]] और उच्च तापमान पर, फर्मी गैस और बोस गैस दोनों मौलिक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करते हैं।<ref>{{Cite book|last=Schwabl|first=Franz|url=https://books.google.com/books?id=kWjwCAAAQBAJ&q=classical+limit+fermi+gas|title=सांख्यिकीय यांत्रिकी|date=2013-03-09|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-662-04702-6|language=en}}</ref> | ||
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:<math>\Omega=-\ln(\mathcal{Z}) = \sum_i g_i \ln\left(1-ze^{-\beta\epsilon_i}\right).</math> | :<math>\Omega=-\ln(\mathcal{Z}) = \sum_i g_i \ln\left(1-ze^{-\beta\epsilon_i}\right).</math> | ||
जहां योग का प्रत्येक पद विशेष एकल-कण ऊर्जा स्तर ε से मेल खाता है ''ε''<sub>i</sub>; ''g''<sub>i</sub> ऊर्जा ε वाले राज्यों की संख्या है ''ε''<sub>i</sub>; ''z'' | जहां योग का प्रत्येक पद विशेष एकल-कण ऊर्जा स्तर ε से मेल खाता है ''ε''<sub>i</sub>; ''g''<sub>i</sub> ऊर्जा ε वाले राज्यों की संख्या है ''ε''<sub>i</sub>; ''z'' पूर्ण गतिविधि (या उग्रता) है, जिसे परिभाषित करके [[रासायनिक क्षमता]] μ के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है: | ||
:<math>z(\beta,\mu)= e^{\beta \mu}</math> | :<math>z(\beta,\mu)= e^{\beta \mu}</math> | ||
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:<math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}</math> | :<math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}</math> | ||
जहां k<sub>B</sub>बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और | जहां k<sub>B</sub>बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और T [[तापमान]] है। सभी थर्मोडायनामिक मात्राएँ भव्य क्षमता से प्राप्त की जा सकती हैं और हम सभी थर्मोडायनामिक मात्राओं को केवल तीन चर z, β (या T), और V के कार्यों के रूप में मानेंगे। सभी आंशिक डेरिवेटिव इन तीन चरों में से एक के संबंध में लिए जाते हैं जबकि अन्य दो को स्थिर रखा जाता है। | ||
Z की अनुमेय सीमा ऋणात्मक अनन्तता से +1 तक है, क्योंकि इससे परे कोई भी मान 0 के ऊर्जा स्तर वाले राज्यों को अनंत संख्या में कण देगा (यह माना जाता है कि ऊर्जा स्तरों को ऑफसेट कर दिया गया है जिससे निम्नतम ऊर्जा स्तर 0 है)। | Z की अनुमेय सीमा ऋणात्मक अनन्तता से +1 तक है, क्योंकि इससे परे कोई भी मान 0 के ऊर्जा स्तर वाले राज्यों को अनंत संख्या में कण देगा (यह माना जाता है कि ऊर्जा स्तरों को ऑफसेट कर दिया गया है जिससे निम्नतम ऊर्जा स्तर 0 है)। | ||
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:<math>\Omega_{\rm m} = \int_0^\infty \ln\left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg \approx \Omega.</math> | :<math>\Omega_{\rm m} = \int_0^\infty \ln\left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg \approx \Omega.</math> | ||
अध: पतन ''dg'' | अध: पतन ''dg'' को सामान्य सूत्र द्वारा कई अलग-अलग स्थितियों के लिए व्यक्त किया जा सकता है: | ||
:<math>dg = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\,\frac{E^{\,\alpha-1}}{ E_{\rm c}^{\alpha}} ~dE</math> | :<math>dg = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\,\frac{E^{\,\alpha-1}}{ E_{\rm c}^{\alpha}} ~dE</math> | ||
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:<math>\frac{1}{(\beta E_c)^\alpha}=\frac{f}{(\hbar\omega\beta)^3}</math> | :<math>\frac{1}{(\beta E_c)^\alpha}=\frac{f}{(\hbar\omega\beta)^3}</math> | ||
जहां ''V(r)=mω<sup>2</sup>r<sup>2</sup>/2'' | जहां ''V(r)=mω<sup>2</sup>r<sup>2</sup>/2'' हार्मोनिक क्षमता है। यह देखा गया है कि ''E<sub>c</sub>'' केवल मात्रा का कार्य है। | ||
भव्य क्षमता के लिए यह अभिन्न अभिव्यक्ति इसका मूल्यांकन करती है: | भव्य क्षमता के लिए यह अभिन्न अभिव्यक्ति इसका मूल्यांकन करती है: | ||
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=== असंघनित चरण में कणों की संख्या पर सीमा, महत्वपूर्ण तापमान === | === असंघनित चरण में कणों की संख्या पर सीमा, महत्वपूर्ण तापमान === | ||
ग्रैंड पोटेंशियल से टोटल [[ कण संख्या ]] पाया जाता है | ग्रैंड पोटेंशियल से टोटल [[ कण संख्या |कण संख्या]] पाया जाता है | ||
:<math>N_{\rm m} = -z\frac{\partial\Omega_m}{\partial z} = \frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}.</math> | :<math>N_{\rm m} = -z\frac{\partial\Omega_m}{\partial z} = \frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}.</math> | ||
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जहां ''N''<sub>0</sub> घनीभूत अवस्था में कणों की संख्या है। | जहां ''N''<sub>0</sub> घनीभूत अवस्था में कणों की संख्या है। | ||
इस प्रकार स्थूल सीमा में, जब T < T<sub>c</sub>, z का मान 1 और N<sub>0</sub> | इस प्रकार स्थूल सीमा में, जब T < T<sub>c</sub>, z का मान 1 और N<sub>0</sub> पर पिन किया गया है<sub>0</sub> शेष कणों को ग्रहण करता है। ''T'' > ''T''<sub>c</sub> के लिए <sub>c</sub> एन के साथ सामान्य व्यवहार है ''N''<sub>0</sub> = 0 यह दृष्टिकोण स्थूल सीमा में संघनित कणों का अंश देता है: | ||
:<math>\frac{N_0}{N} = | :<math>\frac{N_0}{N} = | ||
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मैक्रोस्कोपिक बोस गैस का उपरोक्त मानक उपचार सीधे-आगे है, लेकिन जमीनी अवस्था का समावेश कुछ हद तक अप्रासंगिक है। अन्य दृष्टिकोण जमीनी स्थिति को स्पष्ट रूप से सम्मिलित करना है (भव्य क्षमता में शब्द का योगदान, जैसा कि नीचे के खंड में है), यह अवास्तविक उतार-चढ़ाव की तबाही को जन्म देता है: किसी भी राज्य में कणों की संख्या [[ज्यामितीय वितरण]] का पालन करती है, जिसका अर्थ है कि जब संघनन ''T'' < ''T''<sub>c</sub> पर होता है और अधिकांश कण अवस्था में हैं, कणों की कुल संख्या में भारी अनिश्चितता है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि ''T'' < ''T''<sub>c</sub> के लिए संपीड्यता असीमित हो जाती है. इसके अतिरिक्त गणना विहित पहनावे में की जा सकती है, जो कुल कण संख्या को ठीक करता है, चुकीं गणना उतनी सरलता नहीं है।<ref name="tarasov2015">{{cite journal | last1=Tarasov | first1=S. V. | last2=Kocharovsky | first2=Vl. V. | last3=Kocharovsky | first3=V. V. | title=Grand Canonical Versus Canonical Ensemble: Universal Structure of Statistics and Thermodynamics in a Critical Region of Bose–Einstein Condensation of an Ideal Gas in Arbitrary Trap | journal=Journal of Statistical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=161 | issue=4 | date=2015-09-07 | issn=0022-4715 | doi=10.1007/s10955-015-1361-3 | pages=942–964| bibcode=2015JSP...161..942T | s2cid=118614846 }}</ref> | मैक्रोस्कोपिक बोस गैस का उपरोक्त मानक उपचार सीधे-आगे है, लेकिन जमीनी अवस्था का समावेश कुछ हद तक अप्रासंगिक है। अन्य दृष्टिकोण जमीनी स्थिति को स्पष्ट रूप से सम्मिलित करना है (भव्य क्षमता में शब्द का योगदान, जैसा कि नीचे के खंड में है), यह अवास्तविक उतार-चढ़ाव की तबाही को जन्म देता है: किसी भी राज्य में कणों की संख्या [[ज्यामितीय वितरण]] का पालन करती है, जिसका अर्थ है कि जब संघनन ''T'' < ''T''<sub>c</sub> पर होता है और अधिकांश कण अवस्था में हैं, कणों की कुल संख्या में भारी अनिश्चितता है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि ''T'' < ''T''<sub>c</sub> के लिए संपीड्यता असीमित हो जाती है. इसके अतिरिक्त गणना विहित पहनावे में की जा सकती है, जो कुल कण संख्या को ठीक करता है, चुकीं गणना उतनी सरलता नहीं है।<ref name="tarasov2015">{{cite journal | last1=Tarasov | first1=S. V. | last2=Kocharovsky | first2=Vl. V. | last3=Kocharovsky | first3=V. V. | title=Grand Canonical Versus Canonical Ensemble: Universal Structure of Statistics and Thermodynamics in a Critical Region of Bose–Einstein Condensation of an Ideal Gas in Arbitrary Trap | journal=Journal of Statistical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=161 | issue=4 | date=2015-09-07 | issn=0022-4715 | doi=10.1007/s10955-015-1361-3 | pages=942–964| bibcode=2015JSP...161..942T | s2cid=118614846 }}</ref> | ||
व्यावहारिक रूप से चुकीं, उपरोक्त सैद्धांतिक दोष साधारण मुद्दा है, क्योंकि सबसे अवास्तविक धारणा बोसोन के बीच गैर-बातचीत की है। बोसोन गैसों की प्रायोगिक प्राप्ति में हमेशा महत्वपूर्ण अंतःक्रिया होती है, अर्थात वे गैर-आदर्श गैसें होती हैं। अंतःक्रियाओं ने भौतिक विज्ञान को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया है कि कैसे बोसोन का घनीभूत व्यवहार करता है: जमीनी अवस्था फैल जाती है, रासायनिक क्षमता शून्य तापमान पर भी सकारात्मक मान तक संतृप्त हो जाती है, और उतार-चढ़ाव की समस्या गायब हो जाती है (संपीड़नीयता परिमित हो जाती है) | व्यावहारिक रूप से चुकीं, उपरोक्त सैद्धांतिक दोष साधारण मुद्दा है, क्योंकि सबसे अवास्तविक धारणा बोसोन के बीच गैर-बातचीत की है। बोसोन गैसों की प्रायोगिक प्राप्ति में हमेशा महत्वपूर्ण अंतःक्रिया होती है, अर्थात वे गैर-आदर्श गैसें होती हैं। अंतःक्रियाओं ने भौतिक विज्ञान को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया है कि कैसे बोसोन का घनीभूत व्यवहार करता है: जमीनी अवस्था फैल जाती है, रासायनिक क्षमता शून्य तापमान पर भी सकारात्मक मान तक संतृप्त हो जाती है, और उतार-चढ़ाव की समस्या गायब हो जाती है (संपीड़नीयता परिमित हो जाती है) बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट लेख देखें। | ||
== छोटे बोस गैसों में अनुमानित व्यवहार == | == छोटे बोस गैसों में अनुमानित व्यवहार == | ||
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जो बदले में देता है <math>N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}</math>. अब, महत्वपूर्ण तापमान को पार करते समय व्यवहार सहज होता है, और z 1 के बहुत समीप पहुंचता है, लेकिन उस तक नहीं पहुंचता है। | जो बदले में देता है <math>N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}</math>. अब, महत्वपूर्ण तापमान को पार करते समय व्यवहार सहज होता है, और z 1 के बहुत समीप पहुंचता है, लेकिन उस तक नहीं पहुंचता है। | ||
इसे अब तापमान में पूर्ण शून्य तक हल किया जा सकता है। चित्रा 1 α=3/2,''k''=''ε''<sub>c</sub>=1के साथ इस समीकरण के समाधान के परिणाम दिखाता है '''<sub>c</sub>=1''' जो बॉक्स में गैस के अनुरूप है। ठोस काली रेखा उत्तेजित अवस्थाओं 1-N का अंश है ''1-N<sub>0</sub>/N,'' N = 10,000 के लिए और बिंदीदार काली रेखा N = 1000 के लिए समाधान है। नीली रेखाएँ संघनित कणों N का अंश हैं ''N<sub>0</sub>/N'' | इसे अब तापमान में पूर्ण शून्य तक हल किया जा सकता है। चित्रा 1 α=3/2,''k''=''ε''<sub>c</sub>=1के साथ इस समीकरण के समाधान के परिणाम दिखाता है '''<sub>c</sub>=1''' जो बॉक्स में गैस के अनुरूप है। ठोस काली रेखा उत्तेजित अवस्थाओं 1-N का अंश है ''1-N<sub>0</sub>/N,'' N = 10,000 के लिए और बिंदीदार काली रेखा N = 1000 के लिए समाधान है। नीली रेखाएँ संघनित कणों N का अंश हैं ''N<sub>0</sub>/N'' लाल रेखाएँ के मानों को दर्शाती हैं | ||
रासायनिक क्षमता का ऋणात्मक μ और हरी रेखाएँ z के संबंधित मानों को प्लॉट करती हैं। क्षैतिज अक्ष सामान्यीकृत तापमान τ द्वारा परिभाषित है | रासायनिक क्षमता का ऋणात्मक μ और हरी रेखाएँ z के संबंधित मानों को प्लॉट करती हैं। क्षैतिज अक्ष सामान्यीकृत तापमान τ द्वारा परिभाषित है | ||
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:<math>N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha</math> | :<math>N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha</math> | ||
दिए गए | दिए गए N और τ के लिए, इस समीकरण को ''τ<sup>α</sup>'' के लिए हल किया जा सकता है और फिर z के लिए श्रृंखला समाधान श्रृंखला के व्युत्क्रम की विधि द्वारा पाया जा सकता है, या तो ''τ<sup>α</sup>'' की शक्तियों में या ''τ<sup>α</sup>'' की व्युत्क्रम शक्तियों में उपगामी विस्तार के रूप में इन विस्तारों से, हम T =0 के पास गैस के व्यवहार का पता लगा सकते हैं और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान में T अनंत तक पहुंचते हैं। विशेष रूप से, हम सीमा में रुचि रखते हैं क्योंकि ''N'' अनंत तक पहुंचता है, जिसे इन विस्तारों से सरलताी से निर्धारित किया जा सकता है। | ||
छोटी प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए यह दृष्टिकोण वास्तव में अवास्तविक हो सकता है, चुकीं, जमीनी अवस्था में कणों की संख्या में भिन्नता कणों की संख्या के बराबर बहुत बड़ी है। इसके विपरीत, सामान्य गैस में कण संख्या का प्रसरण केवल कण संख्या का वर्गमूल होता है, यही कारण है कि इसे सामान्य रूप से अनदेखा किया जा सकता है। यह उच्च विचरण घनीभूत अवस्था सहित संपूर्ण प्रणाली के लिए भव्य विहित पहनावा का उपयोग करने के विकल्प के कारण है।<ref name="MullinFernández2003">{{cite journal|last1=Mullin|first1=W. J.|last2=Fernández|first2=J. P.|title=सांख्यिकीय यांत्रिकी में बोस-आइंस्टीन संक्षेपण, उतार-चढ़ाव और पुनरावृत्ति संबंध|journal=American Journal of Physics|volume=71|issue=7|year=2003|pages=661–669|issn=0002-9505|doi=10.1119/1.1544520|arxiv=cond-mat/0211115|bibcode=2003AmJPh..71..661M|s2cid=949741}}</ref> | छोटी प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए यह दृष्टिकोण वास्तव में अवास्तविक हो सकता है, चुकीं, जमीनी अवस्था में कणों की संख्या में भिन्नता कणों की संख्या के बराबर बहुत बड़ी है। इसके विपरीत, सामान्य गैस में कण संख्या का प्रसरण केवल कण संख्या का वर्गमूल होता है, यही कारण है कि इसे सामान्य रूप से अनदेखा किया जा सकता है। यह उच्च विचरण घनीभूत अवस्था सहित संपूर्ण प्रणाली के लिए भव्य विहित पहनावा का उपयोग करने के विकल्प के कारण है।<ref name="MullinFernández2003">{{cite journal|last1=Mullin|first1=W. J.|last2=Fernández|first2=J. P.|title=सांख्यिकीय यांत्रिकी में बोस-आइंस्टीन संक्षेपण, उतार-चढ़ाव और पुनरावृत्ति संबंध|journal=American Journal of Physics|volume=71|issue=7|year=2003|pages=661–669|issn=0002-9505|doi=10.1119/1.1544520|arxiv=cond-mat/0211115|bibcode=2003AmJPh..71..661M|s2cid=949741}}</ref> | ||
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:<math>TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)</math> | :<math>TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)</math> | ||
जो, α=3/2 के लिए केवल सैकुर-टेट्रोड समीकरण का पुनर्कथन है। आयाम में डेल्टा इंटरेक्शन वाले बोसोन फ़र्मियन के रूप में व्यवहार करते हैं, वे [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] का पालन करते हैं। डेल्टा इंटरेक्शन के साथ | जो, α=3/2 के लिए केवल सैकुर-टेट्रोड समीकरण का पुनर्कथन है। आयाम में डेल्टा इंटरेक्शन वाले बोसोन फ़र्मियन के रूप में व्यवहार करते हैं, वे [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] का पालन करते हैं। डेल्टा इंटरेक्शन के साथ आयाम में बोस गैस को [[बेथे दृष्टिकोण]] द्वारा ठीक से हल किया जा सकता है। थोक मुक्त ऊर्जा और थर्मोडायनामिक क्षमता की गणना [[ चेन-नी वो यांग |चेन-नी वो यांग]] द्वारा की गई थी। आयामी स्थितियों में सहसंबंध कार्यों का भी मूल्यांकन किया गया।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=kaZ0pKIHhxAC&q=quantum+inverse+scattering+method|title=क्वांटम व्युत्क्रम बिखरने की विधि और सहसंबंध कार्य|last1=Korepin|first1=V. E.|last2=Bogoliubov|first2=N. M.|last3=Izergin|first3=A. G.|date=1997-03-06|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521586467|language=en}}</ref> आयाम में बोस गैस क्वांटम अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण के समतुल्य है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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श्रेणी:सत्येंद्र नाथ बोस | श्रेणी:सत्येंद्र नाथ बोस | ||
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Latest revision as of 08:38, 15 June 2023
| संघनित पदार्थ भौतिकी |
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आदर्श बोस गैस पदार्थ का क्वांटम-यांत्रिक चरण है, जो मौलिक आदर्श गैस के समान है। यह बोसोन से बना है, जिसमें स्पिन का पूर्णांक मान होता है, और बोस-आइंस्टीन आँकड़ों का पालन करता है। फोटॉन गैस के लिए सत्येन्द्र नाथ बोस द्वारा बोसोन के सांख्यिकीय यांत्रिकी को विकसित किया गया था, और अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा बड़े पैमाने पर कणों तक विस्तारित किया गया था, जिन्होंने अनुभव किया था कि बोसोन की आदर्श गैस मौलिक आदर्श गैस के विपरीत कम पर्याप्त तापमान पर घनीभूत हो जाएगी। इस कंडेनसेट को बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट के रूप में जाना जाता है।
परिचय और उदाहरण
बोसोन क्वांटम यांत्रिकी कण हैं जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, या समकक्ष, जिसमें पूर्णांक स्पिन (भौतिकी) होता है।