बहुपद

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बहुपद, गणित में वह व्यंजक है जिसमें अनिश्चित पद और गुणांक होते हैं, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा, और पद के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित x के बहुपद का एक उदाहरण: x² − 4x + 7 है। तीन चरों में एक उदाहरण: x³ + 2xyz² − yz + 1 है।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। उदाहरण: उनका उपयोग बहुपद समीकरण बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद फलनको परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य फलनको अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं। उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के वलय और बीजगणितीय विविधता के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

व्युत्पत्ति

बहुपद शब्द दो विविध आधार को जोड़ता है: ग्रीक पॉली, जिसका अर्थ है "कई", और लैटिन नाम, या "नाम"। यह लैटिन मूल द्वि- को ग्रीक पॉली- के साथ बदलकर द्विपद शब्द से लिया गया था। अर्थात् इसका अर्थ अनेक पदों (एकपदी) का योग है। बहुपद शब्द का प्रयोग पहली बार 17वीं शताब्दी में किया गया था।

संकेतन और शब्दावली

File:Polynomialdeg3.svg

ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख

बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फलन पर विचार करता है, तो x फलन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं।

अनिश्चित (इंडेटरमिनते) x में एक बहुपद P को आमतौर पर या तो P या P (x) के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम P है, न कि P (x), लेकिन कार्यात्मक संकेतन P (x) का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फलन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए P अनिश्चित x में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं।

गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फलन को परिभाषित करता है।

$a\mapsto P(a),$

जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है।

अधिक विशेष रूप से, जब a अनिश्चित x है, तो इस फलन द्वारा x की छवि बहुपद P ही है (x के लिए x को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)।

दूसरे शब्दों में,

$P(x)=P,$

जो औपचारिक रूप से एक ही बहुपद के लिए दो संकेतन के अस्तित्व को सही ठहराता है।

परिभाषा

बहुपद व्यंजक एक ऐसा व्यंजक है जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के योग, गुणन और घातांक के माध्यम से स्थिरांक और प्रतीकों से बनाया जा सकता है जिन्हें चर या अनिश्चित कहा जाता है। स्थिरांक आम तौर पर संख्या होते हैं, लेकिन कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें अनिश्चित शामिल नहीं होते हैं, और गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। दो बहुपद व्यंजकों को एक ही बहुपद को परिभाषित करने के रूप में माना जाता है, यदि वे रूपांतरित हो सकते हैं, एक से दूसरे में, जोड़ और गुणा के सामान्य गुणों को लागू करके कम्यूटेटिविटी, सहयोगीता और वितरण । उदाहरण के लिए $(x-1)(x-2)$ तथा $x^{2}-3x+2$ दो बहुपद व्यंजक हैं जो एक ही बहुपद को निरूपित करते हैं; तो, लिखा जाता है $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2.$

एकल अनिश्चित x में एक बहुपद को हमेशा फॉर्म में लिखा (या फिर से लिखा) जा सकता है:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

जहाँ पे $a_{0},\ldots ,a_{n}$ अचर हैं जो बहुपद के गुणांक कहलाते हैं, और $x$ अनिश्चित है। "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि $x$ किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक फलन है, जिसे बहुपद फलन कहा जाता है।

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से योग संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य पदों की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक पद में एक संख्या . का गुणनफल होता है – शब्द का गुणांक कहा जाता है और अनिश्चित की एक सीमित संख्या, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्तियों तक विस्तारित की गयी है।

वर्गीकरण

Further information: बहुपद की घात

किसी पद में अनिश्चित काल के घातांक को उस पद में अनिश्चित काल की घात कहते हैं। किसी पद की घात उस पद की अनिश्चितताओं की घातों का योग है, और बहुपद की घात अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात है। क्योंकि x = x¹, एक लिखित घातांक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।

जिस पद में कोई अनिश्चितता न हो और एक बहुपद जिसमें कोई अनिश्चितता न हो, तो उसे क्रमशः अचर पद और अचर बहुपद कहते हैं। अचर पद और अशून्य स्थिर बहुपद की घात 0 है। 0 की घात (जिसका कोई पद नहीं है) के लिए शून्य बहुपद को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (नीचे देखें)।

उदाहरण के लिए:

$-5x^{2}y$

यह एक पद है। गुणांक -5 है, अनिश्चित x और y हैं, x की डिग्री दो है, जबकि y की डिग्री एक है। संपूर्ण पद की घात इसमें प्रत्येक अनिश्चित की घातों का योग है, इसलिए इस उदाहरण में घात 2 + 1 = 3 है।

अनेक पदों के योग से एक बहुपद बनता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:

$\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.$

इसके तीन पद हैं: पहली डिग्री दो है, दूसरी डिग्री एक है, और तीसरी डिग्री शून्य है।

छोटे भिन्नों के बहुपदों को विशेष नाम दिए गए हैं। शून्य घात वाला बहुपद एक अचर बहुपद या केवल एक अचर होता है। एक, दो या तीन घात वाले बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद और घन बहुपद होते हैं। उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि कभी-कभी क्वार्टिक बहुपद (डिग्री चार के लिए) और क्विंटिक बहुपद (डिग्री पांच के लिए) का उपयोग किया जाता है। डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, x² + 2x + 1 में पद 2x एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक पद है।

बहुपद 0, जिसे एक पद के रूप में नहीं माना जा सकता है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है। अन्य अचर बहुपदों के विपरीत, इसका घात शून्य नहीं होती है। बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री को या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक (या तो -1 या −∞) के रूप में परिभाषित किया जाता है। शून्य बहुपद इस मायने में भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है और साथ में जिसमें अनंत संख्या की मूलें होती हैं। शून्य बहुपद का ग्राफ, f(x) = 0, x -अक्ष (एक्सिस) है।

एक से अधिक अनिश्चित बहुपदों के मामले में, एक बहुपद को degree n का समघात (होमोजेनियस) कहा जाता है, यदि इसके सभी गैर-शून्य पदों में degree n है। शून्य बहुपद समघात (होमोजेनियस पोलयनोमिअल) है, और एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है। उदाहरण के लिए, x³y² + 7x²y³ − 3x⁵ डिग्री 5 का समघात है। अधिक जानकारी के लिए, समघात बहुपद देखें।

जोड़ के क्रमविनिमेयता कम्यूटेटिव कानून का प्रयोग किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " x की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " x की आरोही शक्तियों" में। बहुपद 3x² - 5x + 4 को x के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक 3, अनिश्चित x, और घातांक 2 है। दूसरे पद में, गुणांक is −5 । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य बहुपद की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है। समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,, दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है।

एक वास्तविक बहुपद वास्तविक गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी फलन को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो डोमेन इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद पूर्णांक गुणांक वाला बहुपद है, और एक जटिल बहुपद जटिल गुणांक वाला बहुपद है।

एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं। ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो