दशमलव: Difference between revisions

Revision as of 06:13, 3 February 2023

दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और /ˈdiːnəri/^[1] या दशकीय भी कहा जाता है) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।^[2] दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[3]

एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (आमतौर पर। या, $25.9703$ या $3,1415$ के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।^[4] दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि $3.14$ में $π$ का अनुमान है दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, $a /10 n$ के रूप का भिन्न (गणित) , जहाँ $a$ एक पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, $5.123144144144144... = 5.123 144$ )।^[5] एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

मूल

File:Two hand, ten fingers.jpg

ईमानदार = 1.2

प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना शुरू किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन

संख्या लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंकों का उपयोग करती है, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक घटाव का चिन्ह -।दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;^[6] दशमलव विभाजक डॉट है $.$ कई देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले),^[7] और एक अल्पविराम $,$ अन्य देशों में।^[4]

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है

या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

।

यदि $m > 0$ , अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह आमतौर पर माना जाता है कि पहला अंक $a m$ शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है;यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$ ।इसी तरह, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - यानी, तो, अगर $b n = 0$ - इसे हटाया जा सकता है;इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; ^{[note 1]} उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ और $5.2 = 5.20 = 5.200$ ।

एक नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक माइनस चिन्ह पहले रखा गया है $a m$ ।

अंक $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

।

दशमलव अंक का पूर्णांक भाग या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)।एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है।दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, आमतौर पर कम्प्यूटिंग में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, $.1234$ , के बजाय $0.1234$ )।सामान्य लेखन में, यह आम तौर पर बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।

संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है।अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।

दशमलव अंश

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[note 1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Number in base-10 numeral system}}
 {{Other uses}}
-[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]दशमलव [[अंक प्रणाली]] (जिसे बेस-टेन पोजीशनल अंक प्रणाली और डेफरी भी कहा जाता है {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या decanary) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है।यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>
+[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]दशमलव [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>
-एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है।दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (आमतौर पर। या, के रूप में पहचाना जा सकता है {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}})।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे{{math|3.14}} का अनुमान है {{pi}} दो दशमलव के लिए।एक दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक एक मूल्य की सटीकता को इंगित करने के उद्देश्य को पूरा करते हैं।
+एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (आमतौर पर। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान है  दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।
-दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे #DECIMAL अंश हैं।वह है, रूप का [[अंश (गणित)]] {{math|''a''/10<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे {{math|''a''}} एक पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।
+दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, {{math|''a''/10<sup>''n''</sup>}} के रूप का [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] , जहाँ {{math|''a''}} एक पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।
-दशमलव प्रणाली को दशमलव विभाजक ([[दशमलव प्रतिनिधित्व]] देखें) के बाद अंकों के [[अनुक्रम (गणित)]] का उपयोग करके, किसी भी [[वास्तविक संख्या]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है।इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है।एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो कुछ जगह के बाद, अनिश्चित काल के लिए अंकों का एक ही अनुक्रम दोहराता है (जैसे, {{math|1=5.123144144144144... = 5.123{{overline|144}}}})।<ref>The [[Vinculum (symbol)|vinculum (overline)]] in 5.123<span style="text-decoration: overline;">144</span> indicates that the '144' sequence repeats indefinitely, i.e. {{val|5.123144144144144|s=...}}.</ref> एक अनंत दशमलव एक [[तर्कसंगत संख्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक सीमित संख्या है।
+दशमलव विभाजक ([[दशमलव प्रतिनिधित्व]] देखें) के बाद अंकों के [[अनुक्रम (गणित)]] का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी [[वास्तविक संख्या]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, {{math|1=5.123144144144144... = 5.123{{overline|144}}}})।<ref>The [[Vinculum (symbol)|vinculum (overline)]] in 5.123<span style="text-decoration: overline;">144</span> indicates that the '144' sequence repeats indefinitely, i.e. {{val|5.123144144144144|s=...}}.</ref> एक अनंत दशमलव एक [[तर्कसंगत संख्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।
 == मूल ==
-[[File:Two hand, ten fingers.jpg|thumb|right|दो हाथों पर दस अंक, दशमलव गिनती की संभावित उत्पत्ति | ईमानदार = 1.2]]प्राचीन सभ्यताओं के कई अंक प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और इसकी शक्तियों का उपयोग करते हैं, संभवतः क्योंकि दो हाथों पर दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनती शुरू कर दी।उदाहरण सबसे पहले [[मिस्र के अंक]] हैं, फिर [[ब्राह्मी अंक]], [[ग्रीक अंक]], [[हिब्रू अंक]], रोमन अंक और [[चीनी अंक]]।इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे #Decimal अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।
+[[File:Two hand, ten fingers.jpg|thumb|right|दो हाथों पर दस अंक, दशमलव गिनती की संभावित उत्पत्ति | ईमानदार = 1.2]]प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना शुरू किया। जिसका उदाहरण  सबसे पहले [[मिस्र के अंक]] हैं, फिर [[ब्राह्मी अंक]], [[ग्रीक अंक]], [[हिब्रू अंक]], रोमन अंक और [[चीनी अंक]] इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।
 == [[दशमलव अंक]]न ==
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 === तर्कसंगत संख्या ===
 {{main|Repeating decimal}}
-[[ लम्बा विभाजन ]] एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक #Decimal अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है।यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है।हालांकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए।यानी, एक को दोहराया दशमलव है।उदाहरण के लिए,
+[[ लम्बा विभाजन ]] एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है।यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है।हालांकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए।यानी, एक को दोहराया दशमलव है।उदाहरण के लिए,
 :{{sfrac|81}} = 0।012345679012 ... (समूह के साथ 012345679 अनिश्चित काल के लिए)।

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