लिउविल संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 13:33, 1 May 2023

संख्या सिद्धांत में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक वास्तविक संख्या $x$ है,जो की प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $q>1$ के साथ पूर्णांकों $(p,q)$ की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.

लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे पारलौकिक संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी बीजगणितीय संख्या अपरिमेय संख्या की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, जोसेफ लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर पारलौकिक हैं,^[1] इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।^[2]

यह ज्ञात है कि $π$ और $e$ लिउविल संख्या नहीं हैं।^[3]

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 {{short description|Class of irrational numbers}}
-[[संख्या सिद्धांत]] में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक [[वास्तविक संख्या]] <math>x</math> है,जो की  प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] <math>n</math> के लिए <math>q>1</math>के साथ पूर्णांकों <math>(p,q)</math> की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि
+[[संख्या सिद्धांत]] में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक [[वास्तविक संख्या]] <math>x</math> है,जो की प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] <math>n</math> के लिए <math>q>1</math>के साथ पूर्णांकों <math>(p,q)</math> की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि
 <math display="block">0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{n}} .</math>
-लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी [[बीजगणितीय संख्या]] [[अपरिमेय संख्या]] की तुलना में अधिक स्पष्टता  से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, [[जोसेफ लिउविल]] ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर ट्रान्सेंडैंटल हैं,<ref>{{cite journal <!--DUPLICATE| url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087/date1844.liste--> | url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants | author=Joseph Liouville | title=Mémoires et communications | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]] | volume=18 | number=20,21 | pages=883&ndash;885,910&ndash;911 | date=May 1844 | language=French}}</ref> इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।<ref>
+लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी [[बीजगणितीय संख्या]] [[अपरिमेय संख्या]] की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, [[जोसेफ लिउविल]] ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर पारलौकिक हैं,<ref>{{cite journal <!--DUPLICATE| url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087/date1844.liste--> | url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants | author=Joseph Liouville | title=Mémoires et communications | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]] | volume=18 | number=20,21 | pages=883&ndash;885,910&ndash;911 | date=May 1844 | language=French}}</ref> इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।<ref>
 {{cite book
   |first=Alan |last=Baker
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 किसी भी पूर्णांक <math>b\ge 2</math> और पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए <math>(a_1,a_2,\dots)</math> जैसे कि<math>a_k\in\{0,1,2,\dots,b-1\}</math> सभी <math>k</math> के लिए और <math>a_k\ne 0</math> अनगिनत <math>k</math> के लिए संख्या परिभाषित करें
 <math display=block>x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}.</math>
-विशेष स्थिति  में जब <math>b=10</math>, और <math>a_k=1</math> सभी के लिए <math>k</math>, परिणामी संख्या <math>x</math> लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:
+विशेष स्थिति में जब <math>b=10</math>, और <math>a_k=1</math> सभी के लिए <math>k</math>, परिणामी संख्या <math>x</math> लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:
 :''L'' = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...
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 इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसा कोई भी <math>x</math> एक लिउविल संख्या है।
-=== प्रमाण  पर नोट्स ===
+=== प्रमाण पर नोट्स ===
-# असमानता <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>अनुसरण करता है क्योंकि  ''a<sub>k</sub>'' ∈ {0, 1, 2, …, ''b''−1}  सभी k के लिए, इसलिए अधिक से अधिक ''a<sub>k</sub>'' = ''b''−1. । सबसे बड़ा संभव योग होगा यदि पूर्णांकों का अनुक्रम (a1, a2, …) (b−1, b−1, ...), जिससे ''a<sub>k</sub>'' = ''b''−1.  सभी k के लिए था।<math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके समान होगा।
+# असमानता <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>अनुसरण करता है क्योंकि ''a<sub>k</sub>'' ∈ {0, 1, 2, …, ''b''−1} सभी k के लिए, इसलिए अधिक से अधिक ''a<sub>k</sub>'' = ''b''−1. । सबसे बड़ा संभव योग होगा यदि पूर्णांकों का अनुक्रम (a1, a2, …) (b−1, b−1, ...), जिससे ''a<sub>k</sub>'' = ''b''−1. सभी k के लिए था।<math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके समान होगा।
 #शसक्त असमानता <math>\begin{align}
 \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k}
-\end{align}</math> [[श्रृंखला (गणित)]] को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{k}} = \frac{b}{b-1}</math> (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, यदि हम से एक असमानता पा सकते हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं <math>b^{k!}</math>को <math>b^{k}</math>, साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से <math>\infty</math>, तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के समीप पहुंचेंगे <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math>, जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math> एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>, चूँकि b ≥ 2, तब <math>\frac{b-1}{b^{k!}} < \frac{b-1}{b^{k}}</math>, सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, <math>\begin{align}
+\end{align}</math> [[श्रृंखला (गणित)]] को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{k}} = \frac{b}{b-1}</math> (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, यदि हम से एक असमानता पा सकते हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं <math>b^{k!}</math> को <math>b^{k}</math>, साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से <math>\infty</math>, तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के समीप पहुंचेंगे <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math>, जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math> एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>, चूँकि b ≥ 2, तब <math>\frac{b-1}{b^{k!}} < \frac{b-1}{b^{k}}</math>, सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, <math>\begin{align}
 \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k}
-\end{align}</math> (चूंकि, भले ही ''n''=1, बाद की सभी नियम छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए जिससे k 0 से प्रारंभ हो, हम अंदर  से एक आंशिक योग का चयन करते हैं <math>
+\end{align}</math> (चूंकि, भले ही ''n''=1, बाद की सभी नियम छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए जिससे k 0 से प्रारंभ हो, हम अंदर से एक आंशिक योग का चयन करते हैं <math>
 \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k}
 </math> (कुल मान से भी कम है क्योंकि यह एक ऐसी श्रृंखला का आंशिक योग है जिसके सभी पद धनात्मक हैं)। हम k = (n+1) से प्रारंभ करके गठित आंशिक योग का चयन करेंगे! जो k = 0 के साथ एक नई श्रृंखला लिखने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है, अर्थात <math>b^{(n+1)!} = b^{(n+1)!}b^0</math> यह ध्यान में रखते हुए ..
-#अंतिम असमानता <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}</math> के लिए हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहाँ समानता का पालन होता है यदि और केवल यदि n = 1) क्योंकि हम <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}}</math>को किसी रूप में बदलना चाहते हैं <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math> यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देता है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (''n''+1)! – ''n''! = (''n''!)''n'',  इस प्रकार प्रतिस्थापन <math>q_n = b^{n!}</math> के लिए हर को आदर्श रूप में रखना है ।
+#अंतिम असमानता <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}</math> के लिए हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहाँ समानता का पालन होता है यदि और केवल यदि n = 1) क्योंकि हम <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}}</math>को किसी रूप में बदलना चाहते हैं <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math> यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देता है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (''n''+1)! – ''n''! = (''n''!)''n'', इस प्रकार प्रतिस्थापन <math>q_n = b^{n!}</math> के लिए हर को आदर्श रूप में रखना है ।
 == तर्कहीनता ==
-यहां हम दिखाएंगे कि संख्या <math>~ x = c / d ~,</math> जहां {{mvar|c}} और {{mvar|d}} पूर्णांक हैं और <math>~ d > 0 ~,</math>लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकते। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को <math>~ c / d ~,</math> के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, हम सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती।
+यहां हम दिखाएंगे कि संख्या <math>~ x = c / d ~,</math> जहां {{mvar|c}} और {{mvar|d}} पूर्णांक हैं और <math>~ d > 0 ~,</math>लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकते। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को <math>~ c / d ~,</math> के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, हम सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती है ।
 विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए इतना बड़ा कि <math>~ 2^{n - 1} > d > 0~</math> समतुल्य रूप से, किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए <math>~ n > 1 + \log_2(d) ~</math>, पूर्णांकों की कोई भी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> उपस्थित नहीं है जो एक साथ ब्रैकेटिंग असमानताओं की जोड़ी को संतुष्ट करती है
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 :<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~,</math>
-इसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगी, चाहे {{mvar|n}} का कोई भी विकल्प हो। यदि, दूसरी ओर, चूँकि<math>~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~,</math> तब, चूँकि <math>c\,q - d\,p</math>  एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं <math>\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.</math> इससे यह पता चलता है कि
+इसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगी, चाहे {{mvar|n}} का कोई भी विकल्प हो। यदि, दूसरी ओर, चूँकि<math>~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~,</math> तब, चूँकि <math>c\,q - d\,p</math> एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं <math>\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.</math> इससे यह पता चलता है कि
 :<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}</math>
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 :<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.</math>
-इसलिए, स्थिति  में <math>~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~</math> पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> उल्लंघन करेगी किसी धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता है ।
+इसलिए, स्थिति में <math>~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~</math> पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> उल्लंघन करेगी किसी धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता है ।
 हम निष्कर्ष निकालते हैं कि<math>~(\,p,\,q\,)~,</math> <math>~ q > 1 ~,</math>के साथ पूर्णांकों की कोई जोड़ी नहीं है जो इस तरह के <math>~ x = c / d ~,</math> एक लिउविल संख्या के रूप में। इसलिए एक लिउविल संख्या, यदि यह उपस्थित है, तर्कसंगत नहीं हो सकती है ।
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 .14(3 शून्य)1(17 शून्य)5(95 शून्य)9(599 शून्य)2(4319 शून्य)6...
-जहां स्थिति n!  को छोड़कर अंक शून्य हैं जहां अंक {{pi}} के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद n वें अंक के समान होता है।
+जहां स्थिति n! को छोड़कर अंक शून्य हैं जहां अंक {{pi}} के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद n वें अंक के समान होता है।
 जैसा कि लिउविले संख्याओं (लिउविल का स्थिरांक) के अस्तित्व पर अनुभाग में दिखाया गया है, यह संख्या, साथ ही इसके गैर-शून्य अंकों के साथ समान रूप से स्थित कोई अन्य गैर-समाप्ति दशमलव, लिउविल संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है। चूंकि गैर-शून्य अंकों के सभी अनुक्रमों के समूह में [[सातत्य की प्रमुखता]] होती है, वही बात सभी लिउविल संख्याओं के समूह के साथ होती है।
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 :<math>\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0</math>
-और यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक<math>m</math>, <math>L\cap (-m,m)</math>के लिए लेबेस्ग माप शून्य है। नतीजतन, इसलिए <math>L</math> इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समूह  का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समूह  एक शून्य समूह  है)।
+और यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक <math>m</math>, <math>L\cap (-m,m)</math>के लिए लेबेस्ग माप शून्य है। नतीजतन, इसलिए <math>L</math> इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समूह का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समूह एक शून्य समूह है)।
 ==लिउविल संख्याओं के समुच्चय की संरचना==
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 उदाहरणों में <math>I_0(1)/I_1(1)</math> या <math>e</math> सम्मिलित हैं जहां निरंतर भिन्न अनुमानित रूप से व्यवहार करते हैं:
-<math>e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]</math>  और <math>I_0(1)/I_1(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]</math>
+<math>e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]</math> और <math>I_0(1)/I_1(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]</math>
 |-
 |<math>\tanh\left(\frac{1}{k}\right), k\in\mathbb{Z}^+</math>
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 |2.49846...
 | rowspan="3" |अनंत निरंतर अंश।
-|<math>q\in\{\pm2,\pm3,\pm4,...\}</math>, <math>h_q(1)</math> एक  <math>q</math>- हार्मोनिक श्रृंखला है .
+|<math>q\in\{\pm2,\pm3,\pm4,...\}</math>, <math>h_q(1)</math> एक <math>q</math>- हार्मोनिक श्रृंखला है .
 |-
 |<math>\text{ln}_q(2)</math><ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite journal|last1=Matala-aho|first1=Tapani|last2=Väänänen|first2=Keijo|last3=Zudilin|first3=Wadim|date=2006|title=New irrationality measures for 𝑞-logarithms|url=https://www.ams.org/mcom/2006-75-254/S0025-5718-05-01812-0/|journal=Mathematics of Computation|language=en|volume=75|issue=254|pages=879–889|doi=10.1090/S0025-5718-05-01812-0|issn=0025-5718|doi-access=free}}</ref>
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 |7.10320...
 |<math>[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]</math>
-|यह सिद्ध हो चुका है कि यदि श्रृंखला <math>\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{\csc^2 n}{n^3}</math> (जहाँ ''n''  रेडियंस में है) अभिसरण करता है, तो <math>\pi</math> का तर्कहीनता माप अधिकतम 2.5 है;<ref>{{cite arXiv |first=Max A. |last=Alekseyev |title=On convergence of the Flint Hills series |eprint=1104.5100 |date=2011 |class=math.CA }}</ref><ref>{{MathWorld|FlintHillsSeries|Flint Hills Series}}</ref> और यदि यह विचलन करता है, तो अपरिमेयता माप कम से कम 2.5 है।<ref>{{cite arXiv |first=Alex |last=Meiburg| title=Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series|eprint=2208.13356| date=2022 |class=math.NT}}</ref>
+|यह सिद्ध हो चुका है कि यदि श्रृंखला <math>\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{\csc^2 n}{n^3}</math> (जहाँ ''n'' रेडियंस में है) अभिसरण करता है, तो <math>\pi</math> का तर्कहीनता माप अधिकतम 2.5 है;<ref>{{cite arXiv |first=Max A. |last=Alekseyev |title=On convergence of the Flint Hills series |eprint=1104.5100 |date=2011 |class=math.CA }}</ref><ref>{{MathWorld|FlintHillsSeries|Flint Hills Series}}</ref> और यदि यह विचलन करता है, तो अपरिमेयता माप कम से कम 2.5 है।<ref>{{cite arXiv |first=Alex |last=Meiburg| title=Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series|eprint=2208.13356| date=2022 |class=math.NT}}</ref>
 |-
 |<math>\arctan(1/3)</math><ref>{{Cite journal|last1=Salikhov|first1=V. Kh.|last2=Bashmakova|first2=M. G.|date=2019-01-01|title=On Irrationality Measure of arctan 1/3|url=https://doi.org/10.3103/S1066369X19010079|journal=Russian Mathematics|language=en|volume=63|issue=1|pages=61–66|doi=10.3103/S1066369X19010079|s2cid=195131482|issn=1934-810X}}</ref>
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 |4
 |अनंत निरंतर अंश।
-|<math>T_2(1/b):=\sum_{n=1}^\infty t_nb^{n-1}</math> जहाँ <math>t_n</math> [[Thue–Morse sequence|थ्यू-मोर्स अनुक्रम]]  का n-वाँ पद है
+|<math>T_2(1/b):=\sum_{n=1}^\infty t_nb^{n-1}</math> जहाँ <math>t_n</math> [[Thue–Morse sequence|थ्यू-मोर्स अनुक्रम]] का n-वाँ पद है
 |-
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 यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को सिद्ध करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। चूँकि , प्रत्येक पारलौकिक संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के [[निरंतर अंश]] विस्तार की नियम अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि अगणनीय रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। [[कर्ट महलर]] ने 1953 में सिद्ध किया कि {{pi}} ऐसा ही एक और उदाहरण है।<ref>The irrationality measure of {{pi}} does not exceed 7.6304, according to {{MathWorld |title=Irrationality Measure |urlname=IrrationalityMeasure}}</ref>
-प्रमाण  पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित [[लेम्मा (गणित)]] को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।<!--intentional link to DAB page-->.
+प्रमाण पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित [[लेम्मा (गणित)]] को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।.
 नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।
@@ Line 404: / Line 404: @@
 : <math>  \left| \alpha - \frac{p}{q}  \right | > \frac{A}{q^n} </math>
-लेम्मा का प्रमाण : ''M''  को अधिकतम मान होने दें f '(x)( ''f'' के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान)  [[अंतराल (गणित)|(गणित)]] [''α'' − 1, ''α'' + 1] पर। चलो ''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, ..., ''α<sub>m</sub>'' f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें
+लेम्मा का प्रमाण : ''M'' को अधिकतम मान होने दें f '(x)( ''f'' के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान) [[अंतराल (गणित)|(गणित)]] [''α'' − 1, ''α'' + 1] पर। चलो ''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, ..., ''α<sub>m</sub>'' f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें
 : <math>A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left| \alpha - \alpha_2 \right|, \ldots , \left| \alpha-\alpha_m \right| \right)  </math>
@@ Line 421: / Line 421: @@
 : <math>\left|f \left (\frac{p}{q} \right) \right| = \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right| = \frac{1}{q^n} \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge \frac {1}{q^n} </math>
-अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f का मूल नहीं  है  और c<sub>''i''</sub>  पूर्णांक हैं।
+अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f का मूल नहीं है और c<sub>''i''</sub> पूर्णांक हैं।
 इस प्रकार हमारे पास |f(p/q)| है ≥ 1/''q<sup>n</sup>''. चूँकि |f'(x<sub>0</sub>)| ≤ M, M की परिभाषा से, और 1/M > A, A की परिभाषा से, हमारे पास वह है
@@ Line 433: / Line 433: @@
 मान लीजिए कि r एक सकारात्मक पूर्णांक होने दें जैसे कि 1/(2<sup>r</sup>) ≤ A. यदि हम मान लें कि m = r + n, और चूँकि x एक लिउविल संख्या है, तो पूर्णांक a, b जहाँ b > 1 ऐसा उपथित है
 : <math>\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} </math>
 जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।
-'''जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।'''
+== यह भी देखें                                                                                                  ==
-== यह भी देखें                                               ==
 * [[ब्रजुनो संख्या]]
 * [[डायोफैंटाइन सन्निकटन]]
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 {{Irrational number}}
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