समूह वलय: Difference between revisions

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[[बीजगणित]] में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी [[समूह (गणित)]] में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय ~~दिया गया~~ है और ~~इसका~~ आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के ~~रूप में इसका योग~~ नियम ~~मुक्त~~ मॉडुलेटर का है और इसका गुणन ~~दिए गए समूह कानून के आधार पर~~ रैखिकता द्वारा विस्तारित ~~होता~~ है। ~~कम औपचारिक~~ रूप ~~से एक~~ समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को ~~जोड़कर~~ समूह का सामान्यीकरण करता है।

[[बीजगणित]] में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर होता है जो वलय किसी [[समूह (गणित)]] में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि में वलय पर स्थित होता है और इसके आधार पर दिए गए समूह के तत्वों का सेट भी स्थित होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर तत्व है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। औपचारिकता का वह रूप जो समूह में वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को एकत्र कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि वलय क्रमविनिमेय है तो ~~समूह~~ वलय को बीजगणित भी कहा जाता है ~~यह वास्तव में दी गई~~ वलय की संरचना ~~के रूप में बीजगणित~~ पर आधारित है बीजगणित ~~में~~ [[हॉफ बीजगणित]] की एक संरचना होती है जिसे एक [[समूह हॉफ बीजगणित]] ~~कहा जाता है।~~

यदि यहां वलय क्रमविनिमेय हो तो इसे वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना कुछ तत्वों पर आधारित होती है जो बीजगणित [[हॉफ बीजगणित|(हॉफ बीजगणित)]] की एक संरचना होती है जिसे [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहते हैं।

समूह के छल्ले का ~~उपकरण~~ [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में ~~विशेष रूप से उपयोगी~~ है।

समूह के छल्ले का प्रयोग [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में किया जाता है।

== परिभाषा ==

जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा ~~जाता~~ है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी ~~समूह तथा~~ वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट ~~है।~~ एफ जी,आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है (जी~~) तथा यह~~ बहुत से तत्वों ~~के लिए~~ शून्य ~~है जहां~~ आर ~~में एक~~ स्केेैलर एल्फा ~~के मॉडुलेटर स्केैलर उत्पाद एल्फा एफ और~~ मैपिंग ~~एफ को कार्य~~ के रूप में परिभाषित ~~किया गया है एक्स~~ एल्फा, एफ -एक्स ~~कार्यरत है~~ एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>. योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-<math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math>

यहाँ एफ और जी परिमित ~~समर्थन के~~ हैं और वलय ~~स्वयंसिद्धों~~ को आसानी से सत्यापित ~~करता~~ है।

यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं और वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।

जो इस प्रकार है जैसे ~~{{nowrap|''f''~~ : ~~''G'' → ''R''}} कभी~~-~~कभी~~ जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप ~~में लिखा जाता है।~~

जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप मेंते हैं।

:~~<math>\sum_{g\in G}f(g) g,</math>~~

:

या

:~~<math>\sum_{g\in G}f_g g,</math>~~

:

<ref name="Polcino">~~Polcino & Sehgal (2002), p. 131.~~</ref> यदि वलय आर ~~वास्तव में~~ एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

<ref name="Polcino">श</ref> यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

== उदाहरण ==

1. माना जी एक क्रमांक ~~3 का~~ [[चक्रीय समूह]] है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को ~~तत्व~~ आर के रूप में ~~लिखा जा सकता है ।~~

1. माना जी समूह वलय एक क्रमांक तथा [[चक्रीय समूह]] है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व सी तथा जी तत्व को आर के रूप में लिखते हैं।

:<math>r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,</math>

जहां ~~जटिल~~ संख्यायें ~~जेड0 साथ1~~ और ~~जेड2 सी में~~ हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो ''जी'' वलय सी के लिए समरूपी है। ~~[<math>a</math>]/<math>(a^3-1)</math>~~

जहां कठिन संख्यायें जेड1 और जेड2 हैं। तो यह चर में बहुपद समूह वलय के समान है ऐसा इसलिए है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो ''जी'' समूह वलय सी के लिए समरूपी है।

तत्व एस के रूप में उनका योग<math>s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2</math>

Line 28:

:<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math>

तत्व ~~1जी~~ का गुणांक वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि ~~सख्ती से~~ सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य ~~हैं।~~

तत्व जी का गुणांक समूह वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 हैं जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। जिसका योज्य पहचान तत्व शून्य होता है।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें ~~कम्यूट~~ नहीं ~~करना~~ चाहिए।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह वलय में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें गिनना नहीं चाहिए।

2.उदाहरण एक वलय आर [[लॉरेंट बहुपद]] का है ये आर पर [[अनंत चक्रीय समूह]] जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।

Line 39:

जहाँ <math>x_i </math> एक वास्तविक संख्या है।

गुणन किसी अन्य वलय में होता है जो समूह संचालन के आधार पर परिभाषित किया जाता है उदाहरण के लिए

गुणन किसी अन्य वलय में होता है जो समूह संचालन के आधार पर परिभाषित किया जाता है उदाहरण के लिए-

:<math>\begin{align} \big(3 \cdot e + \sqrt{2} \cdot i \big)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) &= (3 \cdot e)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) + (\sqrt{2} \cdot i)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right)\\

Line 45:

&= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot k

\end{align}.</math>

माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह का वलय आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक सदिश स्थान आयाम 8 के रूप में ~~रखा~~ जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम ~~4के~~ रूप में रखा जाता है।

माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह का वलय आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक रूप से सदिश रॉशि के स्थान आयाम को आठ के रूप में लिखा जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम चार के रूप में रखा जाता है।

4. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास <math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर नहीं होना चाहिए।

4. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास<math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल एक और दो को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर नहीं होना चाहिए।

== कुछ बुनियादी गुण ==

वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित ~~करना~~ वलय आर जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और ~~इसके उल्टे~~ तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक जी सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते ~~हैं।~~

वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना चाहिए और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित किया जाना चाहिए तथा वलय आर और जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते हैं जो इस प्रकार है-

:<math>f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases}

1 & g = 1_G \\

0 & g \ne 1_G

\end{cases},</math>

एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर ,जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में ~~सही करते~~ हैं जो एफ द्वारा परिभाषित ~~नहीं~~ किया गया ~~तो-~~

एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर है जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में रखते हैं जो एफ द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>f(g)= 1\cdot s + \sum_{g\not= s}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{s\}}(g)=\begin{cases}

1 & g = s \\

0 & g \ne s

\end{cases}</math>

परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में ~~नहीं।~~

परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं है।

यदि ~~आर और जी दोनों अर्थात् आर क्रमविनिमेय है और जी एक पंक्ति~~ समूह है तो

यदि आंक्ति समूह है तो

एच जी का एक [[उपसमूह]] ~~होगा~~ और आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह ~~होगा~~ इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है।

एच जी का एक [[उपसमूह]] होता है और आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह होता है इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है।

यदि जी एक से अधिक क्रम का परिमित समूह है तो आर [जी] हमेशा शून्य विभाजक होते हैं। उदाहरण के लिए क्रम जी के तत्व जी पर विचार करें - एम > फिर एक जी एक शून्य विभाजक है।

Line 76:

(1 - (123))(1 + (123)+ (132)) = 1 - (123)^3 = 1 - 1 =0.

</math>

एक संबंधित परिणाम यदि ~~समूह <math> K[G] </math> प्रधान~~ वलय है तो जी की कोई पहचान परिमित सामान्य उपसमूह नहीं है विशेष रूप से जी अनंत होना चाहिए।

एक संबंधित परिणाम यदि के,जी वलय है तो जी की कोई पहचान परिमित रूप से सामान्य उपसमूह नहीं है विशेष रूप से जी अनंत होना चाहिए।

एच एक गैर-पहचान परिमित सामान्य उपसमूह है जो इस प्रकार है-<math> a = \sum_{h \in H} h </math>. ~~तब एच बराबर एच~~

एच एक गैर-पहचान परिमित सामान्य उपसमूह है जो इस प्रकार है-<math> a = \sum_{h \in H} h </math>.

जैसा कि हम जानते हैं कि ~~<math> h \in H </math> इसलिए~~ <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math> तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math> तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।

~~:<math> aK[G]b=K[G]ab=0 </math>.~~

~~यदि<math> a,b </math> शून्य नहीं है तो जी प्रधान नहीं है। यह मूल कथन को दर्शाता है।~~

एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित ~~में 'जी' क्षेत्र~~ में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि ~~के रूप~~ में ~~जो क्षेत्र 'के' के ऊपर जी पर~~ मुक्त ~~सदिश राशि है।~~

यदि एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। तो समूह बीजगणित में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि में [[परिमित समूह|मुक्त]] गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

~~:<math>x=\sum_{g\in G} a_g g.</math>~~

~~एक क्षेत्र संरचना पर बीजगणित के समूह में~~ गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

:<math>g \cdot h = gh,</math>

जहां बाईं ओर जी ~~और एच समूह~~ बीजगणित के तत्वों को ~~इंगित करते~~ हैं, ~~जबकि~~ दाईं ओर गुणन समूह संक्रिया ~~है ।~~

जहां बाईं ओर जी बीजगणित के तत्वों को दर्शाते हैं, तथा दाईं ओर आर गुणन समूह संक्रिया को दर्शाते हैं ।

~~इसलिए के ,जी के आधार पर सदिशों~~ को ~~ई के रूप में भी लिखा जा सकता है जिस स्थिति में गुणन को इस प्रकार लिख सकते~~ हैं-

~~:<math>e_g \cdot e_h = e_{gh}.</math>~~

इसलिए के ,जी के आधार पर सदिशों को ई के रूप में भी लिखा जा सकता है -

:

=== कार्यों के रूप में व्याख्या ===

जी ~~पर के-~~मूल्यवान कार्यों के रूप में ~~मुक्त वेक्टर अंतरिक्ष~~ के बारे में सोचते ~~हुए~~ बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं।

जी मूल्यवान कार्यों के रूप में न हीअंतरिक्ष के बारे में सोचते हैं बल्कि बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं।

जबकि एक परिमित समूह कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है एक अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल ~~खाता है~~ तथा [[निश्चित रूप से]] कई बिंदुओं को गायब कर ~~देता है~~ कुछ उपयोग के रूप से ([[असतत टोपोलॉजी]] का उपयोग करके) ये [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाले कार्यों के अनुरूप कार्य ~~करता है।~~

जबकि एक परिमित समूह कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है तथा अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल खाते हैं तथा [[निश्चित रूप से]] कई बिंदुओं को गायब कर देते हैं कुछ उपयोग के रूप से ([[असतत टोपोलॉजी]] का उपयोग करके) ये [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाले कार्यों के अनुरूप कार्य करते हैं।

जबकि समूह बीजगणित में के,जी के तत्वों के स्थान ~~{{nowrap|1=''K''''G'' := Hom(''G'', ''K'')}} दोहरे~~ हैं समूह बीजगणित का एक तत्व दिया गया है जो इस प्रकार है-

जबकि समूह बीजगणित में के,जी के तत्वों के स्थान हैं तथा समूह बीजगणित का एक तत्व दिया गया है जो इस प्रकार है-

:<math>x = \sum_{g\in G} a_g g</math>

जबकि समूह पर एक समारोह ~~{{nowrap|''f''~~ : ~~''G'' → ''K''}} ये इसका~~ एक तत्व देने के लिए इस प्रकार है-

जबकि समूह पर एक समारोह एफ:जी-के एक तत्व देने के लिए इस प्रकार है-

:<math>(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g),</math>

Line 110:

Line 105:

:<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math>

समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक ~~मॉड्यूल~~ (गणित) है ~~| बाएं के~~,जी ~~मॉड्यूल~~ एबेलियन समूह वी पर स्थित है

समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक फ्रेमवर्क (गणित) है, जी फ्रेमवर्क एबेलियन समूह वी पर स्थित है।

तदनुसार

Line 121:

Line 116:

=== नियमित प्रतिनिधित्व ===

समूह बीजगणित आर और आर,जी मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] करता है।

Line 130:

Line 125:

=== अर्ध-सरल अपघटन ===

सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को ~~आमतौर पर~~ जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।

सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को सामान्यतः जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।

समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम मास्चके प्रमेय, हमें 'सी', जी को 'सी' में अनुरेखण के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यवेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप है। <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है

Line 143:

Line 138:

जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।

=== एक समूह बीजगणित का केंद्र ===

=== एक समूह वलय बीजगणित का केंद्र ===

समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।

:<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math>

केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर ~~है अर्थात~~ उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।

केंद्र के वर्ग में कार्यों के समुच्चय बराबर हैं अर्थात् उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।

:<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g : \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math>

यदि के बराबर सी जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड के जी का एक असामान्य आधार है।

यदि सिग्मा समूह वलय के बराबर है तो सी , जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड , जी का एक असामान्य आधार है।

:<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math>

समूह एक अनंत समूह पर बनता है जो उस ~~जगहों~~ में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> ~~तथा~~ आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है ~~जहाँ~~ सबसे अच्छा अध्ययन किया ~~गया है।~~ इन जगहों में, [[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।

समूह वलय एक अनंत समूह पर बनता है जो उस स्थित में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> जहाँ आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है तथा जिसका सबसे अच्छा अध्ययन किया जाता हो इन जगहों में[[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।

कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।

Line 161:

Line 156:

जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।

* ~~अनोखा~~ उत्पाद ~~समूह (उदाहरण के लिए ऑर्डर करने योग्य समूह, विशेष रूप से निःशुल्क समूह)~~

* अनन्य उत्पाद समूह।

* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])

* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])।

* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं।

* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की तरह एक, दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह से जुड़े होते हैं।

स्थानीय ~~रूप~~ से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।

स्थानीय समूह से कॉम्पैक्ट समूह वलय के लेख में समूह वलय बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।

== श्रेणी सिद्धांत ==

=== संलग्नक ===

[[श्रेणी सिद्धांत]] समूह वलय निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है निम्नलिखित कारक ~~एक सहायक कारक है।~~

[[श्रेणी सिद्धांत]] समूह वलय की निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है इसके निम्नलिखित कारक हैं <math>R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}</math>

:<math>R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}</math>

:<math>(-)^\times\colon R\mathbf{\text{-}Alg} \to \mathbf{Grp}</math>

~~जहाँ<math>R[-]</math>~~ एक ~~समूह उसके~~ समूह वलय में ले जाता है और ~~<math>(-)^\times</math>~~ इकाइयों के अपने समूह के लिए एक आर~~-बीजगणित~~ में ~~होता~~ है।

जहां आर एक समूह वलय में जाता है और इकाइयों को अपने समूह के लिए आर वलय में ले जाता है।

जहाँ ~~{{nowrap|1~~=~~''R'' = '''Z'''}}यह~~ [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले ~~जाती~~ है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं ~~{{nowrap|1~~=~~''G'' × {±1} = {±''g''}.}}जबकि~~ समूह के छल्ले में भी सत्वरहित इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> और बी सामान्य नहीं है ।

जहाँ आर=जेड [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाता है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं जी×(+_1)=(+जी) समूह के छल्ले में भी सत्वरहित इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> और बी सामान्य नहीं है ।

:<math>x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )</math>

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=== वैश्विक संपत्ति ===

उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले ~~की एक~~ सार्वभौमिक संपत्ति व्यक्त करता ~~है।~~<ref name="Polcino" /> आर वलय बने जी समूह बने ~~और एस आर~~ बीजगणित ~~बने~~ किसी भी समूह समरूपता के लिए ~~<math>f~~:~~G\to S^\times</math> है~~ आर बीजगणित समरूपता <math>\overline{f}:R[G]\to S</math> है तो <math>\overline{f}\circ i=f</math>{{var|i}} समावेशन है।

उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता है <ref name="Polcino" /> तथा आर

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समूह वलय: Difference between revisions

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-[[बीजगणित]] में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी [[समूह (गणित)]] में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय दिया गया है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।
+[[बीजगणित]] में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर होता है जो वलय किसी [[समूह (गणित)]] में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि में वलय पर स्थित होता है और इसके आधार पर दिए गए समूह के तत्वों का सेट भी स्थित होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर तत्व है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। औपचारिकता का वह रूप जो समूह में वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को एकत्र कर समूह का सामान्यीकरण करता है।
-यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है बीजगणित में [[हॉफ बीजगणित]] की एक संरचना होती है जिसे एक [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहा जाता है।
+यदि यहां वलय क्रमविनिमेय हो तो इसे वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना कुछ तत्वों पर आधारित होती है जो बीजगणित [[हॉफ बीजगणित|(हॉफ बीजगणित)]] की एक संरचना होती है जिसे [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहते हैं।
-समूह के छल्ले का उपकरण [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।
+समूह के छल्ले का प्रयोग [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में किया जाता है।
 == परिभाषा ==
-जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी,आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है (जी) तथा यह बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केेैलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केैलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है एक्स एल्फा, एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>. योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
+जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं  तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-<math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
 :<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math>
-यहाँ एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।
+यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं और वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।
-जो इस प्रकार है जैसे {{nowrap|''f'' : ''G'' → ''R''}} कभी-कभी जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।
+जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप मेंते हैं।
-:<math>\sum_{g\in G}f(g) g,</math>
+:
-या
-:<math>\sum_{g\in G}f_g g,</math>
+:
-<ref name="Polcino">Polcino & Sehgal (2002), p. 131.</ref> यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।
+<ref name="Polcino">श</ref> यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।
 == उदाहरण ==
-. माना जी एक क्रमांक 3 का [[चक्रीय समूह]] है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है ।
+. माना जी समूह वलय एक क्रमांक तथा [[चक्रीय समूह]] है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व सी तथा जी तत्व को आर के रूप में लिखते हैं।
 :<math>r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,</math>
-जहां जटिल संख्यायें जेड<sub>0</sub> साथ<sub>1</sub> और जेड<sub>2</sub> सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो ''जी'' वलय सी के लिए समरूपी है। [<math>a</math>]/<math>(a^3-1)</math>
+जहां कठिन संख्यायें जेड1 और जेड2 हैं। तो यह चर में बहुपद समूह वलय के समान है ऐसा इसलिए है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो ''जी''  समूह वलय सी के लिए समरूपी है।
 तत्व एस के रूप में उनका योग<math>s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2</math>
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 :<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G  +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math>
-तत्व 1जी का  गुणांक वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य हैं।
+तत्व जी का गुणांक समूह वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 हैं जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। जिसका योज्य पहचान तत्व शून्य होता है।
-जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए।
+जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह वलय में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें गिनना नहीं चाहिए।
 .उदाहरण एक वलय आर [[लॉरेंट बहुपद]] का है ये आर पर [[अनंत चक्रीय समूह]] जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।
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 जहाँ <math>x_i </math> एक वास्तविक संख्या है।
-गुणन किसी अन्य वलय में होता है जो समूह संचालन के आधार पर परिभाषित किया जाता है उदाहरण के लिए
+गुणन किसी अन्य वलय में होता है जो समूह संचालन के आधार पर परिभाषित किया जाता है उदाहरण के लिए-
 :<math>\begin{align} \big(3 \cdot e + \sqrt{2} \cdot i \big)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) &= (3 \cdot e)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) + (\sqrt{2} \cdot i)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right)\\
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 &= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot k
 \end{align}.</math>
-माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह का वलय आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक सदिश स्थान आयाम 8 के रूप में रखा जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम 4के रूप में रखा जाता है।
+माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह का वलय आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक रूप से सदिश रॉशि के स्थान आयाम को आठ के रूप में लिखा जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम चार के रूप में रखा जाता है।
-. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास <math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर  नहीं होना चाहिए।
+. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास<math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल एक और दो को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर नहीं होना चाहिए।
 == कुछ बुनियादी गुण ==
-वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित करना वलय आर जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और इसके उल्टे तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक  संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक जी सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते हैं।
+वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना चाहिए और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित किया जाना चाहिए तथा वलय आर और जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते हैं जो इस प्रकार है-
 :<math>f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases}
 & g = 1_G \\
 & g \ne 1_G
 \end{cases},</math>
-एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर ,जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में सही करते हैं जो एफ द्वारा परिभाषित नहीं किया गया तो-
+एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर है जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में रखते हैं जो एफ द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>f(g)= 1\cdot s + \sum_{g\not= s}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{s\}}(g)=\begin{cases}
 & g = s \\
 & g \ne s
 \end{cases}</math>
-परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं।
+परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं है।
-यदि आर और जी दोनों अर्थात् आर क्रमविनिमेय है और जी एक पंक्ति समूह है तो
+यदि आंक्ति समूह है तो
-एच जी का एक [[उपसमूह]] होगा और आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह होगा इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है।
+एच जी का एक [[उपसमूह]] होता है और आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह होता है इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है।
 यदि जी एक से अधिक क्रम का परिमित समूह है तो आर [जी]  हमेशा शून्य विभाजक होते हैं। उदाहरण के लिए क्रम जी के तत्व जी पर विचार करें - एम >  फिर एक जी एक शून्य विभाजक है।
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 (1 - (123))(1 + (123)+ (132)) = 1 - (123)^3 = 1 - 1 =0.
 </math>
-एक संबंधित परिणाम यदि समूह <math> K[G] </math> प्रधान वलय है तो जी की कोई पहचान परिमित सामान्य उपसमूह नहीं है विशेष रूप से जी अनंत होना चाहिए।
+एक संबंधित परिणाम यदि के,जी वलय है तो जी की कोई पहचान परिमित रूप से सामान्य उपसमूह नहीं है विशेष रूप से जी अनंत होना चाहिए।
-एच एक गैर-पहचान परिमित सामान्य उपसमूह है जो इस प्रकार है-<math> a = \sum_{h \in H} h </math>. तब एच बराबर एच
+एच एक गैर-पहचान परिमित सामान्य उपसमूह है जो इस प्रकार है-<math> a = \sum_{h \in H} h </math>.
-जैसा कि हम जानते हैं कि  <math> h \in H </math>  इसलिए <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math>  तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।
+जैसा कि हम जानते हैं कि <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math>  तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।
-:<math> aK[G]b=K[G]ab=0 </math>.
-यदि<math> a,b </math> शून्य नहीं है तो जी प्रधान नहीं है। यह मूल कथन को दर्शाता है।
-एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित में 'जी' क्षेत्र में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि के रूप में जो क्षेत्र 'के' के ऊपर जी पर मुक्त सदिश राशि है।
+यदि एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। तो समूह बीजगणित में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि में [[परिमित समूह|मुक्त]] गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।
-:<math>x=\sum_{g\in G} a_g g.</math>
-एक क्षेत्र संरचना पर बीजगणित के समूह में गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।
 :<math>g \cdot h = gh,</math>
-जहां बाईं ओर जी और एच समूह बीजगणित के तत्वों को इंगित करते हैं, जबकि दाईं ओर गुणन समूह संक्रिया है ।
+जहां बाईं ओर जी बीजगणित के तत्वों को दर्शाते हैं, तथा दाईं ओर आर गुणन समूह संक्रिया को दर्शाते हैं ।
-इसलिए के ,जी के आधार पर सदिशों को ई के रूप में भी लिखा जा सकता है जिस स्थिति में गुणन को इस प्रकार लिख सकते हैं-
-:<math>e_g \cdot e_h = e_{gh}.</math>
+इसलिए के ,जी के आधार पर सदिशों को ई के रूप में भी लिखा जा सकता है -
+:
 === कार्यों के रूप में व्याख्या ===
-जी पर के-मूल्यवान कार्यों के रूप में मुक्त वेक्टर अंतरिक्ष के बारे में सोचते हुए बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं।
+जी मूल्यवान कार्यों के रूप में न हीअंतरिक्ष के बारे में सोचते हैं बल्कि बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं।
-जबकि एक परिमित समूह  कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है एक अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल खाता है तथा [[निश्चित रूप से]] कई बिंदुओं को गायब कर देता है कुछ उपयोग के रूप से ([[असतत टोपोलॉजी]] का उपयोग करके) ये [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाले कार्यों के अनुरूप कार्य करता है।
+जबकि एक परिमित समूह  कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है तथा अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल खाते हैं तथा [[निश्चित रूप से]] कई बिंदुओं को गायब कर देते हैं कुछ उपयोग के रूप से ([[असतत टोपोलॉजी]] का उपयोग करके) ये [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाले कार्यों के अनुरूप कार्य करते हैं।
-जबकि समूह बीजगणित में के,जी के तत्वों के स्थान {{nowrap|1=''K''<sup>''G''</sup> := Hom(''G'', ''K'')}} दोहरे हैं समूह बीजगणित का एक तत्व दिया गया है जो इस प्रकार है-
+जबकि समूह बीजगणित में के,जी के तत्वों के स्थान हैं तथा समूह बीजगणित का एक तत्व दिया गया है जो इस प्रकार है-
 :<math>x = \sum_{g\in G} a_g g</math>
-जबकि समूह पर एक समारोह {{nowrap|''f'' : ''G'' → ''K''}} ये इसका एक तत्व देने के लिए इस प्रकार है-
+जबकि समूह पर एक समारोह एफ:जी-के एक तत्व देने के लिए इस प्रकार है-
 :<math>(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g),</math>
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 :<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math>
-समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक मॉड्यूल (गणित) है | बाएं के,जी मॉड्यूल एबेलियन समूह वी पर स्थित है
+समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक फ्रेमवर्क (गणित) है, जी फ्रेमवर्क एबेलियन समूह वी पर स्थित है।
 तदनुसार
@@ Line 121: / Line 116: @@
 === नियमित प्रतिनिधित्व ===
-{{Main|Regular representation}}
+{{Main|नियमित प्रतिनिधित्व}}
 समूह बीजगणित आर और आर,जी मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] करता है।
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 === अर्ध-सरल अपघटन ===
-सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।
+सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को सामान्यतः जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।
 समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम मास्चके प्रमेय, हमें 'सी', जी को 'सी' में अनुरेखण के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यवेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप है। <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है
@@ Line 143: / Line 138: @@
 जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।
-=== एक समूह बीजगणित का केंद्र ===
+=== एक समूह वलय बीजगणित का केंद्र ===
 समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।
 :<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math>
-केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर है अर्थात उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।
+केंद्र के वर्ग में कार्यों के समुच्चय बराबर हैं अर्थात् उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।
 :<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g :  \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math>
-यदि के बराबर सी जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड के जी का एक असामान्य आधार है।
+यदि सिग्मा समूह वलय के बराबर है तो सी , जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड , जी का एक असामान्य आधार है।
 :<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math>
-समूह एक अनंत समूह पर बनता है जो उस जगहों में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> तथा आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है जहाँ सबसे अच्छा अध्ययन किया गया है। इन जगहों में, [[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।
+समूह वलय एक अनंत समूह पर बनता है जो उस स्थित में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> जहाँ आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है तथा जिसका सबसे अच्छा अध्ययन किया जाता हो इन जगहों में[[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।
 कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।
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 जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।
-* अनोखा उत्पाद समूह (उदाहरण के लिए ऑर्डर करने योग्य समूह, विशेष रूप से निःशुल्क समूह)
+* अनन्य उत्पाद समूह।
-* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])
+* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])।
-* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं।
+* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की तरह एक, दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह से जुड़े होते हैं।
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।
+स्थानीय समूह से कॉम्पैक्ट समूह वलय के लेख में समूह वलय बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।
 == श्रेणी सिद्धांत ==
 === संलग्नक ===
-[[श्रेणी सिद्धांत]] समूह वलय निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है निम्नलिखित कारक एक सहायक कारक है।
+[[श्रेणी सिद्धांत]] समूह वलय की निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है इसके निम्नलिखित कारक हैं <math>R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}</math>
-:<math>R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}</math>
 :<math>(-)^\times\colon R\mathbf{\text{-}Alg} \to \mathbf{Grp}</math>
-जहाँ<math>R[-]</math> एक समूह उसके समूह वलय में ले जाता है और <math>(-)^\times</math> इकाइयों के अपने समूह के लिए एक आर-बीजगणित में होता है।
+जहां आर एक समूह वलय में जाता है और इकाइयों को अपने समूह के लिए आर वलय में ले जाता है।
-जहाँ {{nowrap|1=''R'' = '''Z'''}}यह [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाती है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं  {{nowrap|1=''G'' × {±1} = {±''g''}.}}जबकि समूह के छल्ले में भी सत्वरहित इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> और बी सामान्य नहीं है ।
+जहाँ आर=जेड [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाता है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं  जी×(+_1)=(+जी) समूह के छल्ले में भी सत्वरहित इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> और बी सामान्य नहीं है ।
 :<math>x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )</math>
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 === वैश्विक संपत्ति ===
-उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले की एक सार्वभौमिक संपत्ति व्यक्त करता है।<ref name="Polcino" /> आर वलय बने जी समूह बने और एस आर बीजगणित बने किसी भी समूह समरूपता के लिए <math>f:G\to S^\times</math> है आर बीजगणित समरूपता <math>\overline{f}:R[G]\to S</math>  है तो <math>\overline{f}\circ i=f</math>{{var|i}} समावेशन है।
+उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले सार्वभौमिक संपत्ति  को व्यक्त करता है <ref name="Polcino" /> तथा आर