चरण वेग

File:Wave group.gif

गहरे पानी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंग के समूहों में फैलाव (जल तरंगें)। लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और ● हरे घेरे समूह वेग के साथ फैलते हैं। इस गहरे पानी के मामले में, चरण वेग समूह वेग का दोगुना है। आकृति के बाएँ से दाएँ जाने पर लाल वर्ग दो हरे वृत्तों से आगे निकल जाता है। ऐसा लगता है कि नई तरंगें एक तरंग समूह के पीछे उभरती हैं, आयाम में तब तक बढ़ती हैं जब तक कि वे समूह के केंद्र में न हों, और लहर समूह के मोर्चे पर गायब हो जाती हैं।सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए, पानी के कण वेग ज्यादातर मामलों में चरण वेग से बहुत छोटे होते हैं।

File:Wave packet propagation (phase faster than group, nondispersive).gif

फैलाव के बिना समूह वेग से अधिक चरण वेग का प्रदर्शन करने वाले एक तरंग पैकेट का प्रचार।

File:Wave opposite-group-phase-velocity.gif

यह समूह वेग और चरण वेग के साथ एक तरंग को अलग-अलग दिशाओं में दिखाता है। समूह वेग धनात्मक है, जबकि चरण वेग ऋणात्मक है।

तरंग का चरण वेग वह दर है जिस पर तरंग किसी भी माध्यम में प्रचारित होती है। यह वह वेग है जिस पर तरंग के किसी एक आवृत्ति घटक का चरण यात्रा करता है। इस तरह के एक घटक के लिए, तरंग का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग से प्रसारित होता हुआ प्रतीत होगा। चरण वेग तरंग दैर्ध्य λ (लैम्ब्डा) और समय अवधि T के रूप में दिया जाता है।

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.$

समान रूप से, तरंग की कोणीय आवृत्ति ω के संदर्भ में, जो समय की प्रति इकाई कोणीय परिवर्तन को निर्दिष्ट करता है, और तरंग संख्या (या कोणीय तरंग संख्या) k, जो अंतरिक्ष की प्रति इकाई कोणीय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती है,

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$

इस समीकरण के लिए कुछ बुनियादी अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए, हम एक प्रसार (कोज्या) तरंग A cos(kx − ωt) पर विचार करते हैं। हम देखना चाहते हैं कि लहर का एक विशेष चरण कितनी तेजी से यात्रा करता है। उदाहरण के लिए, हम kx - ωt = 0 चुन सकते हैं, पहले शिखर का चरण। इसका तात्पर्य kx = ωt और इसलिए v = x / t = ω / k है।

औपचारिक रूप से, हम चरण देते हैं φ = kx - ωt और तुरंत देखें ω = -dφ / dt और k = dφ / dx. तो, यह तुरंत उसका अनुसरण करता है।

${\frac {\partial x}{\partial t}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial x}{\partial \phi }}={\frac {\omega }{k}}.$

परिणामस्वरूप, हम कोणीय आवृत्ति और तरंगवेक्टर के बीच व्युत्क्रम संबंध देखते हैं। यदि तरंग में उच्च आवृत्ति दोलन होते हैं, तो चरण वेग को स्थिर रखने के लिए तरंग दैर्ध्य को छोटा किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, विद्युत चुम्बकीय विकिरण का चरण वेग - कुछ परिस्थितियों में (उदाहरण के लिए विषम फैलाव) - निर्वात में प्रकाश की गति को पार कर सकता है, लेकिन इसका मतलब कोई बृहद जानकारी या ऊर्जा हस्तांतरण नहीं है। यह सैद्धांतिक रूप से अर्नोल्ड सोमरफेल्ड और लियोन ब्रिलौइन जैसे भौतिकविदों द्वारा वर्णित किया गया था।

समूह वेग

File:Wavepacket1.gif

1डी समतल तरंगों (नीला) का एक सुपरपोज़िशन, प्रत्येक एक अलग चरण वेग (नीले डॉट्स द्वारा पता लगाया गया) पर यात्रा करता है, जिसके परिणामस्वरूप गॉसियन वेव पैकेट (लाल) होता है जो समूह वेग (लाल रेखा द्वारा पता लगाया जाता है) पर फैलता है।

तरंगों के संग्रह के समूह वेग को इस रूप में परिभाषित किया गया है।

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.$

जब कई साइनसोइडल तरंगें एक साथ फैलती हैं, तो तरंगों के परिणामी सुपरपोजिशन का परिणाम "आवरण" तरंग के साथ-साथ "वाहक" लहर हो सकता है जो आवरण के अंदर होता है। यह आमतौर पर बेतार संचार, मॉडुलन, आयाम में परिवर्तन और/या चरण में डेटा भेजने के लिए नियोजित किया जाता है। इस परिभाषा के लिए कुछ अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए, हम उनके संबंधित कोणीय आवृत्तियों और तरंग सदिश के साथ (कोसाइन) तरंगों f(x, t) की एक अध्यारोपण पर विचार करते हैं।

${\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}$

तो, हमारे पास दो तरंगों का एक उत्पाद है: f₁ द्वारा बनाई गई एक आवरण तरंग और f₂ द्वारा बनाई गई वाहक तरंग। हम लिफ़ाफ़े की लहर के वेग को समूह वेग कहते हैं। हम देखते हैं कि f₁ का चरण वेग है।

${\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.$

निरंतर अंतर के मामले में, यह समूह वेग की परिभाषा बन जाती है।

अपवर्तक सूचकांक

विद्युत चुम्बकीय और प्रकाशिकी के संदर्भ में, आवृत्ति तरंग संख्या का कुछ कार्य ω(k) है, इसलिए सामान्यतः, चरण वेग और समूह वेग विशिष्ट माध्यम और आवृत्ति पर निर्भर करते हैं। प्रकाश c की गति और चरण वेग vp के बीच के अनुपात को अपवर्तक सूचकांक के रूप में जाना जाता है, n = c / v_p = ck / ω

इस प्रकार, हम विद्युतचुंबकीय के समूह वेग के लिए एक अन्य रूप प्राप्त कर सकते हैं। n = n(ω) लिखते समय, इस फॉर्म को प्राप्त करने का एक त्वरित तरीका है अवलोकन करना

$k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .$

इसके बाद हम उपरोक्त को प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

$v_g=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}k}=\frac{c}{n+\mathrm{\omega <!--\omega -->}}$