अवकल फलन: Difference between revisions

{{Short description|Notion in calculus}}

 

[[ गणना ]] में, डिफरेंशियल एक फंक्शन (गणित) में परिवर्तन के प्रमुख भाग#कैलकुलस का प्रतिनिधित्व करता है <math>y=f(x)</math> स्वतंत्र चर में परिवर्तन के संबंध में। अंतर <math>dy</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

कहाँ <math>f'(x)</math> के संबंध में f का व्युत्पन्न है <math>x</math>, और <math>dx</math> एक अतिरिक्त वास्तविक [[चर (गणित)]] है (ताकि <math>dy</math> का एक कार्य है <math>x</math> और <math>dx</math>). अंकन ऐसा है कि समीकरण

धारण करता है, जहां [[लीबनिज संकेतन]] में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है <math>dy/dx</math>, और यह अंतर के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। एक लिखता भी है

चर का सटीक अर्थ <math>dy</math> और <math>dx</math> आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन चरों का डोमेन एक विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अंतर को एक विशेष अंतर रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अंतर को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए एक [[रैखिक सन्निकटन]] के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, चर <math>dx</math> और <math>dy</math> बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है।

अंतर को पहली बार [[आइजैक न्यूटन]] द्वारा एक सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से पेश किया गया था और [[लाइबनिट्स]] द्वारा आगे बढ़ाया गया था, जिन्होंने अंतर के बारे में सोचा था।<math>dy</math> मूल्य में एक असीम रूप से छोटे (या अतिसूक्ष्म) परिवर्तन के रूप में<math>y</math> फ़ंक्शन का, एक असीम रूप से छोटे परिवर्तन के अनुरूप<math>dx</math> समारोह के तर्क में<math>x</math>. उस कारण से, के परिवर्तन की तात्कालिक दर <math>y</math> इसके संबंध में <math>x</math>, जो कि फलन के अवकलज का मान है, को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है

डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल <math>dy/dx</math> असीम रूप से छोटा नहीं है; बल्कि यह एक [[वास्तविक संख्या]] है।

उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (#CITEREFCauchy1823) ने डिफरेंशियल को लाइबनिट्स के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject.  An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}};  translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके बजाय, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट | डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अंतर भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अंतर तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अंतर को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था <math>dy</math> एक अभिव्यक्ति द्वारा

जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए चर हैं,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..."</ref>

के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर एक महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को लागू करने के बजाय, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्रा के समान ही हेरफेर किया जा सकता है

सार्थक तरीके से। अंतरों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है,<ref>{{harvnb|Courant|1937a|loc=II, §9}}: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."</ref> हालांकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] के कारण थी।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}</ref>

भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर लागू होने वाले, असीम दृश्य अभी भी प्रबल है। {{harvtxt|Courant|John|1999|p=184}} इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ निम्नानुसार सुलझाएं। अंतर परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक सटीकता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका इरादा होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को सटीक अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है।

[[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि एक समारोह के अंतर की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अंतर से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक वेतन वृद्धि का रैखिक कार्य है <math>\Delta x</math>. यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अंतर (एक रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट व्युत्पन्न | फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक स्पर्शरेखा सदिश (एक असीम रूप से छोटा विस्थापन) का एक रैखिक कार्य है, जो इसे एक प्रकार के एक रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फ़ंक्शन का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। गैर-मानक कैलकुलस में, अंतरों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है (देखें अंतर (इनफिनिटिमल))।

[[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|upright=1.25|एक समारोह का अंतर <math>f(x)</math> एक बिंदु पर <math>x_0</math>.]]डिफरेंशियल कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में डिफरेंशियल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।<ref>See, for instance, the influential treatises of {{harvnb|Courant|1937a}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, and {{harvnb|Hardy|1908}}.  Tertiary sources for this definition include also {{harvnb|Tolstov|2001}} and {{harvnb|Itô|1993|loc=§106}}.</ref> एक समारोह का अंतर <math>f(x)</math> एक वास्तविक चर का <math>x</math> कार्य है <math>df</math> दो स्वतंत्र वास्तविक चर के <math>x</math> और <math>\Delta x</math> द्वारा दिए गए

एक या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, यानी कोई देख सकता है <math>df(x)</math> या केवल <math>df</math>. अगर <math>y=f(x)</math>, अवकलन को इस रूप में भी लिखा जा सकता है <math>dy</math>. तब से <math>dx(x,\Delta x)=\Delta x</math>, यह लिखने के लिए पारंपरिक है <math>dx=\Delta x</math> ताकि निम्नलिखित समानता हो:

अंतर की यह धारणा मोटे तौर पर तब लागू होती है जब किसी फ़ंक्शन के लिए एक रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वृद्धि का मूल्य <math>\Delta x</math> काफी छोटा है। अधिक सटीक, अगर <math>f</math> पर एक अवकलनीय फलन है <math>x</math>, फिर में अंतर <math>y</math>-मूल्य

जिसमें त्रुटि के सापेक्ष वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है <math>\Delta x</math> विवश करके <math>\Delta x</math> पर्याप्त रूप से छोटा होना; यानी,

जैसा <math>\Delta x\rightarrow 0</math>. इस कारण से, किसी फ़ंक्शन के अंतर को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | [[प्रमुख भाग]]रैखिक) भाग एक फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि में होता है: अंतर वेतन वृद्धि का एक रैखिक कार्य है <math>\Delta x</math>, और यद्यपि त्रुटि <math>\varepsilon</math> अरेखीय हो सकता है, यह तेजी से शून्य हो जाता है <math>\Delta x</math> शून्य हो जाता है।

== कई चरों में अंतर ==

!Operator / Function

|Differential

|[[Partial derivative]]

|[[Total derivative]]

अगले {{harvtxt|Goursat|1904|loc=I, §15}}, एक से अधिक स्वतंत्र चर के कार्यों के लिए,

किसी एक वेरिएबल ''x'' के संबंध में ''y'' का आंशिक अंतर₁ परिवर्तन dx के परिणामस्वरूप y में परिवर्तन का मुख्य भाग है₁ उस एक चर में। आंशिक अंतर इसलिए है

x के संबंध में y का आंशिक डेरिवेटिव शामिल है₁. सभी स्वतंत्र चरों के संबंध में आंशिक अंतरों का योग कुल अंतर है

जो y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो स्वतंत्र चरों x में परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होता है_''i''.

अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित {{harvtxt|Courant|1937b}}, यदि f एक अवकलनीय फलन है, तो Fréchet व्युत्पन्न द्वारा, वृद्धि

जहां त्रुटि शब्द ε_&nbsp;''i'' वृद्धि Δx के रूप में शून्य हो जाती है_''i'' संयुक्त रूप से शून्य हो जाते हैं। कुल अंतर को तब कड़ाई से परिभाषित किया जाता है

जैसा कि एक चर के मामले में, अनुमानित तत्समक धारण करता है

जिसमें कुल त्रुटि को वांछित के सापेक्ष छोटा किया जा सकता है <math>\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}</math> पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि पर ध्यान केंद्रित करके।

=== त्रुटि अनुमान के लिए कुल अंतर का अनुप्रयोग ===

मापन में, [[प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण]] में कुल अंतर का उपयोग किया जाता है <math>\Delta f</math> एक समारोह का <math>f</math> त्रुटियों के आधार पर <math>\Delta x,\Delta y,\ldots </math> मापदंडों का <math>x, y, \ldots</math>. यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए पर्याप्त छोटा है:

और यह कि सभी चर स्वतंत्र हैं, फिर सभी चरों के लिए,

ऐसा इसलिए है क्योंकि व्युत्पन्न <math>f_x</math> विशेष पैरामीटर के संबंध में <math>x</math> समारोह की संवेदनशीलता देता है <math>f</math> में बदलाव के लिए <math>x</math>, विशेष रूप से त्रुटि <math>\Delta x</math>. जैसा कि उन्हें स्वतंत्र माना जाता है, विश्लेषण सबसे खराब स्थिति का वर्णन करता है। घटक त्रुटियों के निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि सरल संगणना के बाद, व्युत्पन्न में ऋणात्मक चिह्न हो सकता है। इस सिद्धांत से योग, गुणन आदि के त्रुटि नियम व्युत्पन्न होते हैं, जैसे:

:होने देना <math>f(a,b)=ab</math>;

:<math>\Delta f=f_a\Delta a+f_b\Delta b</math>; डेरिवेटिव का मूल्यांकन

यह समझने के लिए कि यह किस प्रकार कार्य पर निर्भर करता है, उस मामले पर विचार करें जहां कार्य है <math>f(a,b)=a\ln b</math> बजाय। फिर, यह गणना की जा सकती है कि त्रुटि अनुमान है

एक अतिरिक्त 'के साथ{{nowrap|ln ''b''}}' कारक एक साधारण उत्पाद के मामले में नहीं मिला। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा बनाता है, जैसे {{nowrap|ln ''b''}} नंगे b जितना बड़ा नहीं है।

== उच्च-क्रम अंतर ==

किसी एकल चर x के फ़ंक्शन y = f(x) के उच्च-क्रम के अंतरों को इसके माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{harvnb|Cauchy|1823}}. See also, for instance,  {{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}.</ref>

जब स्वतंत्र चर x को स्वयं अन्य चरों पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें x में ही उच्च क्रम के अंतर भी शामिल होने चाहिए। इस प्रकार, उदाहरण के लिए,