जनक फलन: Difference between revisions
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{{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}} | {{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}}गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|आकारनिष्ठ घात श्रृंखला]] के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका ({{math|''a''<sub>''n''</sub>}}) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर [[अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book |author-link=Donald Knuth |first=Donald E. |last=Knuth |series=[[The Art of Computer Programming]] |volume=1 |title=मौलिक एल्गोरिदम|edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-89683-4 |year=1997 |chapter=§1.2.9 Generating Functions}}</ref> संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है। | ||
गणित में, | |||
विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | ||
औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है | |||
किसी फलन के | किसी फलन के कार्यक्षेत्र से [[कोडोमेन]] तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है,<ref>This alternative term can already be found in E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", ''[[Canadian Journal of Mathematics]]'' 3, [https://books.google.com/books?id=x34z99fCRbsC&lpg=PA405&ots=eOp9p9mIoD&dq=%22generating%20series%22&lr=lang_en&pg=PA407#v=onepage&q=%22generating%20series%22&f=false p. 405–411], but its use is rare before the year 2000; since then it appears to be increasing.</ref> इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = 'जनक फलन एक | | text = 'जनक फलन एक यंत्र है जो कुछ हद तक एक बैग के समान होता है। बहुत सी छोटी वस्तुओं को अलग-अलग ले जाने के स्थान पर, जो लज्जाजनक हो सकता है, हम उन सभी को एक बैग में रख देते हैं, और फिर हमारे पास ले जाने के लिए केवल एक ही वस्तु होती है, बैग.'' | ||
| author = [[जॉर्ज पोल्या]] | | author = [[जॉर्ज पोल्या]] | ||
| source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | | source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = '' | | text = ''जनक फलन एक अलगनी है जिस पर हम प्रदर्शन के लिए संख्याओं का एक क्रम लटकाते हैं.'' | ||
| author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | | author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | ||
| source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | | source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | ||
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<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | <math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | ||
घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध]] | घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध|पुनरावृत्ति संबंधों]] को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम {{math|{''f<sub>n</sub>''}<nowiki/>}} लें जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध {{math|''f''<sub>''n''+2</sub> {{=}} ''f''<sub>''n''+1</sub> + ''f''<sub>''n''</sub>}} को संतुष्ट करता है। संबंधित घातीय जनक फलन का रूप है | ||
<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | <math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | ||
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<math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math> | <math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math> | ||
पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक | पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक योग से संबंधित हैं | ||
<math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math> | <math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | ||
बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके | बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और यह जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है। | ||
अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है | अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति किसी भी स्थिरांक {{mvar|a}} के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है : | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | ||
अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को जनक फलन मिलता है | अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को निम्न जनक फलन मिलता है | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | ||
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<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{n!}{ (n-j)!} \, z^n = \frac{j! \cdot z^j}{(1-z)^{j+1}},</math> | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{n!}{ (n-j)!} \, z^n = \frac{j! \cdot z^j}{(1-z)^{j+1}},</math> | ||
ताकि हम उपरोक्त वर्ग | ताकि हम उपरोक्त वर्ग स्तिथि में परिणाम को सामान्यीकृत करने वाली अभिन्न mth घात पर अनुरूप जनक फलन बना सकें। विशेष रूप से, चूंकि हम लिख सकते हैं | ||
<math display="block">\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}},</math> | <math display="block">\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}},</math> | ||
हम इसे प्राप्त करने के लिए स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित एक प्रसिद्ध परिमित योग | हम इसे प्राप्त करने के लिए स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित एक प्रसिद्ध परिमित योग सर्वसमिका लागू कर सकते हैं<ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=Table 265 in §6.1}} for finite sum identities involving the Stirling number triangles.</ref> | ||
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty n^m z^n = \sum_{j=0}^m \begin{Bmatrix} m+1 \\ j+1 \end{Bmatrix} \frac{(-1)^{m-j} j!}{(1-z)^{j+1}}. </math> | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty n^m z^n = \sum_{j=0}^m \begin{Bmatrix} m+1 \\ j+1 \end{Bmatrix} \frac{(-1)^{m-j} j!}{(1-z)^{j+1}}. </math> | ||
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=== तर्कसंगत कार्य === | === तर्कसंगत कार्य === | ||
{{Main| | {{Main|रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम}} | ||
एक अनुक्रम के सामान्य जनक फलन को एक तर्कसंगत फलन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक [[रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम]] है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक [[परिमित अंतर समीकरण]] द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है। यहाँ प्रतिमानिकल उदाहरण फलन तकनीकों को उत्पन्न करके [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के लिए बिनेट के सूत्र को प्राप्त करना है। | |||
हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref> | हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref> | ||
<math display="block">f_n = p_1(n) \rho_1^n + \cdots + p_l(n) \rho_l^n, </math> | <math display="block">f_n = p_1(n) \rho_1^n + \cdots + p_l(n) \rho_l^n, </math> | ||
जहां पारस्परिक जड़ें, {{math|''ρ''<sub>''i''</sub> ∈ ℂ}}, स्थिर अदिश हैं और जहाँ | जहां पारस्परिक जड़ें, {{math|''ρ''<sub>''i''</sub> ∈ ℂ}}, स्थिर अदिश हैं और जहाँ {{math|''p''<sub>''i''</sub>(''n'')}} में एक बहुपद {{mvar|n}} सभी {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''l''}} के लिए है। | ||
सामान्यतः, जनक फलन रूपांतरण हैडमार्ड उत्पाद और तर्कसंगत फलन के विकर्ण जनक फलन का उत्पादन करते हैं। इसी प्रकार यदि | |||
<math display="block">F(s, t) := \sum_{m,n \geq 0} f(m, n) w^m z^n</math> | <math display="block">F(s, t) := \sum_{m,n \geq 0} f(m, n) w^m z^n</math> | ||
| Line 176: | Line 173: | ||
<math display="block">\operatorname{diag}(F) = \sum_{n = 0}^\infty \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}. </math> | <math display="block">\operatorname{diag}(F) = \sum_{n = 0}^\infty \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}. </math> | ||
इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष | इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष क्रमभंग द्वारा सम्मिलित है। | ||
=== | === जनक फलन संचालन === | ||
==== गुणन से | ==== गुणन से संवलन मिलता है ==== | ||
{{Main| | {{Main|कॉची पदार्थ}} | ||
साधारण जनक फलन का गुणन अनुक्रमों के असतत [[कनवल्शन]] ([[कॉची उत्पाद]]) का उत्पादन करता है। उदाहरण के लिए, संचयी | साधारण जनक फलन का गुणन अनुक्रमों के असतत [[कनवल्शन|संवलन]] ([[कॉची उत्पाद]]) का उत्पादन करता है। उदाहरण के लिए, संचयी योग का क्रम (थोड़ा अधिक सामान्य यूलर-मैकलॉरिन सूत्र की तुलना में) | ||
<math display="block">(a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots)</math> | <math display="block">(a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots)</math> | ||
साधारण जनक फलन | साधारण जनक फलन {{math|''G''(''a<sub>n</sub>''; ''x'')}} के साथ अनुक्रम का निम्न जनक फलन है | ||
<math display="block">G(a_n; x) \cdot \frac{1}{1-x}</math> | <math display="block">G(a_n; x) \cdot \frac{1}{1-x}</math> | ||
क्योंकि {{math|{{sfrac|1|1 − ''x''}}}} अनुक्रम के लिए सामान्य जनक फलन | क्योंकि {{math|{{sfrac|1|1 − ''x''}}}} अनुक्रम के लिए सामान्य जनक फलन {{nowrap|(1, 1, ...)}} है। नीचे दिए गए इस आलेख के अनुप्रयोग अनुभाग में जनक फलन संवलन (कॉची उत्पाद) भी देखें, जिससे समस्याओं को हल करने के और उदाहरणों के लिए जनक फलन और व्याख्याओं को हल किया जा सके। | ||
==== | ==== अनुक्रम सूचकांक स्थानांतरण ==== | ||
पूर्णांकों | पूर्णांकों {{math|''m'' ≥ 1}} के लिए, हमारे पास स्थानान्तरित किए गए अनुक्रम परिवर्ती की गणना करने वाले संशोधित जनक फलन के लिए निम्नलिखित {{math|⟨ ''g''<sub>''n'' − ''m''</sub> ⟩}} और {{math|⟨ ''g''<sub>''n'' + ''m''</sub> ⟩}} दो समान सर्वसमिका हैं। क्रमश: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
| Line 207: | Line 204: | ||
\int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n. | \int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को | दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को {{mvar|k}} बार अनुक्रम {{math|''n''<sup>''k''</sup>}} को गुणा करने के लिए दोहराया जा सकता है, लेकिन इसके लिए विभेदन और गुणन के बीच प्रत्यावर्तन करने की आवश्यकता होती है। यदि क्रम में k विभेदीकरण करने के स्थान पर, प्रभाव kवें अवपाती भाज्य से गुणा करना है: | ||
<math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | <math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | ||
दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके, जिसे गुणा करने के लिए दूसरे सूत्र | दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके, जिसे गुणा करने के लिए दूसरे सूत्र <math>n^k</math> में बदला जा सकता है इस प्रकार है (जनक फलन रूपांतरण पर मुख्य लेख देखें): | ||
<math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | <math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math> | ||
बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण | बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम जनक फलन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है। | ||
==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ==== | ==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ==== | ||
इस खंड में हम अनुक्रम | इस खंड में हम अनुक्रम {{math|{''f''<sub>''an'' + ''b''</sub>}<nowiki/>}} की गणना करने वाले कार्यों को उत्पन्न करने के सूत्र देते हैं, एक सामान्य जनक फलन {{math|''F''(''z'')}} दिया गया है जहाँ {{math|''a'', ''b'' ∈ ℕ}}, {{math|''a'' ≥ 2}}, और {{math|0 ≤ ''b'' < ''a''}} (जनक फलन रूपांतरण देखें)। {{math|''a'' {{=}} 2}} के लिए, यह केवल [[सम और विषम कार्य]]ों (यानी, सम और विषम घातयों) में एक फलन का परिचित अपघटन है: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
| Line 222: | Line 219: | ||
\sum_{n = 0}^\infty f_{2n+1} z^{2n+1} &= \frac{F(z) - F(-z)}{2}. | \sum_{n = 0}^\infty f_{2n+1} z^{2n+1} &= \frac{F(z) - F(-z)}{2}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
अधिक सामान्यतः, मान लीजिए {{math|''a'' ≥ 3}} ओर | अधिक सामान्यतः, मान लीजिए {{math|''a'' ≥ 3}} ओर {{math|''ω<sub>a</sub>'' {{=}} exp {{sfrac|2''πi''|''a''}}}} एकता के साधारण जड़ को दर्शाता है। फिर, [[असतत फूरियर रूपांतरण]] के अनुप्रयोग के रूप में, हमारे पास निम्न सूत्र है<ref name="TAOCPV1">{{harvnb|Knuth|1997|loc=§1.2.9}}</ref> | ||
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty f_{an+b} z^{an+b} = \frac{1}{a} \sum_{m=0}^{a-1} \omega_a^{-mb} F\left(\omega_a^m z\right).</math> | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty f_{an+b} z^{an+b} = \frac{1}{a} \sum_{m=0}^{a-1} \omega_a^{-mb} F\left(\omega_a^m z\right).</math> | ||
पूर्णांकों | पूर्णांकों {{math|''m'' ≥ 1}} के लिए, एक अन्य उपयोगी सूत्र है जो कुछ हद तक उत्क्रमित सतह वाली अंकगणितीय प्रगति प्रदान करता है - प्रभावी रूप से प्रत्येक गुणांक को {{mvar|m}} बार दोहराता है — निम्न सर्वसमिका से उत्पन्न होते हैं<ref>Solution to {{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|p=569, exercise 7.36}}</ref> | ||
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty f_{\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor} z^n = \frac{1-z^m}{1-z} F(z^m) = \left(1 + z + \cdots + z^{m-2} + z^{m-1}\right) F(z^m).</math> | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty f_{\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor} z^n = \frac{1-z^m}{1-z} F(z^m) = \left(1 + z + \cdots + z^{m-2} + z^{m-1}\right) F(z^m).</math> | ||
| Line 236: | Line 233: | ||
<math display="block">c_0(z) F^{(r)}(z) + c_1(z) F^{(r-1)}(z) + \cdots + c_r(z) F(z) = 0, </math> | <math display="block">c_0(z) F^{(r)}(z) + c_1(z) F^{(r-1)}(z) + \cdots + c_r(z) F(z) = 0, </math> | ||
जहां गुणांक {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में | जहां गुणांक {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में {{math|ℂ(''z'')}} हैं। समान रूप से, {{math|''F''(''z'')}} होलोनोमिक है यदि सदिश स्थान {{math|ℂ(''z'')}} समाप्त हो गया है। इसके सभी व्युत्पादित्स के सम्मुच्चय द्वारा परिमित आयामी है। | ||
चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} में | चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर (डिनोमिनेटर) को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, {{math|''c<sub>i</sub>''(''z'')}} में {{mvar|z}} बहुपद हैं। इस प्रकार हम एक समतुल्य स्थिति देख सकते हैं कि एक जनन फलन होलोनोमिक है यदि इसके गुणांक a {{mvar|P}}-रूप की पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं | ||
<math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math> | <math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math> | ||
सभी के लिए | सभी के लिए {{math|''n'' ≥ ''n''<sub>0</sub>}} काफी बड़ा है और जहाँ {{math|''ĉ<sub>i</sub>''(''n'')}} निश्चित परिमित-डिग्री बहुपद {{mvar|n}} हैं। दूसरे शब्दों में, गुण जो अनुक्रम हो {{mvar|P}}-पुनरावर्ती और एक होलोनोमिक जनक फलन समतुल्य हैं। {{math|⊙}} कार्यों को उत्पन्न करने पर होलोनोमिक फलन जनक फलन रूपांतरण और विकर्ण जनक फलन संचालन के तहत बंद हैं। | ||
==== उदाहरण ==== | ==== उदाहरण ==== | ||
कार्य {{math|''e''<sup>''z''</sup>}}, {{math|log ''z''}}, {{math|cos ''z''}}, {{math|arcsin ''z''}}, {{math|{{sqrt|1 + ''z''}}}}, [[dilogarithm]] फलन {{math|Li<sub>2</sub>(''z'')}}, सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्य {{math|''<sub>p</sub>F<sub>q</sub>''(...; ...; ''z'')}} और घात श्रेणी द्वारा परिभाषित कार्य | कार्य {{math|''e''<sup>''z''</sup>}}, {{math|log ''z''}}, {{math|cos ''z''}}, {{math|arcsin ''z''}}, {{math|{{sqrt|1 + ''z''}}}}, [[dilogarithm|डिलोगरिथ्म]] फलन {{math|Li<sub>2</sub>(''z'')}}, सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्य {{math|''<sub>p</sub>F<sub>q</sub>''(...; ...; ''z'')}} और घात श्रेणी द्वारा परिभाषित कार्य | ||
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{(n!)^2}</math> | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{(n!)^2}</math> | ||
| Line 253: | Line 250: | ||
सभी होलोनोमिक हैं। | सभी होलोनोमिक हैं। | ||
इसके उदाहरण {{mvar|P}}-होलोनोमिक जनक फलन के साथ | |||