शीफ कोहोलॉजी: Difference between revisions

Latest revision as of 10:06, 22 May 2023

गणित में, शीफ कोहोलॉजी टोपोलॉजिकल स्पेस पर शीफ (गणित) के वैश्विक वर्गों का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित का अनुप्रयोग है। व्यापक रूप से बोलते हुए, शीफ कोहोलॉजी विश्व स्तर पर ज्यामितीय समस्या को समाधान करने के लिए बाधाओं का वर्णन करती है, जब इसे स्थानीय रूप से समाधान किया जा सकता है। शेफ कॉहोलॉजी के अध्ययन के लिए केंद्रीय कार्य ग्रोथेंडिक का 1957 तोहोकू पेपर है।

ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में जॉन लेरे द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और वर्णक्रमीय अनुक्रम प्रस्तुत किए गए थे।^[1] 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था।

1950 के दशक में लेरे की परिभाषाओं को सरल और स्पष्ट किया गया था। यह स्पष्ट हो गया कि शेफ सह-समरूपता न केवल बीजगणितीय टोपोलॉजी में कोहोलॉजी के लिए नया दृष्टिकोण था, किन्तु जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में भी शक्तिशाली विधि थी। इन विषयों में अधिकांश निर्दिष्ट स्थानीय गुणों के साथ वैश्विक कार्य (गणित) का निर्माण करना सम्मिलित होता है, और शेफ कोहोलॉजी आदर्श रूप से ऐसी समस्याओं के अनुकूल होती है। रीमैन-रोच प्रमेय और हॉज सिद्धांत जैसे पहले के कई परिणाम शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके सामान्यीकृत या उत्तम समझे गए हैं।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है, और इसलिए यह पूछने में समझ में आता है कि कब मोर्फिज्म f: B → C का शेव्स इंजेक्शन (एकरूपता) या विशेषण (अधिरूपता) है। उत्तर यह है कि f अंतःक्षेपी (क्रमशः विशेषण) है यदि और केवल यदि शीफ (शीफ) B_x → C_x पर संबंधित समरूपता X में प्रत्येक बिंदु x के लिए अंतःक्षेपी फलन (क्रमशः आच्छादन फलन) है। यह अनुसरण करता है कि f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि U पर वर्गों का समरूपता B(U) → C(U) X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए अंतःक्षेपी है। प्रक्षेपकता अधिक सूक्ष्म है, चूंकि: मोर्फिज्म एफ विशेषण है यदि और केवल यदि X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए, U के ऊपर सी के प्रत्येक खंड, और U में हर बिंदु X, X का खुला निकटतम (गणित) V है U में ऐसा है कि V तक सीमित है, V के ऊपर B के कुछ खंड की छवि है। (शब्दों में: C का प्रत्येक खंड स्थानीय रूप से B के अनुभागों के लिए लिफ्ट करता है।)

परिणामस्वरूप, सवाल उठता है: शेवों के B → C और X के ऊपर C के एक खंड को देखते हुए, X के ऊपर B के एक खंड की छवि कब है? यह ज्यामिति में सभी प्रकार के स्थानीय-बनाम-वैश्विक प्रश्नों के लिए एक मॉडल है। शेफ कोहोलॉजी संतोषजनक सामान्य उत्तर देता है। अर्थात्, A को प्रक्षेपण B → C का कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) होने दें, जो X पर संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम देता है

0\to A\to B\to C\to 0

फिर एबेलियन समूहों का लंबा त्रुटिहीन क्रम होता है, जिसे शीफ कोहोलॉजी समूह कहा जाता है:

0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to H^{1}(X,A)\to \cdots ,

जहां H⁰(X,A) X पर A के वैश्विक अनुभागों का समूह A(X) है। उदाहरण के लिए, यदि समूह H¹(X,A) शून्य है, तो इस त्रुटिहीन अनुक्रम का तात्पर्य है कि C का प्रत्येक वैश्विक खंड B के वैश्विक खंड को उठाता है। अधिक सामान्यतः, त्रुटिहीन अनुक्रम उच्च कोहोलॉजी समूहों के ज्ञान को लक्षित करने के लिए मौलिक उपकरण बनाता है। शेवों के वर्गों को समझें।

शेफ कोहोलॉजी की अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक की परिभाषा, जो अब मानक है, होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा का उपयोग करती है। आवश्यक बिंदु यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस X को ठीक किया जाए और कोहोलॉजी को X पर एबेलियन समूहों के शेव से लेकर एबेलियन समूहों तक ऑपरेटर के रूप में सोचा जाए। अधिक विस्तार से, X पर एबेलियन समूहों के शेवों से एबेलियन समूहों के लिए फंक्शनल E ↦ E (X) से प्रारंभ करें। यह त्रुटिहीन कारक छोड़ दिया गया है, किन्तु सामान्यतः सही त्रुटिहीन नहीं है। फिर समूह Hⁱ(X,E) पूर्णांकों के लिए i को फ़ैक्टर E ↦ E(X) के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है। यह इसे स्वचालित बनाता है कि Hⁱ(X,E) i < 0 के लिए शून्य है, और वह H⁰(X,E) वैश्विक वर्गों का समूह E(X) है। ऊपर दिया गया लंबा त्रुटिहीन क्रम भी इस परिभाषा से सीधा है।

व्युत्पन्न फलन की परिभाषा का उपयोग करता है कि किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं; अर्थात्, प्रत्येक शीफ E के लिए इंजेक्शन E → I के साथ इंजेक्शन शीफ I है।^[2] यह इस प्रकार है कि प्रत्येक शीफ E में इंजेक्शन संकल्प (बीजगणित) होता है:

0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .

फिर शीफ कोहोलॉजी समूह Hⁱ(X,E) एबेलियन समूहों की श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी समूह (समरूपता मॉडुलो का कर्नेल पिछले की छवि) हैं:

0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .

होमोलॉजिकल बीजगणित में मानक तर्कों का अर्थ है कि ये कोहोलॉजी समूह ई कोलाई के इंजेक्शन संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं।

शेफ कोहोलॉजी की गणना करने के लिए परिभाषा का उपयोग संभवतः ही कभी सीधे किया जाता है। यह फिर भी शक्तिशाली है, क्योंकि यह महान सामान्यता में काम करता है (किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों का कोई भी शीफ), और यह आसानी से शीफ कोहोलॉजी के औपचारिक गुणों को दर्शाता है, जैसे कि ऊपर दी गई लंबी त्रुटिहीन अनुक्रम। विशिष्ट वर्गों के स्पेस या शेवों के लिए, शीफ कोहोलॉजी की गणना के लिए कई उपकरण हैं, जिनमें से कुछ की चर्चा नीचे की गई है।

कार्यात्मकता

टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी निरंतर माप f: X → Y और Y पर एबेलियन समूहों के किसी भी शीफ E के लिए, 'पुलबैक होमोमोर्फिज्म' होता है।

f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*}(E))

प्रत्येक पूर्णांक j के लिए, जहाँ f*(E) प्रतिलोम छवि शीफ या 'पुलबैक शीफ' को दर्शाता है।^[3] यदि f, Y के उप-स्थान टोपोलॉजी X का समावेश है, तो f*(E) E से X का 'प्रतिबंध' है, जिसे अधिकांश फिर से E कहा जाता है, और Y से X तक खंड s के पुलबैक को प्रतिबंध s|_X कहा जाता है।

पुलबैक समरूपता का उपयोग मेयर-विएटोरिस अनुक्रम में किया जाता है, जो महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल परिणाम है। अर्थात्, X को टोपोलॉजिकल स्पेस होने दें जो दो खुले उपसमुच्चय U और V का मिलन है, और E को X पर शीफ होने दें। फिर एबेलियन समूहों का लंबा त्रुटिहीन क्रम है:^[4]

0 right arrow upper H Superscript 0 Baseline left parenthesis upper X comma upper E right parenthesis right arrow upper H Superscript 0 Baseline left parenthesis upper U comma upper E right parenthesis circled plus upper H Superscript 0 Baseline left parenthesis upper V comma upper E right parenthesis right arrow upper H Superscript 0 Baseline left parenthesis upper U intersection upper V comma upper E right parenthesis right arrow upper H Superscript 1 Baseline left parenthesis upper X comma upper E right parenthesis right arrow midline horizontal ellipsis period

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 गणित में, '''शीफ कोहोलॉजी''' [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर [[शीफ (गणित)]] के वैश्विक वर्गों का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित का अनुप्रयोग है। व्यापक रूप से बोलते हुए, शीफ कोहोलॉजी विश्व स्तर पर ज्यामितीय समस्या को समाधान करने के लिए बाधाओं का वर्णन करती है, जब इसे स्थानीय रूप से समाधान किया जा सकता है। शेफ कॉहोलॉजी के अध्ययन के लिए केंद्रीय कार्य ग्रोथेंडिक का 1957 तोहोकू पेपर है।
-ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में [[ जॉन लेरे ]] द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और [[ वर्णक्रमीय अनुक्रम ]] प्रस्तुत किए गए थे।<ref name=HaynesMiller>{{harv|Miller|2000}}</ref> 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था।
+ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में [[ जॉन लेरे |जॉन लेरे]] द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और [[ वर्णक्रमीय अनुक्रम |वर्णक्रमीय अनुक्रम]] प्रस्तुत किए गए थे।<ref name=HaynesMiller>{{harv|Miller|2000}}</ref> 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था।
 के दशक में लेरे की परिभाषाओं को सरल और स्पष्ट किया गया था। यह स्पष्ट हो गया कि शेफ [[सह-समरूपता]] न केवल [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में कोहोलॉजी के लिए नया दृष्टिकोण था, किन्तु [[जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में भी शक्तिशाली विधि थी। इन विषयों में अधिकांश निर्दिष्ट स्थानीय गुणों के साथ वैश्विक कार्य (गणित) का निर्माण करना सम्मिलित होता है, और शेफ कोहोलॉजी आदर्श रूप से ऐसी समस्याओं के अनुकूल होती है। रीमैन-रोच प्रमेय और [[हॉज सिद्धांत]] जैसे पहले के कई परिणाम शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके सामान्यीकृत या उत्तम समझे गए हैं।
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 स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एकवचन कोहोलॉजी और शीफ कोहोलॉजी (निरंतर गुणांक के साथ) अलग-अलग हो सकते हैं। यह H<sup>0 के लिए भी होता है। एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X के [[पथ घटक|पथ घटकों]] के समुच्चय से पूर्णांक 'Z' तक सभी कार्यों का समूह है, जबकि शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<nowiki/>''X'') X से 'Z' तक स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों का समूह है। ये भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, जब X [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] है। वास्तविक में, शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<nowiki/>''X'') उस स्थिति में [[गणनीय]] एबेलियन समूह है, जबकि एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X से 'Z' तक के सभी कार्यों का समूह है, जिसमें [[प्रमुखता]] <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>है।
-पैराकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X और X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ ई के लिए, कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,E) X के [[आवरण आयाम]] से बड़े j के लिए शून्य हैं।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=II.5.12.}}</ref> (यह एकवचन कोहोलॉजी के लिए समान सामान्यता में नहीं है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस '''R'''<sup>3</sup> का [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] सबसमुच्चय है जिसमें असीमित रूप से कई डिग्री में शून्येतर एकवचन कोहोलॉजी है।<ref>{{harv|Barratt|Milnor|1962}}</ref> कवरिंग आयाम टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या CW जटिल के लिए आयाम की सामान्य धारणा से सहमत है।
+पैराकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X और X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ ई के लिए, कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,E) X के [[आवरण आयाम]] से बड़े j के लिए शून्य हैं।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=II.5.12.}}</ref> (यह एकवचन कोहोलॉजी के लिए समान सामान्यता में नहीं है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस '''R'''<sup>3</sup> का [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] सबसमुच्चय है जिसमें असीमित रूप से कई डिग्री में शून्येतर एकवचन कोहोलॉजी है।<ref>{{harv|Barratt|Milnor|1962}}</ref> कवरिंग आयाम टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या CW जटिल के लिए आयाम की सामान्य धारणा से सहमत है।
 ==परतदार और मुलायम शेव==
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 पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस X पर शीफ ई को 'सॉफ्ट' कहा जाता है, यदि X के [[बंद उपसमुच्चय]] के लिए ई के प्रतिबंध का प्रत्येक खंड X के सभी पर ई के खंड तक फैला हुआ है। प्रत्येक सॉफ्ट शीफ एसाइक्लिक है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.11.}}</ref>
-सॉफ्ट शेव के कुछ उदाहरण हैं किसी भी पैराकॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान [[निरंतर कार्य|निरंतर कार्यों]] का शीफ, या [[ चिकना समारोह | स्मूथ फलन]] का शीफ (C)<sup>∞</sup>) किसी भी [[ चिकना कई गुना | स्मूथ मैनीफोल्ड]] पर काम करता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Example II.9.4.}}</ref> सामान्यतः, सॉफ्ट रिंग वाली जगह पर मॉड्यूल का कोई भी शीफ सॉफ्ट होता है; उदाहरण के लिए, स्मूथ मैनिफोल्ड के ऊपर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] के स्मूथ सेक्शन का शीफ सॉफ्ट होता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.16.}}</ref>
+सॉफ्ट शेव के कुछ उदाहरण हैं किसी भी पैराकॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान [[निरंतर कार्य|निरंतर कार्यों]] का शीफ, या [[ चिकना समारोह |स्मूथ फलन]] का शीफ (C)<sup>∞</sup>) किसी भी [[ चिकना कई गुना |स्मूथ मैनीफोल्ड]] पर काम करता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Example II.9.4.}}</ref> सामान्यतः, सॉफ्ट रिंग वाली जगह पर मॉड्यूल का कोई भी शीफ सॉफ्ट होता है; उदाहरण के लिए, स्मूथ मैनिफोल्ड के ऊपर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] के स्मूथ सेक्शन का शीफ सॉफ्ट होता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.16.}}</ref>
 उदाहरण के लिए, ये परिणाम डी रम के प्रमेय के प्रमाण का भाग हैं। स्मूथ मैनिफोल्ड X के लिए, पॉइनकेयर लेम्मा कहती है कि डी रहम जटिल निरंतर शीफ 'R<sub>''X''</sub>' का रेजोल्यूशन है।:
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 यहाँ A⊗B 'Z' के ऊपर टेन्सर उत्पाद को दर्शाता है, किन्तु यदि A और B कुछ शीफ O<sub>''X''</sub> के ऊपर मॉड्यूल के शेव हैं क्रमविनिमेय वलयों का, तो कोई ''H<sup>i</sup>''<sup>+''j''</sup>(X,''A''⊗<sub>'''Z'''</sub>''B'') to ''H<sup>i</sup>''<sup>+''j''</sup>(X,''A''⊗<sub>''OX''</sub>''B'') से आगे का माप बना सकता है। विशेष रूप से, शेफ ओ के लिए ''X'' क्रमविनिमेय वलयों का, कप उत्पाद [[प्रत्यक्ष योग]] बनाता है
 :<math>H^*(X,O_X) = \bigoplus_j H^j(X,O_X)</math>
-[[ वर्गीकृत-कम्यूटेटिव ]] वलय में, जिसका अर्थ है
+[[ वर्गीकृत-कम्यूटेटिव | वर्गीकृत-कम्यूटेटिव]] वलय में, जिसका अर्थ है
 :<math>vu=(-1)^{ij}uv</math>
 कि H<sup>j</sup> में सभी u के लिए V और H<sup>j</sup> में v होता है।<ref>{{harv|Iversen |1986|loc=II.10.3.}}</ref>
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 == पोंकारे द्वैत और सामान्यीकरण ==
-टोपोलॉजी में केंद्रीय परिणाम पोंकारे द्वैत प्रमेय है: [[ कई गुना बंद | मैनीफोल्ड बंद]] [[ उन्मुखता ]] [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड ''X'' ऑफ आयाम ''n'' और फील्ड (गणित) ''k'', समूह ''H'' के लिए '<sup>n</sup>(X,k) k और कप उत्पाद के लिए आइसोमॉर्फिक है
+टोपोलॉजी में केंद्रीय परिणाम पोंकारे द्वैत प्रमेय है: [[ कई गुना बंद |मैनीफोल्ड बंद]] [[ उन्मुखता |उन्मुखता]] [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड ''X'' ऑफ आयाम ''n'' और फील्ड (गणित) ''k'', समूह ''H'' के लिए '<sup>n</sup>(X,k) k और कप उत्पाद के लिए आइसोमॉर्फिक है
 :<math>H^j(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^n(X,k)\cong k</math>
 सभी पूर्णांक j के लिए आदर्श युग्म है। अर्थात् ''H<sup>j</sup>''(''X'',''k'') से परिणामी माप [[दोहरी जगह|दोहरी स्थान]] H<sup>n−j</sup>(X,k)* के लिए तुल्याकारिता है। विशेष रूप से, सदिश स्पेस H<sup>J</sup>(X, के) और H<sup>n−j</sup>(X,k)* का ही (परिमित) आयाम (सदिश स्पेस) है।
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 == सुसंगत शीशों का कोहोलॉजी ==
 {{main|सुसंगत शीफ कोहोलॉजी}}
-बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, [[सुसंगत ढेर|सुसंगत शेव]] विशेष ज्यामितीय महत्व के शेवों का वर्ग है। उदाहरण के लिए, [[बीजगणितीय वेक्टर बंडल|बीजगणितीय सदिश बंडल]] (नोएदरियन योजना पर) या [[ होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल | होलोमॉर्फिक सदिश बंडल]] ([[जटिल विश्लेषणात्मक स्थान]] पर) को सुसंगत शीफ के रूप में देखा जा सकता है, किन्तु सुसंगत शेवों को सदिश बंडलों पर लाभ होता है कि वे एबेलियन श्रेणी बनाते हैं। योजना पर, [[अर्ध-सुसंगत]] शेवों पर विचार करना भी उपयोगी है, जिसमें अनंत रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त शेव सम्मिलित हैं।
+बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, [[सुसंगत ढेर|सुसंगत शेव]] विशेष ज्यामितीय महत्व के शेवों का वर्ग है। उदाहरण के लिए, [[बीजगणितीय वेक्टर बंडल|बीजगणितीय सदिश बंडल]] (नोएदरियन योजना पर) या [[ होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल |होलोमॉर्फिक सदिश बंडल]] ([[जटिल विश्लेषणात्मक स्थान]] पर) को सुसंगत शीफ के रूप में देखा जा सकता है, किन्तु सुसंगत शेवों को सदिश बंडलों पर लाभ होता है कि वे एबेलियन श्रेणी बनाते हैं। योजना पर, [[अर्ध-सुसंगत]] शेवों पर विचार करना भी उपयोगी है, जिसमें अनंत रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त शेव सम्मिलित हैं।
 सुसंगत शीफ में गुणांक के साथ योजना या जटिल विश्लेषणात्मक स्थान के कोहोलॉजी समूहों के बारे में बहुत कुछ जाना जाता है। यह सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण तकनीकी उपकरण है। मुख्य प्रमेयों में विभिन्न स्थितियों में कोहोलॉजी के लुप्त होने के परिणाम हैं, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी और एकवचन कोहोलॉजी जैसे हॉज सिद्धांत और रीमैन रोच प्रमेय जैसे सुसंगत शीफ कोहोलॉजी में [[यूलर विशेषता|यूलर विशेषताओं]] पर सूत्र के बीच कोहोलॉजी तुलना की परिमित-आयामीता पर परिणाम हैं।
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 * The [https://mathoverflow.net/q/1151 thread "Sheaf cohomology and injective resolutions"] on [[MathOverflow]]
 * The [https://math.stackexchange.com/q/54752 "Sheaf cohomology"] on [[Stack Exchange]]
-[[Category: कोहोलॉजी सिद्धांत]] [[Category: समरूप बीजगणित]] [[Category: शेफ सिद्धांत]] [[Category: बीजगणितीय ज्यामिति के सामयिक तरीके]]
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