तंग अवधि: Difference between revisions

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मीट्रिक ज्यामिति में, मीट्रिक स्पेस M का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या तंग अवधि एक अंतःक्षेपक मीट्रिक स्पेस है जिसमें M को जोड़ा जा सकता है। माना कुछ अर्थों में इस M के बिंदुओं के मध्य में प्रत्येक बिंदु होते हैं, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। तंग अवधि को कभी-कभी 'M' के अंतःक्षेपक एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे अंतःक्षेपक हल भी कहा जाता है, परंतु बीजगणित में एक मॉड्यूल के अंतःक्षेपक हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, तथा एक अवधारणा जिसमें मीट्रिक रिक्त स्पेस के अतिरिक्त 'R '-मॉड्यूल की श्रेणी के सापेक्ष समान विवरण होता है ।

तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले इसबेल (1964) द्वारा वर्णित किया गया था , और इसका अध्ययन 1960 के दशक में होल्स्ज़्Tस्की द्वारा प्रारंभ किया गया था। इसके उपरांत में ड्रेस (1984) और क्रोबक और & लारमोर (1994) ने स्वतंत्र रूप से पुनः खोजा था इस इतिहास के लिए चेपोई (1997) ने दर्शाया कि तंग अवधि T-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।

परिभाषा

एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। माना (X,d) एक मीट्रिक स्पेस हैं, और T(X) को X पर 'चरम फलन' का समुच्चय बनाया जाता हैं, तथा हम X को 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका अर्थ X से 'R ' तक एक फलन f है जैसे कि

X में किसी x, y के लिए, d(x,y) ≤ f(x) + f(y), और
X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.^[1]हैं।

विशेष रूप से (ऊपर विशेषता 1 में x = y लेने पर) प्रत्येक x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने की यह एक विधि है जोकि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक समुच्चय को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहता है। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को न्यूनतम नहीं किया जा सकता है।

(X, d) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (T (X), δ) है, जहां

\delta =(\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|g(x)-f(x)|\leq C{\text{ for all }}x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|g-f\|_{\infty })_{f,g\in T(X)}

ℓ \infty

मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है। (यदि d बाध्य है, तो δ

ℓ \infty

मानदंड से प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक मीट्रिक होता है। यदि d बाध्य नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम फलन असीमित होता है और इसलिए

T(X)\not \subseteq \ell ^{\infty }(X).

यह सच होगा कि T(X) में किसी भी f,g के लिए, अंतर

g-f

का है अर्थात

\ell ^{\infty }(X)

बाउंडेड है।

चरम फलनों की समतुल्य परिभाषाएँ

X से 'R ' तक एक फलन f के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:

X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y में X}.होता हैं
f पूर्वोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) प्रत्येक x,y के लिए X में , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g होता है.^[2]
X = ∅ या X में उपस्थित है जैसे X में प्रत्येक X के लिए, f (X) ≤ d (a, X) उपस्थित होता है।^[3]

मूल गुण और उदाहरण

X में प्रत्येक X के लिए, $0\leq f(x).$ होता हैं।
X में प्रत्येक X के लिए, $(d(x,y))_{y\in X}$ अतिवादी होता है। (प्रमाण: समरूपता और त्रिभुज असमानता मेट्रिक स्पेस का उपयोग करते हैं।)
यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है,तथा दूसरी और आवश्यकता में इस शर्त के समान है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y उपस्थित है जैसे कि f(x) + f (y) = d (X, y) होता है। (अगर $X=\emptyset ,$ तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर $X\neq \emptyset ,$ तब श्रेष्ठता ग्रहण की जाती है, और पहली आवश्यकता तुल्यता को दर्शाती है।)
माना |X|=2, और विशिष्ट a, b चुनें जैसे कि X={a, b} चुनते हैं। तब $T(X)=\{f\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{X}:f(a)+f(b)=d(a,b)\}$ का उत्तल हल है{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}. [ शीर्षक: यदि X = {0,1}, तो $T(X)=\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{2}:v_{0}+v_{1}=d(0,1)\}$ {(0,1),(1,0)} का उत्तल हल है।]^[4]
X पर प्रत्येक चरम फलन f कातेतोव होता है:^[5]^[6] f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है और

$\forall x,y\in X\quad f(x)\leq d(x,y)+f(y),$ या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और

$\forall x,y\in X\quad |f(y)-f(x)|\leq d(x,y)$ (1-लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है), और

$\forall x\in X\quad \sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).$ ^[2]या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है।

T(X)⊆ C(X) लिप्सचिट्ज़ फलन निरंतर होते हैं।
T (X) समान है।तथा X के 1-लिप्सचिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम फलन से अनुसरण करता है।
X पर प्रत्येक केटोव फलन चरम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, a, b को पृथक होने दें, और X = {a, b}, d = ([x≠y]) _{x,y में X} तथा X पर असतत मीट्रिक बनाये, और f = {(a, 1), (b, 2)} दें। पुनः f कातेतोव है परंतु चरम फलन नहीं है। (यह लगभग वर्तमान में है कि f कटेटोव है, f चरम नहीं है क्योंकि इस खंड की तीसरी बुलेट विशेषता को विफल करता है।)
यदि d परिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f परिबद्ध है। वास्तव में, T(X) में प्रत्येक f के प्रति $\|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }.$ (टिप्पणी $d\in \ell ^{\infty }(X\times X).$ ) उपर्युक्त खंड में तीसरे समकक्ष विशेषता से अनुसरण करता है।) हैं।
यदि d अपरिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f अपरिबद्ध है।
$T(X)$ बिंदुवार सीमा के अंतर्गत बंद है।तो किसी भी बिंदुवार अभिसरण के लिए $f\in (T(X))^{\omega },$ $\lim f\in T(X).$ होता हैं।अगर (X, d) जटिल है, तो (T (X), δ) भी जटिल है।^[7]^[2] (प्रमाण: जटिल-मूल्य प्रमेय का अर्थ है कि d, एक फलन के रूप में निरंतर है मीटरी और सांस्थितिक स्पेस का सामान्यीकरण करते है| जटिल-मूल्य प्रमेय का तात्पर्य है कि d, एक फलन के रूप में निरंतर होना $X\times X\to \mathbb {R} ,$ घिरा हुआ है, इसलिए $T(X)\subseteq \{f\in C(X):\|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }\}$ C(X) का परिबद्ध उपसमुच्चय है। हमने दर्शया है कि T (X) समान है, इसलिए अर्जेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि T (X) अपेक्षाकृत जटिल है। यद्यपि, पिछली बुलेट का तात्पर्य T(X) के अंतर्गत बंद है $\ell ^{\infty }$ मानदंड, क्योंकी $\ell ^{\infty }$ अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है। इस प्रकार T (X) जटिल है।)
X से 'R' तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T(X) में f जैसे कि f≤g बिंदुवार उपस्थित है।^[2]
X पर किसी भी चरम फलन f के लिए, $\forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.$ ^[2] होती हैं
T(X) में किसी भी f,g के लिए अंतर $g-f$ से संबंधित $\ell ^{\infty }(X)$ , अर्थात, बंधा हुआ है।
कुराटोव्स्की मानचित्र^[4]^: 125 $e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}$ एक आइसोमेट्री है। (जब X=∅, परिणाम स्पष्ट होता है। जब X≠∅, विपरीत त्रिकोण असमानता का अर्थ परिणाम होता है।)
मान लीजिए कि T(X) में f है। X में किसी a के लिए, यदि f(a)=0, तो f=e(a).^[8](X में प्रत्येक X के लिए हमारे पास है $(e(a))(x)=d(a,x)\leq f(a)+f(x)=f(x).$ f की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समकक्ष लक्षण वर्णन) और तथ्य यह है कि $e(a)$ इसके उपरांत $f=e_{a}.$ की पहली आवश्यकता को पूरा करता है )
(X,d) हाइपरबॉलिक है यदि और केवल यदि (T(X),δ) हाइपरबॉलिक है।^[8]

हाइपरकोन्वेक्सि गुण

(T(X),δ) और $\left(X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(T(X)\setminus \operatorname {range} e)\times (T(X)\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in T(X)\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)$ दोनों अंतःक्षेपक मेट्रिक स्पेस हैं।^[2]
किसी भी y के लिए $\operatorname {range} e\subseteq Y\subsetneq X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),$ $\left(X\cup (Y\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(Y\setminus \operatorname {range} e)\times (Y\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in Y\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)$ अतिउत्तल नहीं होता है।^[2] ((T (X), δ) (X, d) का एक अतिउत्तल हल है।)
मन $(H,\varepsilon )$ के सापेक्ष एक अतिउत्तल मीट्रिक स्पेस $X\subseteq H$ और $\varepsilon |_{X\times X}=\delta$ होता हैं. अगर प्रत्येक के लिए मैं सापेक्ष $X\subseteq I\subsetneq H,$ $(I,\varepsilon |_{I\times I})$ तब अतिउत्तल नहीं है तो $(H,\varepsilon )$ और (T(X),δ) वो आइसोमेट्री की परिभाषा हैं।^[2]((X, d) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स हल (T (X), δ) के सापेक्ष आइसोमेट्रिक होता है।)

उदाहरण

|X|=3, विशिष्ट a, b, c चुनें जैसे कि X={a,b,c}, और मान लीजिए कि i=d(a,b), j=d(a,c), k=d (b,c) हैं। तब
T⁡(X)={v∈(R≥0)3:1=va+vb,2=va+vc,3≤vb+vcor 1=va+vb,2≤va+vc,3=vb+vcor 1≤va+vb,2=va+vc,3=vb+vc}={v∈(R≥0)3:va≤(i+j)−k2,vb=i−va,vc=j−vaor va=i−vb,vb≤(i+k)−j2,vc=k−vbor va=j−vc,vb=k−vc,vc≤(j+k)−i2}={(t,i−t,j जहाँ x=2−1⁢(i+j−k,i+k−j,j+k−i).{\displaystyle x=2^{-1}(i+j-k,i+k-j,j+k-i).} अगर X={0,1,2}, तो T(X)=conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)} u conv{(,, ),(,,)} अक्षर Y के आकार का होता है] (Cf. [4]: 124 )

यदि विमान में बिंदुओं का एक समुच्चय, टैक्सीकैब ज्यामिति के सापेक्ष, एक जुड़ा हुआ लंबकोणीय उत्तल हल होता है, तो वह हल बिंदुओं की तंग अवधि के सापेक्ष समान है।

आंकड़ा विमान में 16 बिंदुओं का एक समुच्चय X दर्शाया जाता है; इन बिंदुओं से एक परिमित मीट्रिक स्पेस बनाने के लिए, हम मैनहट्टन दूरी (ℓ1 दूरी) का उपयोग करते हैं ।[9] आकृति में दर्शाया गया हैं कि नीला क्षेत्र लंबकोणीय उत्तल हल है, बिंदु z का समुच्चय ऐसा है कि शीर्ष के रूप में z के सापेक्ष चार बंद चतुर्भुजों में से प्रत्येक में X का एक बिंदु होता है। ऐसा कोई भी बिंदु z तंग अवधि के बिंदु से समान है: फलन f(x) एक बिंदु z के अनुरूप f(x) = d(z,x) है। मैनहट्टन मीट्रिक के लिए त्रिकोण असमानता द्वारा, इस फॉर्म का एक फलन मैनहट्टन-मीट्रिक विमान में किसी भी z के लिए तंग अवधि की विशेषता 1 को संतुष्ट करता है। तंग अवधि की विशेषता 2 दिखाने के लिए, X में कुछ बिंदु x पर विचार करें; हमें X में y इस तरह खोजना चाहिए कि f(x)+f(y)=d(x,y). परंतु यदि x शीर्ष के रूप में z वाले चार चतुर्थांशों में से एक में है, तो y को विपरीत चतुर्थांश में किसी भी बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, इसलिए गुण 2 भी संतुष्ट होता है। इसके विपरीत यह दर्शाया जा सकता है कि तंग अवधि का प्रत्येक बिंदु इस तरह से इन बिंदुओं के लंबकोणीय उत्तल हल में एक बिंदु से समान है।यद्यपि, उच्च आयामों में मैनहट्टन मीट्रिक के सापेक्ष बिंदु समुच्चय के लिए, और डिस्कनेक्ट किए गए लंबकोणीय हल्स के सापेक्ष समतलीय बिंदु समुच्चय के लिए, तंग अवधि लंबकोणीय उत्तल हल से भिन्न होता है।

तंग अवधि का आयाम जब X परिमित है

ऊपर दी गई परिभाषा n (n∈Z≥0{\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}) RX में निर्देशित करता है, आयाम n का एक वास्तविक सदिश स्पेस ग्रहण करता हैं। दूसरी ओर, यदि हम T(X) के आयाम को बहुफलकीय संकुल मानते हैं, तो डेवेलिन (2006) harvtxt error: no target: CITEREFडेवेलिन2006 (help) ने दर्शाया कि, मीट्रिक पर उपयुक्त सामान्य स्थिति धारणा के सापेक्ष, यह परिभाषा n/3 और n/2 के मध्य आयाम वाले स्पेस की ओर ले जाती है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

इसके उप-स्पेस के उद्देश्य से एक मीट्रिक स्पेस की धारणा के आधार पर एक वैकल्पिक परिभाषा का वर्णन होल्स्ज़टीन्स्की (1968) harvtxt error: no target: CITEREFहोल्स्ज़टीन्स्की1968 (help) द्वारा किया गया था जिन्होंने यह सिद्ध किया था कि बैनच स्पेस का अंतःक्षेपक लिफाफा, बनच स्पेस की श्रेणी में, तंग अवधि के सापेक्ष समान है (रैखिक संरचना को भूलने के उपरांत)। यह प्रमेय विवेकाधीन ढंग से बनच रिक्त स्पेस से C(X)) के बनच स्पेस तक कुछ समस्याओं को न्यूनतम करने की अनुमति देता है, जहां X एक जटिल स्पेस है।
डेवेलिन और & स्टर्मफेल्स (2004) harvtxt error: no target: CITEREFडेवेलिन_औरस्टर्मफेल्स2004 (help) ने अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से एक दूसरे बिंदु तक दूरी के सदिशो के उष्णकटिबंधीय ज्यामिति के रूप में एक सीमित मीट्रिक अंतरिक्ष की तंग अवधि की वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करने का प्रयास किया।यद्यपि, उपरांत में उसी वर्ष उन्होंने इरेटम डेवेलिन एंड & स्टर्मफेल्स (2004a) harvtxt error: no target: CITEREFडेवेलिन_एंडस्टर्मफेल्स2004a (help) में स्वीकार किया था कि, जबकि उष्णकटिबंधीय उत्तल हल में हमेशा तंग अवधि होता है, यह इसके सापेक्ष समान नहीं हो सकता है।

अनुप्रयोग

ड्रेस,, ह्यूबर & और मौलटन (2001) harvtxt error: no target: CITEREFड्रेस,ह्यूबरऔर_मौलटन2001 (help) जैविक डेटा से विकासवादी पेड़ों के पुनर्निर्माण में तंग अवधि के अनुप्रयोगों का वर्णन किया जाता हैं।

तंग अवधि K-सर्वर समस्या के लिए कई ऑनलाइन एल्गोरिदम में एक भूमिका निभाता है।[10]
स्टर्मफेल्स & और यू (2004) harvtxt error: no target: CITEREFस्टर्मफेल्सऔर_यू2004 (help) मेट्रिक स्पेस को छह बिंदुओं तक वर्गीकृत करने के लिए तंग अवधि का उपयोग किया जाता हैं।

चेपोई (1997) harvtxt error: no target: CITEREFचेपोई1997 (help) कट मीट्रिक को अधिक सामान्य परिमित मीट्रिक स्पेसों में पैक करने के परिणामों को सिद्ध करने के प्रति तंग अवधि का उपयोग किया जाता हैं।

यह भी देखें

कुराटोव्स्की एंबेडिंग, किसी भी मीट्रिक स्पेस को बनच स्पेस में जोड़ा करना, जिसे कुराटोव्स्की मैप के समान परिभाषित किया गया है

अंतःक्षेपक मीट्रिक स्पेस

टिप्पणियाँ

↑ Dress, Huber & Moulton (2001).

↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001). मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय. Wiley.

↑ Kirk, William; Shahzad, Naseer (2014). डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी. Springer. p. 24. ISBN 978-3-319-10926-8.

↑ 4.0 4.1 4.2 Huson, Daniel H.; Rupp, Regula; Scornavacca, Celine (2010). Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-75596-2.

↑ Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2014). दूरियों का विश्वकोश (Third ed.). Springer. p. 47. ISBN 978-3-662-44341-5.

↑ Melleray, Julien (2008). "उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण". Topology and Its Applications. 155 (14): 1531–1560. doi:10.1016/j.topol.2007.04.029.

↑ Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण. American Mathematical Society. p. 32. ISBN 978-0-8218-0835-1.

↑ 8.0 8.1 Dress, Andreas; Huber, Katharina T.; Koolen, Jacobus; Moulton, Vincent; Spillner, Andreas (2012). बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76832-0.

↑ In two dimensions, the Manhattan distance is isometric after rotation and scaling to the [[Lp space#General_ℓp-space|ℓ∞ distance]], so with this metric the plane is itself injective, but this equivalence between ℓ1 and ℓ∞ does not hold in higher dimensions.

↑ Chrobak & Larmore (1994).

संदर्भ

Chepoi, Victor (1997), "A TX approach to some results on cuts and metrics", Advances in Applied Mathematics, 19 (4): 453–470, doi:10.1006/aama.1997.0549.

Chrobak, Marek; Larmore, Lawrence L. (1994), "Generosity helps or an 11-competitive algorithm for three servers", Journal of Algorithms, 16 (2): 234–263, doi:10.1006/jagm.1994.1011, S2CID 15169525.

Develin, Mike (2006), "Dimensions of tight spans", Annals of Combinatorics, 10 (1): 53–61, arXiv:math.CO/0407317, doi:10.1007/s00026-006-0273-y, S2CID 92984638.

Develin, Mike; Sturmfels, Bernd (2004), "Tropical convexity" (PDF), Documenta Mathematica, 9: 1–27, doi:10.4171/dm/154, S2CID 64471.

Develin, Mike; Sturmfels, Bernd (2004a), "Erratum for "Tropical Convexity"" (PDF), Documenta Mathematica, 9: 205–206, doi:10.4171/dm/154, S2CID 64471.

Dress, Andreas W. M. (1984), "Trees, tight extensions of metric spaces, and the cohomological dimension of certain groups", Advances in Mathematics, 53 (3): 321–402, doi:10.1016/0001-8708(84)90029-X.

Dress, Andreas W. M.; Huber, K. T.; Moulton, V. (2001), "Metric spaces in pure and applied mathematics" (PDF), Documenta Mathematica (Proceedings Quadratic Forms LSU): 121–139.

Holsztyński, Włodzimierz (1968), "Linearisation of isometric embeddings of Banach Spaces. Metric Envelopes.", Bull. Acad. Polon. Sci., 16: 189–193.

Isbell, J. R. (1964), "Six theorems about injective metric spaces", Comment. Math. Helv., 39: 65–76, doi:10.1007/BF02566944, S2CID 121857986.

Sturmfels, Bernd; Yu, Josephine (2004), "Classification of Six-Point Metrics", The Electronic Journal of Combinatorics, 11: R44, arXiv:math.MG/0403147, Bibcode:2004math......3147S, doi:10.37236/1797, S2CID 6733896.

बाहरी संबंध

Joswig, Michael, Tight spans.

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[1] Dress, Huber & Moulton (2001).

[KK-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 ^2.6 ^2.7 Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001). मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय. Wiley.

[3] Kirk, William; Shahzad, Naseer (2014). डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी. Springer. p. 24. ISBN 978-3-319-10926-8.

[HRS-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Huson, Daniel H.; Rupp, Regula; Scornavacca, Celine (2010). Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-75596-2.

[5] Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2014). दूरियों का विश्वकोश (Third ed.). Springer. p. 47. ISBN 978-3-662-44341-5.

[6] Melleray, Julien (2008). "उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण". Topology and Its Applications. 155 (14): 1531–1560. doi:10.1016/j.topol.2007.04.029.

[7] Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण. American Mathematical Society. p. 32. ISBN 978-0-8218-0835-1.

[DHKMS-8] 8.0 ^8.1 Dress, Andreas; Huber, Katharina T.; Koolen, Jacobus; Moulton, Vincent; Spillner, Andreas (2012). बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76832-0.

[9] In two dimensions, the Manhattan distance is isometric after rotation and scaling to the [[Lp space#General_ℓp-space| $ℓ \infty$ distance]], so with this metric the plane is itself injective, but this equivalence between $ℓ 1$ and $ℓ \infty$ does not hold in higher dimensions.

[10] Chrobak & Larmore (1994).

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 {{Short description|Notion in metric geometry}}
-[[मीट्रिक ज्यामिति]] में, [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] ''M'' का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या टाइट स्पान एक [[इंजेक्शन मीट्रिक स्थान|इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस]] है जिसमें ''M'' एम्बेड किया जा सकता है। कुछ अर्थों में इसमें ''एम'' के बिंदुओं के मध्यके सभी बिंदु होते हैं, जो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। टाइट स्पान को कभी-कभी 'M' के इंजेक्शन एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे [[इंजेक्शन पतवार]] भी कहा जाता है, परंतु [[बीजगणित]] में एक [[मॉड्यूल (गणित)]] के इंजेक्शन हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, एक अवधारणा जिसमें 'आर'-मॉड्यूल की [[श्रेणी (गणित)]] के सापेक्ष समान विवरण होता है मीट्रिक रिक्त स्पेस।
+[[मीट्रिक ज्यामिति]] में, [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] ''M'' का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या तंग अवधि एक [[इंजेक्शन मीट्रिक स्थान|अंतःक्षेपक मीट्रिक स्पेस]] है जिसमें ''M को'' जोड़ा जा सकता है। माना कुछ अर्थों में इस ''M'' के बिंदुओं के मध्य में प्रत्येक बिंदु होते हैं, जो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। तंग अवधि को कभी-कभी 'M' के अंतःक्षेपक एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे [[इंजेक्शन पतवार|अंतःक्षेपक हल]] भी कहा जाता है, परंतु [[बीजगणित]] में एक [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] के अंतःक्षेपक हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, तथा एक अवधारणा जिसमें मीट्रिक रिक्त स्पेस के अतिरिक्त 'R '-मॉड्यूल की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] के सापेक्ष समान विवरण होता है ।
-तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले किसके द्वारा किया गया था {{harvtxt|Isbell|1964}}, और 1960 के दशक में W. Holsztyński|Holsztyński द्वारा इसका अध्ययन और प्रयोग किया गया था। इसे उपरांत में द्वारा स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया {{harvtxt|Dress|1984}} और {{harvtxt|Chrobak|Larmore|1994}}; देखना {{harvtxt|Chepoi|1997}} इस इतिहास के लिए। तंग अवधि टी-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।
+तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले {{harvtxt|इसबेल|1964}} द्वारा वर्णित किया गया था , और  इसका अध्ययन 1960 के दशक में होल्स्ज़्Tस्की द्वारा प्रारंभ किया गया था। इसके उपरांत में {{harvtxt|ड्रेस|1984}} और {{harvtxt|क्रोबक और |लारमोर|1994}} ने स्वतंत्र रूप से पुनः खोजा था  इस इतिहास के लिए {{harvtxt|चेपोई|1997}} ने दर्शाया कि तंग अवधि T-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।
 == परिभाषा ==
-एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। चलो (एक्स, डी) एक मीट्रिक स्पेस बनें, और टी (एक्स) एक्स पर 'चरम कार्यों' का सेट बनें, जहां हम एक्स पर 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका मतलब एक्स से 'आर' तक एक फलन एफ है वह
+एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। माना (X,d) एक मीट्रिक स्पेस हैं, और T(X) को X पर 'चरम फलन' का समुच्चय बनाया जाता हैं, तथा हम X को 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका अर्थ X से 'R ' तक एक फलन f है जैसे कि
-# किसी भी एक्स के लिए, एक्स में वाई, डी (एक्स, वाई) ≤ एफ (एक्स) + एफ (वाई), और
+# X में किसी x, y के लिए, d(x,y) ≤ f(x) + f(y), और
-# X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.<ref>{{harvtxt|Dress|Huber|Moulton|2001}}.</ref>{{rp|124}}
+# X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.<ref>{{harvtxt|Dress|Huber|Moulton|2001}}.</ref>हैं।
-विशेष रूप से (ऊपर विशेषता1 में x = y लेने पर) सभी x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने का एक तरीका यह है कि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक सेट को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहिए। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को कम नहीं किया जा सकता है।
+विशेष रूप से (ऊपर विशेषता 1 में x = y लेने पर) प्रत्येक x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने की यह एक विधि है जोकि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक समुच्चय को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहता है। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को न्यूनतम नहीं किया जा सकता है।
-(एक्स, डी) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (टी (एक्स), δ) है, जहां
+(X, d) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (T (X), δ) है, जहां
 <math display=block>\delta=(\inf\{C\in\mathbb R_{\ge0}:|g(x)-f(x)|\le C\text{ for all }x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|g-f\|_\infty)_{f,g\in T(X)}</math>
-Lp स्पेस#सामान्य_ℓp-स्पेस| द्वारा प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड। (यदि डी बाध्य है, तो δ एलपी स्पेस#सामान्य_ℓपी-स्पेस द्वारा प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक है।{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड। यदि d परिबद्ध नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम फलन अपरिबद्ध है और इसलिए <math>T(X)\not\subseteq\ell^\infty(X).</math> भले ही, यह सच होगा कि टी (एक्स) में किसी भी एफ, जी के लिए अंतर <math>g-f</math> से संबंधित <math>\ell^\infty(X)</math>, यानी, घिरा हुआ है।)
+{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है। (यदि d बाध्य है, तो δ {{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड से प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक मीट्रिक होता है। यदि d बाध्य नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम फलन असीमित होता है और इसलिए <math>T(X)\not\subseteq\ell^\infty(X).</math> यह सच होगा कि T(X) में किसी भी f,g के लिए, अंतर <math>g-f</math> का है अर्थात <math>\ell^\infty(X)</math> बाउंडेड है।
-== चरम कार्यों की समतुल्य परिभाषाएँ ==
+== चरम फलनों की समतुल्य परिभाषाएँ ==
-एक्स से 'आर' तक एक फलन एफ के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:
+X से 'R ' तक एक फलन f के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:
-* X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.
+* X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y में X}.होता हैं
-* f उपरोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) सभी x,y in X के लिए , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g.<ref name=KK>{{cite book |last1=Khamsi |first1=Mohamed A. |author1-link=Mohamed Amine Khamsi |last2=Kirk |first2=William A. |author2-link=William Arthur Kirk |title=मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय|date=2001 |publisher=Wiley}}</ref>{{rp|93, Proposition 4.6.2}}<ref group=Note>Khamsi and Kirk use this condition in their definition.</ref><ref group=Note>Khamsi and Kirk's proof shows one implication of the equivalence to the condition immediately above. The other implication is not difficult to show.</ref><ref name=DHKMS>{{cite book |last1=Dress |first1=Andreas |author1-link=Andreas Dress |last2=Huber |first2=Katharina T. |author2-link=Katharina T. Huber |last3=Koolen |first3=Jacobus |last4=Moulton |first4=Vincent |last5=Spillner |first5=Andreas |title=बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स|date=2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76832-0}}</ref>{{rp|at=Lemma 5.1}}
+* f पूर्वोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) प्रत्येक x,y के लिए X में , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g होता है.<ref name=KK>{{cite book |last1=Khamsi |first1=Mohamed A. |author1-link=Mohamed Amine Khamsi |last2=Kirk |first2=William A. |author2-link=William Arthur Kirk |title=मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय|date=2001 |publisher=Wiley}}</ref>
-* एक्स = ∅ या एक्स में मौजूद है जैसे एक्स में सभी एक्स के लिए, एफ (एक्स) ≤ डी (ए, एक्स)।<ref>{{cite book |last1=Kirk |first1=William |author1-link=William Arthur Kirk |last2=Shahzad |first2=Naseer |title=डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-10926-8 |page=24}}</ref>
+* X = ∅ या X में उपस्थित है जैसे X में प्रत्येक X के लिए, f (X) ≤ d (a, X) उपस्थित होता है।<ref>{{cite book |last1=Kirk |first1=William |author1-link=William Arthur Kirk |last2=Shahzad |first2=Naseer |title=डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-10926-8 |page=24}}</ref><br />
+== मूल गुण और उदाहरण ==
+* X में प्रत्येक X के लिए, <math>0\le f(x).</math> होता हैं।
+* X में प्रत्येक X के लिए, <math>(d(x,y))_{y\in X}</math> अतिवादी होता है। (प्रमाण: समरूपता और त्रिभुज असमानता मेट्रिक स्पेस का उपयोग करते हैं।)
+* यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है,तथा दूसरी और आवश्यकता में इस शर्त के समान है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y उपस्थित है जैसे कि f(x) + f (y) = d (X, y) होता है। (अगर <math>X=\emptyset,</math> तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर <math>X\ne\emptyset,</math> तब श्रेष्ठता ग्रहण की जाती है, और पहली आवश्यकता तुल्यता को दर्शाती है।)
+* माना |X|=2, और विशिष्ट a, b चुनें जैसे कि X={a, b} चुनते हैं। तब <math>T(X)=\{f\in(\R_{\ge0})^X:f(a)+f(b)=d(a,b)\}</math> का उत्तल हल है<nowiki>{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}</nowiki>. [ शीर्षक: यदि X = {0,1}, तो <math>T(X)=\{v\in(\R_{\ge0})^2:v_0+v_1=d(0,1)\}</math> {(0,1),(1,0)} का उत्तल हल है।]<ref name=HRS>{{cite book |last1=Huson |first1=Daniel H. |last2=Rupp |first2=Regula |last3=Scornavacca |first3=Celine |title=Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications |date=2010 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-75596-2}}</ref>
+* X पर प्रत्येक चरम फलन f कातेतोव होता है:<ref>{{cite book |last1=Deza |first1=Michel Marie |author1-link=Michel Deza |last2=Deza |first2=Elena |author2-link=Elena Deza |title=दूरियों का विश्वकोश|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-662-44341-5 |page=47 |edition=Third}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Melleray |first1=Julien |title=उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण|journal=Topology and Its Applications |date=2008 |volume=155 |issue=14 |pages=1531–1560 |doi=10.1016/j.topol.2007.04.029 |doi-access=free }}</ref> f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है और
+<math>\forall x,y\in X\quad f(x)\le d(x,y)+f(y),</math> या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और
+<math>\forall x,y\in X\quad|f(y)-f(x)|\le d(x,y)</math> (1-लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है), और
-== मूल गुण और उदाहरण ==
+<math>\forall x\in X\quad\sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).</math><ref name="KK" />या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है।
-* एक्स में सभी एक्स के लिए, <math>0\le f(x).</math>
+* T(X)⊆ C(X) लिप्सचिट्ज़ फलन निरंतर होते हैं।
-* एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए, <math>(d(x,y))_{y\in X}</math> अतिवादी है। (सबूत: समरूपता और त्रिभुज असमानता#मेट्रिक स्पेस का उपयोग करें।)<ref group="Note">I.e., the Kuratowski map <math>e(x)\in T(X).</math> We will introduce the Kuratowski map below.</ref>
+* T (X) समान है।तथा X के 1-लिप्सचिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम फलन से अनुसरण करता है।
-* यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, दूसरी आवश्यकता इस शर्त के बराबर है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y मौजूद है जैसे कि f(x) + एफ (वाई) = डी (एक्स, वाई)। (अगर <math>X=\emptyset,</math> तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर <math>X\ne\emptyset,</math> तब श्रेष्ठता प्राप्त की जाती है, और पहली आवश्यकता का तात्पर्य समानता से है।)
+* X पर प्रत्येक केटोव फलन चरम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, a, b को पृथक होने दें, और X = {a, b}, d = ([x≠y]) <sub>''x,y'' में ''X''</sub> तथा X पर [[असतत मीट्रिक]] बनाये, और f = {(a, 1), (b, 2)} दें। पुनः f कातेतोव है परंतु चरम फलन नहीं है। (यह लगभग वर्तमान में है कि f कटेटोव है, f चरम नहीं है क्योंकि इस खंड की तीसरी बुलेट विशेषता को विफल करता है।)
-* कहें |X|=2, और विशिष्ट ए, बी चुनें जैसे कि एक्स={ए,बी}। तब <math>T(X)=\{f\in(\R_{\ge0})^X:f(a)+f(b)=d(a,b)\}</math> का उत्तल पतवार है{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}. [तस्वीर जोड़ें। कैप्शन: यदि एक्स = {0,1}, तो <math>T(X)=\{v\in(\R_{\ge0})^2:v_0+v_1=d(0,1)\}</math> {(0,1),(1,0)} का उत्तल पतवार है।]<ref name=HRS>{{cite book |last1=Huson |first1=Daniel H. |last2=Rupp |first2=Regula |last3=Scornavacca |first3=Celine |title=Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications |date=2010 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-75596-2}}</ref>{{rp|124}}
+* यदि d परिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f परिबद्ध है। वास्तव में, T(X) में प्रत्येक f के प्रति <math>\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty.</math> (टिप्पणी <math>d\in\ell^\infty(X\times X).</math>) उपर्युक्त खंड में तीसरे समकक्ष विशेषता से अनुसरण करता है।) हैं।
-* X पर प्रत्येक चरम कार्य f कातेतोव है:<ref>{{cite book |last1=Deza |first1=Michel Marie |author1-link=Michel Deza |last2=Deza |first2=Elena |author2-link=Elena Deza |title=दूरियों का विश्वकोश|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-662-44341-5 |page=47 |edition=Third}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Melleray |first1=Julien |title=उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण|journal=Topology and Its Applications |date=2008 |volume=155 |issue=14 |pages=1531–1560 |doi=10.1016/j.topol.2007.04.029 |doi-access=free }}</ref>{{rp|at=Section 2}} f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और <math>\forall x,y\in X\quad f(x)\le d(x,y)+f(y),</math> या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और <math>\forall x,y\in X\quad|f(y)-f(x)|\le d(x,y)</math> (1-लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है), या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है और <math>\forall x\in X\quad\sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).</math><ref name=KK/>{{rp|at=Proof of Proposition 4.6.1}}<ref group=Note>The supremum is achieved with ''y=x''.</ref>
+* यदि d अपरिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f अपरिबद्ध है।
-* T(X)⊆कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस#सामान्यीकरण|C(X) पर निरंतर कार्य। (लिप्सचिट्ज़ कार्य निरंतर हैं।)
+* <math>T(X)</math> बिंदुवार सीमा के अंतर्गत बंद है।तो किसी भी बिंदुवार अभिसरण के लिए <math>f\in (T(X))^\omega,</math> <math>\lim f\in T(X).</math> होता हैं।अगर (X, d) जटिल है, तो (T (X), δ) भी जटिल है।<ref>{{cite book |last1=Benyamini |first1=Yoav |author1-link=Yoav Benjamini |last2=Lindenstrauss |first2=Joram |author2-link=Joram Lindenstrauss |title=ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण|date=2000 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0835-1 |page=32}}</ref><ref name="KK" /> (प्रमाण: जटिल-मूल्य प्रमेय का अर्थ है कि d, एक फलन के रूप में निरंतर है मीटरी और सांस्थितिक स्पेस का सामान्यीकरण करते है| जटिल-मूल्य प्रमेय का तात्पर्य है कि d, एक फलन के रूप में निरंतर होना <math>X\times X\to\mathbb R,</math> घिरा हुआ है, इसलिए  <math>T(X)\subseteq\{f\in C(X):\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty\}</math> C(X) का परिबद्ध उपसमुच्चय है। हमने दर्शया है कि T (X) समान है, इसलिए अर्जेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि T (X) [[अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट|अपेक्षाकृत जटिल]] है। यद्यपि, पिछली बुलेट का तात्पर्य T(X) के अंतर्गत बंद है <math>\ell^\infty</math> मानदंड, क्योंकी <math>\ell^\infty</math> अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है। इस प्रकार T (X) जटिल है।)
-* टी (एक्स) समान है। (X के 1-लिप्सचिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम कार्य से अनुसरण करता है; cf. इक्विकंटिन्यूटी # उदाहरण।)
+* X से 'R' तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T(X) में f जैसे कि f≤g बिंदुवार उपस्थित है।<ref name="KK" />
-* X पर प्रत्येक केटोव कार्य चरम नहीं है। उदाहरण के लिए, ए, बी को अलग होने दें, एक्स = {ए, बी}, डी = ([x≠y]) दें<sub>''x,y'' in ''X''</sub> एक्स पर [[असतत मीट्रिक]] बनें, और f = {(ए, 1), (बी, 2)} दें। फिर एफ कातेतोव है परंतु चरम नहीं है। (यह लगभग तत्काल है कि f कटेटोव है। f चरम नहीं है क्योंकि यह इस खंड की तीसरी बुलेट में विशेषताको विफल करता है।)
+* X पर किसी भी चरम फलन f के लिए, <math>\forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.</math><ref name="KK" />  होती हैं
-* यदि d परिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f परिबद्ध है। वास्तव में, T(X) में प्रत्येक f के लिए, <math>\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty.</math> (टिप्पणी <math>d\in\ell^\infty(X\times X).</math>) (उपर्युक्त खंड में तीसरे समकक्ष विशेषतासे अनुसरण करता है।)
+* T(X) में किसी भी f,g के लिए अंतर <math>g-f</math> से संबंधित <math>\ell^\infty(X)</math>, अर्थात, बंधा हुआ है।
-* यदि d अपरिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f अपरिबद्ध है। (पहली आवश्यकता से अनुसरण करता है।)
+* कुराटोव्स्की मानचित्र<ref name="HRS" />{{rp|125}} <math>e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}</math> एक [[आइसोमेट्री]] है। (जब X=∅, परिणाम स्पष्ट होता है। जब X≠∅, विपरीत त्रिकोण असमानता का अर्थ परिणाम होता है।)
-* <math>T(X)</math> बिंदुवार सीमा के तहत बंद है। किसी भी बिंदुवार अभिसरण के लिए <math>f\in (T(X))^\omega,</math> <math>\lim f\in T(X).</math>
+* मान लीजिए कि T(X) में f है। X में किसी a के लिए, यदि f(a)=0, तो f=e(a).<ref name="DHKMS">{{cite book |last1=Dress |first1=Andreas |author1-link=Andreas Dress |last2=Huber |first2=Katharina T. |author2-link=Katharina T. Huber |last3=Koolen |first3=Jacobus |last4=Moulton |first4=Vincent |last5=Spillner |first5=Andreas |title=बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स|date=2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76832-0}}</ref>(X में प्रत्येक X के लिए हमारे पास है <math>(e(a))(x)=d(a,x)\le f(a)+f(x)=f(x).</math> f की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समकक्ष लक्षण वर्णन) और तथ्य यह है कि <math>e(a)</math> इसके उपरांत  <math>f=e_a.</math>की पहली आवश्यकता को पूरा करता है )
-* अगर (एक्स, डी) कॉम्पैक्ट है, तो (टी (एक्स), δ) कॉम्पैक्ट है।<ref>{{cite book |last1=Benyamini |first1=Yoav |author1-link=Yoav Benjamini |last2=Lindenstrauss |first2=Joram |author2-link=Joram Lindenstrauss |title=ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण|date=2000 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0835-1 |page=32}}</ref><ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.6.3}} (सबूत: एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम#मैट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण|एक्सट्रीम-वैल्यू प्रमेय का मतलब है कि डी, एक फंक्शन के रूप में निरंतर होना <math>X\times X\to\mathbb R,</math> घिरा हुआ है, इसलिए (पिछली गोली देखें) <math>T(X)\subseteq\{f\in C(X):\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty\}</math> C(X) का परिबद्ध उपसमुच्चय है। हमने दिखाया है कि टी (एक्स) समान है, इसलिए अर्जेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि टी (एक्स) [[अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट]] है। हालाँकि, पिछली बुलेट का तात्पर्य T(X) के तहत बंद है <math>\ell^\infty</math> मानदंड, चूंकि <math>\ell^\infty</math> अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है। इस प्रकार टी (एक्स) कॉम्पैक्ट है।)
+*(X,d) [[अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान|हाइपरबॉलिक]] है यदि और केवल यदि (T(X),δ) हाइपरबॉलिक है।<ref name="DHKMS" />
-* X से 'R' तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T(X) में f मौजूद है जैसे कि f≤g बिंदुवार।<ref name=KK/>{{rp|at=Lemma 4.4}}
-* एक्स पर किसी भी चरम समारोह एफ के लिए, <math>\forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.</math><ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.6.1}}<ref group=Note>The supremum is achieved with ''y=x''.</ref>
-* T(X) में किसी भी f,g के लिए अंतर <math>g-f</math> से संबंधित <math>\ell^\infty(X)</math>, यानी, बंधा हुआ है। (उपरोक्त गोली का प्रयोग करें।)
-* कुराटोव्स्की मानचित्र<ref name=HRS/>{{rp|125}} <math>e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}</math> एक [[आइसोमेट्री]] है। (जब X=∅, परिणाम स्पष्ट होता है। जब X≠∅, विपरीत त्रिकोण असमानता का अर्थ परिणाम होता है।)
-* मान लीजिए कि T(X) में f है। X में किसी a के लिए, यदि f(a)=0, तो f=e(a).<ref name=DHKMS/>{{rp|at=Lemma 5.1}} (एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए हमारे पास है <math>(e(a))(x)=d(a,x)\le f(a)+f(x)=f(x).</math> एफ की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समकक्ष लक्षण वर्णन) और तथ्य यह है कि <math>e(a)</math> इसके उपरांत की पहली आवश्यकता को पूरा करता है <math>f=e_a.</math>)
-*(X,d) [[अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान|अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्पेस]] है यदि और केवल यदि (T(X),δ) अतिशयोक्तिपूर्ण है।<ref name=DHKMS/>{{rp|at=Theorem 5.3}}
-== हाइपरकोन्वेक्सिटी गुण ==
+== हाइपरकोन्वेक्सि गुण ==
-* (टी(एक्स),δ) और <math display=block>\left(X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(T(X)\setminus\operatorname{range}e)\times(T(X)\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in T(X)\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> दोनों इंजेक्शन मेट्रिक स्पेस हैं।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.1}}
+* (T(X),δ) और <math display=block>\left(X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(T(X)\setminus\operatorname{range}e)\times(T(X)\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in T(X)\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> दोनों अंतःक्षेपक मेट्रिक स्पेस हैं।<ref name=KK/>
-* किसी भी वाई के लिए ऐसा है <math>\operatorname{range}e\subseteq Y\subsetneq X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),</math> <math display=block>\left(X\cup(Y\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(Y\setminus\operatorname{range}e)\times(Y\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in Y\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> अतिउत्तल नहीं है।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.2}} ((टी (एक्स), δ) (एक्स, डी) का एक अतिउत्तल पतवार है।)
+* किसी भी y के लिए   <math>\operatorname{range}e\subseteq Y\subsetneq X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),</math> <math display=block>\left(X\cup(Y\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(Y\setminus\operatorname{range}e)\times(Y\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in Y\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> अतिउत्तल नहीं होता है।<ref name=KK/> ((T (X), δ) (X, d) का एक अतिउत्तल हल है।)
-* होने देना <math>(H,\varepsilon)</math> के सापेक्ष एक अतिउत्तल मीट्रिक स्पेस हो <math>X\subseteq H</math> और <math>\varepsilon|_{X\times X}=\delta</math>. अगर सभी के लिए मैं सापेक्ष <math>X\subseteq I\subsetneq H,</math> <math>(I,\varepsilon|_{I\times I})</math> तब अतिउत्तल नहीं है <math>(H,\varepsilon)</math> और (टी(एक्स),δ) आइसोमेट्री#आइसोमेट्री परिभाषा हैं।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.1}} ((एक्स, डी) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स हल (टी (एक्स), δ) के सापेक्ष आइसोमेट्रिक है।)
+* मन <math>(H,\varepsilon)</math> के सापेक्ष एक अतिउत्तल मीट्रिक स्पेस  <math>X\subseteq H</math> और <math>\varepsilon|_{X\times X}=\delta</math> होता हैं. अगर प्रत्येक के लिए मैं सापेक्ष <math>X\subseteq I\subsetneq H,</math> <math>(I,\varepsilon|_{I\times I})</math> तब अतिउत्तल नहीं है तो <math>(H,\varepsilon)</math> और (T(X),δ)  वो आइसोमेट्री की परिभाषा हैं।<ref name=KK/>((X, d) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स हल (T (X), δ) के सापेक्ष आइसोमेट्रिक होता है।)
 == उदाहरण ==
-* कहें |X|=3, विशिष्ट a, b, c चुनें जैसे कि X={a,b,c}, और मान लीजिए कि i=d(a,b), j=d(a,c), k=d (b,c) हैं। तब <math display=block>\begin{alignat}{2}
+* |X|=3, विशिष्ट a, b, c चुनें जैसे कि X={a,b,c}, और मान लीजिए कि i=d(a,b), j=d(a,c), k=d (b,c) हैं। तब <math display=block>\begin{alignat}{2}
 T(X)=&\{v\in(\mathbb R_{\ge0})^3:1=v_a+v_b,2=v_a+v_c,3\le v_b+v_c
 \\&\qquad\qquad\qquad\text{or }1=v_a+v_b,2\le v_a+v_c,3=v_b+v_c
@@ Line 62: / Line 64: @@
 \\=&\operatorname{conv}\{(0,i,j),x\}\cup\operatorname{conv}\{(i,0,k),x\}\cup\operatorname{conv}\{(j,k,0),x\},
 \end{alignat}</math> जहाँ <math>x=2^{-1}(i+j-k,i+k-j,j+k-i).</math> अगर X={0,1,2}, तो T(X)=conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)} u conv{(,, ),(,,)} अक्षर Y के आकार का होता है] (Cf. <ref name=HRS>{{cite book |last1=Huson |first1=Daniel H. |last2=Rupp |first2=Regula |last3=Scornavacca |first3=Celine |title=Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications |date=2010 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-75596-2}}</ref>{{rp|124}})
-[[Image:Orthogonal-convex-hull.svg|thumb|यदि विमान में बिंदुओं का एक सेट, [[टैक्सीकैब ज्यामिति]] के सापेक्ष, एक जुड़ा हुआ [[ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार|ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार होता]] है, तो वह पतवार बिंदुओं की तंग अवधि के सापेक्ष मेल खाता है।]]
+[[Image:Orthogonal-convex-hull.svg|thumb|यदि विमान में बिंदुओं का एक समुच्चय, [[टैक्सीकैब ज्यामिति]] के सापेक्ष, एक जुड़ा हुआ [[ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार|लंबकोणीय उत्तल हल होता]] है, तो वह हल बिंदुओं की तंग अवधि के सापेक्ष समान है।]]
-* आंकड़ा विमान में 16 बिंदुओं का एक सेट X दर्शाया  जाता है; इन बिंदुओं से एक परिमित मीट्रिक स्पेस बनाने के लिए, हम [[मैनहट्टन दूरी]] ({{math|''ℓ''{{i sup|1}}}} दूरी) का उपयोग करते हैं ।<ref>In two dimensions, the Manhattan distance is isometric after rotation and scaling to the [[Lp space#General_ℓp-space|{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} distance]], so with this metric the plane is itself injective, but this equivalence between {{math|''ℓ''{{i sup|1}}}} and {{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} does not hold in higher dimensions.</ref> आकृति में दर्शाया गया हैं कि नीला क्षेत्र ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार है, बिंदु z का सेट ऐसा है कि शीर्ष के रूप में z के सापेक्ष चार बंद चतुर्भुजों में से प्रत्येक में X का एक बिंदु होता है। ऐसा कोई भी बिंदु z तंग अवधि के बिंदु से मेल खाता है: फलन f(x) एक बिंदु z के अनुरूप f(x) = d(z,x) है। मैनहट्टन मीट्रिक के लिए त्रिकोण असमानता द्वारा, इस फॉर्म का एक फलन मैनहट्टन-मीट्रिक विमान में किसी भी z के लिए तंग अवधि की विशेषता 1 को संतुष्ट करता है। तंग अवधि की विशेषता 2 दिखाने के लिए, X में कुछ बिंदु x पर विचार करें; हमें X में y इस तरह खोजना चाहिए कि f(x)+f(y)=d(x,y). परंतु यदि x शीर्ष के रूप में z वाले चार चतुर्थांशों में से एक में है, तो y को विपरीत चतुर्थांश में किसी भी बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, इसलिए गुण 2 भी संतुष्ट होता है। इसके विपरीत यह दिखाया जा सकता है कि तंग अवधि का प्रत्येक बिंदु इस तरह से इन बिंदुओं के ऑर्थोगोनल उत्तल हल में एक बिंदु से मेल खाता है।यद्यपि, उच्च आयामों में मैनहट्टन मीट्रिक के सापेक्ष पॉइंट सेट के लिए, और डिस्कनेक्ट किए गए ऑर्थोगोनल हल्स के सापेक्ष प्लानर पॉइंट सेट के लिए, तंग अवधि ऑर्थोगोनल उत्तल हल से भिन्न होता है।
+* आंकड़ा विमान में 16 बिंदुओं का एक समुच्चय X दर्शाया  जाता है; इन बिंदुओं से एक परिमित मीट्रिक स्पेस बनाने के लिए, हम [[मैनहट्टन दूरी]] ({{math|''ℓ''{{i sup|1}}}} दूरी) का उपयोग करते हैं ।<ref>In two dimensions, the Manhattan distance is isometric after rotation and scaling to the [[Lp space#General_ℓp-space|{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} distance]], so with this metric the plane is itself injective, but this equivalence between {{math|''ℓ''{{i sup|1}}}} and {{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} does not hold in higher dimensions.</ref> आकृति में दर्शाया गया हैं कि नीला क्षेत्र लंबकोणीय उत्तल हल है, बिंदु z का समुच्चय ऐसा है कि शीर्ष के रूप में z के सापेक्ष चार बंद चतुर्भुजों में से प्रत्येक में X का एक बिंदु होता है। ऐसा कोई भी बिंदु z तंग अवधि के बिंदु से समान  है: फलन f(x) एक बिंदु z के अनुरूप f(x) = d(z,x) है। मैनहट्टन मीट्रिक के लिए त्रिकोण असमानता द्वारा, इस फॉर्म का एक फलन मैनहट्टन-मीट्रिक विमान में किसी भी z के लिए तंग अवधि की विशेषता 1 को संतुष्ट करता है। तंग अवधि की विशेषता 2 दिखाने के लिए, X में कुछ बिंदु x पर विचार करें; हमें X में y इस तरह खोजना चाहिए कि f(x)+f(y)=d(x,y). परंतु यदि x शीर्ष के रूप में z वाले चार चतुर्थांशों में से एक में है, तो y को विपरीत चतुर्थांश में किसी भी बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, इसलिए गुण 2 भी संतुष्ट होता है। इसके विपरीत यह दर्शाया जा सकता है कि तंग अवधि का प्रत्येक बिंदु इस तरह से इन बिंदुओं के लंबकोणीय उत्तल हल में एक बिंदु से समान है।यद्यपि, उच्च आयामों में मैनहट्टन मीट्रिक के सापेक्ष बिंदु समुच्चय के लिए, और डिस्कनेक्ट किए गए लंबकोणीय हल्स के सापेक्ष समतलीय बिंदु समुच्चय के लिए, तंग अवधि लंबकोणीय उत्तल हल से भिन्न होता है।
 == तंग अवधि का आयाम जब X परिमित है ==
@@ Line 70: / Line 72: @@
 == वैकल्पिक परिभाषाएँ ==
-इसके उप-स्पेस के उद्देश्य से एक मीट्रिक स्पेस की धारणा के आधार पर एक वैकल्पिक परिभाषा का वर्णन {{harvtxt|होल्स्ज़टीन्स्की|1968}} द्वारा किया गया था  जिन्होंने यह सिद्ध किया था कि बैनच स्पेस का इंजेक्शन लिफाफा, बनच स्पेस की श्रेणी में, तंग अवधि के सापेक्ष मेल खाता है (रैखिक संरचना को भूलने के उपरांत)। यह प्रमेय विवेकाधीन ढंग से बनच रिक्त स्पेस से C(X)) के बनच स्पेस तक कुछ समस्याओं को न्यूनतम करने की अनुमति देता है, जहां X एक कॉम्पैक्ट स्पेस है।
+इसके उप-स्पेस के उद्देश्य से एक मीट्रिक स्पेस की धारणा के आधार पर एक वैकल्पिक परिभाषा का वर्णन {{harvtxt|होल्स्ज़टीन्स्की|1968}} द्वारा किया गया था  जिन्होंने यह सिद्ध किया था कि बैनच स्पेस का अंतःक्षेपक लिफाफा, बनच स्पेस की श्रेणी में, तंग अवधि के सापेक्ष समान है (रैखिक संरचना को भूलने के उपरांत)। यह प्रमेय विवेकाधीन ढंग से बनच रिक्त स्पेस से C(X)) के बनच स्पेस तक कुछ समस्याओं को न्यूनतम करने की अनुमति देता है, जहां X एक जटिल स्पेस है।
-{{harvtxt|डेवेलिन और|स्टर्मफेल्स|2004}} ने अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से एक दूसरे बिंदु तक दूरी के सदिशो के [[उष्णकटिबंधीय ज्यामिति]] के रूप में एक सीमित मीट्रिक अंतरिक्ष की तंग अवधि की वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करने का प्रयास किया।यद्यपि, उपरांत में उसी वर्ष उन्होंने इरेटम {{harvtxt|डेवेलिन एंड| स्टर्मफेल्स|2004a}}  में स्वीकार किया था कि, जबकि उष्णकटिबंधीय उत्तल पतवार में हमेशा तंग अवधि होता है, यह इसके सापेक्ष मेल नहीं हो सकता है।
+{{harvtxt|डेवेलिन और|स्टर्मफेल्स|2004}} ने अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से एक दूसरे बिंदु तक दूरी के सदिशो के [[उष्णकटिबंधीय ज्यामिति]] के रूप में एक सीमित मीट्रिक अंतरिक्ष की तंग अवधि की वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करने का प्रयास किया।यद्यपि, उपरांत में उसी वर्ष उन्होंने इरेटम {{harvtxt|डेवेलिन एंड| स्टर्मफेल्स|2004a}}  में स्वीकार किया था कि, जबकि उष्णकटिबंधीय उत्तल हल में हमेशा तंग अवधि होता है, यह इसके सापेक्ष समान नहीं हो सकता है।
 == अनुप्रयोग ==
@@ Line 81: / Line 83: @@
 == यह भी देखें ==
-*कुराटोव्स्की एंबेडिंग, किसी भी मीट्रिक स्पेस को बनच स्पेस में एम्बेड करना, जिसे कुराटोव्स्की मैप के समान परिभाषित किया गया है
+*कुराटोव्स्की एंबेडिंग, किसी भी मीट्रिक स्पेस को बनच स्पेस में जोड़ा करना, जिसे कुराटोव्स्की मैप के समान परिभाषित किया गया है
-* इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस
+* अंतःक्षेपक मीट्रिक स्पेस
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 190: / Line 192: @@
   | title = Tight spans
   | url = http://homepages.math.tu-berlin.de/~joswig/tightspans/index.html}}.
-[[Category: मीट्रिक ज्यामिति]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 24/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
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परिभाषा

चरम फलनों की समतुल्य परिभाषाएँ

मूल गुण और उदाहरण

हाइपरकोन्वेक्सि गुण

उदाहरण

तंग अवधि का आयाम जब X परिमित है

वैकल्पिक परिभाषाएँ

अनुप्रयोग

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