तिरछा निर्देशांक: Difference between revisions

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तिरछे निर्देशांकों की एक प्रणाली एक घुमावदार निर्देशांक समन्वय प्रणाली है जहां निर्देशांक_प्रणाली #Coordin_surface [[ओर्थोगोनल]] नहीं हैं,<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SkewCoordinateSystem.html Skew Coordinate System] at [[Mathworld]]</ref> [[ऑर्थोगोनल निर्देशांक]] के विपरीत।
'''विषम या तिरछे निर्देशांकों''' का निकाय एक ऐसा वक्ररेखीय निर्देशांक निकाय है जहाँ निर्देशांक सतहें [[ओर्थोगोनल|लम्बकोणीय]] नहीं होती हैं<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SkewCoordinateSystem.html Skew Coordinate System] at [[Mathworld]]</ref>, जो कि [[ऑर्थोगोनल निर्देशांक|लम्बकोणीय निर्देशांकों]] की स्थिति के विपरीत है।


तिरछे निर्देशांक ऑर्थोगोनल निर्देशांक की तुलना में काम करने के लिए अधिक जटिल होते हैं क्योंकि मीट्रिक टेन्सर में गैर-अक्षीय ऑफ-विकर्ण घटक होंगे, जो [[टेंसर बीजगणित]] और [[टेंसर कैलकुलेशन]] के सूत्रों में कई सरलीकरण को रोकते हैं। [[मीट्रिक टेंसर]] के गैर-अक्षीय ऑफ-डायगोनल घटक निर्देशांक के आधार वैक्टर की गैर-ऑर्थोगोनलिटी का प्रत्यक्ष परिणाम हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार:<ref name=p13>
विषम निर्देशांक, लम्बकोणीय निर्देशांकों की तुलना में कार्य करने के लिए अधिक जटिल होते हैं क्योंकि मीट्रिक टेन्सर में ऐसे अशून्य अप-विकर्ण घटक होते हैं, जो [[टेंसर बीजगणित]] और [[टेंसर कैलकुलेशन|टेंसर कलन]] के सूत्रों में कई सामान्यीकरणों को बाधित करते हैं। [[मीट्रिक टेंसर]] के अशून्य अप-विकर्ण घटक निर्देशांक के आधार सदिशों की गैर-लम्बकोणीयता के प्रत्यक्ष परिणाम हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार:<ref name="p13">
{{cite book
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   | last = Lebedev
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:<math>g_{i j} = \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j</math>
:<math>g_{i j} = \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j</math>
कहाँ <math>g_{i j}</math> मीट्रिक टेंसर है और <math>\mathbf e_i</math> (सहसंयोजक) आधार वैक्टर।
जहाँ <math>g_{i j}</math> मीट्रिक टेंसर और <math>\mathbf e_i</math> (सहसंयोजक) आधार सदिश है।


ये समन्वय प्रणालियाँ उपयोगी हो सकती हैं यदि किसी समस्या की ज्यामिति तिरछी प्रणाली में अच्छी तरह से फिट बैठती है। उदाहरण के लिए, समान्तर [[चतुर्भुज]] में लाप्लास के समीकरण को हल करना सबसे आसान होगा जब उचित तिरछे निर्देशांक में किया जाए।
ये निर्देशांक निकाय तब उपयोगी हो सकते हैं जब किसी समस्या की ज्यामिति एक विषम निकाय में सुव्यवस्थित होती है। उदाहरण के लिए, समान्तर [[चतुर्भुज]] में लाप्लास के समीकरण को हल करना तब सबसे आसान होता है जब इसे उपयुक्त विषम निर्देशांकों में हल किया जाए।


== कार्तीय एक तिरछी धुरी == के साथ समन्वय करता है
== एक विषम अक्ष वाले कार्तीय निर्देशांक ==
[[Image:SkewCartesianSystem.svg|thumb|right|एक ऐसा निर्देशांक निकाय जहाँ ''x'' अक्ष को ''z'' अक्ष की ओर मोड़ दिया गया है।|240x240px]]कार्तीय निर्देशांक निकाय, विषम निर्देशांक निकाय की सरलतम त्रि-विमीय स्थिति है जहाँ इसके अक्षों में से एक अक्ष, (माना ''x-''अक्ष) किसी कोण <math>\phi</math> पर झुका हुआ होता है, जो शेष दो अक्षों पर लम्ब होता है। इस उदाहरण के लिए, कार्तीय निर्देशांक के ''x-''अक्ष को ''z''-अक्ष की ओर <math>\phi</math> कोण पर झुका दिया गया है, जो कि ''y''-अक्ष पर लम्ब है।


[[Image:SkewCartesianSystem.svg|thumb|right|एक समन्वय प्रणाली जहां x अक्ष को z अक्ष की ओर मोड़ दिया गया है।]]तिरछा समन्वय प्रणाली का सबसे सरल 3डी मामला एक कार्टेशियन निर्देशांक है जहां अक्षों में से एक (एक्स अक्ष कहते हैं) किसी कोण से मुड़ा हुआ है <math>\phi</math>, शेष दो अक्षों में से एक के लिए ओर्थोगोनल रहना। इस उदाहरण के लिए, कार्तीय निर्देशांक के x अक्ष को z अक्ष की ओर झुका दिया गया है <math>\phi</math>, y अक्ष के लिए ओर्थोगोनल शेष।
=== बीजगणित और उपयोगी राशियाँ ===


=== बीजगणित और उपयोगी मात्राएँ ===
माना <math>\mathbf e_1</math>, <math>\mathbf e_2</math>, और <math>\mathbf e_3</math> क्रमशः <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z</math> अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। ये सदिश आधार के सहपरिवर्ती को निरूपित करते हैं; इनके बिंदु गुणनों की गणना करने से मीट्रिक टेन्सर प्राप्त होता है:
 
होने देना <math>\mathbf e_1</math>, <math>\mathbf e_2</math>, और <math>\mathbf e_3</math> क्रमशः इकाई वैक्टर बनें <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z</math> कुल्हाड़ियों। ये सदिश आधार के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का प्रतिनिधित्व करते हैं; उनके डॉट उत्पादों की गणना करने से मीट्रिक टेन्सर मिलता है:


:<math>
:<math>
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\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>
कहाँ
जहाँ


:<math>\quad g_{13} = \cos\left(\frac \pi 2 - \phi\right) = \sin(\phi)</math>
:<math>\quad g_{13} = \cos\left(\frac \pi 2 - \phi\right) = \sin(\phi)</math>
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:<math>\sqrt{g} = \mathbf e_1 \cdot (\mathbf e_2 \times \mathbf e_3) = \cos(\phi)</math>
:<math>\sqrt{g} = \mathbf e_1 \cdot (\mathbf e_2 \times \mathbf e_3) = \cos(\phi)</math>
कौन सी मात्राएँ हैं जो बाद में काम आएंगी।
जो कि ऐसी राशियाँ हैं जो बाद में उपयोगी होती हैं।


इसके द्वारा प्रतिपरिवर्ती आधार दिया गया है<ref name=p13/>
इसका प्रतिपरिवर्ती आधार इस प्रकार है<ref name=p13/>


:<math>\mathbf e^1 = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\cos(\phi)}</math>
:<math>\mathbf e^1 = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\cos(\phi)}</math>
:<math>\mathbf e^2 = \frac{\mathbf e_3 \times \mathbf e_1}{\sqrt{g}} = \mathbf e_2</math>
:<math>\mathbf e^2 = \frac{\mathbf e_3 \times \mathbf e_1}{\sqrt{g}} = \mathbf e_2</math>
:<math>\mathbf e^3 = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\cos(\phi)}</math>
:<math>\mathbf e^3 = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\cos(\phi)}</math>
प्रतिपरिवर्ती आधार उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक नहीं है, हालाँकि यह परिभाषाओं में दिखाई देता है इसलिए इस पर विचार किया जाना चाहिए। हम सहपरिवर्ती आधार के संबंध में मात्राएँ लिखने का पक्ष लेंगे।
प्रतिपरिवर्ती आधार उपयोग हेतु अधिक सुविधाजनक नहीं है, हालाँकि यह परिभाषाओं में दिखाई देता है इसलिए इस पर विचार किया जाना चाहिए। हम राशियों को सहपरिवर्ती आधार के सापेक्ष लिखने के पक्ष में हैं।


चूँकि आधार सदिश सभी स्थिर हैं, सदिश जोड़ और घटाव केवल परिचित घटक-वार जोड़ना और घटाना होगा। अब चलो
चूँकि सभी आधार सदिश स्थिर हैं, अतः सदिश योग और अंतर सामान्यतः परिचित घटक-वार योग और अंतर होता है। अब माना


:<math>\mathbf a = \sum_i a^i \mathbf e_i \quad \mbox{and} \quad \mathbf b = \sum_i b^i \mathbf e_i</math>
:<math>\mathbf a = \sum_i a^i \mathbf e_i \quad \mbox{and} \quad \mathbf b = \sum_i b^i \mathbf e_i</math>
जहां योग सूचकांक के सभी मूल्यों पर योग दर्शाता है (इस मामले में, i = 1, 2, 3)इन सदिशों के सदिश घटकों के सहप्रसरण और विपरीत प्रसरण के द्वारा संबंधित किया जा सकता है
जहाँ योग सूचकांक के सभी मानों (इस स्थिति में, ''i'' = 1, 2, 3) पर योग को दर्शाता है। इन सदिशों के प्रतिपरिवर्ती और सहपरिवर्ती घटक निम्न प्रकार संबंधित हो सकते हैं


:<math>a^i = \sum_j a_j g^{ij}</math>
:<math>a^i = \sum_j a_j g^{ij}</math>
ताकि, स्पष्ट रूप से,
जिससे, स्पष्ट रूप से,


:<math>a^1 = \frac{a_1 - \sin(\phi) a_3}{\cos^2(\phi)},</math>
:<math>a^1 = \frac{a_1 - \sin(\phi) a_3}{\cos^2(\phi)},</math>
:<math>a^2 = a_2,</math>
:<math>a^2 = a_2,</math>
:<math>a^3 = \frac{-\sin(\phi) a_1 + a_3}{\cos^2(\phi)}.</math>
:<math>a^3 = \frac{-\sin(\phi) a_1 + a_3}{\cos^2(\phi)}.</math>
इसके बाद प्रतिपरिवर्ती घटकों के संदर्भ में [[डॉट उत्पाद]] है
इसके बाद प्रतिपरिवर्ती घटकों के पदों में [[डॉट उत्पाद|बिंदु गुणन]]


:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_i a^i b_i = a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 + \sin(\phi) (a^1 b^3 + a^3 b^1)</math>
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_i a^i b_i = a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 + \sin(\phi) (a^1 b^3 + a^3 b^1)</math>
और सहसंयोजक घटकों के संदर्भ में
और सहपरिवर्ती घटकों के पदों में


:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \frac{1}{\cos^2(\phi)} [ a_1 b_1 + a_2 b_2\cos^2(\phi) + a_3 b_3 - \sin(\phi) (a_1 b_3 + a_3 b_1) ].</math>
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \frac{1}{\cos^2(\phi)} [ a_1 b_1 + a_2 b_2\cos^2(\phi) + a_3 b_3 - \sin(\phi) (a_1 b_3 + a_3 b_1) ].</math>


 
है।
=== कलन ===
=== कलन ===


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   | pages = 63
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   | isbn = 981-238-360-3}}
   | isbn = 981-238-360-3}}
</ref> एक अदिश फलन f की प्रवणता है
</ref> एक अदिश फलन ''f'' का ग्रेडिएंट निम्न है


:<math>\nabla f = \sum_i \mathbf e^i \frac{\partial f}{\partial q^i} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf e^1 + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e^2 + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf e^3</math>
:<math>\nabla f = \sum_i \mathbf e^i \frac{\partial f}{\partial q^i} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf e^1 + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e^2 + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf e^3</math>
कहाँ <math>q_i</math> निर्देशांक x, y, z अनुक्रमित हैं। इसे एक सदिश के रूप में स्वीकार करते हुए इसे प्रतिपरिवर्ती आधार पर लिखा जा सकता है, इसे फिर से लिखा जा सकता है:
जहाँ <math>q_i</math> सूचित ''x'', ''y'', ''z'' निर्देशांक हैं। प्रतिपरिवर्ती आधार के पदों में लिखित एक सदिश के रूप में स्वीकार करते हुए, इसे पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है:


:<math>\nabla f =  
:<math>\nabla f =  
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\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e_2 +  
\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e_2 +  
\frac{-\sin(\phi) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z}}{\cos(\phi)^2} \mathbf e_3.</math>
\frac{-\sin(\phi) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z}}{\cos(\phi)^2} \mathbf e_3.</math>
एक वेक्टर का [[विचलन]] <math>\mathbf a</math> है
एक सदिश <math>\mathbf a</math> का [[विचलन]]


:<math>\nabla \cdot \mathbf a = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^i\right) = \frac{\partial a^1}{\partial x} + \frac{\partial a^2}{\partial y} + \frac{\partial a^3}{\partial z}.</math>
:<math>\nabla \cdot \mathbf a = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^i\right) = \frac{\partial a^1}{\partial x} + \frac{\partial a^2}{\partial y} + \frac{\partial a^3}{\partial z}.</math>
और एक टेंसर का <math>\mathbf A</math>
और एक टेंसर <math>\mathbf A</math> का विचलन
:<math>\nabla \cdot \mathbf A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^{ij} \mathbf e_j\right) =  
:<math>\nabla \cdot \mathbf A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^{ij} \mathbf e_j\right) =  
\sum_{i, j} \mathbf e_j \frac{\partial a^{ij}}{\partial q^i}.</math>
\sum_{i, j} \mathbf e_j \frac{\partial a^{ij}}{\partial q^i}.</math>
f का [[लाप्लासियन]] है
है। ''f'' का [[लाप्लासियन]]


:<math>\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f =  
:<math>\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f =  
\frac{1}{\cos(\phi)^2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - 2 \sin(\phi) \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
\frac{1}{\cos(\phi)^2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - 2 \sin(\phi) \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
और, चूँकि सहसंयोजक आधार सामान्य और स्थिर है, सदिश लाप्लासियन सहसंयोजक आधार के संदर्भ में लिखे गए सदिश के घटकवार लाप्लासियन के समान है।
है, और चूँकि सहपरिवर्ती आधार लम्ब और स्थिर है, अतः सदिश लाप्लासियन सहपरिवर्ती आधार के पदों में लिखे गए सदिश के घटकवार लाप्लासियन के समान है।


जबकि डॉट उत्पाद और ग्रेडियेंट दोनों कुछ हद तक गड़बड़ हैं, क्योंकि उनके पास अतिरिक्त शब्द हैं (कार्टेशियन सिस्टम की तुलना में) [[संवहन]] जो एक डॉट उत्पाद को ग्रेडियेंट के साथ जोड़ता है, बहुत सरल हो जाता है:
जबकि बिंदु गुणन और ग्रेडिएंट दोनों ही कुछ अव्यवस्थित हैं, जिसमें इनके पास (कार्तीय निकाय की तुलना में) अतिरिक्त पद हैं, तब बिंदु गुणन को एक ग्रेडिएंट के साथ जोड़ने वाला [[संवहन|अभिवहन]] संकारक बहुत सरल हो जाता है:


:<math>(\mathbf a \cdot \nabla) = \left(\sum_i a^i e_i\right) \cdot \left(\sum_i \frac{\partial}{\partial q^i} \mathbf e^i\right) = \left(\sum_i a^i \frac{\partial}{\partial q^i}\right)
:<math>(\mathbf a \cdot \nabla) = \left(\sum_i a^i e_i\right) \cdot \left(\sum_i \frac{\partial}{\partial q^i} \mathbf e^i\right) = \left(\sum_i a^i \frac{\partial}{\partial q^i}\right)
</math>
</math>
जो अदिश फलन और सदिश फलन दोनों पर लागू हो सकता है, जब सहपरिवर्ती आधार में अभिव्यक्त किया जाता है।
जो सहपरिवर्ती आधार में अभिव्यक्त किये जाने पर अदिश और सदिश दोनों फलनों पर घटकवार लागू हो सकता है।


अंत में, सदिश का [[कर्ल (गणित)]] है
अंत में, सदिश का [[कर्ल (गणित)]] निम्न है


:<math>\nabla \times \mathbf a = \sum_{i, j, k} \mathbf e_k \epsilon^{ijk} \frac{\partial a_j}{\partial q^i} = </math>
:<math>\nabla \times \mathbf a = \sum_{i, j, k} \mathbf e_k \epsilon^{ijk} \frac{\partial a_j}{\partial q^i} = </math>
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\left(\frac{\partial a^2}{\partial x} - \frac{\partial a^1}{\partial y} - \sin(\phi) \frac{\partial a^3}{\partial y}\right) \mathbf e_3
\left(\frac{\partial a^2}{\partial x} - \frac{\partial a^1}{\partial y} - \sin(\phi) \frac{\partial a^3}{\partial y}\right) \mathbf e_3
\right).</math>
\right).</math>
==संदर्भ==
==संदर्भ==



Revision as of 15:45, 19 February 2023

विषम या तिरछे निर्देशांकों का निकाय एक ऐसा वक्ररेखीय निर्देशांक निकाय है जहाँ निर्देशांक सतहें लम्बकोणीय नहीं होती हैं[1], जो कि लम्बकोणीय निर्देशांकों की स्थिति के विपरीत है।

विषम निर्देशांक, लम्बकोणीय निर्देशांकों की तुलना में कार्य करने के लिए अधिक जटिल होते हैं क्योंकि मीट्रिक टेन्सर में ऐसे अशून्य अप-विकर्ण घटक होते हैं, जो टेंसर बीजगणित और टेंसर कलन के सूत्रों में कई सामान्यीकरणों को बाधित करते हैं। मीट्रिक टेंसर के अशून्य अप-विकर्ण घटक निर्देशांक के आधार सदिशों की गैर-लम्बकोणीयता के प्रत्यक्ष परिणाम हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार:[2]

जहाँ मीट्रिक टेंसर और (सहसंयोजक) आधार सदिश है।

ये निर्देशांक निकाय तब उपयोगी हो सकते हैं जब किसी समस्या की ज्यामिति एक विषम निकाय में सुव्यवस्थित होती है। उदाहरण के लिए, समान्तर चतुर्भुज में लाप्लास के समीकरण को हल करना तब सबसे आसान होता है जब इसे उपयुक्त विषम निर्देशांकों में हल किया जाए।

एक विषम अक्ष वाले कार्तीय निर्देशांक

एक ऐसा निर्देशांक निकाय जहाँ x अक्ष को z अक्ष की ओर मोड़ दिया गया है।

कार्तीय निर्देशांक निकाय, विषम निर्देशांक निकाय की सरलतम त्रि-विमीय स्थिति है जहाँ इसके अक्षों में से एक अक्ष, (माना x-अक्ष) किसी कोण पर झुका हुआ होता है, जो शेष दो अक्षों पर लम्ब होता है। इस उदाहरण के लिए, कार्तीय निर्देशांक के x-अक्ष को z-अक्ष की ओर कोण पर झुका दिया गया है, जो कि y-अक्ष पर लम्ब है।

बीजगणित और उपयोगी राशियाँ

माना , , और क्रमशः , , और अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। ये सदिश आधार के सहपरिवर्ती को निरूपित करते हैं; इनके बिंदु गुणनों की गणना करने से मीट्रिक टेन्सर प्राप्त होता है:

जहाँ

और

जो कि ऐसी राशियाँ हैं जो बाद में उपयोगी होती हैं।

इसका प्रतिपरिवर्ती आधार इस प्रकार है[2]

प्रतिपरिवर्ती आधार उपयोग हेतु अधिक सुविधाजनक नहीं है, हालाँकि यह परिभाषाओं में दिखाई देता है इसलिए इस पर विचार किया जाना चाहिए। हम राशियों को सहपरिवर्ती आधार के सापेक्ष लिखने के पक्ष में हैं।

चूँकि सभी आधार सदिश स्थिर हैं, अतः सदिश योग और अंतर सामान्यतः परिचित घटक-वार योग और अंतर होता है। अब माना

जहाँ योग सूचकांक के सभी मानों (इस स्थिति में, i = 1, 2, 3) पर योग को दर्शाता है। इन सदिशों के प्रतिपरिवर्ती और सहपरिवर्ती घटक निम्न प्रकार संबंधित हो सकते हैं

जिससे, स्पष्ट रूप से,

इसके बाद प्रतिपरिवर्ती घटकों के पदों में बिंदु गुणन

और सहपरिवर्ती घटकों के पदों में

है।

कलन

परिभाषा से,[3] एक अदिश फलन f का ग्रेडिएंट निम्न है

जहाँ सूचित x, y, z निर्देशांक हैं। प्रतिपरिवर्ती आधार के पदों में लिखित एक सदिश के रूप में स्वीकार करते हुए, इसे पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक सदिश का विचलन

और एक टेंसर का विचलन

है। f का लाप्लासियन

है, और चूँकि सहपरिवर्ती आधार लम्ब और स्थिर है, अतः सदिश लाप्लासियन सहपरिवर्ती आधार के पदों में लिखे गए सदिश के घटकवार लाप्लासियन के समान है।

जबकि बिंदु गुणन और ग्रेडिएंट दोनों ही कुछ अव्यवस्थित हैं, जिसमें इनके पास (कार्तीय निकाय की तुलना में) अतिरिक्त पद हैं, तब बिंदु गुणन को एक ग्रेडिएंट के साथ जोड़ने वाला अभिवहन संकारक बहुत सरल हो जाता है:

जो सहपरिवर्ती आधार में अभिव्यक्त किये जाने पर अदिश और सदिश दोनों फलनों पर घटकवार लागू हो सकता है।

अंत में, सदिश का कर्ल (गणित) निम्न है

संदर्भ

  1. Skew Coordinate System at Mathworld
  2. 2.0 2.1 Lebedev, Leonid P. (2003). Tensor Analysis. World Scientific. p. 13. ISBN 981-238-360-3.
  3. Lebedev, Leonid P. (2003). Tensor Analysis. World Scientific. p. 63. ISBN 981-238-360-3.