दोलन: Difference between revisions

{{redirect|Oscillator}}{{One source|date=November 2016}}[[File:Animated-mass-spring.gif|right|frame|एक अनचाहे हार्मोनिक ऑसिलेटर#स्प्रिंग -मास सिस्टम | स्प्रिंग -मास सिस्टम एक दोलन प्रणाली है]]

दोलन दोहराव या आवधिक भिन्नता है, आमतौर पर समय में, एक केंद्रीय मूल्य (अक्सर संतुलन का एक बिंदु) या दो या अधिक अलग -अलग राज्यों के बारे में कुछ माप।दोलन के परिचित उदाहरणों में एक झूलते हुए पेंडुलम और वैकल्पिक वर्तमान शामिल हैं।दोलनों का उपयोग भौतिकी में जटिल बातचीत के लिए अनुमानित किया जा सकता है, जैसे कि परमाणुओं के बीच।

दोलन न केवल यांत्रिक प्रणालियों में, बल्कि विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र में गतिशील प्रणालियों में भी होते हैं: उदाहरण के लिए मानव हृदय की धड़कन (परिसंचरण के लिए), अर्थशास्त्र में व्यापार चक्र, पारिस्थितिकी में शिकारी -पूर्व जनसंख्या चक्र, भूविज्ञान में भूतापीय गीजर, भूगर्दी में जियोथर्मल गीजर,गिटार और अन्य स्ट्रिंग उपकरणों में स्ट्रिंग्स का कंपन, मस्तिष्क में तंत्रिका कोशिकाओं की आवधिक फायरिंग, और खगोल विज्ञान में सेफिड चर सितारों की आवधिक सूजन।शब्द '' कंपन '' का उपयोग एक यांत्रिक दोलन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

== सरल हार्मोनिक ==

{{Main|Simple harmonic motion}}

सबसे सरल यांत्रिक दोलन प्रणाली केवल वजन और तनाव के लिए एक रैखिक वसंत से जुड़ी एक वजन है। इस तरह की प्रणाली को एक हवा की मेज या बर्फ की सतह पर अनुमानित किया जा सकता है। सिस्टम एक संतुलन अवस्था में है जब वसंत स्थिर होता है। यदि सिस्टम को संतुलन से विस्थापित किया जाता है, तो द्रव्यमान पर एक शुद्ध बहाल बल होता है, इसे संतुलन में वापस लाने के लिए प्रवृत्त होता है। हालांकि, द्रव्यमान को संतुलन की स्थिति में वापस ले जाने में, इसने गति का अधिग्रहण कर लिया है जो इसे उस स्थिति से आगे बढ़ता रहता है, विपरीत अर्थों में एक नया बहाल बल स्थापित करता है। यदि एक निरंतर बल जैसे कि गुरुत्वाकर्षण को सिस्टम में जोड़ा जाता है, तो संतुलन के बिंदु को स्थानांतरित कर दिया जाता है। एक दोलन होने के लिए लिया गया समय अक्सर दोलन अवधि के रूप में संदर्भित किया जाता है।

जिन प्रणालियों में एक शरीर पर पुनर्स्थापना बल सीधे उसके विस्थापन के लिए आनुपातिक है, जैसे कि स्प्रिंग-मास सिस्टम की गतिशीलता, सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वारा गणितीय रूप से वर्णित की जाती है और नियमित आवधिक गति को सरल हार्मोनिक गति के रूप में जाना जाता है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली में, दोलन होते हैं, क्योंकि स्थैतिक संतुलन विस्थापन में, द्रव्यमान में गतिज ऊर्जा होती है जिसे अपने पथ के चरम पर वसंत में संग्रहीत संभावित ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है। स्प्रिंग-मास सिस्टम दोलन की कुछ सामान्य विशेषताओं को दिखाता है, अर्थात् एक संतुलन का अस्तित्व और एक बहाल बल की उपस्थिति जो आगे मजबूत होती है सिस्टम को संतुलन से विचलित कर देता है।

स्प्रिंग-मास सिस्टम के मामले में, हुक के नियम में कहा गया है कि एक वसंत का बहाल बल है:

न्यूटन के दूसरे कानून का उपयोग करके, अंतर समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

कहाँ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math>

इस अंतर समीकरण का समाधान एक साइनसोइडल स्थिति फ़ंक्शन का उत्पादन करता है।

== दो-आयामी ऑसिलेटर ==

दो या तीन आयामों में, हार्मोनिक ऑसिलेटर एक आयाम के समान व्यवहार करते हैं।इसका सबसे सरल उदाहरण एक आइसोट्रोपिक ऑसिलेटर है, जहां पुनर्स्थापना बल सभी दिशाओं में समान पुनर्स्थापनात्मक स्थिरांक के साथ संतुलन से विस्थापन के लिए आनुपातिक है।

यह एक समान समाधान पैदा करता है, लेकिन अब हर दिशा के लिए एक अलग समीकरण है।

  <math>y(t) = A_y \cos(\omega t - \delta_y)</math>,

=== अनिसोट्रोपिक ऑसिलेटर ===

अनिसोट्रोपिक ऑसिलेटर के साथ, विभिन्न दिशाओं में बलों को बहाल करने के अलग -अलग स्थिरांक होते हैं।समाधान आइसोट्रोपिक ऑसिलेटर के समान है, लेकिन प्रत्येक दिशा में एक अलग आवृत्ति है।एक दूसरे के सापेक्ष आवृत्तियों को अलग -अलग करना दिलचस्प परिणाम पैदा कर सकता है।उदाहरण के लिए, यदि एक दिशा में आवृत्ति दूसरे से दोगुनी है, तो एक आकृति आठ पैटर्न का उत्पादन किया जाता है।यदि आवृत्तियों का अनुपात तर्कहीन है, तो गति quasiperiodic है।यह गति प्रत्येक अक्ष पर आवधिक है, लेकिन आर के संबंध में आवधिक नहीं है, और कभी भी नहीं दोहराएगा।<ref name=":0">{{Cite book |last=Taylor |first=John R. |url=https://www.worldcat.org/oclc/55729992 |title=Classical mechanics |date=2005 |isbn=1-891389-22-X |location=Mill Valley, California |oclc=55729992}}</ref>

{{Main|Harmonic oscillator}}

{{see also|Anti-vibration compound}}

सभी वास्तविक दुनिया के थरथरानवाला सिस्टम थर्मोडायनामिक रूप से अपरिवर्तनीय हैं।इसका मतलब यह है कि घर्षण या विद्युत प्रतिरोध जैसी विघटनकारी प्रक्रियाएं हैं जो ऑसिलेटर में संग्रहीत कुछ ऊर्जा को लगातार पर्यावरण में गर्मी में बदल देती हैं।इसे भिगोना कहा जाता है।इस प्रकार, दोलन समय के साथ क्षय हो जाते हैं जब तक कि सिस्टम में ऊर्जा का कुछ शुद्ध स्रोत न हो।इस क्षय प्रक्रिया का सबसे सरल विवरण हार्मोनिक ऑसिलेटर के दोलन क्षय द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

जब एक प्रतिरोधक बल पेश किया जाता है, तो नम ऑसिलेटर बनाए जाते हैं, जो स्थिति के पहले व्युत्पन्न पर निर्भर होता है, या इस मामले में वेग होता है।न्यूटन के दूसरे कानून द्वारा बनाया गया अंतर समीकरण इस प्रतिरोधक बल में एक मनमाना निरंतर बी के साथ जोड़ता है।यह उदाहरण वेग पर एक रैखिक निर्भरता मानता है।

कहाँ पे <math>2 \beta = \frac b m</math>

यह सामान्य समाधान का उत्पादन करता है:

कहाँ पे <math>\omega_1 = \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}</math>

कोष्ठक के बाहर घातीय शब्द क्षय फ़ंक्शन है और of भिगोना गुणांक है।नम ऑसिलेटर की 3 श्रेणियां हैं: अंडर-डंप, जहां ω <ω₀;ओवर-डंप, जहां β> ω₀;और गंभीर रूप से नम, जहां β = ω₀।

== संचालित दोलन ==

इसके अलावा, एक दोलन प्रणाली कुछ बाहरी बल के अधीन हो सकती है, जब एक एसी सर्किट एक बाहरी बिजली स्रोत से जुड़ा होता है।इस मामले में दोलन को संचालित कहा जाता है।

इसका सबसे सरल उदाहरण साइनसोइडल ड्राइविंग बल के साथ स्प्रिंग-मास सिस्टम है।

<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, कहाँ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>

कहाँ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math>

एक्स (टी) का दूसरा शब्द विभेदक समीकरण का क्षणिक समाधान है।सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके क्षणिक समाधान पाया जा सकता है।

कुछ सिस्टम पर्यावरण से ऊर्जा हस्तांतरण से उत्साहित हो सकते हैं।यह स्थानांतरण आमतौर पर होता है जहां सिस्टम कुछ द्रव प्रवाह में एम्बेडेड होते हैं।उदाहरण के लिए, वायुगतिकी में स्पंदन की घटना तब होती है जब एक विमान विंग (इसके संतुलन से) के एक छोटे से विस्थापन के परिणामस्वरूप वायु प्रवाह पर विंग के हमले के कोण में वृद्धि होती है और लिफ्ट गुणांक में एक परिणामी वृद्धि होती है, जिससे अग्रणी होता है, जिससे अग्रणी होता हैअभी भी अधिक विस्थापन।पर्याप्त रूप से बड़े विस्थापन पर, विंग की कठोरता एक दोलन को सक्षम करने वाले बहाल बल प्रदान करने के लिए हावी है।

एक नम संचालित ऑसिलेटर में प्रतिध्वनित होता है जब ω = ω₀, यह है, जब ड्राइविंग आवृत्ति सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है।जब ऐसा होता है, तो आयाम के भाजक को कम से कम किया जाता है, जो दोलनों के आयाम को अधिकतम करता है।

== युग्मित दोलन ==

[[File:Coupled oscillators.gif|frame|right|Two pendulums with the same period fixed on a string act as pair of coupled oscillators. The oscillation alternates between the twoMr - Gholap sarthak prakash  File:Huygens synchronization of two clocks (Experiment).jpg|thumbnail|left|100px|दो घड़ियों के Huygens सिंक्रनाइज़ेशन का प्रायोगिक सेटअप]]

हार्मोनिक ऑसिलेटर और सिस्टम आईटी मॉडल में स्वतंत्रता की एक ही डिग्री है।अधिक जटिल प्रणालियों में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है, उदाहरण के लिए, दो द्रव्यमान और तीन स्प्रिंग्स (प्रत्येक द्रव्यमान निश्चित बिंदुओं और एक दूसरे से जुड़ा हुआ है)।ऐसे मामलों में, प्रत्येक चर का व्यवहार दूसरों को प्रभावित करता है।यह स्वतंत्रता की व्यक्तिगत डिग्री के दोलनों के युग्मन की ओर जाता है।उदाहरण के लिए, एक सामान्य दीवार पर लगे दो पेंडुलम घड़ियाँ (समान आवृत्ति की) सिंक्रनाइज़ करेंगी।यह घटना पहली बार 1665 में क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा देखी गई थी।<ref>{{cite book|author1=Strogatz, Steven|year=2003|title=Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order|publisher=Hyperion Press|pages=106–109|isbn=0-786-86844-9}}</ref> यौगिक दोलनों की स्पष्ट गति आमतौर पर बहुत जटिल दिखाई देती है, लेकिन एक अधिक आर्थिक, कम्प्यूटेशनल रूप से सरल और वैचारिक रूप से गहरा विवरण गति को सामान्य मोड में हल करके दिया जाता है।

युग्मित ऑसिलेटर का सबसे सरल रूप एक 3 वसंत, 2 द्रव्यमान प्रणाली है, जहां द्रव्यमान और वसंत स्थिरांक समान हैं।यह समस्या दोनों जनता के लिए न्यूटन के दूसरे कानून को प्राप्त करने के साथ शुरू होती है।

<math>m_1 \ddot{x}_1 = -(k_1 + k_2)x_1 + k_2x_2</math>,     <math>m_2\ddot{x}_2 = k_2x_1 - (k_2+k_3)x_2</math>,

समीकरणों को तब मैट्रिक्स रूप में सामान्यीकृत किया जाता है।

कहाँ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>,     <math>x = \begin{bmatrix} x_1  \\ x_2  \end{bmatrix}</math>,   तथा <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math>

<math>m_1=m_2=m </math>,     <math>k_1=k_2=k_3=k</math>,

इन मैट्रिसेस को अब सामान्य समाधान में प्लग किया जा सकता है।

इस मैट्रिक्स के निर्धारक एक द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं।

<math>\omega_1 = \sqrt{\frac km}</math>,   <math>\omega_2 = \sqrt{\frac {3k} m}</math>

जनता के शुरुआती बिंदु के आधार पर, इस प्रणाली में 2 संभावित आवृत्तियों (या दो का संयोजन) है।यदि जनता को एक ही दिशा में उनके विस्थापन के साथ शुरू किया जाता है, तो आवृत्ति एक एकल द्रव्यमान प्रणाली की है, क्योंकि मध्य वसंत को कभी भी बढ़ाया नहीं जाता है।यदि दो द्रव्यमान विपरीत दिशाओं में शुरू किए जाते हैं, तो दूसरा, तेज आवृत्ति प्रणाली की आवृत्ति है।<ref name=":0" />

अधिक विशेष मामले युग्मित ऑसिलेटर हैं जहां ऊर्जा दोलन के दो रूपों के बीच वैकल्पिक होती है।अच्छी तरह से ज्ञात विल्बरफोर्स पेंडुलम है, जहां दोलन एक ऊर्ध्वाधर वसंत के बढ़ाव और उस वसंत के अंत में एक वस्तु के रोटेशन के बीच वैकल्पिक होता है।

युग्मित ऑसिलेटर दो संबंधित, लेकिन अलग -अलग घटनाओं का एक सामान्य विवरण हैं।एक मामला वह है जहां दोनों दोलन एक -दूसरे को परस्पर प्रभावित करते हैं, जो आमतौर पर एक एकल, प्रवेशित दोलन राज्य की घटना की ओर जाता है, जहां दोनों एक समझौता आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं।एक और मामला वह है जहां एक बाहरी दोलन एक आंतरिक दोलन को प्रभावित करता है, लेकिन इससे प्रभावित नहीं होता है।इस मामले में सिंक्रनाइज़ेशन के क्षेत्र, जिसे अर्नोल्ड जीभ के रूप में जाना जाता है, उदाहरण के लिए अराजक गतिशीलता के रूप में अत्यधिक जटिल घटना हो सकती है।