जनक फलन: Difference between revisions
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{{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}} | {{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}}गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|आकारनिष्ठ घात श्रृंखला]] के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका ({{math|''a''<sub>''n''</sub>}}) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर [[अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book |author-link=Donald Knuth |first=Donald E. |last=Knuth |series=[[The Art of Computer Programming]] |volume=1 |title=मौलिक एल्गोरिदम|edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-89683-4 |year=1997 |chapter=§1.2.9 Generating Functions}}</ref> संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है। | ||
गणित में, | |||
विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | ||
औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है | |||
किसी फलन के | किसी फलन के कार्यक्षेत्र से [[कोडोमेन]] तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है,<ref>This alternative term can already be found in E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", ''[[Canadian Journal of Mathematics]]'' 3, [https://books.google.com/books?id=x34z99fCRbsC&lpg=PA405&ots=eOp9p9mIoD&dq=%22generating%20series%22&lr=lang_en&pg=PA407#v=onepage&q=%22generating%20series%22&f=false p. 405–411], but its use is rare before the year 2000; since then it appears to be increasing.</ref> इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = 'जनक फलन एक | | text = 'जनक फलन एक यंत्र है जो कुछ हद तक एक बैग के समान होता है। बहुत सी छोटी वस्तुओं को अलग-अलग ले जाने के स्थान पर, जो लज्जाजनक हो सकता है, हम उन सभी को एक बैग में रख देते हैं, और फिर हमारे पास ले जाने के लिए केवल एक ही वस्तु होती है, बैग.'' | ||
| author = [[जॉर्ज पोल्या]] | | author = [[जॉर्ज पोल्या]] | ||
| source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | | source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = '' | | text = ''जनक फलन एक अलगनी है जिस पर हम प्रदर्शन के लिए संख्याओं का एक क्रम लटकाते हैं.'' | ||
| author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | | author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | ||
| source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | | source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | ||
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<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | <math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | ||
घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध]] | घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध|पुनरावृत्ति संबंधों]] को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम {{math|{''f<sub>n</sub>''}<nowiki/>}} लें जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध {{math|''f''<sub>''n''+2</sub> {{=}} ''f''<sub>''n''+1</sub> + ''f''<sub>''n''</sub>}} को संतुष्ट करता है। संबंधित घातीय जनक फलन का रूप है | ||
<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | <math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | ||
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<math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math> | <math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math> | ||
पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक | पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक योग से संबंधित हैं | ||
<math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math> | <math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | ||
बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके | बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और यह जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है। | ||
अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है | अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति किसी भी स्थिरांक {{mvar|a}} के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है : | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | ||
अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को जनक फलन मिलता है | अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को निम्न जनक फलन मिलता है | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | ||
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{{Main|रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम}} | {{Main|रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम}} | ||
एक अनुक्रम के सामान्य जनक फलन को एक तर्कसंगत फलन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक [[रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम]] है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक [[परिमित अंतर समीकरण]] द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है। यहाँ | एक अनुक्रम के सामान्य जनक फलन को एक तर्कसंगत फलन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक [[रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम]] है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक [[परिमित अंतर समीकरण]] द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है। यहाँ प्रतिमानिकल उदाहरण फलन तकनीकों को उत्पन्न करके [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के लिए बिनेट के सूत्र को प्राप्त करना है। | ||
हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref> | हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref> | ||
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<math display="block">\operatorname{diag}(F) = \sum_{n = 0}^\infty \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}. </math> | <math display="block">\operatorname{diag}(F) = \sum_{n = 0}^\infty \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}. </math> | ||
इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष | इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष क्रमभंग द्वारा सम्मिलित है। | ||
=== जनक फलन संचालन === | === जनक फलन संचालन === | ||
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\int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n. | \int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को {{mvar|k}} बार अनुक्रम {{math|''n''<sup>''k''</sup>}} को गुणा करने के लिए दोहराया जा सकता है, लेकिन इसके लिए विभेदन और गुणन के बीच प्रत्यावर्तन करने की आवश्यकता होती है। यदि क्रम में k विभेदीकरण करने के | दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को {{mvar|k}} बार अनुक्रम {{math|''n''<sup>''k''</sup>}} को गुणा करने के लिए दोहराया जा सकता है, लेकिन इसके लिए विभेदन और गुणन के बीच प्रत्यावर्तन करने की आवश्यकता होती है। यदि क्रम में k विभेदीकरण करने के स्थान पर, प्रभाव kवें अवपाती भाज्य से गुणा करना है: | ||
<math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | <math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | ||
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<math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | <math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | ||
बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम | बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम जनक फलन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है। | ||
==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ==== | ==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ==== | ||
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<math display="block">c_0(z) F^{(r)}(z) + c_1(z) F^{(r-1)}(z) + \cdots + c_r(z) F(z) = 0, </math> | <math display="block">c_0(z) F^{(r)}(z) + c_1(z) F^{(r-1)}(z) + \cdots + c_r(z) F(z) = 0, </math> | ||
जहां गुणांक {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में | जहां गुणांक {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में {{math|ℂ(''z'')}} हैं। समान रूप से, {{math|''F''(''z'')}} होलोनोमिक है यदि सदिश स्थान {{math|ℂ(''z'')}} समाप्त हो गया है। इसके सभी व्युत्पादित्स के सम्मुच्चय द्वारा परिमित आयामी है। | ||
चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर (डिनोमिनेटर) को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} में {{mvar|z}} बहुपद हैं। इस प्रकार हम एक समतुल्य स्थिति देख सकते हैं कि एक जनन फलन होलोनोमिक है यदि इसके गुणांक a {{mvar|P}}-रूप की पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं | चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर (डिनोमिनेटर) को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} में {{mvar|z}} बहुपद हैं। इस प्रकार हम एक समतुल्य स्थिति देख सकते हैं कि एक जनन फलन होलोनोमिक है यदि इसके गुणांक a {{mvar|P}}-रूप की पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं | ||
<math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math> | <math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math> | ||
सभी के लिए {{math|''n'' ≥ ''n''<sub>0</sub>}} काफी बड़ा है और जहाँ {{math|''ĉ<sub>i</sub>''(''n'')}} निश्चित परिमित-डिग्री बहुपद {{mvar|n}} हैं। दूसरे शब्दों में, गुण जो अनुक्रम हो {{mvar|P}}-पुनरावर्ती और एक होलोनोमिक जनक फलन समतुल्य हैं। होलोनोमिक फलन जनक फलन रूपांतरण और विकर्ण जनक फलन संचालन के तहत बंद | सभी के लिए {{math|''n'' ≥ ''n''<sub>0</sub>}} काफी बड़ा है और जहाँ {{math|''ĉ<sub>i</sub>''(''n'')}} निश्चित परिमित-डिग्री बहुपद {{mvar|n}} हैं। दूसरे शब्दों में, गुण जो अनुक्रम हो {{mvar|P}}-पुनरावर्ती और एक होलोनोमिक जनक फलन समतुल्य हैं। {{math|⊙}} कार्यों को उत्पन्न करने पर होलोनोमिक फलन जनक फलन रूपांतरण और विकर्ण जनक फलन संचालन के तहत बंद हैं। | ||
==== उदाहरण ==== | ==== उदाहरण ==== | ||
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==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ==== | ==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ==== | ||
प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते | प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं। अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई योग के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं। | ||
<!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.--> | <!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.--> | ||
| Line 301: | Line 297: | ||
<math display="block">G(C_n; x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.</math> | <math display="block">G(C_n; x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.</math> | ||
{{math|1=''r'' = {{sfrac|1|4}}}}, {{math|1=''α'' = 1}}, {{math|1=''β'' = −{{sfrac|1|2}}}}, {{math|1=''A''(''x'') = {{sfrac|1|2}}}}, और {{math|1=''B''(''x'') = −{{sfrac|1|2}}}} के साथ, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कैटलन | {{math|1=''r'' = {{sfrac|1|4}}}}, {{math|1=''α'' = 1}}, {{math|1=''β'' = −{{sfrac|1|2}}}}, {{math|1=''A''(''x'') = {{sfrac|1|2}}}}, और {{math|1=''B''(''x'') = −{{sfrac|1|2}}}} के साथ, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कैटलन संख्याों के लिए, | ||
<math display="block">C_n \sim \frac{B(r)}{r^\alpha \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left(\frac{1}{r} \right)^n = \frac{-\frac12}{\left(\frac14\right)^1 \Gamma\left(-\frac12\right)} \, n^{-\frac12-1} \left(\frac{1}{\,\frac14\,}\right)^n = \frac{4^n}{n^\frac32 \sqrt\pi}.</math> | <math display="block">C_n \sim \frac{B(r)}{r^\alpha \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left(\frac{1}{r} \right)^n = \frac{-\frac12}{\left(\frac14\right)^1 \Gamma\left(-\frac12\right)} \, n^{-\frac12-1} \left(\frac{1}{\,\frac14\,}\right)^n = \frac{4^n}{n^\frac32 \sqrt\pi}.</math> | ||
| Line 329: | Line 325: | ||
& = 1 + c_1 z + \left(\text{ab}_2+c_1^2\right) z^2 + \left(2 \text{ab}_2 c_1+c_1^3 + \text{ab}_2 c_2\right) z^3 + \cdots | & = 1 + c_1 z + \left(\text{ab}_2+c_1^2\right) z^2 + \left(2 \text{ab}_2 c_1+c_1^3 + \text{ab}_2 c_2\right) z^3 + \cdots | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>z^n</math> के गुणांक, {{math|''j<sub>n</sub>'' ≔ [''z<sup>n</sup>''] ''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}} द्वारा आशुलिपि में निरूपित, पिछले समीकरणों में समीकरणों के | <math>z^n</math> के गुणांक, {{math|''j<sub>n</sub>'' ≔ [''z<sup>n</sup>''] ''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}} द्वारा आशुलिपि में निरूपित, पिछले समीकरणों में समीकरणों के आव्यूह समाधान के अनुरूप हैं | ||
<math display="block">\begin{bmatrix}k_{0,1} & k_{1,1} & 0 & 0 & \cdots \\ k_{0,2} & k_{1,2} & k_{2,2} & 0 & \cdots \\ k_{0,3} & k_{1,3} & k_{2,3} & k_{3,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} = | <math display="block">\begin{bmatrix}k_{0,1} & k_{1,1} & 0 & 0 & \cdots \\ k_{0,2} & k_{1,2} & k_{2,2} & 0 & \cdots \\ k_{0,3} & k_{1,3} & k_{2,3} & k_{3,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} = | ||
| Line 340: | Line 336: | ||
==== {{mvar|h}} वें अभिसरण कार्यों के गुण ==== | ==== {{mvar|h}}वें अभिसरण कार्यों के गुण ==== | ||
{{math|''h'' ≥ 0}} के लिए (हालांकि अभ्यास में जब {{math|''h'' ≥ 2}}), हम {{mvar|h}} वें परिमेय अभिसरण को अनंत {{mvar|J}}-अंश में परिभाषित कर सकते हैं , {{math|''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}}, द्वारा विस्तारित | {{math|''h'' ≥ 0}} के लिए (हालांकि अभ्यास में जब {{math|''h'' ≥ 2}}), हम {{mvar|h}}वें परिमेय अभिसरण को अनंत {{mvar|J}}-अंश में परिभाषित कर सकते हैं , {{math|''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}}, द्वारा विस्तारित | ||
<math display="block">\operatorname{Conv}_h(z) := \frac{P_h(z)}{Q_h(z)} = j_0 + j_1 z + \cdots + j_{2h-1} z^{2h-1} + \sum_{n = 2h}^\infty \widetilde{j}_{h,n} z^n</math> | <math display="block">\operatorname{Conv}_h(z) := \frac{P_h(z)}{Q_h(z)} = j_0 + j_1 z + \cdots + j_{2h-1} z^{2h-1} + \sum_{n = 2h}^\infty \widetilde{j}_{h,n} z^n</math> | ||
| Line 351: | Line 347: | ||
Q_h(z) & = (1-c_h z) Q_{h-1}(z) - \text{ab}_h z^2 Q_{h-2}(z) + (1-c_1 z) \delta_{h,1} + \delta_{0,1}. | Q_h(z) & = (1-c_h z) Q_{h-1}(z) - \text{ab}_h z^2 Q_{h-2}(z) + (1-c_1 z) \delta_{h,1} + \delta_{0,1}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv<sub>''h''</sub>(''z'')}} की तार्किकता {{math|''j<sub>n</sub>''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''M<sub>h</sub>'' ≔ ab<sub>2</sub> ⋯ ab<sub>''h'' + 1</sub>}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖ ''M''<sub>''h''</sub>}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math> | ||
गैर-प्रतीकात्मक के लिए, जब {{math|''h'' ≥ 2}} है तब मापदण्ड अनुक्रम {{math|{ab<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}}और {{math|{''c''<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}} के विकल्पों का निर्धारण करें , अर्थात्, जब ये अनुक्रम q, x, या R जैसे सहायक मापदण्ड पर निहित रूप से निर्भर नहीं करते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिए गए उदाहरणों में है। | गैर-प्रतीकात्मक के लिए, जब {{math|''h'' ≥ 2}} है तब मापदण्ड अनुक्रम {{math|{ab<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}}और {{math|{''c''<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}} के विकल्पों का निर्धारण करें , अर्थात्, जब ये अनुक्रम q, x, या R जैसे सहायक मापदण्ड पर निहित रूप से निर्भर नहीं करते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिए गए उदाहरणों में है। | ||
| Line 431: | Line 426: | ||
<math display="block">\prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^c\frac{1}{1-x_iy_j}.</math> | <math display="block">\prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^c\frac{1}{1-x_iy_j}.</math> | ||
द्विभाजित स्तिथि में, गैर-बहुपद | द्विभाजित स्तिथि में, गैर-बहुपद युग्म योग फॉर्म के तथाकथित युग्म या उत्कृष्ट जनक फलन के उदाहरण हैं | ||
<math display="block">G(w, z) := \sum_{m,n \geq 0} g_{m,n} w^m z^n</math> | <math display="block">G(w, z) := \sum_{m,n \geq 0} g_{m,n} w^m z^n</math> | ||
| Line 447: | Line 442: | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
===विभिन्न तकनीकें: | ===विभिन्न तकनीकें: योग का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना === | ||
==== उदाहरण 1: | ==== उदाहरण 1: सुसंगत संख्याओं के योग के लिए एक सूत्र ==== | ||
जनक फलन हमें योगों में | जनक फलन हमें योगों में क्रमभंग करने और योगों के बीच तत्समक स्थापित करने की कई विधियाँ प्रदान करते हैं। | ||
सबसे सरल स्तिथि तब | सबसे सरल स्तिथि तब होती है जब {{math|''s<sub>n</sub>'' {{=}} ∑{{su|b=''k'' {{=}} 0|p=''n''}} ''a<sub>k</sub>''}}. हम तब जानते हैं कि इसी सामान्य उत्पादन कार्यों के लिए {{math|''S''(''z'') {{=}} {{sfrac|''A''(''z'')|1 − ''z''}}}} है। | ||
उदाहरण के लिए, हम | उदाहरण के लिए, हम क्रमभंग कर सकते हैं | ||
<math display="block">s_n=\sum_{k=1}^{n} H_{k}\,,</math> | <math display="block">s_n=\sum_{k=1}^{n} H_{k}\,,</math> | ||
जहाँ {{math|''H<sub>k</sub>'' {{=}} 1 + {{sfrac|1|2}} + ⋯ + {{sfrac|1|''k''}}}} | जहाँ {{math|''H<sub>k</sub>'' {{=}} 1 + {{sfrac|1|2}} + ⋯ + {{sfrac|1|''k''}}}} सुसंगत संख्या हैं। मान लीजिये | ||
<math display="block">H(z) = \sum_{n = 1}^\infty{H_n z^n}</math> | <math display="block">H(z) = \sum_{n = 1}^\infty{H_n z^n}</math> | ||
सुसंगत संख्याओं का सामान्य जनन फलन हो। तब | |||
<math display="block">H(z) = \frac{1}{1-z}\sum_{n = 1}^\infty \frac{z^n}{n}\,,</math> | <math display="block">H(z) = \frac{1}{1-z}\sum_{n = 1}^\infty \frac{z^n}{n}\,,</math> | ||
और इस तरह | और इस तरह | ||
| Line 465: | Line 460: | ||
का उपयोग करते हुए | का उपयोग करते हुए | ||
<math display="block">\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n = 0}^\infty (n+1)z^n\,,</math> | <math display="block">\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n = 0}^\infty (n+1)z^n\,,</math> | ||
जनक फलन | जनक फलन अंश के साथ संवलन प्राप्त होता है | ||
<math display="block">s_n = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n+1-k}{k} = (n+1)H_n - n\,,</math> | <math display="block">s_n = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n+1-k}{k} = (n+1)H_n - n\,,</math> | ||
जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है | जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है | ||
| Line 473: | Line 468: | ||
==== उदाहरण 2: संशोधित द्विपद गुणांक योग और द्विपद रूपांतरण ==== | ==== उदाहरण 2: संशोधित द्विपद गुणांक योग और द्विपद रूपांतरण ==== | ||
एक | |||