विभेदक ऑपरेटर: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}} {{Use American English|date = January 2019}} Image:Laplace's equation on an...") |
No edit summary |
||
| (7 intermediate revisions by 4 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}} | {{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}} | ||
यह लेख मुख्य रूप से [[रैखिक नक्शा]] | [[Image:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|वलय पर परिभाषित हार्मोनिक फलन। हार्मोनिक फलन वास्तव में वे फलन होते हैं जो लाप्लास संकारक के कर्नेल में स्थित होते हैं, जो एक महत्वपूर्ण अवकल संकारक है।]]गणित में, अवकल संकारक एक [[ऑपरेटर (गणित)|संकारक]] होता है जिसे [[यौगिक|अवकल]] संकारक के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह सहायक है, पहले अंकन के रूप में, अवकलन को एक संक्षेप संकारक के रूप में माना जाता है जो फलन को स्वीकार करता है और एक अन्य फलन ([[कंप्यूटर विज्ञान]] में उच्च-क्रम फलन की शैली में) देता है। | ||
यह लेख मुख्य रूप से [[रैखिक नक्शा|रैखिक]] अवकल संकारकों पर विचार करता है, जो कि सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालांकि, अरैखिक अवकल संकारक भी उपस्थित हैं, जैसे [[श्वार्जियन व्युत्पन्न]]। | |||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
<math display="block"> A f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> | क्रम-<math>m</math> रैखिक अवकल संकारक [[समारोह स्थान|फलन स्थान]] <math>\mathcal{F}_1</math> से दूसरे फलन स्थान <math>\mathcal{F}_2</math> तक का मानचित्र <math>A</math> है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है-<math display="block">A = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,</math>जहाँ <math>\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का बहु-सूचकांक है, <math>|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math> और प्रत्येक अल्फ़ा के लिए, <math>\alpha</math>, <math>a_\alpha(x)</math> ''n''-आयामी स्थान में कुछ खुले क्षेत्र पर एक फलन है।संकारक <math>D^\alpha</math> की व्याख्या इस प्रकार की जाती है<math display="block">D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math>इस प्रकार फलन <math>f \in \mathcal{F}_1</math> के लिए-<math display="block"> A f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math>दो फलनों <math>D(g,f)</math> पर काम करने वाले अवकल संकारक को द्विविभेद संकारक भी कहा जाता है। | ||
== अंकन == | == अंकन == | ||
सबसे | सबसे सामान्य अवकल संकारक व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर ''x'' के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न लेने के लिए सामान्य संकेतन में सम्मिलित हैं- | ||
: <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math>, <math>D_x,</math> और <math>\partial_x</math>. | : <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math>, <math>D_x,</math> और <math>\partial_x</math>. | ||
उच्च, | उच्च, ''n''वें क्रम के व्युत्पन्न लेते समय, संकारक को लिखा जा सकता है- | ||
: <math>{d^n \over dx^n}</math>, <math>D^n</math>, <math>D^n_x</math>, या <math>\partial_x^n</math>. | : <math>{d^n \over dx^n}</math>, <math>D^n</math>, <math>D^n_x</math>, या <math>\partial_x^n</math>. | ||
तर्क ''x'' के फलन ''f'' का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी एक के रूप में दिया जाता है- | |||
: <math>[f(x)]'</math> | : <math>[f(x)]'</math> | ||
: <math>f'(x).</math> | : <math>f'(x).</math> | ||
''D'' अंकन का उपयोग और निर्माण का श्रेय [[ओलिवर हीविसाइड]] को दिया जाता है, जिन्होंने फॉर्म के अवकल संकारकों पर विचार किया था | |||
: <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> | : <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> | ||
[[अंतर समीकरण]] | [[अंतर समीकरण|अवकल समीकरणों]] के अपने अध्ययन में। | ||
सबसे अधिक बार देखे जाने वाले | सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अवकल संकारकों में से एक लाप्लासियन संकारक है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.</math> | :<math>\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.</math> | ||
अन्य अवकल संकारक Θ संकारक या [[थीटा ऑपरेटर|थीटा संकारक]] है, जिसे परिभाषित किया गया है<ref>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/ThetaOperator.html|title=Theta Operator| author=E. W. Weisstein|access-date=2009-06-12}}</ref> | |||
:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math> | :<math>\Theta = z {d \over dz}.</math> | ||
इसे कभी-कभी एकरूपता | इसे कभी-कभी एकरूपता संकारक भी कहा जाता है, क्योंकि इसके [[eigenfunction|अभिलक्षणिक फलन (आइगेन फंक्शन)]] ''z'' में [[एकपद]] हैं-<math display="block">\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots </math>''n'' चरों में समरूपता संकारक द्वारा दिया गया है<math display="block">\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.</math>जैसा कि एक चर में है, Θ की [[egenspace|अभिलक्षणिक समष्टियां]] समघात फलनों का स्थान हैं। (यूलर की समघात फलन प्रमेय) | ||
<math display="block">\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots </math> | |||
n | |||
<math display="block">\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.</math> | |||
एक चर | |||
लिखित रूप में, सामान्य गणितीय | लिखित रूप में, सामान्य गणितीय अभिसमय का पालन करते हुए, अवकल संकारक के तर्क को प्रायः संकारक के स्वयं के दाहिनी ओर रखा जाता है। कभी-कभी एक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग किया जाता है- संकारक के बाईं ओर और संकारक के दाईं ओर फलन पर संकारक को लागू करने का परिणाम, और अवकल संकारक को दोनों पक्षों के फलनों में लागू करने पर प्राप्त अंतर को तीर द्वारा निम्नानुसार दर्शाया गया है- | ||
:<math>f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f</math> | :<math>f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f</math> | ||
:<math>f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g</math> | :<math>f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g</math> | ||
:<math>f \overleftrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g - g \cdot \partial_x f.</math> | :<math>f \overleftrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g - g \cdot \partial_x f.</math> | ||
क्वांटम यांत्रिकी की [[संभाव्यता वर्तमान]] का वर्णन करने के लिए इस तरह के एक द्विदिश-तीर संकेतन का उपयोग | क्वांटम यांत्रिकी की [[संभाव्यता वर्तमान|संभाव्यता धारा]] का वर्णन करने के लिए इस तरह के एक द्विदिश-तीर संकेतन का उपयोग प्रायः किया जाता है। | ||
== | == डेल == | ||
{{Main| | {{Main|डेल}} | ||
अवकल समीकरण डेल, जिसे नब्ला भी कहा जाता है, एक महत्वपूर्ण [[यूक्लिडियन वेक्टर|सदिश]] अवकल समीकरण है। यह भौतिकी में प्रायः मैक्सवेल के समीकरणों के अवकल रूप जैसे स्थानों में प्रकट होता है। त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक में, डेल को इस रूप में परिभाषित किया गया है<math display="block">\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.</math>डेल प्रवणता को परिभाषित करता है, और इसका उपयोग विभिन्न वस्तुओं के [[कर्ल (गणित)|कर्ल]], [[विचलन]] और [[लाप्लासियन]] की गणना करने के लिए किया जाता है। | |||
== संकारक का अभिसम्युक्त == | |||
{{See also|हर्मिटियन अभिसम्युक्त}} | |||
<math display="block">\ | |||
=== | एक रेखीय अवकल संकारक <math>T</math> दिया गया है <math display="block">Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>इस संकारक के अभिसम्युक्त को संकारक <math>T^*</math>के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि<math display="block">\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle</math>जहां अंकन <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> का उपयोग अदिश गुणनफल या आंतरिक गुणनफल के लिए किया जाता है। इसलिए यह परिभाषा अदिश गुणनफल (अथवा आंतरिक गुणनफल) की परिभाषा पर निर्भर करती है। | ||
[[वास्तविक संख्या]] [[अंतराल (गणित)]] | === '''एक चर में औपचारिक अभिसम्युक्त''' === | ||
<math display="block">\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \,g(x) \,dx , </math> | [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] [[अंतराल (गणित)|अंतराल]] {{open-open|''a'', ''b''}} पर वर्ग-समाकलनीय फलन के फलनात्मक समष्टि में, अदिश गुणनफल को परिभाषित किया गया है<math display="block">\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \,g(x) \,dx , </math>जहाँ ''f''(''x'') के ऊपर की रेखा ''f''(''x'') के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाती है। यदि इसके अलावा कोई शर्त जोड़ता है कि ''f'' या ''g,'' <math>x \to a</math> और <math>x \to b</math> के रूप में समाप्त हो जाता है, तो ''T'' के अभिसम्युक्त को भी इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है<math display="block">T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k \left[ \overline{a_k(x)} u \right].</math>यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश गुणनफल की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी अभिसम्युक्त संकारक की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। जब <math>T^*</math>को इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया जाता है, तो इसे ''T'' का '''औपचारिक अभिसम्युक्त''' कहा जाता है। | ||
जहाँ f(x) के ऊपर की रेखा f(x) के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाती है। यदि कोई | |||
<math display="block">T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k \left[ \overline{a_k(x)} u \right].</math> | |||
यह सूत्र | |||
A (औपचारिक रूप से) स्व- | A (औपचारिक रूप से) स्व-अभिसम्युक्त संकारक अपने स्वयं के (औपचारिक) अभिसम्युक्त के बराबर संकारक होता है। | ||
=== | === अनेक चर === | ||
यदि Ω '''R'''<sup>''n''</sup> में एक क्षेत्र है, और ''P'' Ω पर एक अवकल संकारक है, तो ''P'' का अभिसम्युक्त ''L''<sup>2</sup>(Ω) में द्वैत द्वारा समान रूप से परिभाषित किया गया है- | |||
:<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math> | :<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math> | ||
सभी | सभी निर्बाध ''L''<sup>2</sup> फलनों ''f'', ''g'' के लिए। चूंकि निर्बाध फलन ''L''<sup>2</sup> में सघन होते हैं, यह ''L''<sup>2</sup> के सघन उपसमुच्चय पर अभिसम्युक्त को परिभाषित करता है- P<sup>*</sup> [[सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर|सघन रूप से परिभाषित संकारक]] है। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
स्टर्म-लिउविल संकारक औपचारिक स्व-अभिसम्युक्त संकारक का एक प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के रैखिक अवकल संकारक ''L'' को रूप में लिखा जा सकता है | |||
: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math> | : <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math> | ||
उपरोक्त औपचारिक | उपरोक्त औपचारिक अभिसम्युक्त परिभाषा का उपयोग करके इस गुण को सिद्ध किया जा सकता है। | ||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
| Line 97: | Line 76: | ||
& {} = Lu | & {} = Lu | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यह | यह संकारक स्टर्म-लिउविल सिद्धांत का केंद्र है जहां इस संकारक के अभिलक्षणिक फलन ([[egenvectors|अभिलक्षणिक सदिश]] के अनुरूप) पर विचार किया जाता है। | ||
== | == अवकल संकारकों के गुण == | ||
अवकलन रैखिक है, अर्थात | |||
:<math>D(f+g) = (Df)+(Dg),</math> | :<math>D(f+g) = (Df)+(Dg),</math> | ||
:<math>D(af) = a(Df),</math> | :<math>D(af) = a(Df),</math> | ||
जहाँ f और g फलन हैं, और a एक स्थिरांक है। | जहाँ ''f'' और ''g'' फलन हैं, और ''a'' एक स्थिरांक है। | ||
फलन गुणांक वाले ''D'' में कोई [[बहुपद]] भी एक अवकल संकारक है। हम नियम के अनुसार अवकल संकारकों की रचना भी कर सकते हैं | |||
:<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).</math> | :<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).</math> | ||
तब कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है | तब कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है- सबसे पहले संकारक ''D''<sub>2</sub> में किसी भी फलन गुणांक को ''D''<sub>1</sub> के अनुप्रयोग की आवश्यकता के अनुसार कई बार अलग-अलग होना चाहिए। ऐसे संकारकोंं के [[अंगूठी (गणित)|वलय]] प्राप्त करने के लिए हमें प्रयुक्त गुणांक के सभी क्रमोंं के व्युत्पन्न को मानना चाहिए। दूसरे, यह वलय [[क्रमविनिमेय अंगूठी|क्रमविनिमेय]] नहीं होगा- संकारक ''gD'' सामान्य रूप से ''Dg'' के समान नहीं होता है। उदाहरण के लिए हमारे पास [[क्वांटम यांत्रिकी]] में मौलिक संबंध है- | ||
:<math>Dx - xD = 1.</math> | :<math>Dx - xD = 1.</math> | ||
संकारकों का | संकारकों का उपवलय, जो [[स्थिर गुणांक|स्थिर गुणांकों]] के साथ ''D'' में बहुपद हैं, इसके विपरीत, क्रमविनिमेय है। इसे दूसरे तरीके से वर्णित किया जा सकता है- इसमें अनुवाद-अपरिवर्तनीय संकारक सम्मिलित हैं। | ||
अवकल संकारक भी [[शिफ्ट प्रमेय]] का पालन करते हैं। | |||
== | == अनेक चर == | ||
एक ही निर्माण को आंशिक | एक ही निर्माण को आंशिक व्युत्पन्नों के साथ किया जा सकता है, अलग-अलग चर के संबंध में अवकलन संकारकों को उत्पन्न करता है जो परिवर्तित करते है ([[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता|दूसरे व्युत्पन्नों की सममिति]] देखें)। | ||
== बहुपद | == बहुपद अवकल संकारकों का वलय == | ||
=== अविभाजित बहुपद | === अविभाजित बहुपद अवकल संकारकों का वलय === | ||
{{Main| | {{Main|वेल बीजगणित}} | ||
यदि ''R'' एक वलय है, तो <math>R\langle D,X \rangle</math> को चर ''D'' और ''X'' में ''R'' के ऊपर गैर विनिमेय बहुपद वलय होने दें, और ''I'' ''DX'' − ''XD'' − 1 द्वारा उत्पन्न द्वि पक्षीय क्रम है। तब ''R'' पर अविभाजित बहुपद अवकल संकारकों का वलय भागफल वलय <math>R\langle D,X\rangle/I</math> होता है। यह एक गैर-विनिमेय [[साधारण अंगूठी|सरल वलय]] है। प्रत्येक तत्व को <math>X^a D^b \text{ mod } I</math> रूप के एकपद के ''R''-रैखिक संयोजन के रूप में एक विशिष्ट तरीके से लिखा जा सकता है। यह बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के अनुरूप का समर्थन करता है। | |||
<math>R[X]</math> (मानक व्युत्पत्ति के लिए) पर अवकल मॉड्यूल को <math>R\langle D,X\rangle/I</math> पर [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] के साथ पहचाना जा सकता है। | |||
===बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संकारकों का वलय === | ===बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संकारकों का वलय === | ||
यदि R एक वलय है, तो | यदि ''R'' एक वलय है, तो <math>R\langle D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n\rangle</math> को चर <math>D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n</math> में ''R'' के ऊपर गैर विनिमेय बहुपद वलय होने दें और ''I'' तत्वों द्वारा उत्पन्न द्वि पक्षीय क्रम हैं | ||
:<math>(D_i X_j-X_j D_i)-\delta_{i,j},\ \ \ D_i D_j -D_j D_i,\ \ \ X_i X_j - X_j X_i</math> | :<math>(D_i X_j-X_j D_i)-\delta_{i,j},\ \ \ D_i D_j -D_j D_i,\ \ \ X_i X_j - X_j X_i</math> | ||
सभी | सभी <math>1 \le i,j \le n,</math>} के लिए, जहां <math>\delta</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है। फिर ''R'' पर बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संकारकों का वलय भागफल वलय {{nowrap|<math>R\langle D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n\rangle/I</math>}} है। | ||
यह एक गैर-विनिमेय सरल वलय है। प्रत्येक तत्व को विशिष्ट रूप से {{nowrap|<math>X_1^{a_1} \ldots X_n^{a_n} D_1^{b_1} \ldots D_n^{b_n}</math>}} रूप के एकपदी के ''R''-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। | |||
== समन्वय-स्वतंत्र विवरण == | == समन्वय-स्वतंत्र विवरण == | ||
अवकल ज्यामिति और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में दो सदिश बंडलों के बीच अवकल संकारकों का एक समन्वय-स्वतंत्र विवरण होना | अवकल ज्यामिति और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में दो सदिश बंडलों के बीच अवकल संकारकों का एक समन्वय-स्वतंत्र विवरण होना प्रायः सुविधाजनक होता है। माना ''E'' और ''F'' अवकलनीय कई गुना ''M'' पर दो [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] हैं। अनुभागों {{nowrap|''P'' : Γ(''E'') → Γ(''F'')}} का एक '''R'''-रैखिक मानचित्रण '''''k''वें-क्रम रैखिक अवकल संकारक''' कहा जाता है यदि यह [[जेट बंडल]] ''J<sup>k</sup>''(''E'') के माध्यम से कारक होता है। | ||
:<math>i_P: J^k(E) \to F</math> | :<math>i_P: J^k(E) \to F</math> | ||
| Line 145: | Line 122: | ||
:<math>P = i_P\circ j^k</math> | :<math>P = i_P\circ j^k</math> | ||
जहाँ {{nowrap|''j''<sup>''k''</sup>: Γ(''E'') → Γ(''J''<sup>''k''</sup>(''E''))}} वह दीर्घीकरण है जो ''E'' के किसी भी खंड को ''k''-जेट से जोड़ता है। | |||
इसका | |||