द्विघात फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 10:26, 25 September 2023

बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।

बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।

उदाहरण के लिए, अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है^[1]

f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0

एकल चर x में अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख परवलय है, वक्र जिसमें समरूपता का अक्ष समांतर होता है $y$ -एक्सिस यदि द्विघात फलन शून्य के साथ समीकरण है, तो परिणाम द्विघात समीकरण है। द्विघात समीकरण के हल संगत द्विघात फलन के फलनों के शून्य होते हैं।

चर x और y के संदर्भ में द्विचर स्थिति का रूप है

f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f

a, b, c में से कम से कम शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), शंक्वाकार खंड ( वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) है।

तीन चर x, y, और z में द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं, के साथ x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z,और स्थिरांक

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

कम से कम गुणांक के साथ a, b, c, d, e, f दूसरी डिग्री की शर्तें गैर-शून्य हैं।

सामान्यतः चर की बड़ी संख्या हो सकती है, इस स्थितियों में द्विघात फलन को शून्य पर सेट करने की परिणामी सतह (ज्यामिति) को क्वाड्रिक कहा जाता है, लेकिन उच्चतम डिग्री शब्द डिग्री 2 का होना चाहिए, जैसे x², xy, yz, आदि।

व्युत्पत्ति

विशेषण द्विघात लैटिन शब्द चतुर्भुज ("स्क्वायर") वर्ग ज्यामिति से आया है। एक शब्द जैसा $x 2$ बीजगणित में वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है क्योंकि यह भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल होता है। $x$ .

शब्दावली

गुणांक

बहुपद के गुणांकों को अधिकांशतः वास्तविक या जटिल द्विघात बहुपद के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में, बहुपद को किसी भी वलय (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

डिग्री

द्विघात बहुपद शब्द का उपयोग करते समय, लेखकों का अर्थ कभी-कभी ठीक 2 डिग्री होना और कभी-कभी अधिकतम 2 डिग्री होना होता है। यदि डिग्री 2 से कम है, तो इसे डीजनरेसी (गणित) कहा जा सकता है। सामान्यतः संदर्भ स्थापित करेगा कि दोनों में से कौन सा अर्थ है।

कभी-कभी शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के अर्थ के साथ किया जाता है, उदा। एक दूसरे क्रम का बहुपद। चूंकि, जहां बहुपद की डिग्री बहुपद के गैर-शून्य शब्द की सबसे बड़ी डिग्री को संदर्भित करती है, अधिक विशिष्ट रूप से आदेश शक्ति श्रृंखला के गैर-शून्य शब्द की निम्नतम डिग्री को संदर्भित करता है।

चर

द्विघात बहुपद में एकल चर (गणित) x (एक तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) सम्मिलित हो सकते हैं।

एक चर स्थितियां

किसी एकल-चर द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ax^{2}+bx+c,\,\!

जहाँ x चर है, और a, b, और c गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, ऐसे बहुपद अधिकांशतः द्विघात समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं $ax^{2}+bx+c=0$ . इस समीकरण के समाधान को द्विघात बहुपद के फलन का मूल कहा जाता है, और गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करने, फलन का ग्राफ, न्यूटन की विधि, या द्विघात सूत्र के उपयोग के माध्यम से पाया जा सकता है। प्रत्येक

[1]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{for|एक द्विघात फलन के शून्य|द्विघात समीकरण|द्विघात सूत्र}}
-बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।
+बीजगणित में, '''द्विघात फलन''', द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।
 [[Image:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।]]उदाहरण के लिए, अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है<ref name="wolfram">{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html | title=वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से द्विघात समीकरण| access-date=January 6, 2013}}</ref>
 :<math>f(x)=ax^2+bx+c,\quad a \ne 0</math>
-एकल चर x में।  अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख परवलय है, वक्र जिसमें समरूपता का अक्ष समांतर होता है {{math|''y''}}-एक्सिस।
+एकल चर x में अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख परवलय है, वक्र जिसमें समरूपता का अक्ष समांतर होता है {{math|''y''}}-एक्सिस यदि द्विघात फलन शून्य के साथ समीकरण है, तो परिणाम द्विघात समीकरण है। द्विघात समीकरण के हल संगत द्विघात फलन के फलनों के शून्य होते हैं।
-यदि द्विघात फलन शून्य के साथ समीकरण है, तो परिणाम द्विघात समीकरण है। द्विघात समीकरण के हल संगत द्विघात फलन के फलनों के शून्य होते हैं।
 चर x और y के संदर्भ में द्विचर स्थिति का रूप है
 :<math> f(x,y) = a x^2 + bx y+ cy^2 + d x+ ey + f </math>
-a, b, c में से कम से कम शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), शंक्वाकार खंड ( वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त,  परवलय या अतिपरवलय) है।
+a, b, c में से कम से कम शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), शंक्वाकार खंड ( वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) है।
 तीन चर x, y, और z में द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं, के साथ ''x''<sup>2</sup>, ''y''<sup>2</sup>, ''z''<sup>2</sup>, ''xy'', ''xz'', ''yz'', ''x'', ''y'', ''z'',और स्थिरांक
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 === चर ===
-द्विघात बहुपद में एकल चर (गणित) x ( तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) सम्मिलित हो सकते हैं।
+द्विघात बहुपद में एकल चर (गणित) x (एक तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) सम्मिलित हो सकते हैं।
 ====एक चर स्थितियां ====
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 * <math>f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!</math> वर्टेक्स फॉर्म कहा जाता है, जहां {{math|''h''}} तथा {{math|''k''}} क्या हैं {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}} क्रमशः शीर्ष के निर्देशांक।
-गुणांक {{math|''a''}} तीनों रूपों में समान मूल्य है। मानक रूप को कारक रूप में बदलने के लिए, दो जड़ों को निर्धारित करने के लिए केवल द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}. मानक फॉर्म को वर्टेक्स फॉर्म में बदलने के लिए, प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जिसे वर्ग को पूरा करना कहा जाता है। गुणनखंडित रूप (या शीर्ष रूप) को मानक रूप में बदलने के लिए, गुणनखंडों को गुणा, विस्तार और/या वितरित करने की आवश्यकता होती है।
+गुणांक {{math|''a''}} तीनों रूपों में समान मूल्य है। मानक रूप को कारक रूप में बदलने के लिए, दो जड़ों को निर्धारित करने के लिए केवल द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}. मानक फॉर्म को वर्टेक्स फॉर्म में बदलने के लिए, प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जिसे वर्ग को पूरा करना कहा जाता है। गुणनखंडित रूप (या शीर्ष रूप) को मानक रूप में बदलने के लिए, गुणनखंडों को गुणा, विस्तार और या वितरित करने की आवश्यकता होती है।
 == यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़ ==
 अविभाजित द्विघात फलन को तीन स्वरूपों में व्यक्त किया जा सकता है:
-<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>  परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है)। समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है <math>y = ax^2 + bx + c</math>.
+<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है) समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है <math>y = ax^2 + bx + c</math>.
 * यदि {{math|''a'' &gt; 0}}, परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
 * यदि {{math|''a'' &lt; 0}}, परवलय नीचे की ओर खुलता है।
-गुणांक {{math|''a''}} ग्राफ की वक्रता की डिग्री को नियंत्रित करता है; का बड़ा परिमाण  {{math|''a''}} ग्राफ को अधिक बंद (तीव्र घुमावदार) रूप देता है।
+गुणांक {{math|''a''}} ग्राफ की वक्रता की डिग्री को नियंत्रित करता है; का बड़ा परिमाण {{math|''a''}} ग्राफ को अधिक बंद (तीव्र घुमावदार) रूप देता है।
 गुणांक {{math|''b''}} तथा {{math|''a''}} एक साथ परवलय की समरूपता के अक्ष के स्थान को नियंत्रित करें (भी {{math|''x''}} शीर्ष के रूप में शीर्ष और एच पैरामीटर का समन्वय) जो पर है
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 === जड़ों के परिमाण पर ऊपरी सीमा ===
-द्विघात के मूलों का निरपेक्ष मान <math>ax^2+bx+c\,</math> से बड़ा नहीं हो सकता <math>\frac{\max(|a|, |b|, |c|)}{|a|}\times \phi,\, </math> कहाँ पे <math>\phi</math> सुनहरा अनुपात है <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}.</math><ref>Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 549.</ref>{{importance inline|<!--Formula doesn't scale under scale of ''x''; a realistic formula should scale by α when b ↦ bα and c ↦cα<sup>2</sup>-->}}
+द्विघात के मूलों का निरपेक्ष मान <math>ax^2+bx+c\,</math> से बड़ा नहीं हो सकता <math>\frac{\max(|a|, |b|, |c|)}{|a|}\times \phi,\, </math> कहाँ पे <math>\phi</math> सुनहरा अनुपात है <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}.</math><ref>Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 549.</ref>
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 पुनरावृत्त कार्य करने के लिए <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>, पुनरावृत्ति से अगले इनपुट के रूप में आउटपुट का उपयोग करते हुए, फलन को बार-बार प्रयुक्त करता है।
-कोई हमेशा के विश्लेषणात्मक रूप का अनुमान नहीं लगा सकता है <math>f^{(n)}(x)</math>, जिसका अर्थ है ''n''<sup>th</sup>   पुनरावृत्ति <math>f(x)</math>. (सुपरस्क्रिप्ट को ऋणात्मक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति का चर्चा करते हुए <math>f(x)</math> यदि व्युत्क्रम उपस्थित है।) लेकिन कुछ विश्लेषणात्मक रूप से बंद-रूप अभिव्यक्ति की स्थितियों हैं।
+कोई हमेशा के विश्लेषणात्मक रूप का अनुमान नहीं लगा सकता है <math>f^{(n)}(x)</math>, जिसका अर्थ है ''n''<sup>th</sup>  पुनरावृत्ति <math>f(x)</math>. (सुपरस्क्रिप्ट को ऋणात्मक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति का चर्चा करते हुए <math>f(x)</math> यदि व्युत्क्रम उपस्थित है।) लेकिन कुछ विश्लेषणात्मक रूप से बंद-रूप अभिव्यक्ति की स्थितियों हैं।
 उदाहरण के लिए, पुनरावृत्त समीकरण के लिए
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 किसी के पास
 :<math>f(x)=a(x-c)^2+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!</math>
-कहाँ पे
+जहाँ पर
 :<math>g(x)=ax^2\,\!</math> तथा <math>h(x)=x-c.\,\!</math>
 तो प्रेरण द्वारा,
@@ Line 184: / Line 183: @@
 समाधान के रूप में।
-f और g के बीच संबंध के बारे में अधिक विवरण के लिए स्थलीय संयुग्मन देखें। और सामान्य पुनरावृत्ति में अराजक व्यवहार के लिए जटिल द्विघात बहुपद देखें।
+f और g के बीच संबंध के बारे में अधिक विवरण के लिए स्थलीय संयुग्मन देखे और सामान्य पुनरावृत्ति में अराजक व्यवहार के लिए जटिल द्विघात बहुपद देखें।
 लॉजिस्टिक मैप
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 जहां a, b, c, d, और e निश्चित गुणांक हैं और एफ निरंतर शब्द है।
-ऐसा फलन द्विघात सतह (गणित) का वर्णन करता है। स्थापना <math>f(x,y)\,\!</math> शून्य के बराबर विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है <math>z=0\,\!</math>, जो  शंकु खंड के समतुल्य बिंदुओं का स्थान (गणित) है।
+ऐसा फलन द्विघात सतह (गणित) का वर्णन करता है। स्थापना <math>f(x,y)\,\!</math> शून्य के बराबर विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है <math>z=0\,\!</math>, जो शंकु खंड के समतुल्य बिंदुओं का स्थान (गणित) है।
 ===न्यूनतम अधिकतम===
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 {{Polynomials}}
-{{DEFAULTSORT:Quadratic Function}}[[Category: बहुपद फलन]]
+{{DEFAULTSORT:Quadratic Function}}
-[[Category: परवलय]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Quadratic Function]]
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+[[Category:Created On 13/11/2022|Quadratic Function]]
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