विभेदक: Difference between revisions
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{{short description|Function of the coefficients of a polynomial that gives information on its roots}} | {{short description|Function of the coefficients of a polynomial that gives information on its roots}} | ||
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गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक | गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक राशि है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
[[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2+bx+c</math> का विभेदक | [[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2+bx+c</math> का विभेदक | ||
:<math>b^2-4ac,</math> | :<math>b^2-4ac,</math> | ||
है, वह | है, वह राशि जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है। | ||
अधिक सामान्यतः, | अधिक सामान्यतः, बहुपद की धनात्मक घात के अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज(गणित) है(कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है। | ||
कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]] , या | कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]], या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के [[रूप (गणित)|रूप(गणित)]] का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)। | ||
==उत्पत्ति== | ==उत्पत्ति== | ||
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मान लीजिए | मान लीजिए | ||
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | :<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | ||
घात {{math|''n''}} का | घात {{math|''n''}} का बहुपद(इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र(गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके [[औपचारिक व्युत्पन्न|रूपात्मक व्युत्पन्न]], | ||
:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का | :<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>: | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | ||
:द्वारा {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है | :द्वारा {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। | ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय(गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। सारणिक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है। | ||
===मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति=== | ===मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति=== | ||
जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।) | जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र(गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों।(यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।) | ||
मूलों के संदर्भ में, विभेदक | मूलों के संदर्भ में, विभेदक | ||
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==निम्न घात== | ==निम्न घात== | ||
एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। | एक रेखीय बहुपद(घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। अचर बहुपद(अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है। | ||
छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book | छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है(नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Elimination practice: software tools and applications | |title=Elimination practice: software tools and applications | ||
|first1=Dongming | |first1=Dongming | ||
| Line 102: | Line 102: | ||
===घात 3=== | ===घात 3=== | ||
{{seealso|घन समीकरण#विभेदक}} | {{seealso|घन समीकरण#विभेदक}} | ||
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन | [[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}} के विभेदक का शून्य समुच्चय, अर्थात {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}} को संतुष्ट करने वाले बिंदु।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> में विभेदक | ||
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math> | :<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math> | ||
:है। | :है। | ||
एक अवनत घन बहुपद <math>x^3+px+q</math> के विशेष विषय में , विभेदक | एक अवनत घन बहुपद <math>x^3+px+q</math> के विशेष विषय में, विभेदक | ||
:<math> -4p^3-27q^2\,</math> | :<math> -4p^3-27q^2\,</math> | ||
:को सरल करता है। | :को सरल करता है। | ||
| Line 118: | Line 118: | ||
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | |at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | ||
विभेदक से दृढ़ता से संबंधित | विभेदक से दृढ़ता से संबंधित राशि का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह राशि{{math|−3}} गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में {{math|1/18}} का वर्ग। | ||
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है। | यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं(या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है(या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]](समूह सिद्धांत) तीन है। | ||
===घात 4=== | ===घात 4=== | ||
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद | [[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}} का विभेदक । सतह उन बिंदुओं ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) का प्रतिनिधित्व करती है जहां बहुपद के मूल दोहराई जाते है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-प्रतिच्छेदन दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>में विभेदक | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt] | {} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt] | ||
| Line 136: | Line 136: | ||
===शून्य विभेदक=== | ===शून्य विभेदक=== | ||
किसी क्षेत्र (गणित) पर | किसी क्षेत्र(गणित) पर बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | ||
एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न प्रांत]] पर | एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न प्रांत]] पर बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके व्युत्पन्न में एक गैर-नियतांक सामान्य भाजक है। | ||
[[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है(अर्थात, एक गैर-नियतांक बहुपद के वर्ग से विभाज्य)। | [[विशेषता (बीजगणित)|विशेषता(बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है(अर्थात, एक गैर-नियतांक बहुपद के वर्ग से विभाज्य)। | ||
गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)। | गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है(अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)। | ||
=== चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | === चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
| Line 155: | Line 155: | ||
*व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम: | *व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
:जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] {{math|''P''}} को दर्शाता है; अर्थात , यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब | :जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] {{math|''P''}} को दर्शाता है; अर्थात, यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब | ||
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>। | ::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>। | ||
=== वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | === वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
मान लीजिए कि <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों की एक समरूपता है। {{math|''R''[''x'']}} में एक बहुपद | |||
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | :<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
दिया गया है, समरूपता <math>\varphi</math> {{math|''S''[''x'']}} में बहुपद | |||
:<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math> | :<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math> | ||
के उत्पादन के लिए {{math|''A''}} कार्य करता है। | |||
विभेदक | निम्नलिखित अर्थों में विभेदक <math>\varphi</math>के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तो | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) | :<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math>। | ||
जैसा कि विभेदक को एक | जैसा कि विभेदक को एक सारणिक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह गुण सारणिकों की समान गुण से तुरंत परिणाम देती है। | ||
यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> | यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> तो <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math> शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब <math>\varphi(a_n)= 0,</math> | ||
:<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math> | :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math> | ||
जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विभेदक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: | जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विभेदक शून्य है(जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: | ||
:<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि या तो <math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0</math> या <math>\deg(A)-\deg(A^\varphi)\ge 2.</math> | :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि या तो <math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0</math> या <math>\deg(A)-\deg(A^\varphi)\ge 2.</math> | ||
इसे प्रायः | इसे प्रायः यह कहते हुए व्याख्यायित किया जाता है कि <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि <math>A^\varphi</math> का एक बहु मूल है(संभवतः अनंत पर)। | ||
===बहुपदों का गुणनफल=== | ===बहुपदों का गुणनफल=== | ||
यदि {{math|1=''R'' = ''PQ''}} | यदि {{math|1=''R'' = ''PQ''}}, {{math|''x''}} में बहुपदों का गुणनफल है तो | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q) | \operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q) | ||
| Line 183: | Line 183: | ||
{}&=(-1)^{pq}\operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)\operatorname{Res}_x(Q,P)\operatorname{disc}_x(Q), | {}&=(-1)^{pq}\operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)\operatorname{Res}_x(Q,P)\operatorname{disc}_x(Q), | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ <math>\operatorname{Res}_x</math> चर {{math|''x''}} के संबंध में परिणाम को दर्शाता है, और {{math|''p''}} और {{math|''q''}}, {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} की क्रमशः घात हैं। | |||
यह | यह गुण संबंधित बहुपदों के मूलों के संदर्भ में परिणामी और विभेदक के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है। | ||
===एकरूपता=== | ===एकरूपता=== | ||
विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में | विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है। | ||
घात | घात {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक गुणांकों में घात {{math|2''n'' − 2}} का समरूप है। इसे दो प्रकार से देखा जा सकता है। घात और अग्रणी शब्द सूत्र के संदर्भ में, सभी गुणांकों को {{mvar|λ}} से गुणा करने पर मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु अग्रणी शब्द को {{mvar|λ}} से गुणा करते हैं। {{mvar|a<sub>n</sub>}} द्वारा विभाजित {{math|(2''n'' − 1) × (2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह(गणित)]](सिल्वेस्टर आव्यूह) के एक के सारणिक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में, सारणिक प्रविष्टियों में घात {{math|2''n'' − 1}}का सजातीय है, और घात {{math|2''n'' − 2}} बनाता है। | ||
घात | घात {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक मूलों में घात {{math|''n''(''n'' − 1)}} का समरूप होता है। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो मूलों के स्थिर और <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> वर्ग अंतर का उत्पाद है। | ||
घात | घात {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक गुणांकों में घात {{math|''n''(''n'' − 1)}} का अर्ध-सजातीय होता है, यदि, प्रत्येक {{math|''i''}} के लिए, <math>x^i</math> के गुणांक को भार {{math|''n'' − ''i''}} दिया जाता है। यह उसी घात का अर्ध-सजातीय भी है, यदि प्रत्येक {{math|''i''}} के लिए, <math>x^i</math> के गुणांक को भार {{math|''i''}} दिया जाता है। यह सामान्य तथ्य का परिणाम है कि मूलों में सजातीय और सममित बहुपद वाले प्रत्येक बहुपद को मूलों के प्राथमिक सममित फलनों में अर्ध-सजातीय बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | ||
बहुपद | बहुपद | ||
:<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0 | :<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0</math> | ||
यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद| | :पर विचार करें। | ||
यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद|बहुपद]] <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> में घातांक दो समीकरणों | |||
:<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math> | :<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math> | ||
और | और | ||
:<math>i_1+2i_2 + \cdots+n i_n=n(n-1) | :<math>i_1+2i_2 + \cdots+n i_n=n(n-1)</math> | ||
और समीकरण | को संतुष्ट करते हैं और समीकरण | ||
:<math>ni_0 +(n-1)i_1+ \cdots+ i_{n-1}=n(n-1) | :<math>ni_0 +(n-1)i_1+ \cdots+ i_{n-1}=n(n-1)</math> | ||
जो | को भी जो पूर्व समीकरण को {{math|''n''}} से गुणा करके दूसरे समीकरण को घटाकर प्राप्त किया जाता है। | ||
यह विभेदक में संभावित | यह विभेदक में संभावित प्रतिबंधों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विभेदक में मात्र दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में घात दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विभेदक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 घात के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं। | ||
उच्च घात के लिए, ऐसे | उच्च घात के लिए, ऐसे एकपदीय हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। प्रथम उदाहरण चतुर्थांश बहुपद <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> के लिए है, जिस स्थिति में एकपदीय <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है। | ||
== | ==वास्तविक मूल== | ||
इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं। | इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं। | ||
{{slink||निम्न घात}} में यह देखा गया है कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु फिर भी उपयोगी है। अधिक यथार्थ रूप से, घात {{math|''n''}} के बहुपद के लिए, एक के निकट है: | |||
*बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो। | *बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो। | ||
*यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक | *यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} है जैसे जटिल संयुग्म मूलों और {{math|''n'' − 4''k''}} वास्तविक मूल {{math|2''k''}} जोड़े हैं। | ||
*यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक | *यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} है जैसे जटिल संयुग्म मूलों और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}} वास्तविक मूल {{math|2''k'' + 1}}जोड़े हैं। | ||
== सजातीय द्विभाजित बहुपद== | ==सजातीय द्विभाजित बहुपद== | ||
मान लीजिए कि | |||
:<math>A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i</math> | :<math>A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i</math> | ||
घात | दो अनिश्चितांकों में घात {{math|''n''}} का एक सजातीय बहुपद है। | ||
मान लीजिए, | मान लीजिए, अभी के लिये, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के निकट | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)) | :<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y))</math> है। | ||
इस राशि को <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> से दर्शाने द्वारा पर | |||
:<math>\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),</math> | ||
और | और | ||
:<math>\operatorname{Disc}_y (A) =x^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A) | |||