जनक फलन: Difference between revisions
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{{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}} | {{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}}गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|आकारनिष्ठ घात श्रृंखला]] के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका ({{math|''a''<sub>''n''</sub>}}) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर [[अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book |author-link=Donald Knuth |first=Donald E. |last=Knuth |series=[[The Art of Computer Programming]] |volume=1 |title=मौलिक एल्गोरिदम|edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-89683-4 |year=1997 |chapter=§1.2.9 Generating Functions}}</ref> संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है। | ||
गणित में, | |||
विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | ||
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{{block quote | {{block quote | ||
| text = 'जनक फलन एक | | text = 'जनक फलन एक यंत्र है जो कुछ हद तक एक बैग के समान होता है। बहुत सी छोटी वस्तुओं को अलग-अलग ले जाने के स्थान पर, जो लज्जाजनक हो सकता है, हम उन सभी को एक बैग में रख देते हैं, और फिर हमारे पास ले जाने के लिए केवल एक ही वस्तु होती है, बैग.'' | ||
| author = [[जॉर्ज पोल्या]] | | author = [[जॉर्ज पोल्या]] | ||
| source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | | source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = '' | | text = ''जनक फलन एक अलगनी है जिस पर हम प्रदर्शन के लिए संख्याओं का एक क्रम लटकाते हैं.'' | ||
| author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | | author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | ||
| source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | | source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | ||
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<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | <math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | ||
घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध]] | घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध|पुनरावृत्ति संबंधों]] को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम {{math|{''f<sub>n</sub>''}<nowiki/>}} लें जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध {{math|''f''<sub>''n''+2</sub> {{=}} ''f''<sub>''n''+1</sub> + ''f''<sub>''n''</sub>}} को संतुष्ट करता है। संबंधित घातीय जनक फलन का रूप है | ||
<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | <math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | ||
बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है। | बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और यह जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है। | ||
अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है | अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति किसी भी स्थिरांक {{mvar|a}} के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है : | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | ||
अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को जनक फलन मिलता है | अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को निम्न जनक फलन मिलता है | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | ||
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\int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n. | \int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को {{mvar|k}} बार अनुक्रम {{math|''n''<sup>''k''</sup>}} को गुणा करने के लिए दोहराया जा सकता है, लेकिन इसके लिए विभेदन और गुणन के बीच प्रत्यावर्तन करने की आवश्यकता होती है। यदि क्रम में k विभेदीकरण करने के | दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को {{mvar|k}} बार अनुक्रम {{math|''n''<sup>''k''</sup>}} को गुणा करने के लिए दोहराया जा सकता है, लेकिन इसके लिए विभेदन और गुणन के बीच प्रत्यावर्तन करने की आवश्यकता होती है। यदि क्रम में k विभेदीकरण करने के स्थान पर, प्रभाव kवें अवपाती भाज्य से गुणा करना है: | ||
<math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | <math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | ||
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<math display="block">c_0(z) F^{(r)}(z) + c_1(z) F^{(r-1)}(z) + \cdots + c_r(z) F(z) = 0, </math> | <math display="block">c_0(z) F^{(r)}(z) + c_1(z) F^{(r-1)}(z) + \cdots + c_r(z) F(z) = 0, </math> | ||
जहां गुणांक {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में | जहां गुणांक {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में {{math|ℂ(''z'')}} हैं। समान रूप से, {{math|''F''(''z'')}} होलोनोमिक है यदि सदिश स्थान {{math|ℂ(''z'')}} समाप्त हो गया है। इसके सभी व्युत्पादित्स के सम्मुच्चय द्वारा परिमित आयामी है। | ||
चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर (डिनोमिनेटर) को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} में {{mvar|z}} बहुपद हैं। इस प्रकार हम एक समतुल्य स्थिति देख सकते हैं कि एक जनन फलन होलोनोमिक है यदि इसके गुणांक a {{mvar|P}}-रूप की पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं | चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर (डिनोमिनेटर) को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} में {{mvar|z}} बहुपद हैं। इस प्रकार हम एक समतुल्य स्थिति देख सकते हैं कि एक जनन फलन होलोनोमिक है यदि इसके गुणांक a {{mvar|P}}-रूप की पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं | ||
<math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math> | <math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math> | ||
सभी के लिए {{math|''n'' ≥ ''n''<sub>0</sub>}} काफी बड़ा है और जहाँ {{math|''ĉ<sub>i</sub>''(''n'')}} निश्चित परिमित-डिग्री बहुपद {{mvar|n}} हैं। दूसरे शब्दों में, गुण जो अनुक्रम हो {{mvar|P}}-पुनरावर्ती और एक होलोनोमिक जनक फलन समतुल्य हैं। होलोनोमिक फलन जनक फलन रूपांतरण और विकर्ण जनक फलन संचालन के तहत बंद | सभी के लिए {{math|''n'' ≥ ''n''<sub>0</sub>}} काफी बड़ा है और जहाँ {{math|''ĉ<sub>i</sub>''(''n'')}} निश्चित परिमित-डिग्री बहुपद {{mvar|n}} हैं। दूसरे शब्दों में, गुण जो अनुक्रम हो {{mvar|P}}-पुनरावर्ती और एक होलोनोमिक जनक फलन समतुल्य हैं। {{math|⊙}} कार्यों को उत्पन्न करने पर होलोनोमिक फलन जनक फलन रूपांतरण और विकर्ण जनक फलन संचालन के तहत बंद हैं। | ||
==== उदाहरण ==== | ==== उदाहरण ==== | ||
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==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ==== | ==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ==== | ||
प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते | प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं। अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई योग के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं। | ||
<!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.--> | <!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.--> | ||
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==== {{mvar|h}} वें अभिसरण कार्यों के गुण ==== | ==== {{mvar|h}}वें अभिसरण कार्यों के गुण ==== | ||
{{math|''h'' ≥ 0}} के लिए (हालांकि अभ्यास में जब {{math|''h'' ≥ 2}}), हम {{mvar|h}} वें परिमेय अभिसरण को अनंत {{mvar|J}}-अंश में परिभाषित कर सकते हैं , {{math|''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}}, द्वारा विस्तारित | {{math|''h'' ≥ 0}} के लिए (हालांकि अभ्यास में जब {{math|''h'' ≥ 2}}), हम {{mvar|h}}वें परिमेय अभिसरण को अनंत {{mvar|J}}-अंश में परिभाषित कर सकते हैं , {{math|''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}}, द्वारा विस्तारित | ||
<math display="block">\operatorname{Conv}_h(z) := \frac{P_h(z)}{Q_h(z)} = j_0 + j_1 z + \cdots + j_{2h-1} z^{2h-1} + \sum_{n = 2h}^\infty \widetilde{j}_{h,n} z^n</math> | <math display="block">\operatorname{Conv}_h(z) := \frac{P_h(z)}{Q_h(z)} = j_0 + j_1 z + \cdots + j_{2h-1} z^{2h-1} + \sum_{n = 2h}^\infty \widetilde{j}_{h,n} z^n</math> | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इसके अतिरिक्त, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv<sub>''h''</sub>(''z'')}} की तार्किकता {{math|''j<sub>n</sub>''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''M<sub>h</sub>'' ≔ ab<sub>2</sub> ⋯ ab<sub>''h'' + 1</sub>}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖ ''M''<sub>''h''</sub>}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math> | इसके अतिरिक्त, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv<sub>''h''</sub>(''z'')}} की तार्किकता {{math|''j<sub>n</sub>''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''M<sub>h</sub>'' ≔ ab<sub>2</sub> ⋯ ab<sub>''h'' + 1</sub>}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖ ''M''<sub>''h''</sub>}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math> | ||
गैर-प्रतीकात्मक के लिए, जब {{math|''h'' ≥ 2}} है तब मापदण्ड अनुक्रम {{math|{ab<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}}और {{math|{''c''<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}} के विकल्पों का निर्धारण करें , अर्थात्, जब ये अनुक्रम q, x, या R जैसे सहायक मापदण्ड पर निहित रूप से निर्भर नहीं करते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिए गए उदाहरणों में है। | गैर-प्रतीकात्मक के लिए, जब {{math|''h'' ≥ 2}} है तब मापदण्ड अनुक्रम {{math|{ab<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}}और {{math|{''c''<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}} के विकल्पों का निर्धारण करें , अर्थात्, जब ये अनुक्रम q, x, या R जैसे सहायक मापदण्ड पर निहित रूप से निर्भर नहीं करते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिए गए उदाहरणों में है। | ||
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इस प्रकार पिछले समीकरण में जनक फलन के दूसरे आंशिक भिन्न विस्तार से उत्पन्न अनुक्रम का बीजगणितीय सरलीकरण करके, हम पाते हैं कि {{math|''U''<sub>2''n'' + 1</sub> ≡ 0}} ओर वो | इस प्रकार पिछले समीकरण में जनक फलन के दूसरे आंशिक भिन्न विस्तार से उत्पन्न अनुक्रम का बीजगणितीय सरलीकरण करके, हम पाते हैं कि {{math|''U''<sub>2''n'' + 1</sub> ≡ 0}} ओर वो | ||
<math display="block">U_{2n} = \left\lceil \frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n}{3-\sqrt{3}} \right\rceil\,, </math> | <math display="block">U_{2n} = \left\lceil \frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n}{3-\sqrt{3}} \right\rceil\,, </math> | ||
सभी पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 0}} | सभी पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 0}}। हम यह भी ध्यान देते हैं कि फाइबोनैचि संख्याओं के लिए दूसरे क्रम के पुनरावर्तन संबंध पर लागू वही स्थानान्तरित जनक फलन तकनीक पहले से ही आच्छादित किए गए एक चर में [[पुनरावृत्ति संबंध]]ों को हल करने के लिए जनक फलन का उपयोग करने का प्रतिमान उदाहरण है, या कम से कम उपखंड में संकेत दिया गया है। ऊपर दिए गए [[तर्कसंगत कार्य]]। | ||
===संक्रमण (कॉची उत्पाद)=== | ===संक्रमण (कॉची उत्पाद)=== | ||
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# तीन साधारण जनक फलन के उत्पाद के परिणामस्वरूप होने वाले त्रिगुणात्मक अनुक्रम पर विचार करें <math display="block">C(z) = F(z) G(z) H(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{j+k+ l=n} f_j g_k h_ l</math> | # तीन साधारण जनक फलन के उत्पाद के परिणामस्वरूप होने वाले त्रिगुणात्मक अनुक्रम पर विचार करें <math display="block">C(z) = F(z) G(z) H(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{j+k+ l=n} f_j g_k h_ l</math> | ||
#किसी धनात्मक पूर्णांक m ≥ 1 के लिए स्वयं के साथ अनुक्रम के m-गुना संवलन पर विचार करें (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें) <math display="block">C(z) = G(z)^m \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}</math> | #किसी धनात्मक पूर्णांक m ≥ 1 के लिए स्वयं के साथ अनुक्रम के m-गुना संवलन पर विचार करें (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें) <math display="block">C(z) = G(z)^m \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}</math> | ||
जनक फलनों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का संवलन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर {{mvar|Z}} को {{math|''G<sub>Z</sub>''(''z'')}} द्वारा दर्शाया जाता है , तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए निम्न है <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=§8.3}}</ref> | जनक फलनों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का संवलन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर {{mvar|Z}} को {{math|''G<sub>Z</sub>''(''z'')}} द्वारा दर्शाया जाता है, तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए निम्न है <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=§8.3}}</ref> | ||
<math display="block">G_{X+Y}(z) = G_X(z) G_Y(z)\,, </math> | <math display="block">G_{X+Y}(z) = G_X(z) G_Y(z)\,, </math> | ||
अगर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या {{math|''n'' ≥ 0}} सम्मुच्चय {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है | अगर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या {{math|''n'' ≥ 0}} सम्मुच्चय {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है | ||
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===जनक फलन सर्वांगसमता सिद्ध करते हैं=== | ===जनक फलन सर्वांगसमता सिद्ध करते हैं=== | ||
हम कहते हैं कि दो जनक फलन (घात श्रेणी) सर्वांगसम इकाई {{mvar|m}} हैं, लिखा हुआ {{math|''A''(''z'') ≡ ''B''(''z'') (mod ''m'')}} यदि उनके गुणांक सर्वांगसम इकाई {{mvar|m}} हैं सभी के लिए {{math|''n'' ≥ 0}}, अर्थात।, {{math|''a<sub>n</sub>'' ≡ ''b<sub>n</sub>'' (mod ''m'')}} पूर्णांकों के सभी प्रासंगिक | हम कहते हैं कि दो जनक फलन (घात श्रेणी) सर्वांगसम इकाई {{mvar|m}} हैं, लिखा हुआ {{math|''A''(''z'') ≡ ''B''(''z'') (mod ''m'')}} यदि उनके गुणांक सर्वांगसम इकाई {{mvar|m}} हैं सभी के लिए {{math|''n'' ≥ 0}}, अर्थात।, {{math|''a<sub>n</sub>'' ≡ ''b<sub>n</sub>'' (mod ''m'')}} पूर्णांकों के सभी प्रासंगिक स्तिथियों के लिए के लिए {{mvar|n}} (ध्यान दें कि हमें यह मानने की आवश्यकता नहीं है {{mvar|m}} यहाँ एक पूर्णांक है - यह बहुत अच्छी तरह से बहुपद-मूल्यवान कुछ अनिश्चित में हो सकता है {{mvar|x}}, उदाहरण के लिए)। यदि सरल दाहिने हाथ की ओर जनक फलन, {{math|''B''(''z'')}}, का एक तर्कसंगत कार्य {{mvar|z}} है, तो इस अनुक्रम के रूप से पता चलता है कि अनुक्रम आवधिक कार्य मोडुलो है जो पूर्णांक-मान के विशेष स्तिथि तय करता है {{math|''m'' ≥ 2}}। उदाहरण के लिए, हम सिद्ध कर सकते हैं कि यूलर संख्याएँ, | ||
<math display="block">\langle E_n \rangle = \langle 1, 1, 5, 61, 1385, \ldots \rangle \longmapsto \langle 1,1,2,1,2,1,2,\ldots \rangle \pmod{3}\,,</math> | <math display="block">\langle E_n \rangle = \langle 1, 1, 5, 61, 1385, \ldots \rangle \longmapsto \langle 1,1,2,1,2,1,2,\ldots \rangle \pmod{3}\,,</math> | ||
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Latest revision as of 15:18, 11 April 2023
गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को आकारनिष्ठ घात श्रृंखला के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका (an) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर अनिश्चित रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।[1] संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।
विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।
औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है
किसी फलन के कार्यक्षेत्र से कोडोमेन तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है,[2] इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।