ब्लो अप: Difference between revisions

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किसी ब्लोअप को ''मोनॉयडल स्थानांनतरण'', ''लोकल क्वाड्रैटिक स्थानांनतरण'', ''सूचक'', σ-''प्रक्रिया'', या ''हॉफ मैप'' भी कहा जा सकता है।
किसी ब्लोअप को ''मोनॉयडल स्थानांनतरण'', ''लोकल क्वाड्रैटिक स्थानांनतरण'', ''सूचक'', σ-''प्रक्रिया'', या ''हॉफ मैप'' भी कहा जा सकता है।


== किसी विमान में किसी बिंदु का विस्फोट ==
== विमान में किसी बिंदु के कारण विस्फोट ==
विस्फोट का सबसे सरल स्थिति विमान में ऐसे बिंदु का विस्फोट है। जिसके उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।
विस्फोट का सबसे सरल स्थिति विमान में ऐसे बिंदु का विस्फोट है। जिसके उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।


ब्लोअप की इस घटना को पत्राचार के रूप में सिंथेटिक विवरण के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार यहाँ पर याद रखें कि [[ ग्रासमानियन |ग्रासमानियन]] G (1,2) विमान में बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के समूहों को पैरामीट्रिज करता है। इस प्रकार[[ प्रक्षेपी विमान ]] P<sup>2</sup> का ब्लोअप बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करते हैं-
ब्लोअप की इस घटना को पत्राचार के रूप में सिंथेटिक विवरण के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार यहाँ पर याद रखें कि [[ ग्रासमानियन |ग्रासमानियन]] G (1,2) विमान में बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के समूहों को पैरामीट्रिज करता है। इस प्रकार[[ प्रक्षेपी विमान ]] P<sup>2</sup> का ब्लोअप बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करते हैं-
:<math>X = \{ (Q, \ell) \mid P,\,Q \in \ell\} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{G}(1,2).</math>
:<math>X = \{ (Q, \ell) \mid P,\,Q \in \ell\} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{G}(1,2).</math>
यहाँ Q एक अन्य बिंदु और <math>\ell</math> को दर्शाता है जो ग्रासमैनियन का तत्व है। इस प्रकार X प्रक्षेपी प्रकार है क्योंकि यह प्रक्षेपी प्रकारों के उत्पाद की विवृत उप-प्रकार को प्रकट करता है। यह प्राकृतिक संरचना π से 'P<sup>2</sup>' तक आता है जो <math>(Q, \ell)</math> Q के लिए संयोजन के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संरचना सभी बिंदुओं के संवृत्त उपसमुच्चय पर समरूपता को प्रकट करता है, इस प्रकार <math>(Q, \ell)</math> Q ≠ P के साथ रेखा <math>\ell</math> उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब Q = P होता हैं तब इस रेखा <math>\ell</math> P से होकर जाने वाली रेखा हो सकती है। इस प्रकार ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है। इस प्रकार P<sup>1 को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और इस परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य समूह P पर सामान्य परिभाषा को प्रकट करता हैं। क्योंकि P ऐसा बिंदु है जिसमें सामान्य स्थानों की स्पर्शरेखा के लिए यह स्थान समान रहता हैं, इसलिए [[असाधारण भाजक]] P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान पर आइसोमोर्फिक रूप में होता है।
यहाँ Q एक अन्य बिंदु और <math>\ell</math> को दर्शाता है जो ग्रासमैनियन का तत्व है। इस प्रकार X प्रक्षेपी प्रकार है क्योंकि यह प्रक्षेपी प्रकारों के उत्पाद की विवृत उप-प्रकार को प्रकट करता है। यह प्राकृतिक संरचना π से 'P<sup>2</sup>' तक आता है जो <math>(Q, \ell)</math> Q के लिए संयोजन के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संरचना सभी बिंदुओं के संवृत्त उपसमुच्चय पर समरूपता को प्रकट करता है, इस प्रकार <math>(Q, \ell)</math> Q ≠ P के साथ रेखा <math>\ell</math> उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब Q = P होता हैं तब इस रेखा <math>\ell</math> P से होकर जाने वाली रेखा हो सकती है। इस प्रकार ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है। इस प्रकार P<sup>1</sup> को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और इस परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य समूह P पर सामान्य परिभाषा को प्रकट करता हैं। क्योंकि P ऐसा बिंदु है जिसमें सामान्य स्थानों की स्पर्शरेखा के लिए यह स्थान समान रहता हैं, इसलिए [[असाधारण भाजक]] P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान पर आइसोमोर्फिक रूप में होता है।


ब्लूप-अप पर निर्देशांक देने के लिए हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। इस प्रकार 'P<sup>2</sup>' के मान के अनुसार [[सजातीय निर्देशांक]] [X<sub>0</sub>:X<sub>1</sub>:X<sub>2</sub>] होने पर P बिंदु [P<sub>0</sub>:P<sub>1</sub>:P<sub>2</sub>] है। इस प्रकार [[प्रक्षेपी द्वैत]] बिन्दु G(1,2) P<sup>2</sup> के लिए तुल्याकारी है, इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक [L<sub>0</sub>: L<sub>1</sub>: L<sub>2</sub>] दे सकते हैं। किसी पंक्ति <math>\ell_0 = [L_0:L_1:L_2]</math> के सभी समूहों का मान [X<sub>0</sub>:X<sub>1</sub>:X<sub>2</sub>] है जो इस प्रकार हैं कि X<sub>0</sub>L<sub>0</sub> + X<sub>1</sub>L<sub>1</sub> + X<sub>2</sub>L<sub>2</sub> = 0 के समान होता हैं। इस प्रकार इसे विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है
ब्लूप-अप पर निर्देशांक देने के लिए हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। इस प्रकार 'P<sup>2</sup>' के मान के अनुसार [[सजातीय निर्देशांक]] [X<sub>0</sub>:X<sub>1</sub>:X<sub>2</sub>] होने पर P बिंदु [P<sub>0</sub>:P<sub>1</sub>:P<sub>2</sub>] है। इस प्रकार [[प्रक्षेपी द्वैत]] बिन्दु G(1,2) P<sup>2</sup> के लिए तुल्याकारी है, इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक [L<sub>0</sub>: L<sub>1</sub>: L<sub>2</sub>] दे सकते हैं। किसी पंक्ति <math>\ell_0 = [L_0:L_1:L_2]</math> के सभी समूहों का मान [X<sub>0</sub>:X<sub>1</sub>:X<sub>2</sub>] है जो इस प्रकार हैं कि X<sub>0</sub>L<sub>0</sub> + X<sub>1</sub>L<sub>1</sub> + X<sub>2</sub>L<sub>2</sub> = 0 के समान होता हैं। इस प्रकार इसे विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है
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यदि हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को सरली से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए w = 1 समूह और 3D समतल में मानक सैडल पॉइंट सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।
यदि हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को सरली से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए w = 1 समूह और 3D समतल में मानक सैडल पॉइंट सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।


ब्लोअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसे पुनः हम एफाइन समतल 'A<sup>2' पर कार्य करते हैं। इसके मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m<sup>2 के रूप में प्रकट होता हैं, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणक के रूप में प्रकट होता हैं। इस कारण बीजगणितीय रूप से इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,
ब्लोअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसे पुनः हम एफाइन समतल 'A<sup>2' पर कार्य करते हैं। इसके मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m<sup>2 के रूप में प्रकट होता हैं, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणक के रूप में प्रकट होता हैं। इस कारण बीजगणितीय रूप से इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,
:<math>X = \operatorname{Proj} \bigoplus_{r=0}^\infty \operatorname{Sym}^r_{k[x,y]} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.</math>
:<math>X = \operatorname{Proj} \bigoplus_{r=0}^\infty \operatorname{Sym}^r_{k[x,y]} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.</math>
इस उदाहरण में, इसका ठोस विवरण है
इस उदाहरण में, इसका ठोस विवरण है
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'CP<sup>2</sup>' के लिए इस प्रक्रिया को ओरिएंटेड मैनिफोल्ड का उत्पादन करने के लिए उपयोग करना चाहिए। ऐसा करने के लिए C की दो प्रतियों को विपरीत अभिविन्यास दिया जाना चाहिए। इन प्रतीकों में X का उपयोग किया जाता है, इस प्रकार <math>\mathbf{CP}^2\#\overline{\mathbf{CP}^2}</math>, जहाँ <math>\overline{\mathbf{CP}^2}</math> CP<sup>2</sup> है उसे मानक अभिविन्यास के विपरीत माना जाता हैं।
'CP<sup>2</sup>' के लिए इस प्रक्रिया को ओरिएंटेड मैनिफोल्ड का उत्पादन करने के लिए उपयोग करना चाहिए। ऐसा करने के लिए C की दो प्रतियों को विपरीत अभिविन्यास दिया जाना चाहिए। इन प्रतीकों में X का उपयोग किया जाता है, इस प्रकार <math>\mathbf{CP}^2\#\overline{\mathbf{CP}^2}</math>, जहाँ <math>\overline{\mathbf{CP}^2}</math> CP<sup>2</sup> है उसे मानक अभिविन्यास के विपरीत माना जाता हैं।


== जटिल स्थान में बिंदुओं को ब्लो करना ==
== जटिल स्थानों पर ब्लो का कारण ==


Z को n-डायमेंशनल [[ जटिल संख्या ]] समतल में मूल होने दें, इस प्रकार 'C'<sup>n</sup> अर्थात्, Z वह बिंदु है जहाँ n निर्देशांक कार्य करता है, जो <math>x_1, \ldots, x_n</math> के साथ ही लुप्त हो जाते हैं। इस प्रकार P<sup>n - 1</sup> होने पर (n - 1)-सजातीय निर्देशांक के साथ आयामी जटिल प्रक्षेपी स्थान <math>y_1, \ldots, y_n</math> के रूप में प्रकट होते हैं। इस प्रकार इसी क्रम में <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math> C<sup>n</sup> × 'P'<sup>n - 1</sup> का उपसमुच्चय हैं जो किसी समीकरण को संतुष्ट करता है <math>x_i y_j = x_j y_i </math> i, J = 1, ..., n के लिए उपयोग किया जाता हैं। इसका प्रक्षेपण इस प्रकार हैं।
Z को n-डायमेंशनल [[ जटिल संख्या ]] समतल में मूल होने दें, इस प्रकार 'C'<sup>n</sup> अर्थात्, Z वह बिंदु है जहाँ n निर्देशांक कार्य करता है, जो <math>x_1, \ldots, x_n</math> के साथ ही लुप्त हो जाते हैं। इस प्रकार P<sup>n - 1</sup> होने पर (n - 1)-सजातीय निर्देशांक के साथ आयामी जटिल प्रक्षेपी स्थान <math>y_1, \ldots, y_n</math> के रूप में प्रकट होते हैं। इस प्रकार इसी क्रम में <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math> C<sup>n</sup> × 'P'<sup>n - 1</sup> का उपसमुच्चय हैं जो किसी समीकरण को संतुष्ट करता है <math>x_i y_j = x_j y_i </math> i, J = 1, ..., n के लिए उपयोग किया जाता हैं। इसका प्रक्षेपण इस प्रकार हैं।
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== जटिल मैनिफोल्ड्स में सबमनिफोल्ड्स को ब्लो करना ==
== जटिल मैनिफोल्ड्स में सबमनिफोल्ड्स को ब्लो करना ==
अधिक सामान्यतः में कोई भी कोडिमेंशन-K [[जटिल कई गुना|जटिल अवस्था में कई गुना]] होने पर 'C<sup>n</sup>' का मान Z के रूप में ब्लो कर सकता है। इस प्रकार मान लीजिए कि Z समीकरणों का स्थान <math>x_1 = \cdots = x_k = 0</math> है, और जाने <math>y_1, \ldots, y_k</math> P पर सजातीय निर्देशांक K - 1होते हैं। इस प्रकार <math>\tilde{\mathbf{C}}^n</math> समीकरणों का स्थान <math>x_i y_j = x_j y_i</math> है, जो सभी i और j के लिए, समतल 'C'<sup>n × 'P'<sup>K - 1 के रूप में प्रकट होता हैं।
अधिक सामान्यतः में कोई भी कोडिमेंशन-K [[जटिल कई गुना|जटिल अवस्था में कई गुना]] होने पर 'C<sup>n</sup>' का मान Z के रूप में ब्लो कर सकता है। इस प्रकार मान लीजिए कि Z समीकरणों का स्थान <math>x_1 = \cdots = x_k = 0</math> है, और जाने <math>y_1, \ldots, y_k</math> यह बिंदु P पर सजातीय निर्देशांक K - 1 प्रकट करता हैं। इस प्रकार <math>\tilde{\mathbf{C}}^n</math> समीकरणों का स्थान <math>x_i y_j = x_j y_i</math> है, जो सभी i और j के लिए, समतल 'C'<sup>n × 'P'<sup>K - 1 के रूप में प्रकट होता हैं।


सामान्यतः कोई भी इस निर्माण को स्थानीय रूप से लागू करके किसी भी जटिल कई गुना X के किसी भी सबमनीफोल्ड को ब्लो कर सकता है। इस प्रभाव के कारण पहले की तरह असाधारण विभाजक E के साथ ब्लो-अप लोकस Z को परिवर्तित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, ब्लो-अप मैप को इस समीकरण के अनुसार प्रकट करते हैं।
सामान्यतः कोई भी इस निर्माण को स्थानीय रूप से लागू करके किसी भी जटिल कई गुना X के किसी भी सबमनीफोल्ड को ब्लो कर सकता है। इस प्रभाव के कारण पहले की तरह असाधारण विभाजक E के साथ ब्लो-अप लोकस Z को परिवर्तित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, ब्लो-अप मैप को इस समीकरण के अनुसार प्रकट करते हैं।
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V को Z के अतिरिक्त X के कुछ सबमनीफोल्ड के रूप में प्रकट करते हैं। इस प्रकार यदि V Z से अलग हो जाता है, तो यह Z के साथ ब्लो होने से अनिवार्य रूप से अप्रभावित होता है। चूंकि, यदि यह Z को विचलित करता है, तो विस्फोट में V के दो अलग-अलग अनुरूप <math>\tilde X</math> के समान होते हैं। यह उचित परिवर्तन को प्रदर्शित करता है, जो कि इस प्रकार विवृत  <math>\pi^{-1}(V \setminus Z)</math> है, इसका सामान्य समूह अंदर है, जो <math>\tilde X</math> विशिष्ट रूप से X में V से भिन्न है। दूसरा 'कुल परिवर्तन' है, जिसमें कुछ या सभी E सम्मिलित हैं, यह अनिवार्य रूप से [[सह-समरूपता]] में V को पुलबैक करता हैं।
V को Z के अतिरिक्त X के कुछ सबमनीफोल्ड के रूप में प्रकट करते हैं। इस प्रकार यदि V Z से अलग हो जाता है, तो यह Z के साथ ब्लो होने से अनिवार्य रूप से अप्रभावित होता है। चूंकि, यदि यह Z को विचलित करता है, तो विस्फोट में V के दो अलग-अलग अनुरूप <math>\tilde X</math> के समान होते हैं। यह उचित परिवर्तन को प्रदर्शित करता है, जो कि इस प्रकार विवृत  <math>\pi^{-1}(V \setminus Z)</math> है, इसका सामान्य समूह अंदर है, जो <math>\tilde X</math> विशिष्ट रूप से X में V से भिन्न है। दूसरा 'कुल परिवर्तन' है, जिसमें कुछ या सभी E सम्मिलित हैं, यह अनिवार्य रूप से [[सह-समरूपता]] में V को पुलबैक करता हैं।


== योजनाओं की त्रुटि के अनुसार ब्लो करना ==
== योजनाओं में उपस्थित त्रुटि के कारण ब्लो होना ==
इसकी सबसे बड़ी व्यापकता में ब्लो-अप का पीछा करने के लिए, X को [[योजना (गणित)]] के रूप में प्रकट करते हैं, और <math>\mathcal{I}</math> X पर आदर्शों का सुसंगत प्रारूप बना देते हैं। इस प्रकार X के संबंध में <math>\mathcal{I}</math>  को योजना <math>\tilde{X}</math> के रूप में प्रकट करते है। इसका प्रारूप इस प्रकार हैं-
इसकी सबसे बड़ी व्यापकता में ब्लो-अप का पीछा करने के लिए, X को [[योजना (गणित)]] के रूप में प्रकट करते हैं, और <math>\mathcal{I}</math> X पर आदर्शों का सुसंगत प्रारूप बना देते हैं। इस प्रकार X के संबंध में <math>\mathcal{I}</math>  को योजना <math>\tilde{X}</math> के रूप में प्रकट करते है। इसका प्रारूप इस प्रकार हैं-


Line 83: Line 83:
एक विस्फोट का असाधारण विभाजक <math>\pi : \operatorname{Bl}_\mathcal{I} X \to X</math> आदर्श शीफ के व्युत्क्रम दर्पण द्वारा परिभाषित उपयोजना <math>\mathcal{I}</math> है, जिसे <math>\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\operatorname{Bl}_\mathcal{I} X}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार प्रोज के संदर्भ में ब्लो अप की परिभाषा से यह पता चलता है कि इस उपयोजना ई को आदर्श शीफ <math>\textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty \mathcal{I}^{n+1}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है। इस प्रकार यह आदर्श प्रारूप भी <math>\mathcal{O}(1)</math> π के लिए सापेक्षता को प्रकट करता हैं।
एक विस्फोट का असाधारण विभाजक <math>\pi : \operatorname{Bl}_\mathcal{I} X \to X</math> आदर्श शीफ के व्युत्क्रम दर्पण द्वारा परिभाषित उपयोजना <math>\mathcal{I}</math> है, जिसे <math>\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\operatorname{Bl}_\mathcal{I} X}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार प्रोज के संदर्भ में ब्लो अप की परिभाषा से यह पता चलता है कि इस उपयोजना ई को आदर्श शीफ <math>\textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty \mathcal{I}^{n+1}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है। इस प्रकार यह आदर्श प्रारूप भी <math>\mathcal{O}(1)</math> π के लिए सापेक्षता को प्रकट करता हैं।


π असाधारण भाजक से दूर एक समरूपता है, किन्तु असाधारण भाजक को π के असाधारण स्थान में नहीं होना चाहिए। इस प्रकार E पर π तुल्याकारिता हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह तुच्छ स्थिति में होता है जहाँ <math>\mathcal{I}</math> पहले से ही व्युत्क्रम प्रारूप है। विशेष रूप से ऐसी स्थितियों में रूपवाद π अपवादात्मक भाजक का निर्धारण नहीं करता है। इस प्रकार इसकी इस स्थिति में जहां असाधारण विभाजक की तुलना में असाधारण स्थान कठोरता से छोटे हो सकते है, जब X में विलक्षणताएं होती हैं। उदाहरण के लिए, X को एफ़ाइन कोन ओवर {{nowrap|'''P'''<sup>1</sup> &times; '''P'''<sup>1</sup>}} होने देते हैं। इस कारण X को लुप्त स्थान के रूप में {{nowrap|''xw'' &minus; ''yz''}} में A<sup>4 दिया जा सकता है। इसके आदर्श रूप में {{nowrap|(''x'', ''y'')}} और {{nowrap|(''x'', ''z'')}} को दो तलों को परिभाषित करने में सहायक माना जाता हैं, जिनमें से प्रत्येक X के शीर्ष से होकर गुजरता है। इस प्रकार शीर्ष से दूर ये तल X में हाइपरसर्फफेस हैं, इसलिए विस्फोट वहां पर समरूपता को प्रकट करता है। इन विमानों में से किसी विस्फोट का असाधारण स्थान इसलिए शंकु के शीर्ष पर केंद्रित है, और इसके परिणामस्वरूप यह असाधारण विभाजक से छोटा है।
π असाधारण भाजक से दूर एक समरूपता है, किन्तु असाधारण भाजक को π के असाधारण स्थान में नहीं होना चाहिए। इस प्रकार E पर π तुल्याकारिता हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह तुच्छ स्थिति में होता है जहाँ <math>\mathcal{I}</math> पहले से ही व्युत्क्रम प्रारूप है। विशेष रूप से ऐसी स्थितियों में रूपवाद π अपवादात्मक भाजक का निर्धारण नहीं करता है। इस प्रकार इसकी इस स्थिति में जहां असाधारण विभाजक की तुलना में असाधारण स्थान कठोरता से छोटे हो सकते है, जब X में विलक्षणताएं होती हैं। उदाहरण के लिए, X को एफ़ाइन कोन ओवर {{nowrap|'''P'''<sup>1</sup> &times; '''P'''<sup>1</sup>}} होने देते हैं। इस कारण X को लुप्त स्थान के रूप में {{nowrap|''xw'' &minus; ''yz''}} में A<sup>4</sup> दिया जा सकता है। इसके आदर्श रूप में {{nowrap|(''x'', ''y'')}} और {{nowrap|(''x'', ''z'')}} को दो तलों को परिभाषित करने में सहायक माना जाता हैं, जिनमें से प्रत्येक X के शीर्ष से होकर गुजरता है। इस प्रकार शीर्ष से दूर ये तल X में हाइपरसर्फफेस हैं, इसलिए विस्फोट वहां पर समरूपता को प्रकट करता है। इन विमानों में से किसी विस्फोट का असाधारण स्थान इसलिए शंकु के शीर्ष पर केंद्रित है, और इसके परिणामस्वरूप यह असाधारण विभाजक से छोटा है।


== आगे के उदाहरण ==
== उदाहरण ==


=== रैखिक उप-स्थानों का ब्लोअप ===
=== रैखिक उप-स्थानों का ब्लोअप ===
इसके अनुसार <math>\mathbf{P}^n</math> को {{mvar|n}}<nowiki>-आयामी प्रोजेक्टिव समतल के रूप में प्रकट किया जाता हैं। इस प्रकार किसी रैखिक उप-स्थान को ठीक करें {{mvar|L}कोडिमेंशन का } </nowiki>{{mvar|d}} संतुलन के विस्फोट का वर्णन करने के कई स्पष्ट विधियाँ हैं जिसमें <math>\mathbf{P}^n</math> साथ में {{mvar|L}} को लगता है कि <math>\mathbf{P}^n</math> निर्देशांक <math>X_0, \dots, X_n</math> हैं। इन निर्देशांको के परिवर्तित होने के पश्चात हम यह मान सकते हैं कि <math>L = \{X_{n-d+1} = \dots = X_n = 0\}</math> मुख्य रूप से ब्लूप-अप को एम्बेड किया जा सकता है। इस प्रकार <math>\mathbf{P}^n \times \mathbf{P}^{n-d}</math> को हम <math>Y_0, \dots, Y_{n-d}</math> के दूसरे कारक पर निर्देशांक के रूप में प्रकट करते हैं। क्योंकि इस प्रकार {{mvar|L}} मुख्य रूप से नियमित अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है, ब्लोअप आव्यूह के 2x2 तत्वो के विलुप्त होने से निर्धारित होती है
इसके अनुसार <math>\mathbf{P}^n</math> को {{mvar|n}}<nowiki>-आयामी प्रोजेक्टिव समतल के रूप में प्रकट किया जाता हैं। इस प्रकार किसी रैखिक उप-स्थान को {{mvar|L}कोडिमेंशन के लिए } </nowiki>{{mvar|d}} संतुलन के विस्फोट का वर्णन करने के कई स्पष्ट विधियाँ हैं जिसमें <math>\mathbf{P}^n</math> साथ में {{mvar|L}} को लगता है कि <math>\mathbf{P}^n</math> निर्देशांक <math>X_0, \dots, X_n</math> हैं। इन निर्देशांको के परिवर्तित होने के पश्चात हम यह मान सकते हैं कि <math>L = \{X_{n-d+1} = \dots = X_n = 0\}</math> मुख्य रूप से ब्लूप-अप को एम्बेड किया जा सकता है। इस प्रकार <math>\mathbf{P}^n \times \mathbf{P}^{n-d}</math> को हम <math>Y_0, \dots, Y_{n-d}</math> के दूसरे कारक पर निर्देशांक के रूप में प्रकट करते हैं। क्योंकि इस प्रकार {{mvar|L}} मुख्य रूप से नियमित अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है, ब्लोअप आव्यूह के 2x2 तत्वो के विलुप्त होने से निर्धारित होती है
<math display="block">\begin{pmatrix}
<math display="block">\begin{pmatrix}
X_0 & \cdots & X_{n-d} \\
X_0 & \cdots & X_{n-d} \\
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इस विस्फोट को घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण भी दिया जा सकता है<math display="block">\{(P, M) \colon P \in M,\,L \subseteq M\} \subseteq \mathbf{P}^n \times \operatorname{Gr}(n, n - d + 1),</math>
इस विस्फोट को घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण भी दिया जा सकता है<math display="block">\{(P, M) \colon P \in M,\,L \subseteq M\} \subseteq \mathbf{P}^n \times \operatorname{Gr}(n, n - d + 1),</math>


जहाँ <math>\operatorname{Gr}</math> के ग्रासमैनियन को दर्शाता है <math>(n - d + 1)</math>-आयामी उप-स्थान <math>\mathbf{P}^n</math>. पिछले समन्वय के साथ संबंध देखने के लिए, देखें कि सभी का समूह <math>M \in \operatorname{Gr}(n, n - d + 1)</math> जिसमें सम्मिलित है {{mvar|L}} एक प्रोजेक्टिव समतल के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbf{P}^{n-d}</math>. ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक उपक्षेत्र {{mvar|M}} का रैखिक संयोजन {{mvar|L}} है और एक बिंदु {{mvar|Q}} अंदर नही {{mvar|L}}, और दो अंक {{mvar|Q}} और {{mvar|Q'}} वही {{mvar|M}} निर्धारित करें। इस स्थिति में उनके प्रक्षेपण के अनुसार एक ही छवि है जो <math>\mathbf{P}^n</math> से दूर {{mvar|L}} के समान हैं। इसलिए, ग्रासमानियन को इसकी एक प्रति <math>\mathbf{P}^{n-d}</math>  जहाँ पर <math>P \not\in L</math> इसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है , केवल एक उपसमष्टि है तथा {{mvar|M}} युक्त {{mvar|P}} का मान रैखिक संयोजन {{math|P}} और {{math|L}} के रूप में प्रकट होता हैं। इस प्रकार उपरोक्त निर्देशांक में, यह वह स्थिति है जहाँ <math>(X_0, \dots, X_{n-d})</math> शून्य सदिश नहीं है। इस प्रकार इस स्थिति <math>P \in L</math> से मेल खाती है <math>(X_0, \dots, X_{n-d})</math> शून्य वेक्टर होने के अनुसार कोई भी {{mvar|Q}} की अनुमति को स्वीकार करता है, अर्ताथ कोई भी {{mvar|M}} युक्त {{mvar|L}} संभव है।
जहाँ <math>\operatorname{Gr}</math> के ग्रासमैनियन को दर्शाता है <math>(n - d + 1)</math>-आयामी उप-स्थान <math>\mathbf{P}^n</math>. पिछले समन्वय के साथ संबंध देखने के लिए, देखें कि सभी का समूह <math>M \in \operatorname{Gr}(n, n - d + 1)</math> जिसमें सम्मिलित है {{mvar|L}} एक प्रोजेक्टिव समतल के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbf{P}^{n-d}</math>. ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक उपक्षेत्र {{mvar|M}} का रैखिक संयोजन {{mvar|L}} है और एक बिंदु {{mvar|Q}} अंदर नही {{mvar|L}}, और दो अंक {{mvar|Q}} और {{mvar|Q'}} वही {{mvar|M}} निर्धारित करें। इस स्थिति में उनके प्रक्षेपण के अनुसार एक ही छवि है जो <math>\mathbf{P}^n</math> से दूर {{mvar|L}} के समान हैं। इसलिए, ग्रासमानियन को इसकी एक प्रति <math>\mathbf{P}^{n-d}</math>  जहाँ पर <math>P \not\in L</math> इसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है , केवल एक उपसमष्टि है तथा {{mvar|M}} युक्त {{mvar|P}} का मान रैखिक संयोजन {{math|P}} और {{math|L}} के रूप में प्रकट होता हैं। इस प्रकार उपरोक्त निर्देशांक में, यह वह स्थिति है जहाँ <math>(X_0, \dots, X_{n-d})</math> शून्य सदिश नहीं है। इस प्रकार इस स्थिति <math>P \in L</math> से मेल खाती है <math>(X_0, \dots, X_{n-d})</math> शून्य वेक्टर होने के अनुसार कोई भी {{mvar|Q}} की अनुमति को स्वीकार करता है, अर्ताथ कोई भी {{mvar|M}} युक्त {{mvar|L}} संभव है।
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\textbf{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z])
\textbf{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z])
\end{matrix}</math>
\end{matrix}</math>
तंतुओं को देखने से पता चलता है कि यह सच क्यों है: यदि हम इस बिंदु को उपयोग करते हैं जिसमें <math>p = [x_0:x_1:x_2]</math> पर पुनः पुलबैक आरेख इस प्रकार प्रकट होता हैं-
तंतुओं को देखने से पता चलता है कि यह सच क्यों है: यदि हम इस बिंदु को उपयोग करते हैं, जिसमें <math>p = [x_0:x_1:x_2]</math> पर पुनः पुलबैक आरेख इस प्रकार प्रकट होता हैं-
<math display="block">\begin{matrix}
<math display="block">\begin{matrix}
\textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t]}{sf(p) + tg(p)} \right)& \rightarrow & \textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z) + tg(x,y,z))} \right) \\
\textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t]}{sf(p) + tg(p)} \right)& \rightarrow & \textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z) + tg(x,y,z))} \right) \\
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उक्त समीकरण मुख्य कंपन है। जिसमें सामान्य फाइबर X के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है, जबकि केंद्रीय फाइबर दो योजनाओं का मुख्य संघ है: इसमें V के साथ X का ब्लो-अप प्रकट होता हैं, और दूसरा V का [[सामान्य शंकु]] है, जिसके तंतुओं को प्रोजेक्टिव समतल में पूरा किया गया है।
उक्त समीकरण मुख्य कंपन है। जिसमें सामान्य फाइबर X के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है, जबकि केंद्रीय फाइबर दो योजनाओं का मुख्य संघ है: इसमें V के साथ X का ब्लो-अप प्रकट होता हैं, और दूसरा V का [[सामान्य शंकु]] है, जिसके तंतुओं को प्रोजेक्टिव समतल में पूरा किया गया है।


सहानुभूति श्रेणी में ब्लो-अप भी किया जा सकता है, इसके संगत लगभग जटिल मैनिफोल्ड के साथ सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड को समाप्त करके और जटिल ब्लो-अप के साथ आगे बढ़ाया जाता हैं। यह विशुद्ध रूप से सामयिक स्तर पर समझ में आता है; चूंकि, ब्लो-अप को इस सहानुभूतिपूर्ण क्रम के रूप से समाप्त करने के लिए कुछ सुरक्षा की आवश्यकता होती है, क्योंकि इस प्रकार कोई असाधारण विभाजक E में अपने तरीके से सहानुभूतिपूर्ण रूप का विस्तार नहीं कर सकता है। इस प्रकार किसी को E के समीप में सहानुभूतिपूर्ण रूप को परिवर्तन करना आवश्यक होता हैं, या ब्लो-अप को काटकर निष्पादित करना आवश्यक होता हैं। इस प्रकार Z का समीपस्थ और सीमा को अच्छी तरह से परिभाषित विधि से संजोया जाता हैं। यह सहानुभूतिपूर्ण काटने की औपचारिकता का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, जिसमें से सहानुभूतिपूर्ण विस्फोट की विशेष स्थिति उतपादित होती है। इसके [[ सहानुभूतिपूर्ण कटौती ]], [[सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]] के व्युत्क्रम प्रक्रिया के साथ स्मूथ डिवाइडर के साथ सामान्य शंकु के विरूपण का सिम्प्लेक्टिक n लॉग द्वारा प्रकट किया जाता है।
सहानुभूति श्रेणी में ब्लो-अप भी किया जा सकता है, इसके संगत लगभग जटिल मैनिफोल्ड के साथ सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड को समाप्त करके और जटिल ब्लो-अप के साथ आगे बढ़ाया जाता हैं। यह विशुद्ध रूप से सामयिक स्तर पर समझ में आता है; चूंकि, ब्लो-अप को इस सहानुभूतिपूर्ण क्रम के रूप से समाप्त करने के लिए कुछ सुरक्षा की आवश्यकता होती है, क्योंकि इस प्रकार कोई असाधारण विभाजक E में अपने तरीके से सहानुभूतिपूर्ण रूप का विस्तार नहीं कर सकता है। इस प्रकार किसी को E के समीप में सहानुभूतिपूर्ण रूप को परिवर्तन करना आवश्यक होता हैं, या ब्लो-अप को काटकर निष्पादित करना आवश्यक होता हैं। इस प्रकार Z का समीपस्थ और सीमा को अच्छी तरह से परिभाषित विधि से संजोया जाता हैं। यह सहानुभूतिपूर्ण काटने की औपचारिकता का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, जिसमें से सहानुभूतिपूर्ण विस्फोट की विशेष स्थिति उतपादित होती है। इसके लिए [[ सहानुभूतिपूर्ण कटौती |सहानुभूति पूर्ण रूप से होने वाली कटौती]], [[सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]] के व्युत्क्रम प्रक्रिया के साथ स्मूथ डिवाइडर के साथ सामान्य शंकु के विरूपण का सिम्प्लेक्टिक n लॉग द्वारा प्रकट किया जाता है।


== यह भी देखें ==
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Latest revision as of 11:53, 10 May 2023

This article is about ब्लो अप की गणितीय अवधारणा. For भौतिक/रासायनिक प्रक्रिया के बारे में जानकारी, see विस्फोट. For "ब्लो अप" के अन्य उपयोग, see ब्लो अप (बहुविकल्पी).
File:Blowup.png
एफ़ाइन विमान का विस्फोट।

गणित में ब्लो अप एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इंगित करते हुए सभी दिशाओं से परिवर्तित कर देता है। उदाहरण के लिए किसी विमान में एक बिंदु का विस्फोट बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान से परिवर्तित कर देता है। इस प्रकार किसी रूपक के विस्फोट का प्रदर्शन करने के अतिरिक्त चित्र के भाग को बड़ा करने के लिए तस्वीर पर ज़ूम इन करने का तरीका है।

ब्लोअप द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि इसके प्रक्षेपी प्रकारों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद विस्फोट का रूप ले लेता हैं। इस प्रकार किसी कमजोर गुणनखंड वाली प्रमेय को प्रदर्शित करता है जो इस प्रकार हैं कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जाता है। इस प्रकार क्रेमोना समूह विमान के बायरेशनल मोर्फिज़्म का समूह ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।

द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अतिरिक्त ब्लूप-अप भी नए स्थानों के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण विधि है। इस प्रकार उदाहरण के लिए विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक ब्लो अप करके आगे बढ़ाती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका मुख्य परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जाता हैं।

मौलिक रूप से, ब्लूप-अप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके प्रक्षेपण स्थान जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूप-अप को परिभाषित करके और फिर इस प्रकार एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लोअप को परिभाषित करने के लिए किया जाता हैं। यह कुछ शब्दावली के कारण इसमें परिलक्षित किया जाता हैं, जैसे कि मौलिक शब्द मोनोइडल स्थानांनतरण इसका मुख्य उदाहरण हैं। इसके समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को बीजगणितीय विविधता पर इसके लिए आंतरिक संक्रिया के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार इस दृष्टिकोण से किसी उप-वर्ग को कार्टियर भाजक में परिवर्तित करने के लिए विस्फोट सार्वभौमिक (श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में) विधि के रूप में उपयोग किया जाता हैं।

किसी ब्लोअप को मोनॉयडल स्थानांनतरण, लोकल क्वाड्रैटिक स्थानांनतरण, सूचक, σ-प्रक्रिया, या हॉफ मैप भी कहा जा सकता है।

विमान में किसी बिंदु के कारण विस्फोट

विस्फोट का सबसे सरल स्थिति विमान में ऐसे बिंदु का विस्फोट है। जिसके उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।

ब्लोअप की इस घटना को पत्राचार के रूप में सिंथेटिक विवरण के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार यहाँ पर याद रखें कि ग्रासमानियन G (1,2) विमान में बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के समूहों को पैरामीट्रिज करता है। इस प्रकारप्रक्षेपी विमान P2 का ब्लोअप बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करते हैं-

यहाँ Q एक अन्य बिंदु और को दर्शाता है जो ग्रासमैनियन का तत्व है। इस प्रकार X प्रक्षेपी प्रकार है क्योंकि यह प्रक्षेपी प्रकारों के उत्पाद की विवृत उप-प्रकार को प्रकट करता है। यह प्राकृतिक संरचना π से 'P2' तक आता है जो Q के लिए संयोजन के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संरचना सभी बिंदुओं के संवृत्त उपसमुच्चय पर समरूपता को प्रकट करता है, इस प्रकार Q ≠ P के साथ रेखा उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब Q = P होता हैं तब इस रे