जैकोबी बहुपद: Difference between revisions

Latest revision as of 10:52, 17 March 2023

गणित में, जैकोबी बहुपद(कभी-कभी अतिज्यामितीय बहुपद कहा जाता है) $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ शास्त्रीय लंबकोणीय बहुपदों का एक वर्ग हैं। वे अंतराल $[-1,1]$ पर प्रभाव $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ के संबंध में लंबकोणीय हैं। गेंगेंबोइर बहुपद, और इस प्रकार लेजेंड्रे बहुपद, ज़र्निके बहुपद और चेबिशेव बहुपद, जैकोबी बहुपद के विशेष स्थितियां हैं।^[1]

जैकोबी बहुपद कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।

परिभाषाएँ

हाइपरज्यामितीय फलन के माध्यम से

जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:^[2]

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{{(α + 1)}_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 1 +

[1]

[2]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{For|कई चरों के जैकोबी बहुपद|हेकमैन-ओपडम बहुपद}}
-गणित में, जैकोबी बहुपद (कभी-कभी अतिज्यामितीय बहुपद कहा जाता है) <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)</math> शास्त्रीय  [[ऑर्थोगोनल बहुपद|लंबकोणीय बहुपदों]]  का एक वर्ग  हैं। वे अंतराल <math>[-1,1]</math> पर   प्रभाव <math>(1-x)^\alpha(1+x)^\beta</math>  के संबंध में लंबकोणीय हैं। गेंगेंबोइर  बहुपद, और इस प्रकार लेजेंड्रे बहुपद, ज़र्निके बहुपद और [[चेबिशेव बहुपद]], जैकोबी बहुपद के विशेष स्थितियां हैं।<ref name=sz>{{cite book | last1=Szegő | first1=Gábor | title=ऑर्थोगोनल बहुपद| url=https://books.google.com/books?id=3hcW8HBh7gsC | publisher= American Mathematical Society | series=Colloquium Publications | isbn=978-0-8218-1023-1 | mr=0372517 | year=1939 | volume=XXIII|chapter=IV. Jacobi polynomials.}} The definition is in IV.1; the differential equation &ndash; in IV.2; Rodrigues' formula is in IV.3; the generating function is in IV.4; the recurrent relation is in IV.5.</ref>
+गणित में, जैकोबी बहुपद(कभी-कभी अतिज्यामितीय बहुपद कहा जाता है) <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)</math> शास्त्रीय [[ऑर्थोगोनल बहुपद|लंबकोणीय बहुपदों]] का एक वर्ग हैं। वे अंतराल <math>[-1,1]</math> पर प्रभाव <math>(1-x)^\alpha(1+x)^\beta</math> के संबंध में लंबकोणीय हैं। गेंगेंबोइर बहुपद, और इस प्रकार लेजेंड्रे बहुपद, ज़र्निके बहुपद और [[चेबिशेव बहुपद]], जैकोबी बहुपद के विशेष स्थितियां हैं।<ref name=sz>{{cite book | last1=Szegő | first1=Gábor | title=ऑर्थोगोनल बहुपद| url=https://books.google.com/books?id=3hcW8HBh7gsC | publisher= American Mathematical Society | series=Colloquium Publications | isbn=978-0-8218-1023-1 | mr=0372517 | year=1939 | volume=XXIII|chapter=IV. Jacobi polynomials.}} The definition is in IV.1; the differential equation &ndash; in IV.2; Rodrigues' formula is in IV.3; the generating function is in IV.4; the recurrent relation is in IV.5.</ref>
 जैकोबी बहुपद [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।
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 जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:<ref>{{Abramowitz_Stegun_ref|22|561}}</ref>
 :<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}\,{}_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\tfrac{1}{2}(1-z)\right),</math>
-जहाँ <math>(\alpha+1)_n</math> पोछाम्मेर का प्रतीक है (बढ़ते तथ्यात्मक के लिए)। इस स्थिति में, हाइपरज्यामितीय फलन के लिए श्रृंखला परिमित है, इसलिए निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
+जहाँ <math>(\alpha+1)_n</math> पोछाम्मेर का प्रतीक है(बढ़ते तथ्यात्मक के लिए)। इस स्थिति में, हाइपरज्यामितीय फलन के लिए श्रृंखला परिमित है, इसलिए निम्नलिखित अनुरूप अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:
-:<math>P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m.</math>
+:<math>P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m</math>
 === रोड्रिग्स का सूत्र ===
 रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा एक समतुल्य परिभाषा दी गई है:<ref name=sz/><ref>{{SpringerEOM|title=Jacobi polynomials|author=P.K. Suetin}}</ref>
-:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-z)^{-\alpha} (1+z)^{-\beta} \frac{d^n}{dz^n} \left\{ (1-z)^\alpha (1+z)^\beta \left (1 - z^2 \right )^n \right\}.</math>
+:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-z)^{-\alpha} (1+z)^{-\beta} \frac{d^n}{dz^n} \left\{ (1-z)^\alpha (1+z)^\beta \left (1 - z^2 \right )^n \right\}</math>
 अगर <math> \alpha = \beta = 0 </math>, तो यह लीजेंड्रे बहुपदों को कम कर देता है:
 :<math> P_{n}(z) = \frac{1 }{2^n  n! } \frac{d^n }{ d z^n }  ( z^2 - 1 )^n  \; .  </math>
@@ Line 24: / Line 24: @@
 === वास्तविक तर्क के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति ===
-वास्तव में <math>x</math> जैकोबी बहुपद को वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है
+यथार्थ <math>x</math> जैकोबी बहुपद को वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है
 :<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= \sum_{s=0}^n {n+\alpha\choose n-s}{n+\beta \choose s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{n-s}</math>
-और पूर्णांक के लिए <math>n</math>
+और पूर्णांक <math>n</math> के लिए
 :<math>{z \choose n} = \begin{cases} \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)} & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{cases}</math>
 जहाँ <math>\Gamma(z)</math> [[गामा समारोह|गामा फलन]] है।
-विशेष स्थितियों में कि चार मात्राएँ <math>n</math>, <math>n+\alpha</math>, <math>n+\beta</math>, <math>n+\alpha+\beta</math>
+विशेष स्थितियों में कि चार मात्राएँ <math>n</math>, <math>n+\alpha</math>, <math>n+\beta</math>, <math>n+\alpha+\beta</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, जैकोबी बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है
-गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं, जैकोबी बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है
-{{NumBlk|:|<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=(n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_{s=0}^n \frac{1}{s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.</math>|{{EquationRef|1}}}}
+{{NumBlk|:|<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=(n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_{s=0}^n \frac{1}{s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}</math>|{{EquationRef|1}}}}
-के सभी पूर्णांक मानों पर योग का विस्तार होता है <math>s</math> जिसके लिए फैक्टोरियल्स के तर्क गैर-नकारात्मक हैं।
+इस रूप में लिखा जा सकता है।
+योग <math>s</math> के सभी पूर्णांक मानों पर विस्तृत होता है जिसके लिए भाज्य के तर्क गैर-ऋणात्मक होते हैं।
 === विशेष स्थितियां ===
@@ Line 50: / Line 51: @@
 == मूल गुण ==
-===लंबकोणीयिटी ===
+===लंबकोणीयता ===
-जैकोबी बहुपद  लंबकोणीयिटी की स्थिति को संतुष्ट करते हैं
+जैकोबी बहुपद लंबकोणीयता की स्थिति
-:<math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x)\,dx =\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}, \qquad \alpha,\ \beta > -1.</math>
+:<math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x)\,dx =\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}, \qquad \alpha,\ \beta > -1</math>
-जैसा कि परिभाषित किया गया है, प्रभाव के संबंध में उनके पास इकाई मानदंड नहीं है। इसे उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर के वर्गमूल से विभाजित करके ठीक किया जा सकता है, जब <math>n=m</math>।
+:को संतुष्ट करते हैं।
+जैसा कि परिभाषित किया गया है, प्रभाव के संबंध में उनके समीप इकाई मानदंड नहीं है। इसे उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर के वर्गमूल से विभाजित करके ठीक किया जा सकता है, जब <math>n=m</math>।
-हालांकि यह एक अलौकिक आधार नहीं देता है, कभी-कभी इसकी सादगी के कारण एक वैकल्पिक सामान्यीकरण को प्राथमिकता दी जाती है:
+यद्यपि यह एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार नहीं देता है, कभी-कभी इसकी सरलता के कारण एक वैकल्पिक सामान्यीकरण को प्राथमिकता दी जाती है:
 :<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.</math>
@@ Line 62: / Line 64: @@
 === सममिति संबंध ===
-बहुपदों में सममिति संबंध होता है
+बहुपदों में सममिति संबंध
 :<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);</math>
-इस प्रकार अन्य टर्मिनल मान है
+:है,इस प्रकार अन्य टर्मिनल मान
+:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n}</math>
+:है।
-:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n}.</math>
+=== व्युत्पन्न ===
+स्पष्ट अभिव्यक्ति का <math>k</math>वां व्युत्पन्न
+:<math>\frac{d^k}{dz^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z)</math>
+:की ओर जाता है।
-=== संजात === <math>k</math>वें> वें व्युत्पन्न स्पष्ट अभिव्यक्ति की ओर जाता है
+=== विभेदक समीकरण ===
+जैकोबी बहुपद <math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math> दूसरे क्रम [[रैखिक सजातीय अंतर समीकरण]]<ref name="sz" />
-:<math>\frac{d^k}{dz^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z).</math>
+:<math> \left (1-x^2 \right )y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y' + n(n+\alpha+\beta+1) y = 0</math>
+का एक हल है।
+===पुनरावृत्ति संबंध===
+निश्चित <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> के जैकोबी बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध है:<ref name=sz/>
-=== विभेदक समीकरण ===
+<math>n=2,3,\ldots</math>
-जैकोबी बहुपद <math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math> दूसरे क्रम के [[रैखिक सजातीय अंतर समीकरण]] का एक समाधान है<ref name=sz/>
-:<math> \left (1-x^2 \right )y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y' + n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.</math>
+के लिए
-===पुनरावृत्ति संबंध===
-लंबकोणीय बहुपद # स्थिर के जैकोबी बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> है:<ref name=sz/>
 :<math>
 \begin{align}
 &2n (n + \alpha + \beta) (2n + \alpha + \beta - 2) P_n^{(\alpha,\beta)}(z) \\
-&\qquad= (2n+\alpha + \beta-1) \Big\{ (2n+\alpha + \beta)(2n+\alpha+\beta-2) z +  \alpha^2 - \beta^2 \Big\} P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(z) - 2 (n+\alpha - 1) (n + \beta-1) (2n+\alpha + \beta) P_{n-2}^{(\alpha, \beta)}(z),
+&\qquad= (2n+\alpha + \beta-1) \Big\{ (2n+\alpha + \beta)(2n+\alpha+\beta-2) z +  \alpha^2 - \beta^2 \Big\} P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(z) - 2 (n+\alpha - 1) (n + \beta-1) (2n+\alpha + \beta) P_{n-2}^{(\alpha, \beta)}(z)
 \end{align}
-</math>
+</math>।
-के लिए <math>n=2,3,\ldots</math>।
+संक्षिप्तता <math>a:=n + \alpha </math>, <math>b:=n + \beta</math> और <math>c:=a+b=2n + \alpha+ \beta</math> के लिए लेखन, यह <math>a,b,c </math>
-संक्षिप्तता के लिए लिख रहा हूँ <math>a:=n + \alpha </math>, <math>b:=n + \beta</math> और  <math>c:=a+b=2n + \alpha+ \beta</math>, यह के संदर्भ में हो जाता है <math>a,b,c </math>
+:<math> 2n (c-n)(c-2) P_n^{(\alpha,\beta)}(z) =(c-1) \Big\{ c(c-2) z + (a-b)(c-2n) \Big\} P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(z)-2 (a-1)(b-1) c\; P_{n-2}^{(\alpha, \beta)}(z) </math> के संदर्भ में हो जाता है।
-:<math> 2n (c-n)(c-2) P_n^{(\alpha,\beta)}(z) =(c-1) \Big\{ c(c-2) z + (a-b)(c-2n) \Big\} P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(z)-2 (a-1)(b-1) c\; P_{n-2}^{(\alpha, \beta)}(z). </math>
+चूँकि जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, हाइपरज्यामितीय फलन की पुनरावृत्ति जैकोबी बहुपदों के अनुरूप पुनरावृत्ति देती है। विशेष रूप से, गॉस के सन्निहित संबंध सर्वसमिकाओं
-चूँकि जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, हाइपरज्यामितीय फलन की पुनरावृत्ति जैकोबी बहुपदों के समकक्ष पुनरावृत्ति देती है। विशेष रूप से, गॉस के सन्निहित संबंध सर्वसमिकाओं के अनुरूप हैं
 :<math>
@@ Line 104: / Line 109: @@
 & =\frac{2(n+1) P_{n+1}^{(\alpha,\beta-1)} - \left(z(1+\alpha+\beta+n)+\alpha+1+n-\beta \right) P_n^{(\alpha,\beta)}}{1+z} \\
 & =\frac{(2\beta+n+nz) P_n^{(\alpha,\beta)} - 2(\beta+n) P_n^{(\alpha,\beta-1)}}{1+z} \\
-& =\frac{1-z}{1+z} \left( \beta P_n^{(\alpha,\beta)} - (\beta+n) P_{n}^{(\alpha+1,\beta-1)} \right) \, .
+& =\frac{1-z}{1+z} \left( \beta P_n^{(\alpha,\beta)} - (\beta+n) P_{n}^{(\alpha+1,\beta-1)} \right) \,
 \end{align}
 </math>
+:के अनुरूप हैं।
+=== [[ जनरेटिंग फ़ंक्शन | उत्पादक फलन]] ===
-=== [[ जनरेटिंग फ़ंक्शन | जनरेटिंग फलन]] ===
+जैकोबी बहुपदों का जनक फलन
-जैकोबी बहुपदों का जनक फलन किसके द्वारा दिया जाता है
 :<math> \sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(z) t^n = 2^{\alpha + \beta} R^{-1} (1 - t + R)^{-\alpha} (1 + t + R)^{-\beta}, </math>
-जहाँ
+द्वारा दिया जाता है, जहाँ
 :<math> R = R(z, t) = \left(1 - 2zt + t^2\right)^{\frac{1}{2}}~,  </math>
-और वर्गमूल की मुख्य शाखा को चुना जाता है ताकि <math>R(z, 0) = 1</math>।<ref name=sz/>
+और वर्गमूल की शाखा को चुना जाता है ताकि <math>R(z, 0) = 1</math>।<ref name="sz" />
 == जैकोबी बहुपदों के स्पर्शोन्मुख ==
-के लिए <math>x</math> के भीतरी भाग में <math>[-1,1]</math>, के स्पर्शोन्मुख <math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math> बड़े के लिए <math>n</math> डार्बौक्स सूत्र द्वारा दिया गया है<ref name=sz/>
+<math>[-1,1]</math> के भीतरी भाग में <math>x</math> के लिए, बड़े <math>n</math> के लिए <math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math> के स्पर्शोन्मुख डार्बौक्स सूत्र<ref name=sz/>
-:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(\cos \theta) = n^{-\frac{1}{2}}k(\theta)\cos (N\theta + \gamma) + O \left (n^{-\frac{3}{2}} \right ),</math>
+:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(\cos \theta) = n^{-\frac{1}{2}}k(\theta)\cos (N\theta + \gamma) + O \left (n^{-\frac{3}{2}} \right )</math>
-जहाँ
+द्वारा दिए गए हैं, जहां
 :<math>
@@ Line 132: / Line 137: @@
 \end{align}
 </math>
-और यह<math>O</math>अवधि अंतराल पर एक समान है <math>[\varepsilon,\pi-\varepsilon]</math> हरएक के लिए <math>\varepsilon>0</math>।
+और <math>O</math> शब्द प्रत्येक <math>\varepsilon>0</math> के लिए अंतराल <math>[\varepsilon,\pi-\varepsilon]</math> पर समान है।
-बिंदुओं के निकट जैकोबी बहुपदों की स्पर्शोन्मुखता <math>\pm 1</math> मेहलर-हेन सूत्र द्वारा दिया गया है
+बिंदु <math>\pm 1</math> के निकट जैकोबी बहुपदों की स्पर्शोन्मुखता मेहलर-हेन सूत्र
 :<math>
@@ Line 142: / Line 147: @@
 \end{align}
 </math>
-जहां सीमाएं एक समान हैं <math>z</math> एक बंधे हुए [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]] में।
+द्वारा दिया गया है द्वारा दी गई है, जहां एक बंधे हुए [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)|डोमेन(गणितीय विश्लेषण)]] में <math>z</math> के लिए सीमाएं समान हैं।
 बाहर स्पर्शोन्मुख <math>[-1,1]</math> कम स्पष्ट है।
@@ Line 148: / Line 153: @@
 == अनुप्रयोग ==
-=== विग्नर डी-मैट्रिक्स ===
+=== विग्नर डी-आव्यूह ===
-इजहार ({{EquationNote|1}}) Wigner D-मैट्रिक्स#Wigner (छोटा) d-मैट्रिक्स|Wigner d-मैट्रिक्स की अभिव्यक्ति की अनुमति देता है
+अभिव्यक्ति(1) जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में विग्नेर डी-आव्यूह
-  <math>d^j_{m',m}(\phi)</math> (के लिए <math>0\leq \phi\leq 4\pi</math>)
+  <math>d^j_{m',m}(\phi)</math>( <math>0\leq \phi\leq 4\pi</math> के लिए)
-जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में:<ref>{{cite book| last=Biedenharn| first=L.C.| last2=Louck| first2=J.D.|title=क्वांटम भौतिकी में कोणीय गति|publisher=Addison-Wesley |location=Reading |year=1981}}</ref>
+की अभिव्यक्ति की अनुमति देता है:<ref>{{cite book| last=Biedenharn| first=L.C.| last2=Louck| first2=J.D.|title=क्वांटम भौतिकी में कोणीय गति|publisher=Addison-Wesley |location=Reading |year=1981}}</ref>
-:<math>d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{\frac{1}{2}} \left(\sin\tfrac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\tfrac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).</math>
+:<math>d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{\frac{1}{2}} \left(\sin\tfrac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\tfrac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi)</math>।
@@ Line 181: / Line 186: @@
 </div>
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-[[Category: विशेष हाइपरज्यामितीय कार्य]] [[Category: ऑर्थोगोनल बहुपद]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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