अंक प्रणाली: Difference between revisions

From Vigyanwiki
m (14 revisions imported from alpha:अंक_प्रणाली)
No edit summary
 
(One intermediate revision by one other user not shown)
Line 1: Line 1:
{{short description|Notation for expressing numbers}}
{{short description|Notation for expressing numbers}}
{{About|संख्याओं को चिह्नों द्वारा व्यक्त करना|विभिन्न प्रकार की संख्याएँ|संख्या प्रणाली|शब्दों के साथ संख्या व्यक्त करना|अंक (भाषा विज्ञान)}}
[[File:Numeral Systems of the World.svg|264px|thumb|right|विभिन्न अंक प्रणालियों में लिखी गई संख्याएँ।]]'''अंक प्रणाली''' (या [[संख्या]] की प्रणाली) संख्याओं को व्यक्त करने के लिए लेखन प्रणाली है जो अंकों या अन्य प्रतीकों का सुसंगत विधि से उपयोग करके दिए गए समुच्चय की [[संख्यात्मक अंक]] या अन्य प्रतीकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय संकेतन है।
{{Numeral systems}}
[[File:Numeral Systems of the World.svg|264px|thumb|right|विभिन्न अंक प्रणालियों में लिखी गई संख्याएँ।]]अंक प्रणाली (या [[संख्या]] की प्रणाली) संख्याओं को व्यक्त करने के लिए [[लेखन प्रणाली]] है जो अंकों या अन्य प्रतीकों का सुसंगत विधि से उपयोग करके दिए गए सेट की [[संख्यात्मक अंक]] या अन्य प्रतीकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय संकेतन है।


प्रतीकों का [[अनुक्रम]] विभिन्न संख्याओं में विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है। उदाहरण के लिए, 11 [[दशमलव अंक प्रणाली]] (आज, विश्व स्तर पर सबसे आम प्रणाली) में संख्या'' ग्यारह '', [[द्विआधारी अंक प्रणाली|बाइनरी अंक प्रणाली]] में '' तीन '' संख्या ([[संगणक]] में उपयोग किया जाता है), और यूनरी अंक प्रणाली में '' ([[अंकों का मिलान करें]] स्कोर में उपयोग किया जाता है) संख्या दो का प्रतिनिधित्व करता है।''
प्रतीकों का अनुक्रम विभिन्न संख्याओं में विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है। उदाहरण के लिए, 11 दशमलव अंक प्रणाली (आज, विश्व स्तर पर सबसे आम प्रणाली) में संख्या'' ग्यारह '', बाइनरी अंक प्रणाली में '' तीन '' संख्या (संगणक में उपयोग किया जाता है), और यूनरी अंक प्रणाली में '' ([[अंकों का मिलान करें]] स्कोर में उपयोग किया जाता है) संख्या दो का प्रतिनिधित्व करता है।''


अंक जिस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है उसे उसका मान कहा जाता है। सभी संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के समान समूह का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती हैं; उदाहरण के लिए, रोमन अंक [[अरबी अंक|हिंदू-अरबी अंक]] [[0]] द्वारा दर्शाई गई संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं।
अंक जिस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है उसे उसका मान कहा जाता है। सभी संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के समान समूह का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती हैं; उदाहरण के लिए, रोमन अंक [[अरबी अंक|हिंदू-अरबी अंक]] [[0]] द्वारा दर्शाई गई संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं।


आदर्श रूप से, अंक प्रणाली होगी:
आदर्श रूप से, अंक प्रणाली होगी:
*संख्याओं के उपयोगी सेट का प्रतिनिधित्व करें (जैसे सभी [[पूर्णांक]], या [[तर्कसंगत संख्या]]एं)
*संख्याओं के उपयोगी समुच्चय का प्रतिनिधित्व करें (जैसे सभी [[पूर्णांक]], या [[तर्कसंगत संख्या]]एं)
*हर संख्या को अद्वितीय प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व करें (या कम से कम मानक प्रतिनिधित्व)
*हर संख्या को अद्वितीय प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व करें (या कम से कम मानक प्रतिनिधित्व)
*संख्याओं के [[बीजगणित]] और [[अंकगणित|अंकगणितीय]] संरचना को प्रतिबिंबित करें।
*संख्याओं के [[बीजगणित]] और [[अंकगणित|अंकगणितीय]] संरचना को प्रतिबिंबित करें।


उदाहरण के लिए, सामान्य [[दशमलव प्रतिनिधित्व]] प्रत्येक नॉनज़ेरो [[प्राकृतिक संख्या]] को गैर-शून्य अंक के साथ प्रारंभ होने वाले संख्यात्मक अंक के [[परिमित सेट]] अनुक्रम के रूप में अद्वितीय प्रतिनिधित्व देता है।
उदाहरण के लिए, सामान्य [[दशमलव प्रतिनिधित्व]] प्रत्येक नॉनज़ेरो [[प्राकृतिक संख्या]] को गैर-शून्य अंक के साथ प्रारंभ होने वाले संख्यात्मक अंक के परिमित समुच्चय अनुक्रम के रूप में अद्वितीय प्रतिनिधित्व देता है।


अंक प्रणालियों को कभी-कभी '' [[संख्या प्रणाली]] '' कहा जाता है, लेकिन यह नाम अस्पष्ट है, क्योंकि यह संख्याओं की विभिन्न प्रणालियों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं की प्रणाली, [[जटिल संख्या]]ओं की प्रणाली, पी-एडिक संख्याओं की प्रणाली आदि। ऐसी प्रणालियाँ चूँकि, इस लेख का विषय नहीं हैं।
अंक प्रणालियों को कभी-कभी '' [[संख्या प्रणाली]] '' कहा जाता है, लेकिन यह नाम अस्पष्ट है, क्योंकि यह संख्याओं की विभिन्न प्रणालियों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं की प्रणाली, [[जटिल संख्या]]ओं की प्रणाली, पी-एडिक संख्याओं की प्रणाली आदि। ऐसी प्रणालियाँ चूँकि, इस लेख का विषय नहीं हैं।
Line 19: Line 17:
== मुख्य अंक प्रणाली ==
== मुख्य अंक प्रणाली ==
{{main|संख्या प्रणालियों की सूची}}
{{main|संख्या प्रणालियों की सूची}}
अंकों की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली प्रणाली [[दशमलव]] है। और [[भारतीय गणितज्ञ|भारतीय गणितज्ञों]] को पूर्णांक संस्करण, हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली विकसित करने का श्रेय दिया जाता है।<ref>{{cite book |author=David Eugene Smith |author2=Louis Charles Karpinski |title=The Hindu-Arabic numerals |url=https://archive.org/details/hinduarabicnume05karpgoog |year=1911 |publisher=Ginn and Company}}</ref> [[पटना]] के आर्यभट्ट ने 5वीं शताब्दी में [[स्थान-मूल्य संकेतन|स्थान-मान संकेतन]] विकसित किया और शताब्दी बाद [[ब्रह्मगुप्त]] ने [[शून्य]] के लिए प्रतीक प्रस्तुत किया। यह प्रणाली धीरे -धीरे भारत के साथ अपनी वाणिज्यिक और सैन्य गतिविधियों के कारण अरब जैसे अन्य आसपास के क्षेत्रों में फैल गई थी। मध्य-पूर्वी गणितज्ञों ने 10 ([[अंशों]]) की नकारात्मक शक्तियों को सम्मिलित करने के लिए प्रणाली को बढ़ाया, जैसा कि 952-953 में [[सीरियाई]] गणितज्ञ अबू-हसन अल-उक्लिडिसी द्वारा एक ग्रंथ में अंकित किया गया था, और [[दशमलव बिंदु]] अंकन प्रस्तुत किया गया था{{when|date=February 2021}} [[सिंध इब्न अली]], जिसने अरबी अंकों पर सबसे पहला ग्रंथ भी लिखा था। हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली तब व्यापारियों के व्यापार के कारण यूरोप में फैल गई, और यूरोप में उपयोग किए जाने वाले अंकों को अरबी अंक कहा जाता है, जैसा कि उन्होंने उन्हें अरबों से सीखा था।
 
अंकों की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली प्रणाली [[दशमलव]] है। और [[भारतीय गणितज्ञ|भारतीय गणितज्ञों]] को पूर्णांक संस्करण, हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली विकसित करने का श्रेय दिया जाता है।<ref>{{cite book |author=David Eugene Smith |author2=Louis Charles Karpinski |title=The Hindu-Arabic numerals |url=https://archive.org/details/hinduarabicnume05karpgoog |year=1911 |publisher=Ginn and Company}}</ref> [[पटना]] के आर्यभट्ट ने 5वीं शताब्दी में समष्टि-मान संकेतन विकसित किया और शताब्दी बाद [[ब्रह्मगुप्त]] ने [[शून्य]] के लिए प्रतीक प्रस्तुत किया। यह प्रणाली धीरे -धीरे भारत के साथ अपनी वाणिज्यिक और सैन्य गतिविधियों के कारण अरब जैसे अन्य आसपास के क्षेत्रों में फैल गई थी। मध्य-पूर्वी गणितज्ञों ने 10 ([[अंशों]]) की नकारात्मक शक्तियों को सम्मिलित करने के लिए प्रणाली को बढ़ाया, जैसा कि 952-953 में [[सीरियाई]] गणितज्ञ अबू-हसन अल-उक्लिडिसी द्वारा एक ग्रंथ में अंकित किया गया था, और [[दशमलव बिंदु]] अंकन प्रस्तुत किया गया था{{when|date=February 2021}} [[सिंध इब्न अली]], जिसने अरबी अंकों पर सबसे पहला ग्रंथ भी लिखा था। हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली तब व्यापारियों के व्यापार के कारण यूरोप में फैल गई, और यूरोप में उपयोग किए जाने वाले अंकों को अरबी अंक कहा जाता है, जैसा कि उन्होंने उन्हें अरबों से सीखा था।


सबसे सरल अंक प्रणाली यूनरी संख्या प्रणाली है, जिसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को इसी संख्या के प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रतीक {{mono|/}} चुना जाता है, तो संख्या सात को {{mono|///////}} द्वारा दर्शाया जाता है। टैली के चिन्ह ऐसी प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं जो अभी भी सामान्य उपयोग में है। एकल (यूनरी) प्रणाली केवल छोटी संख्या के लिए उपयोगी है, चूंकि यह [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। [[एलियास गामा कोडिंग]], जो सामान्यतः डेटा संपीड़न में उपयोग किया जाता है, बाइनरी अंक की लंबाई को निरुपित करने के लिए यूनरी का उपयोग करके स्वैच्छिक आकार की संख्या व्यक्त करता है।
सबसे सरल अंक प्रणाली यूनरी संख्या प्रणाली है, जिसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को इसी संख्या के प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रतीक {{mono|/}} चुना जाता है, तो संख्या सात को {{mono|///////}} द्वारा दर्शाया जाता है। टैली के चिन्ह ऐसी प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं जो अभी भी सामान्य उपयोग में है। एकल (यूनरी) प्रणाली केवल छोटी संख्या के लिए उपयोगी है, चूंकि यह [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। [[एलियास गामा कोडिंग]], जो सामान्यतः डेटा संपीड़न में उपयोग किया जाता है, बाइनरी अंक की लंबाई को निरुपित करने के लिए यूनरी का उपयोग करके स्वैच्छिक आकार की संख्या व्यक्त करता है।
Line 27: Line 26:
अधिक उपयोगी अभी भी ऐसी प्रणालियाँ हैं जो प्रतीकों की पुनरावृत्ति के लिए विशेष संक्षिप्त रूपों को नियोजित करती हैं; उदाहरण के लिए, इन संक्षिप्ताक्षरों के लिए वर्णमाला के पहले नौ अक्षरों का उपयोग करते हुए, A "एक घटना", B "दो घटनाएँ", और इसी तरह, संख्या 304 के लिए C+ D/ लिख सकता है। [[चीनी अंक|चीनी अंकों]] और चीनी पर आधारित अन्य पूर्वी एशियाई अंकों को लिखते समय इस प्रणाली का उपयोग किया जाता है। [[अंग्रेजी भाषा]] की संख्या प्रणाली इस प्रकार (तीन सौ [और] चार) की है, जैसा कि अन्य बोली जाने वाली भाषाओं में से है, चाहे उन्होंने जो भी लिखित प्रणालियों को अपनाया हो। चूंकि, कई भाषाएं ठिकानों के मिश्रण का उपयोग करती हैं, और अन्य विशेषताओं, उदाहरण के लिए 79 फ्रेंच में सोइक्सांटे डिक्स-नेफ ({{nowrap|60 + 10 + 9}}) और वेल्श में उन्नीस ({{nowrap|4 + (5 + 10) + (3 × 20)}}) या (कुछबवात पुरातन) अस्सी माइनस ({{nowrap|4 × 20 − 1}}) है। अंग्रेजी में, कोई भी चार स्कोर कम कह सकता है, जैसा कि प्रसिद्ध गेटीसबर्ग पते में "87 साल पहले" को "चार अंक और सात साल पहले" के रूप में दर्शाया गया है।
अधिक उपयोगी अभी भी ऐसी प्रणालियाँ हैं जो प्रतीकों की पुनरावृत्ति के लिए विशेष संक्षिप्त रूपों को नियोजित करती हैं; उदाहरण के लिए, इन संक्षिप्ताक्षरों के लिए वर्णमाला के पहले नौ अक्षरों का उपयोग करते हुए, A "एक घटना", B "दो घटनाएँ", और इसी तरह, संख्या 304 के लिए C+ D/ लिख सकता है। [[चीनी अंक|चीनी अंकों]] और चीनी पर आधारित अन्य पूर्वी एशियाई अंकों को लिखते समय इस प्रणाली का उपयोग किया जाता है। [[अंग्रेजी भाषा]] की संख्या प्रणाली इस प्रकार (तीन सौ [और] चार) की है, जैसा कि अन्य बोली जाने वाली भाषाओं में से है, चाहे उन्होंने जो भी लिखित प्रणालियों को अपनाया हो। चूंकि, कई भाषाएं ठिकानों के मिश्रण का उपयोग करती हैं, और अन्य विशेषताओं, उदाहरण के लिए 79 फ्रेंच में सोइक्सांटे डिक्स-नेफ ({{nowrap|60 + 10 + 9}}) और वेल्श में उन्नीस ({{nowrap|4 + (5 + 10) + (3 × 20)}}) या (कुछबवात पुरातन) अस्सी माइनस ({{nowrap|4 × 20 − 1}}) है। अंग्रेजी में, कोई भी चार स्कोर कम कह सकता है, जैसा कि प्रसिद्ध गेटीसबर्ग पते में "87 साल पहले" को "चार अंक और सात साल पहले" के रूप में दर्शाया गया है।


अधिक सुरुचिपूर्ण स्थितीय प्रणाली है, जिसे स्थान-मान संकेतन के रूप में भी जाना जाता है। और फिर से आधार 10 में काम करते हुए, दस अलग-अलग अंक 0, ..., 9 का उपयोग किया जाता है और अंक की स्थिति का उपयोग दस की शक्ति को निरुपित करने के लिए किया जाता है कि अंक को गुणा किया जाना है, जैसा कि {{nowrap|304 {{=}} 3×100 + 0×10 + 4×1}} या अधिक त्रुटिहीन रूप से {{nowrap|3×10<sup>2</sup> + 0×10<sup>1</sup> + 4×10<sup>0</sup>}}। किसी शक्ति को "छोड़ने" में सक्षम होने के लिए, शून्य, जिसकी अन्य प्रणालियों में आवश्यकता नहीं है, यहां महत्वपूर्ण महत्व है। हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली, जो भारत में उत्पन्न हुई थी और अब संसार में उपयोग की जाती है, स्थितीय आधार 10 प्रणाली है।
अधिक सुरुचिपूर्ण स्थितीय प्रणाली है, जिसे समष्टि-मान संकेतन के रूप में भी जाना जाता है। और फिर से आधार 10 में काम करते हुए, दस अलग-अलग अंक 0, ..., 9 का उपयोग किया जाता है और अंक की स्थिति का उपयोग दस की शक्ति को निरुपित करने के लिए किया जाता है कि अंक को गुणा किया जाना है, जैसा कि {{nowrap|304 {{=}} 3×100 + 0×10 + 4×1}} या अधिक त्रुटिहीन रूप से {{nowrap|3×10<sup>2</sup> + 0×10<sup>1</sup> + 4×10<sup>0</sup>}}। किसी शक्ति को "छोड़ने" में सक्षम होने के लिए, शून्य, जिसकी अन्य प्रणालियों में आवश्यकता नहीं है, यहां महत्वपूर्ण महत्व है। हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली, जो भारत में उत्पन्न हुई थी और अब संसार में उपयोग की जाती है, स्थितीय आधार 10 प्रणाली है।


स्थितीय प्रणालियों में अंकगणित पहले के योगात्मक प्रणालियों की तुलना में बहुत आसान है; इसके अतिरिक्त, योगात्मक प्रणालियों को 10 की विभिन्न शक्तियों के लिए बड़ी संख्या में विभिन्न प्रतीकों की आवश्यकता होती है; स्थितीय प्रणाली को केवल दस अलग-अलग प्रतीकों की आवश्यकता होती है (यह मानते हुए कि यह आधार 10 का उपयोग करता है)।<ref>{{Cite book|last=Chowdhury|first=Arnab|url=https://books.google.com/books?id=WXn-mT3K6dgC&q=Arithmetic+is+much+easier+in+positional+systems+than+in+the+earlier+additive+ones;+furthermore,+additive+systems+need+a+large+number+of+different+symbols+for+the+different+powers+of+10;+a+positional+system+needs+only+ten+different+symbols+(assuming+that+it+uses+base+10).&pg=PA2|title=Design of an Efficient Multiplier using DBNS|publisher=GIAP Journals|isbn=978-93-83006-18-2|language=en}}</ref>
स्थितीय प्रणालियों में अंकगणित पहले के योगात्मक प्रणालियों की तुलना में बहुत आसान है; इसके अतिरिक्त, योगात्मक प्रणालियों को 10 की विभिन्न शक्तियों के लिए बड़ी संख्या में विभिन्न प्रतीकों की आवश्यकता होती है; स्थितीय प्रणाली को केवल दस अलग-अलग प्रतीकों की आवश्यकता होती है (यह मानते हुए कि यह आधार 10 का उपयोग करता है)।<ref>{{Cite book|last=Chowdhury|first=Arnab|url=https://books.google.com/books?id=WXn-mT3K6dgC&q=Arithmetic+is+much+easier+in+positional+systems+than+in+the+earlier+additive+ones;+furthermore,+additive+systems+need+a+large+number+of+different+symbols+for+the+different+powers+of+10;+a+positional+system+needs+only+ten+different+symbols+(assuming+that+it+uses+base+10).&pg=PA2|title=Design of an Efficient Multiplier using DBNS|publisher=GIAP Journals|isbn=978-93-83006-18-2|language=en}}</ref>
Line 39: Line 38:
अंकों या प्रतीकों के साथ संख्या लिखते समय उपयोग किए जाने वाले अंकों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है जिन्हें क्रमशः अंकगणितीय अनुक्रम अंक (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) और (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) ज्यामितीय अनुक्रम अंक कहा जा सकता है। साइन-मान प्रणाली केवल ज्यामितीय अंकों का उपयोग करते हैं और स्थितिगत प्रणाली केवल अंकगणितीय अंकों का उपयोग करते हैं। साइन-मान प्रणाली को अंकगणितीय अंकों की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि वे पुनरावृत्ति ([[ग्रीक अंक|ग्रीक अंकों]] को छोड़कर) द्वारा बनाए जाते हैं, और स्थिति प्रणाली को ज्यामितीय अंकों की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि वे स्थिति द्वारा बनाए जाते हैं। चूंकि, बोली जाने वाली भाषा अंकगणित और ज्यामितीय अंकों का उपयोग करती है।
अंकों या प्रतीकों के साथ संख्या लिखते समय उपयोग किए जाने वाले अंकों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है जिन्हें क्रमशः अंकगणितीय अनुक्रम अंक (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) और (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) ज्यामितीय अनुक्रम अंक कहा जा सकता है। साइन-मान प्रणाली केवल ज्यामितीय अंकों का उपयोग करते हैं और स्थितिगत प्रणाली केवल अंकगणितीय अंकों का उपयोग करते हैं। साइन-मान प्रणाली को अंकगणितीय अंकों की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि वे पुनरावृत्ति ([[ग्रीक अंक|ग्रीक अंकों]] को छोड़कर) द्वारा बनाए जाते हैं, और स्थिति प्रणाली को ज्यामितीय अंकों की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि वे स्थिति द्वारा बनाए जाते हैं। चूंकि, बोली जाने वाली भाषा अंकगणित और ज्यामितीय अंकों का उपयोग करती है।


कंप्यूटर विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में, संशोधित आधार k स्थितीय प्रणाली का उपयोग किया जाता है, जिसे [[द्विध्रुवीय संख्या]] कहा जाता है, जिसमें अंक 1, 2, ..., k (k (k (k ({{nowrap|''k'' ≥ 1}}), और शून्य खाली स्ट्रिंग द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा रहा है। यह अग्रणी शून्यों के कारण होने वाली गैर-विशिष्टता से बचने के लिए ऐसे सभी अंक-तारों के सेट और गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के सेट के बीच आक्षेप स्थापित करता है। विशेषण बेस-के संख्या को के-एडिक टिप्पणी भी कहा जाता है, पी-एडिक नंबरों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। और यह विशेषण आधार 1 यूनरी के समान है।
कंप्यूटर विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में, संशोधित आधार k स्थितीय प्रणाली का उपयोग किया जाता है, जिसे [[द्विध्रुवीय संख्या]] कहा जाता है, जिसमें अंक 1, 2, ..., k (k (k (k ({{nowrap|''k'' ≥ 1}}), और शून्य खाली स्ट्रिंग द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा रहा है। यह अग्रणी शून्यों के कारण होने वाली गैर-विशिष्टता से बचने के लिए ऐसे सभी अंक-तारों के समुच्चय और गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के बीच आक्षेप स्थापित करता है। विशेषण बेस-के संख्या को के-एडिक टिप्पणी भी कहा जाता है, पी-एडिक नंबरों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। और यह विशेषण आधार 1 यूनरी के समान है।


== स्थितीय प्रणाली विस्तार से ==
== स्थितीय प्रणाली विस्तार से ==
Line 50: Line 49:
सामान्यतः, यदि b आधार है,तो आधार b की अंक प्रणाली में संख्या को {{math|''a''<sub>''n''</sub>''b''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>''n'' − 1</sub>''b''<sup>''n'' − 1</sup> + ''a''<sub>''n'' − 2</sub>''b''<sup>''n'' − 2</sup> + ... + ''a''<sub>0</sub>''b''<sup>0</sup>}} के रूप में व्यक्त करके और {{math|''a''<sub>''n''</sub>''a''<sub>''n'' − 1</sub>''a''<sub>''n'' − 2</sub> ... ''a''<sub>0</sub>}} घटते क्रम में प्रगणित अंकों को लिखकर लिखा जाता है। अंक 0 और {{math|''b'' − 1}} सहित प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
सामान्यतः, यदि b आधार है,तो आधार b की अंक प्रणाली में संख्या को {{math|''a''<sub>''n''</sub>''b''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>''n'' − 1</sub>''b''<sup>''n'' − 1</sup> + ''a''<sub>''n'' − 2</sub>''b''<sup>''n'' − 2</sup> + ... + ''a''<sub>0</sub>''b''<sup>0</sup>}} के रूप में व्यक्त करके और {{math|''a''<sub>''n''</sub>''a''<sub>''n'' − 1</sub>''a''<sub>''n'' − 2</sub> ... ''a''<sub>0</sub>}} घटते क्रम में प्रगणित अंकों को लिखकर लिखा जाता है। अंक 0 और {{math|''b'' − 1}} सहित प्राकृतिक संख्याएँ हैं।


यदि टेक्स्ट (जैसे कि यह) कई आधारों पर चर्चा करता है, और यदि अस्पष्टता उपस्थित है, तो आधार (स्वयं आधार 10 में प्रतिनिधित्व किया जाता है) संख्या के दाईं ओर सबस्क्रिप्ट में जोड़ा जाता है, इस तरह: संख्या: number<sub>base</sub>। जब तक संदर्भ द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, सबस्क्रिप्ट के बिना संख्या को दशमलव माना जाता है।
यदि टेक्स्ट (जैसे कि यह) कई आधारों पर चर्चा करता है, और यदि अस्पष्टता उपस्थित है, तो आधार (स्वयं आधार 10 में प्रतिनिधित्व किया जाता है) संख्या के दाईं ओर सबस्क्रिप्ट में जोड़ा जाता है। जब तक संदर्भ द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, सबस्क्रिप्ट के बिना संख्या को दशमलव माना जाता है।


अंकों को दो समूहों में विभाजित करने के लिए डॉट का उपयोग करके, कोई भी स्थिति प्रणाली में अंश भी लिख सकता है। उदाहरण के लिए, आधार 2 अंक 10.11 निरूपित  {{math|1×2<sup>1</sup> + 0×2<sup>0</sup> + 1×2<sup>−1</sup> + 1×2<sup>−2</sup> {{=}} 2.75}} करता है।
अंकों को दो समूहों में विभाजित करने के लिए डॉट का उपयोग करके, कोई भी स्थिति प्रणाली में अंश भी लिख सकता है। उदाहरण के लिए, आधार 2 अंक 10.11 निरूपित  {{math|1×2<sup>1</sup> + 0×2<sup>0</sup> + 1×2<sup>−1</sup> + 1×2<sup>−2</sup> {{=}} 2.75}} करता है।
Line 150: Line 149:


==बाहरी कड़ियाँ==
==बाहरी कड़ियाँ==
{{Wiktionary|numeration|numeral}}
*{{Commonscat-inline|Numeral systems}}
*{{Commonscat-inline|Numeral systems}}


{{Authority control}}
{{Authority control}}


{{DEFAULTSORT:Numeral System}}[[Category: अंक प्रणाली | अंक प्रणाली ]] [[Category: ग्रैफमेस]] [[Category: गणितीय अंकन]] [[Category: लेखन प्रणाली]]
{{DEFAULTSORT:Numeral System}}  


[[te:తెలుగు]]
[[te:తెలుగు]]


 
[[Category:All articles with vague or ambiguous time|Numeral System]]
 
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Numeral System]]
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Articles with invalid date parameter in template|Numeral System]]
[[Category:Created On 27/01/2023]]
[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
[[Category:Vigyan Ready]]
[[Category:Created On 27/01/2023|Numeral System]]
[[Category:Lua-based templates|Numeral System]]
[[Category:Machine Translated Page|Numeral System]]
[[Category:Multi-column templates|Numeral System]]
[[Category:Pages using div col with small parameter|Numeral System]]
[[Category:Pages using sidebar with the child parameter|Numeral System]]
[[Category:Pages with script errors|Numeral System]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description|Numeral System]]
[[Category:Templates Translated in Hindi|Numeral System]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Numeral System]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Numeral System]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Numeral System]]
[[Category:Templates using TemplateData|Numeral System]]
[[Category:Templates using under-protected Lua modules|Numeral System]]
[[Category:Vague or ambiguous time from February 2021|Numeral System]]
[[Category:Wikipedia fully protected templates|Div col]]
[[Category:अंक प्रणाली| अंक प्रणाली ]]
[[Category:गणितीय अंकन|Numeral System]]
[[Category:ग्रैफमेस|Numeral System]]
[[Category:लेखन प्रणाली|Numeral System]]

Latest revision as of 13:04, 20 October 2023

विभिन्न अंक प्रणालियों में लिखी गई संख्याएँ।

अंक प्रणाली (या संख्या की प्रणाली) संख्याओं को व्यक्त करने के लिए लेखन प्रणाली है जो अंकों या अन्य प्रतीकों का सुसंगत विधि से उपयोग करके दिए गए समुच्चय की संख्यात्मक अंक या अन्य प्रतीकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय संकेतन है।

प्रतीकों का अनुक्रम विभिन्न संख्याओं में विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है। उदाहरण के लिए, 11 दशमलव अंक प्रणाली (आज, विश्व स्तर पर सबसे आम प्रणाली) में संख्या ग्यारह , बाइनरी अंक प्रणाली में तीन संख्या (संगणक में उपयोग किया जाता है), और यूनरी अंक प्रणाली में (अंकों का मिलान करें स्कोर में उपयोग किया जाता है) संख्या दो का प्रतिनिधित्व करता है।

अंक जिस संख्या का प्रतिनिधित्व करता है उसे उसका मान कहा जाता है। सभी संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के समान समूह का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती हैं; उदाहरण के लिए, रोमन अंक हिंदू-अरबी अंक 0 द्वारा दर्शाई गई संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं।

आदर्श रूप से,