विभेदक: Difference between revisions

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गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक राशि है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
गणित में, [[बहुपद]] का विविक्तकर एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक सटीक रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विवेचक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।


[[द्विघात बहुपद]] का विविक्तकर <math>ax^2+bx+c</math> है
[[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2+bx+c</math> का विभेदक
:<math>b^2-4ac,</math>
:<math>b^2-4ac,</math>
वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। अगर <math>a\ne 0,</math> यह विविक्तकर शून्य है यदि और केवल यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के मामले में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो यह सकारात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी जड़ें हैं तो यह नकारात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के मामले में, यदि बहुपद की तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो विवेचक सकारात्मक होता है, और यदि इसकी एक वास्तविक जड़ और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म जड़ें होती हैं, तो नकारात्मक होता है।
है, वह राशि जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।


अधिक आम तौर पर, एक बहुपद की सकारात्मक डिग्री के एक अविभाजित बहुपद का विवेचक शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विवेचक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।
अधिक सामान्यतः, बहुपद की धनात्मक घात के अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज(गणित) है(कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।


कई सामान्यीकरणों को विवेचक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक; [[द्विघात रूप]] का विवेचक; और अधिक आम तौर पर, एक [[सजातीय बहुपद]] के एक [[रूप (गणित)]] का विभेदक, या एक प्रक्षेपी अतिसतह (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]], या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के [[रूप (गणित)|रूप(गणित)]] का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।


== उत्पत्ति ==
==उत्पत्ति==
डिस्क्रिमिनेंट शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा गढ़ा गया था।<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>
विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा निर्मित किया गया था।<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>




== परिभाषा ==
==परिभाषा==


होने देना
मान लीजिए
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
एक बहुपद की डिग्री का एक बहुपद हो {{math|''n''}} (इसका मतलब यह है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या, अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं। का परिणाम है {{math|''A''}} और इसका [[औपचारिक व्युत्पन्न]],
घात {{math|''n''}} का बहुपद(इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र(गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके [[औपचारिक व्युत्पन्न|रूपात्मक व्युत्पन्न]],
:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1,</math> में बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> [[पूर्णांक]] गुणांक के साथ, जो [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] का निर्धारक है {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}}. सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं <math>a_n</math> और <math>na_n,</math> और परिणामी इस प्रकार का एक गुणक है <math>a_n.</math> इसलिए विवेचक - इसके चिह्न तक - के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} द्वारा <math>a_n</math>:
:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>:


:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math>
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math>
ऐतिहासिक रूप से, इस चिन्ह को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विवेचक सकारात्मक होगा जब बहुपद की सभी जड़ें वास्तविक हों। द्वारा विभाजन <math>a_n</math> यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक हैं, तो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। बदलने से ऐसी समस्या से बचा जा सकता है <math>a_n</math> सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम में 1 से - निर्धारक की गणना करने से पहले। किसी भी मामले में, विवेचक एक बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> पूर्णांक गुणांक के साथ।
:द्वारा {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है
ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय(गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। सारणिक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है।


=== जड़ों के संदर्भ में अभिव्यक्ति ===
===मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति===
जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो यह होता है {{math|''n''}} जड़ें, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math>क्षेत्र के किसी भी [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में, जरूरी नहीं कि सभी अलग-अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो जड़ों को [[जटिल संख्या]]ओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।)
जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र(गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों।(यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।)


जड़ों के संदर्भ में, विवेचक के बराबर है
मूलों के संदर्भ में, विभेदक


:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2  
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2  
= (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j).</math>
= (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j)</math>
इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद समय का वर्ग है <math>a_n^{2n-2} </math>.
:के बराबर है।
इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा <math>a_n^{2n-2} </math> का वर्ग है।


विवेचक के लिए यह अभिव्यक्ति अक्सर एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विवेचक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के मामले में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विवेचक सकारात्मक है। पिछली परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, लेकिन यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद]]ों के मौलिक प्रमेय और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति एक सममित बहुपद है की जड़ें {{math|''A''}}.
विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति {{math|''A''}} के मूल में एक सममित बहुपद है।


== कम डिग्री ==
==निम्न घात==
एक रेखीय बहुपद (डिग्री 1) का विविक्तकर शायद ही कभी माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे आम तौर पर 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद]] के लिए सामान्य सम्मेलनों का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के दो ब्लॉकों में से एक [[खाली मैट्रिक्स]] है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विविक्तकर के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।
एक रेखीय बहुपद(घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। अचर बहुपद(अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।


छोटी डिग्री के लिए, विवेचक सरल है (नीचे देखें), लेकिन उच्च डिग्री के लिए, यह बोझिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह]] के विविक्तकर के 16 पद हैं,<ref>{{cite book
छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है(नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book
|title=Elimination practice: software tools and applications
|title=Elimination practice: software tools and applications
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|title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants
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|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications
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|at=ch. 1 p. 26}}
</ref>
</ref> यह [[OEIS|ओईआईएस]] अनुक्रम {{OEIS link|A007878}} है।
यह [[OEIS]] क्रम है {{OEIS link|A007878}}.
===घात 2===
<!-- Please don't add numbers of terms of higher degrees (like 7/1103, 8/5247 and others of http://oeis.org/A007878) without providing proper sources. Thanks -->
{{see also|द्विघात समीकरण#विभेदक}}
 
 
=== डिग्री 2 ===
{{see also|Quadratic equation#Discriminant}}


द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> विवेचक है
द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> में विभेदक
:<math>b^2-4ac\,.</math>
:<math>b^2-4ac\,</math>
विवेचक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:
:है।
विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>
जहां विविक्तकर शून्य है यदि और केवल यदि दो मूल समान हैं। अगर {{math|''a'', ''b'', ''c''}} वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विवेचक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक जड़ें हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।<ref>{{cite book
जहां विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विभेदक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।<ref>{{cite book
|title=Integers, polynomials, and rings
|title=Integers, polynomials, and rings
|first1=Ronald S.
|first1=Ronald S.
Line 98: Line 96:
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
|at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref>
|at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref>
विवेचक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और जड़ों के अंतर का वर्ग।
विभेदक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और मूलों के अंतर का वर्ग।


अगर {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विवेचक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और केवल यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।
यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।


=== डिग्री 3 ===
===घात 3===
{{seealso|Cubic equation#Discriminant}}
{{seealso|घन समीकरण#विभेदक}}
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विवेचक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}.]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> विवेचक है
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}} के विभेदक का शून्य समुच्चय, अर्थात {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}} को संतुष्ट करने वाले बिंदु।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> में विभेदक
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,.</math>
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math>
एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष मामले में <math>x^3+px+q</math>, विवेचक सरल करता है
:है।
:<math> -4p^3-27q^2\,.</math>
एक अवनत घन बहुपद <math>x^3+px+q</math> के विशेष विषय में, विभेदक
विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विवेचक शून्य नहीं है, तो विवेचक सकारात्मक है यदि जड़ें तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक जड़ और दो जटिल संयुग्म जड़ें हैं।<ref>{{cite book
:<math> -4p^3-27q^2\,</math>
:को सरल करता है।
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book
|title=Integers, polynomials, and rings
|title=Integers, polynomials, and rings
|first1=Ronald S.
|first1=Ronald S.
Line 117: Line 117:
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref>
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref>
विवेचक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है {{math|−3}} परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विवेचक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग {{math|1/18}} कार्डानो सूत्र के मामले में।


यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विवेचक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और केवल यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है।
विभेदक से दृढ़ता से संबंधित राशि का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह राशि{{math|−3}} गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में {{math|1/18}} का वर्ग।
 
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं(या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है(या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]](समूह सिद्धांत) तीन है।


=== डिग्री 4 ===
===घात 4===
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विविक्तकर {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}. सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की जड़ दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई जड़ों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]]
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}} का विभेदक । सतह उन बिंदुओं ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) का प्रतिनिधित्व करती है जहां बहुपद के मूल दोहराई जाते है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-प्रतिच्छेदन दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>में विभेदक
<math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>
विवेचक है
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt]
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt]
& {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt]
& {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt]
& {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt]
& {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt]
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,.
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,
\end{align}</math>
\end{align}</math>
विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विवेचक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विवेचक सकारात्मक है, तो जड़ें या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं।
:है।
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं।


== गुण ==
==गुण==


=== शून्य विवेचक ===
===शून्य विभेदक===
किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो।
किसी क्षेत्र(गणित) पर बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो।


एक [[अभिन्न डोमेन]] पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और केवल अगर बहुपद और इसके औपचारिक व्युत्पन्न में एक गैर-निरंतर सामान्य भाजक है।
एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न प्रांत]] पर बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके व्युत्पन्न में एक गैर-नियतांक सामान्य भाजक है।


[[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | वर्ग-मुक्त (अर्थात, एक गैर-निरंतर बहुपद के वर्ग से विभाज्य)।
[[विशेषता (बीजगणित)|विशेषता(बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है(अर्थात, एक गैर-नियतांक बहुपद के वर्ग से विभाज्य)।


अशून्य विशेषता में {{math|''p''}}, विवेचक शून्य है यदि और केवल यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक एक बहुपद है <math>x^p</math>).
गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है(अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)।


=== चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम ===
=== चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम===
एक बहुपद का विविक्[[तक]]र, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} डिग्री के बहुपद को दर्शाता है {{math|''n''}}, साथ <math>a_n</math> अग्रणी गुणांक के रूप में।
एक बहुपद का विभेदक, सोपानी तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात {{math|''n''}} के एक बहुपद को दर्शाता है, <math>a_n</math> के साथ प्रमुख गुणांक के रूप में।


* अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम:
*अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम:  
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
: यह जड़ों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति का परिणाम है
:यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है  
* समरूपता द्वारा आक्रमण:
*समरूपता द्वारा व्युत्क्रम:  
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
: यह जड़ों, या विवेचक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है।
:यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है।
* व्युत्क्रम द्वारा व्युत्क्रम:
*व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम:  
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
:कब <math>P(0)\ne 0.</math> यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] को दर्शाता है {{math|''P''}}; वह है, अगर <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब
:जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] {{math|''P''}} को दर्शाता है; अर्थात, यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n.</math>
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>।




=== रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत इनवेरियन ===
=== वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम===
होने देना <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया
मान लीजिए कि <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों की एक समरूपता है। {{math|''R''[''x'']}} में एक बहुपद
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math>
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math>
में {{math|''R''[''x'']}}, समरूपता