विभेदक: Difference between revisions
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{{short description|Function of the coefficients of a polynomial that gives information on its roots}} | {{short description|Function of the coefficients of a polynomial that gives information on its roots}} | ||
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गणित में, [[बहुपद]] का | गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक राशि है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
[[द्विघात बहुपद]] | [[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2+bx+c</math> का विभेदक | ||
:<math>b^2-4ac,</math> | :<math>b^2-4ac,</math> | ||
है, वह | है, वह राशि जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है। | ||
अधिक सामान्यतः, | अधिक सामान्यतः, बहुपद की धनात्मक घात के अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज(गणित) है(कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है। | ||
कई सामान्यीकरणों को | कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]], या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के [[रूप (गणित)|रूप(गणित)]] का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)। | ||
== उत्पत्ति == | ==उत्पत्ति== | ||
विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा निर्मित किया गया था।<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref> | |||
== परिभाषा == | ==परिभाषा== | ||
मान लीजिए | |||
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | :<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | ||
घात {{math|''n''}} का बहुपद(इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र(गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके [[औपचारिक व्युत्पन्न|रूपात्मक व्युत्पन्न]], | |||
:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1 | :<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>: | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | ||
ऐतिहासिक रूप से, इस | :द्वारा {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय(गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। सारणिक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है। | |||
=== मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति === | ===मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति=== | ||
जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो | जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र(गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों।(यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।) | ||
मूलों के संदर्भ में, | मूलों के संदर्भ में, विभेदक | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2 | :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2 | ||
= (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j) | = (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j)</math> | ||
इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद | :के बराबर है। | ||
इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा <math>a_n^{2n-2} </math> का वर्ग है। | |||
विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति {{math|''A''}} के मूल में एक सममित बहुपद है। | |||
== | ==निम्न घात== | ||
एक रेखीय बहुपद (घात 1) का | एक रेखीय बहुपद(घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। अचर बहुपद(अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है। | ||
छोटी घात के लिए, | छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है(नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Elimination practice: software tools and applications | |title=Elimination practice: software tools and applications | ||
|first1=Dongming | |first1=Dongming | ||
| Line 48: | Line 50: | ||
|url=https://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180 | |url=https://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180 | ||
|at=ch. 10 p. 180}} | |at=ch. 10 p. 180}} | ||
</ref> एक [[पंचक समारोह]] के 59 पद हैं,<ref>{{cite book | </ref> एक [[पंचक समारोह|पंचक फलन]] के 59 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants | |title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants | ||
|first1=Israel M. | |first1=Israel M. | ||
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|url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|archive-url=https://archive.today/20130113052223/http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|url-status=dead|archive-date=2013-01-13}} | |url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|archive-url=https://archive.today/20130113052223/http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|url-status=dead|archive-date=2013-01-13}} | ||
</ref> और एक [[यौन समीकरण]] के 246 पद हैं।<ref>{{cite book | </ref> और एक [[यौन समीकरण|सेक्सटिक समीकरण]] के 246 पद हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications | |title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications | ||
|first1=Alicia | |first1=Alicia | ||
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|url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 | |url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 | ||
|at=ch. 1 p. 26}} | |at=ch. 1 p. 26}} | ||
</ref> | </ref> यह [[OEIS|ओईआईएस]] अनुक्रम {{OEIS link|A007878}} है। | ||
यह [[OEIS]] | ===घात 2=== | ||
{{see also|द्विघात समीकरण#विभेदक}} | |||
=== घात 2 === | |||
{{see also| | |||
द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> | द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> में विभेदक | ||
:<math>b^2-4ac\, | :<math>b^2-4ac\,</math> | ||
:है। | |||
विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है: | |||
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> | :<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> | ||
जहां | जहां विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विभेदक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Integers, polynomials, and rings | |title=Integers, polynomials, and rings | ||
|first1=Ronald S. | |first1=Ronald S. | ||
| Line 97: | Line 96: | ||
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | ||
|at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref> | |at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref> | ||
विभेदक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और मूलों के अंतर का वर्ग। | |||
यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो | यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं। | ||
=== घात 3 === | ===घात 3=== | ||
{{seealso| | {{seealso|घन समीकरण#विभेदक}} | ||
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन | [[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}} के विभेदक का शून्य समुच्चय, अर्थात {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}} को संतुष्ट करने वाले बिंदु।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> में विभेदक | ||
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\, | :<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math> | ||
एक | :है। | ||
:<math> -4p^3-27q^2\, | एक अवनत घन बहुपद <math>x^3+px+q</math> के विशेष विषय में, विभेदक | ||
:<math> -4p^3-27q^2\,</math> | |||
:को सरल करता है। | |||
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book | |||
|title=Integers, polynomials, and rings | |title=Integers, polynomials, and rings | ||
|first1=Ronald S. | |first1=Ronald S. | ||
| Line 116: | Line 117: | ||
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | ||
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | |at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | ||
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो | विभेदक से दृढ़ता से संबंधित राशि का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह राशि{{math|−3}} गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में {{math|1/18}} का वर्ग। | ||
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं(या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है(या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]](समूह सिद्धांत) तीन है। | |||
=== घात 4 === | ===घात 4=== | ||
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद | [[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}} का विभेदक । सतह उन बिंदुओं ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) का प्रतिनिधित्व करती है जहां बहुपद के मूल दोहराई जाते है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-प्रतिच्छेदन दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>में विभेदक | ||
<math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math> | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt] | {} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt] | ||
& {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt] | & {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt] | ||
& {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt] | & {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt] | ||
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\, | & {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
:है। | |||
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं। | |||
== गुण == | ==गुण== | ||
=== शून्य | ===शून्य विभेदक=== | ||
किसी क्षेत्र (गणित) पर | किसी क्षेत्र(गणित) पर बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | ||
एक [[अभिन्न डोमेन]] पर | एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न प्रांत]] पर बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके व्युत्पन्न में एक गैर-नियतांक सामान्य भाजक है। | ||
[[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | [[विशेषता (बीजगणित)|विशेषता(बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है(अर्थात, एक गैर-नियतांक बहुपद के वर्ग से विभाज्य)। | ||
गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है(अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)। | |||
=== चर के परिवर्तन के | === चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
एक बहुपद का | एक बहुपद का विभेदक, सोपानी तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात {{math|''n''}} के एक बहुपद को दर्शाता है, <math>a_n</math> के साथ प्रमुख गुणांक के रूप में। | ||
* अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | *अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह मूलों के संदर्भ में | :यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है | ||
* समरूपता द्वारा | *समरूपता द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह मूलों, या | :यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है। | ||
* | *व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: | :जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] {{math|''P''}} को दर्शाता है; अर्थात, यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब | ||
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n | ::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>। | ||
=== | === वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
मान लीजिए कि <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों की एक समरूपता है। {{math|''R''[''x'']}} में एक बहुपद | |||
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | :<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
दिया गया है, समरूपता <math>\varphi</math> {{math|''S''[''x'']}} में बहुपद | |||
:<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math> | :<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math> | ||
के उत्पादन के लिए {{math|''A''}} कार्य करता है। | |||
निम्नलिखित अर्थों में विभेदक <math>\varphi</math>के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तो | |||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) | :<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math>। | ||
जैसा कि | जैसा कि विभेदक को एक सारणिक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह गुण सारणिकों की समान गुण से तुरंत परिणाम देती है। | ||
यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> | |||