जनक फलन: Difference between revisions
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{{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}} | {{Short description|Formal power series; coefficients encode information about a sequence indexed by natural numbers}}गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|आकारनिष्ठ घात श्रृंखला]] के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका ({{math|''a''<sub>''n''</sub>}}) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर [[अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{cite book |author-link=Donald Knuth |first=Donald E. |last=Knuth |series=[[The Art of Computer Programming]] |volume=1 |title=मौलिक एल्गोरिदम|edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-89683-4 |year=1997 |chapter=§1.2.9 Generating Functions}}</ref> संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है। | ||
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विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा। | |||
औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है | |||
किसी फलन के कार्यक्षेत्र से [[कोडोमेन]] तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है,<ref>This alternative term can already be found in E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", ''[[Canadian Journal of Mathematics]]'' 3, [https://books.google.com/books?id=x34z99fCRbsC&lpg=PA405&ots=eOp9p9mIoD&dq=%22generating%20series%22&lr=lang_en&pg=PA407#v=onepage&q=%22generating%20series%22&f=false p. 405–411], but its use is rare before the year 2000; since then it appears to be increasing.</ref> इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है। | |||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = ' | | text = 'जनक फलन एक यंत्र है जो कुछ हद तक एक बैग के समान होता है। बहुत सी छोटी वस्तुओं को अलग-अलग ले जाने के स्थान पर, जो लज्जाजनक हो सकता है, हम उन सभी को एक बैग में रख देते हैं, और फिर हमारे पास ले जाने के लिए केवल एक ही वस्तु होती है, बैग.'' | ||
| author = [[ | | author = [[जॉर्ज पोल्या]] | ||
| source = ''[[ | | source = ''[[गणित और विश्वसनीय तर्क]]'' (1954) }} | ||
{{block quote | {{block quote | ||
| text = '' | | text = ''जनक फलन एक अलगनी है जिस पर हम प्रदर्शन के लिए संख्याओं का एक क्रम लटकाते हैं.'' | ||
| author = [[ | | author = [[हर्बर्ट विल्फ]] | ||
| source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html | | source = ''[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html जनकफंक्शनोलॉजी]'' (1994)}} | ||
=== साधारण | === साधारण जनक फलन (OF) === | ||
अनुक्रम का सामान्य जनक फलन {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | |||
<math display="block">G(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.</math> | <math display="block">G(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.</math> | ||
जब बिना किसी योग्यता के जनन फलन शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसे | जब बिना किसी योग्यता के जनन फलन शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः सामान्य जनन फलन के रूप में लिया जाता है। | ||
अगर {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक [[असतत यादृच्छिक चर]] का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है, तो इसके साधारण जनन फलन को प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला फलन कहा जाता है। | अगर {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक [[असतत यादृच्छिक चर]] का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है, तो इसके साधारण जनन फलन को प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला फलन कहा जाता है। | ||
साधारण | साधारण जनक फलन को कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी सरणी का सामान्य जनक फलन {{math|''a''<sub>''m'',''n''</sub>}} (जहाँ {{mvar|n}} और {{mvar|m}} प्राकृतिक संख्याएँ हैं) है | ||
<math display="block">G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^\infty a_{m,n} x^m y^n.</math> | <math display="block">G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^\infty a_{m,n} x^m y^n.</math> | ||
=== घातीय | === घातीय जनक फलन (ईजीएफ) === | ||
किसी अनुक्रम का चरघातांकी जनन फलन {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | किसी अनुक्रम का चरघातांकी जनन फलन {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | ||
<math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | <math display="block">\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}.</math> | ||
घातीय | घातीय जनक फलन सामान्यतः [[संयुक्त गणना]] समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं।<ref>{{harvnb|Flajolet|Sedgewick|2009|p=95}}</ref> घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध|पुनरावृत्ति संबंधों]] को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम {{math|{''f<sub>n</sub>''}<nowiki/>}} लें जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध {{math|''f''<sub>''n''+2</sub> {{=}} ''f''<sub>''n''+1</sub> + ''f''<sub>''n''</sub>}} को संतुष्ट करता है। संबंधित घातीय जनक फलन का रूप है | ||
<math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | <math display="block">\operatorname{EF}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{n!} x^n</math> | ||
और इसके | और इसके व्युत्पादित को अवकलन समीकरण को संतुष्ट करने के लिए उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध के साथ प्रत्यक्ष अनुरूप के रूप में {{math|EF″(''x'') {{=}} EF′(''x'') + EF(''x'')}} आसानी से दिखाया जा सकता है। इस दृष्टि से, भाज्य शब्द {{math|''n''!}} व्युत्पादित संचालक को सामान्य करने के लिए केवल एक विपरीत-अवधि {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} है। | ||
=== पोइसन | === पोइसन जनक फलन === | ||
एक अनुक्रम का पोइसन जनक फलन {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | एक अनुक्रम का पोइसन जनक फलन {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | ||
| Line 53: | Line 49: | ||
=== लैम्बर्ट श्रृंखला === | === लैम्बर्ट श्रृंखला === | ||
{{main article| | {{main article|लैम्बर्ट श्रृंखला}} | ||
अनुक्रम की लैम्बर्ट श्रृंखला {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | अनुक्रम की लैम्बर्ट श्रृंखला {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} है | ||
<math display="block">\operatorname{LG}(a_n;x)=\sum _{n=1}^\infty a_n \frac{x^n}{1-x^n}.</math> | <math display="block">\operatorname{LG}(a_n;x)=\sum _{n=1}^\infty a_n \frac{x^n}{1-x^n}.</math> | ||
घात श्रेणी विस्तार में लैम्बर्ट श्रृंखला गुणांक | |||
<math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math> | <math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math> | ||
पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक | पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक योग से संबंधित हैं | ||
<math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math> | <math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math> | ||
मुख्य लेख [[संख्या सिद्धांत]] में विशेष [[अंकगणितीय कार्य]]ों से संबंधित कई और शास्त्रीय, या कम से कम प्रसिद्ध उदाहरण प्रदान करता है। | मुख्य लेख [[संख्या सिद्धांत]] में विशेष [[अंकगणितीय कार्य]]ों से संबंधित कई और शास्त्रीय, या कम से कम प्रसिद्ध उदाहरण प्रदान करता है। | ||
लैम्बर्ट श्रृंखला में | लैम्बर्ट श्रृंखला में तालिका {{mvar|n}} 1 से प्रारम्भ होता है, 0 से नहीं, क्योंकि पहला पद अन्यथा अपरिभाषित होगा। | ||
===बेल | ===बेल श्रृंखला=== | ||
एक क्रम की [[बेल श्रृंखला]] {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक अनिश्चित दोनों के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति | एक क्रम की [[बेल श्रृंखला]] {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक अनिश्चित दोनों के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति {{mvar|x}} है और एक प्रधान {{mvar|p}} निम्न द्वारा दिया गया है<ref>{{Apostol IANT}} pp.42–43</ref> | ||
<math display="block">\operatorname{BG}_p(a_n;x) = \sum_{n=0}^\infty a_{p^n}x^n.</math> | <math display="block">\operatorname{BG}_p(a_n;x) = \sum_{n=0}^\infty a_{p^n}x^n.</math> | ||
=== डिरिचलेट श्रृंखला | === डिरिचलेट श्रृंखला जनक फलन (डीजीएफ) === | ||
[[औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला]] को | [[औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला]] को प्रायः उत्पादक कार्यों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, हालांकि वे कठोरता से औपचारिक घात श्रृंखला नहीं हैं। डिरिचलेट श्रृंखला एक अनुक्रम का कार्य {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} उत्पन्न करती है<ref name=W56>{{harvnb|Wilf|1994|p=56}}</ref> | ||
<math display="block">\operatorname{DG}(a_n;s)=\sum _{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.</math> | <math display="block">\operatorname{DG}(a_n;s)=\sum _{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.</math> | ||
डिरिचलेट श्रृंखला | डिरिचलेट श्रृंखला जनक फलन विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक गुणन फलन है, जिस स्थिति में इसमें एक यूलर गुणनफल व्यंजक होता है <ref name=W59>{{harvnb|Wilf|1994|p=59}}</ref> फलन की बेल श्रृंखला के संदर्भ में | ||
<math display="block">\operatorname{DG}(a_n;s)=\prod_{p} \operatorname{BG}_p(a_n;p^{-s})\,.</math> | <math display="block">\operatorname{DG}(a_n;s)=\prod_{p} \operatorname{BG}_p(a_n;p^{-s})\,.</math> | ||
अगर {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक [[ डिरिचलेट चरित्र ]] है तो इसके डिरिचलेट | अगर {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} एक[[ डिरिचलेट चरित्र ]]है तो इसके डिरिचलेट श्रृंखला जनक फलन को डाइरिचलेट एल-शृंखला कहा जाता है। उपरोक्त [[लैम्बर्ट श्रृंखला]] विस्तार और उनके डीजीएफ में गुणांक की जोड़ी के बीच भी हमारा संबंध है। अर्थात्, हम यह सिद्ध कर सकते हैं | ||
<math display="block">[x^n] \operatorname{LG}(a_n; x) = b_n</math> | <math display="block">[x^n] \operatorname{LG}(a_n; x) = b_n</math> | ||
| Line 88: | Line 84: | ||
<math display="block">\operatorname{DG}(a_n;s) \zeta(s) = \operatorname{DG}(b_n;s),</math> | <math display="block">\operatorname{DG}(a_n;s) \zeta(s) = \operatorname{DG}(b_n;s),</math> | ||
जहाँ {{math|''ζ''(''s'')}} [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] है।<ref>{{cite book |last1=Hardy |first1=G.H. |last2=Wright |first2=E.M. |last3=Heath-Brown |first3=D.R |last4=Silverman |first4=J.H. |title=संख्या के सिद्धांत का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoth00ghha_922|url-access=limited|publisher=Oxford University Press |page=[https://archive.org/details/introductiontoth00ghha_922/page/n357 339]|edition=6th |isbn=9780199219858 |year=2008}}</ref> | |||
=== बहुपद अनुक्रम | === बहुपद अनुक्रम जनक फलन === | ||
जनक फलन के विचार को अन्य वस्तुओं के अनुक्रमों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, [[द्विपद प्रकार]] के बहुपद अनुक्रम द्वारा उत्पन्न होते हैं | |||
<math display="block">e^{xf(t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n</math> | <math display="block">e^{xf(t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n</math> | ||
जहाँ {{math|''p''<sub>''n''</sub>(''x'')}} बहुपदों का एक क्रम है और {{math|''f''(''t'')}} एक निश्चित रूप का कार्य है। शेफ़र क्रम इसी तरह से उत्पन्न होते हैं। अधिक जानकारी के लिए मुख्य लेख [[सामान्यीकृत अपेल बहुपद]] देखें। | |||
== साधारण उत्पादन कार्य == | == साधारण उत्पादन कार्य == | ||
=== सरल अनुक्रम === के | ==== सरल अनुक्रम जनक फलन के उदाहरण ==== | ||
बहुपद साधारण जनक फलन की एक विशेष स्तिथि है, जो परिमित अनुक्रमों के अनुरूप है, या समतुल्य अनुक्रम जो एक निश्चित बिंदु के बाद गायब हो जाते हैं। ये इस मायने में महत्वपूर्ण हैं कि कई परिमित अनुक्रमों को जनक फलन के रूप में उपयोगी रूप से व्याख्यायित किया जा सकता है, जैसे कि पॉइनकेयर बहुपद और अन्य। | |||
एक मौलिक जनक फलन निरंतर अनुक्रम {{nowrap|1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}}, का है जिसका साधारण जनक फलन गुणोत्तर श्रेणी है | |||
एक मौलिक | |||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math> | ||
बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है | बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और यह जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है। | ||
अन्य अनुक्रमों के साधारण | अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति किसी भी स्थिरांक {{mvar|a}} के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है : | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(ax)^n= \frac{1}{1-ax}.</math> | ||
| Line 115: | Line 110: | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n= \frac{1}{1+x}.</math> | ||
अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है | अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम {{nowrap|1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...}} (जो रुक जाता है {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ...}}) को निम्न जनक फलन मिलता है | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}.</math> | ||
आरंभिक जनक फलन का वर्ग करके, या इसके संबंध में दोनों पक्षों का अवकलज ज्ञात करके {{mvar|x}} और | आरंभिक जनक फलन का वर्ग करके, या इसके संबंध में दोनों पक्षों का अवकलज ज्ञात करके {{mvar|x}} और संचालन परिवर्ती {{math|''n'' → ''n'' + 1}} में बदलाव करता है, कोई देखता है कि गुणांक अनुक्रम {{nowrap|1, 2, 3, 4, 5, ...}} बनाते हैं, तो किसी के पास है | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n= \frac{1}{(1-x)^2},</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n= \frac{1}{(1-x)^2},</math> | ||
और तीसरी | और तीसरी घात के गुणांक के रूप में [[त्रिकोणीय संख्या]]एँ {{nowrap|1, 3, 6, 10, 15, 21, ...}} हैं, जिसका कार्यकाल {{mvar|n}} [[द्विपद गुणांक]] {{math|{{pars|s=150%|{{su|p=''n'' + 2|b=2|a=c}}}}}} है, ताकि | ||
<math display="block">\sum_{n=0}^\infty\binom{n+2}2 x^n= \frac{1}{(1-x)^3}.</math> | <math display="block">\sum_{n=0}^\infty\binom{n+2}2 x^n= \frac{1}{(1-x)^3}.</math> | ||
| Line 130: | Line 125: | ||
<math display="block">2\binom{n+2}2 - 3\binom{n+1}1 + \binom{n}0 = 2\frac{(n+1)(n+2)}2 -3(n+1) + 1 = n^2,</math> | <math display="block">2\binom{n+2}2 - 3\binom{n+1}1 + \binom{n}0 = 2\frac{(n+1)(n+2)}2 -3(n+1) + 1 = n^2,</math> | ||
वर्ग संख्याओं के अनुक्रम 0, 1, 4, 9, 16, ... के लिए सामान्य जनक फलन द्विपद-गुणांक उत्पन्न करने वाले अनुक्रमों के रैखिक संयोजन द्वारा पा सकते हैं। }: | |||
<math display="block">G(n^2;x) = \sum_{n=0}^\infty n^2x^n = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{3}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.</math> | <math display="block">G(n^2;x) = \sum_{n=0}^\infty n^2x^n = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{3}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.</math> | ||
हम निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय श्रृंखला के | हम निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय श्रृंखला के व्युत्पादित के योग के रूप में वर्गों के इसी क्रम को उत्पन्न करने के लिए वैकल्पिक रूप से विस्तार भी कर सकते हैं: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
| Line 142: | Line 137: | ||
& = \frac{2 x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} =\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}. | & = \frac{2 x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} =\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
प्रेरण द्वारा, हम सकारात्मक | प्रेरण द्वारा, हम सकारात्मक पूर्णांक {{math|''m'' ≥ 1}} के लिए इसी तरह दिखा सकते हैं कि<ref>{{cite journal|first1= Michael Z. | last1=Spivey | title=संयुक्त योग और परिमित अंतर| year=2007 |journal = Discrete Math. |doi = 10.1016/j.disc.2007.03.052 | volume=307|number=24|pages=3130–3146|mr=2370116|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite arXiv|first1=R. J. |last1=Mathar|year=2012|eprint=1207.5845|title=फिर भी इंटीग्रल की एक और तालिका|class=math.CA}} v4 eq. (0.4)</ref> | ||
<math display="block">n^m = \sum_{j=0}^m \begin{Bmatrix} m \\ j \end{Bmatrix} \frac{n!}{(n-j)!}, </math> | <math display="block">n^m = \sum_{j=0}^m \begin{Bmatrix} m \\ j \end{Bmatrix} \frac{n!}{(n-j)!}, </math> | ||
जहाँ {{math|{{resize|150%|{}}{{su|p=''n''|b=''k''}}{{resize|150%|}<nowiki/>}}}} [[दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या]] और जहां जनक फलन को दर्शाता है | |||
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{n!}{ (n-j)!} \, z^n = \frac{j! \cdot z^j}{(1-z)^{j+1}},</math> | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{n!}{ (n-j)!} \, z^n = \frac{j! \cdot z^j}{(1-z)^{j+1}},</math> | ||
ताकि हम | ताकि हम उपरोक्त वर्ग स्तिथि में परिणाम को सामान्यीकृत करने वाली अभिन्न mth घात पर अनुरूप जनक फलन बना सकें। विशेष रूप से, चूंकि हम लिख सकते हैं | ||
<math display="block">\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}},</math> | <math display="block">\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}},</math> | ||
हम इसे प्राप्त करने के लिए स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित एक प | |||