क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध द्विदिश गणित संबंध हैं, जो किसी भी जटिल विश्लेषण के वास्तविक संख्या और काल्पनिक संख्या भागों को जोड़ते हैं जो ऊपरी आधे विमान में विश्लेषणात्मक कार्य है। संबंधों को अधिकांशतः भौतिक प्रणालियों में रैखिक प्रतिक्रिया समारोह के काल्पनिक भाग (या इसके विपरीत) से वास्तविक भाग की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि स्थिर प्रणालियों के लिए, कारण प्रणाली का तात्पर्य विश्लेषणात्मकता की स्थिति से है, और इसके विपरीत, विश्लेषणात्मकता का अर्थ संगत स्थिर की कार्य-कारणता से है। भौतिक प्रणाली। इस रिश्ते का नाम राल्फ क्रोनिग और हंस क्रेमर्स के सम्मान में रखा गया है। गणित में, इन संबंधों को सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय और हिल्बर्ट रूपांतरण के नाम से जाना जाता है।

भौतिक प्रणालियों में रैखिक प्रतिक्रिया समारोह के काल्पनिक भाग (या इसके विपरीत) से वास्तविक भाग की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि स्थिर प्रणालियों के लिए, कारण प्रणाली का तात्पर्य विश्लेषणात्मकता

सूत्रीकरण

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों में से एक के लिए चित्रण। ज्ञात काल्पनिक के साथ संवेदनशीलता के वास्तविक भाग की खोज करें।

होने देना $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ जटिल चर का एक जटिल कार्य हो $\omega$, कहाँ $\chi _{1}(\omega )$ और $\chi _{2}(\omega )$ वास्तविक संख्या हैं। मान लीजिए कि यह फ़ंक्शन बंद ऊपरी आधे विमान में जटिल विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है $\omega$ और तेजी से गायब हो जाता है $1/|\omega |$ जैसा $|\omega |\to \infty$. थोड़ी कमजोर स्थिति भी संभव है। क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध किसके द्वारा दिए गए हैं

$$\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '$$

और

$$\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',$$

कहाँ ${\mathcal {P}}$ कॉची प्रिंसिपल वैल्यू को दर्शाता है। तो इस तरह के एक फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग स्वतंत्र नहीं होते हैं, और पूर्ण फ़ंक्शन को उसके केवल एक हिस्से को फिर से बनाया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों को प्राप्त करने के लिए अभिन्न समोच्च।

सबूत अवशेष प्रमेय के एक आवेदन के साथ शुरू होता है | जटिल एकीकरण के लिए कॉची के अवशेष प्रमेय। किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य को देखते हुए $\chi$ बंद ऊपरी आधे विमान में, फ़ंक्शन $\omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ कहाँ $\omega$ वास्तविक है समतल के ऊपरी भाग में विश्लेषणात्मक भी होगा। अवशेष प्रमेय इसके परिणामस्वरूप बताता है

$$\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0$$

इस क्षेत्र के भीतर समोच्च एकीकरण के किसी भी बंद तरीके के लिए। हम वास्तविक धुरी का पता लगाने के लिए समोच्च चुनते हैं, ध्रुव पर एक कूबड़ (जटिल विश्लेषण)। $\omega '=\omega$, और ऊपरी आधे विमान में एक बड़ा अर्धवृत्त। फिर हम इन तीन समोच्च खंडों में से प्रत्येक के साथ अभिन्न अंग को उसके योगदान में विघटित करते हैं और उन्हें सीमा तक पास करते हैं। अर्धवृत्ताकार खंड की लंबाई आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है $|\omega '|$, लेकिन इसके ऊपर का अभिन्न सीमा में गायब हो जाता है क्योंकि $\chi (\omega ')$ की तुलना में तेजी से गायब हो जाता है $1/|\omega '|$. हम वास्तविक अक्ष के साथ खंडों और ध्रुव के चारों ओर अर्धवृत्त के साथ बचे हैं। हम अर्ध-वृत्त के आकार को शून्य से पास करते हैं और प्राप्त करते हैं

$$0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).$$

अंतिम अभिव्यक्ति में दूसरा शब्द अवशेषों के सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, अधिक विशेष रूप से सोखत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय या वास्तविक रेखा के लिए संस्करण| पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों के संक्षिप्त रूप पर पहुँचते हैं,

$$\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.$$

द सिंगल $i$ भाजक में वास्तविक और काल्पनिक घटकों के बीच संबंध को प्रभावित करेगा। अंत में, विभाजित करें $\chi (\omega )$ और ऊपर उद्धृत रूपों को प्राप्त करने के लिए उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में समीकरण।

भौतिक व्याख्या और वैकल्पिक रूप

हम क्रेमर्स-क्रोनिग औपचारिकता को रैखिक प्रतिक्रिया समारोह में लागू कर सकते हैं। कुछ रैखिक भौतिक प्रणालियों में, या संकेत आगे बढ़ाना जैसे इंजीनियरिंग क्षेत्रों में, प्रतिक्रिया कार्य $\chi (t-t')$ कैसे कुछ समय पर निर्भर संपत्ति का वर्णन करता है $P(t)$ एक भौतिक प्रणाली एक आवेग बल (भौतिकी) का जवाब देती है $F(t')$ समय पर $t'.$ उदाहरण के लिए, $P(t)$ एक लंगर का कोण हो सकता है और $F(t)$ पेंडुलम गति को चलाने वाले एक्ट्यूएटर का लागू बल। प्रतिक्रिया $\chi (t-t')$ के लिए शून्य होना चाहिए $t<t'$ चूंकि एक प्रणाली लागू होने से पहले बल का जवाब नहीं दे सकती है। यह दिखाया जा सकता है (उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म या टिचमार्श के प्रमेय | टिचमार्श के प्रमेय का आह्वान करके) कि इस कार्य-कारण की स्थिति का अर्थ है कि फूरियर रूपांतरण $\chi (\omega )$ का $\chi (t)$ ऊपरी आधे विमान में विश्लेषणात्मक है।

इसके अतिरिक्त, यदि हम सिस्टम को इसकी उच्चतम गुंजयमान आवृत्ति की तुलना में बहुत अधिक आवृत्ति के साथ एक ऑसिलेटरी बल के अधीन करते हैं, तो सिस्टम के पास प्रतिक्रिया करने के लिए लगभग कोई समय नहीं होगा जब तक कि फोर्सिंग ने दिशा बदल दी हो, और इसलिए आवृत्ति प्रतिक्रिया $\chi (\omega )$ के रूप में शून्य हो जाएगा $\omega$ बहुत बड़ा हो जाता है। इन भौतिक विचारों से, हम देखते हैं कि $\chi (\omega )$ सामान्यतः क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों को लागू करने के लिए आवश्यक शर्तों को पूरा करेगा।

एक प्रतिक्रिया समारोह का काल्पनिक हिस्सा वर्णन करता है कि कैसे एक प्रणाली अपव्यय, क्योंकि यह बल के साथ चरण (तरंगों) में है। क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों का अर्थ है कि एक प्रणाली की विघटनकारी प्रतिक्रिया का अवलोकन करना इसके चरण से बाहर (प्रतिक्रियाशील) प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, और इसके विपरीत।

इंटीग्रल से चलते हैं $-\infty$ को $\infty$, जिसका अर्थ है कि हम नकारात्मक आवृत्तियों पर प्रतिक्रिया जानते हैं। सौभाग्य से, अधिकांश भौतिक प्रणालियों में, सकारात्मक आवृत्ति-प्रतिक्रिया नकारात्मक-आवृत्ति प्रतिक्रिया को निर्धारित करती है क्योंकि $\chi (\omega )$ वास्तविक मूल्यवान प्रतिक्रिया का फूरियर रूपांतरण है $\chi (t)$. हम यह धारणा अब से बनाएंगे।

एक परिणाम के रूप में, $\chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )$. इसका मतलब यह है $\chi _{1}(\omega )$ आवृत्ति का एक सम और विषम कार्य है तथा $\chi _{2}(\omega )$ सम और विषम कार्य हैं।

इन गुणों का उपयोग करके, हम एकीकरण श्रेणियों को संक्षिप्त कर सकते हैं $[0,\infty )$. पहले संबंध पर विचार करें, जो वास्तविक भाग देता है $\chi _{1}(\omega )$. हम पूर्णांक के अंश और हर को गुणा करके अभिन्न को एक निश्चित समता में बदल देते हैं $\omega '+\omega$ और अलग करना:

$$\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.$$

तब से $\chi _{2}(\omega )$ विषम है, दूसरा अभिन्न गायब हो जाता है, और हमारे पास रह जाता है

$$\chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.$$

काल्पनिक भाग के लिए वही व्युत्पत्ति देता है

$$\chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.$$

ये क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध एक ऐसे रूप में हैं जो शारीरिक रूप से यथार्थवादी प्रतिक्रिया कार्यों के लिए उपयोगी है।

समय डोमेन से संबंधित प्रमाण

हू और हॉल और हेक एक संबंधित और संभवतः अधिक सहज प्रमाण दें जो समोच्च एकीकरण से बचा जाता है। यह इस तथ्य पर आधारित है कि:

• एक आकस्मिक आवेग प्रतिक्रिया को एक सम कार्य और एक विषम कार्य के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां विषम कार्य सम कार्य को साइन समारोह द्वारा गुणा किया जाता है।
• टाइम डोमेन वेवफॉर्म के सम और विषम भाग क्रमशः इसके फूरियर इंटीग्रल के वास्तविक और काल्पनिक भागों के अनुरूप होते हैं।
• टाइम डोमेन में साइन फ़ंक्शन द्वारा गुणन हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म (अर्थात हिल्बर्ट कर्नेल द्वारा कनवल्शन) के अनुरूप है $1/\pi \omega$) आवृत्ति डोमेन में।

इन तथ्यों द्वारा प्रदान किए गए सूत्रों के संयोजन से क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध प्राप्त होते हैं। यह सबूत पिछले एक से थोड़ा अलग जमीन को कवर करता है जिसमें यह किसी भी फ़ंक्शन के आवृत्ति डोमेन में वास्तविक और काल्पनिक भागों से संबंधित होता है जो समय डोमेन में कारण होता है, ऊपरी आधे विमान में विश्लेषणात्मकता की स्थिति से कुछ अलग दृष्टिकोण की पेशकश करता है। आवृत्ति डोमेन।

इस प्रमाण के अनौपचारिक, सचित्र संस्करण वाला एक लेख भी उपलब्ध है।

परिमाण (लाभ)–चरण संबंध

See also: न्यूनतम चरण § चरण प्रतिक्रिया के लिए परिमाण प्रतिक्रिया का संबंध

उपरोक्त क्रेमर्स-क्रोनिग का पारंपरिक रूप एक जटिल प्रतिक्रिया समारोह के वास्तविक और काल्पनिक भाग से संबंधित है। एक संबंधित लक्ष्य जटिल प्रतिक्रिया समारोह के परिमाण और चरण के बीच संबंध खोजना है।

सामान्यतः, दुर्भाग्य से, परिमाण से चरण की विशिष्ट भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। इसका एक सरल उदाहरण समय टी का एक शुद्ध समय विलंब है, जिसमें टी की परवाह किए बिना किसी भी आवृत्ति पर आयाम 1 है, लेकिन एक चरण टी पर निर्भर है (विशेष रूप से, चरण = 2π × टी × आवृत्ति)।

यद्यपि, एक न्यूनतम चरण प्रणाली के विशेष स्थितियों में एक अनूठा आयाम-बनाम-चरण संबंध है, कभी-कभी बोड लाभ-चरण संबंध कहा जाता है। मार्सेल बेयर्ड (1936) और हेनरी वेड बोडे (1945) के कार्यों के बाद बायर्ड-बोड संबंध और बायर्ड-बोड प्रमेय का उपयोग या तो सामान्य रूप से क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों या विशेष रूप से आयाम-चरण संबंध के लिए किया जाता है। दूरसंचार और नियंत्रण सिद्धांत के क्षेत्र में।

भौतिकी में अनुप्रयोग

जटिल अपवर्तक सूचकांक

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों का उपयोग अपवर्तक सूचकांक या जटिल अपवर्तक सूचकांक के लिए वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ने के लिए किया जाता है ${\tilde {n}}=n+i\kappa$ एक माध्यम का, जहां $\kappa$ अपवर्तक सूचकांक या जटिल अपवर्तक सूचकांक है। इसलिए, प्रभाव में, यह जटिल सापेक्ष पारगम्यता और विद्युत संवेदनशीलता के लिए भी लागू होता है।

ऑप्टिकल गतिविधि

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध ऑप्टिकल रोटरी फैलाव और वृत्ताकार द्वैतवाद के बीच एक संबंध स्थापित करते हैं।

मैग्नेटो-ऑप्टिक्स

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध गैर-तुच्छ बिखरने की समस्याओं के सटीक समाधान को सक्षम करते हैं, जो मैग्नेटो-ऑप्टिक्स में अनुप्रयोग ढूंढते हैं।

इलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी

इलेक्ट्रॉन ऊर्जा हानि स्पेक्ट्रोस्कोपी में, क्रेमर्स-क्रोनिग विश्लेषण एक नमूना के प्रकाश ऑप्टिकल पारगम्यता के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों की ऊर्जा निर्भरता की गणना करने की अनुमति देता है, साथ में अन्य ऑप्टिकल गुण जैसे अवशोषण गुणांक और परावर्तकता।

संक्षेप में, उच्च ऊर्जा (जैसे 200 केवी) इलेक्ट्रॉनों की संख्या को मापने के द्वारा जो एक बहुत ही पतले नमूने (एकल बिखरने वाले सन्निकटन) को पार करने में ऊर्जा की एक निश्चित मात्रा खो देते हैं, उस ऊर्जा पर पारगम्यता के काल्पनिक भाग की गणना कर सकते हैं। क्रामर्स-क्रोनिग विश्लेषण के साथ इस डेटा का उपयोग करके, कोई भी पारगम्यता के वास्तविक भाग (ऊर्जा के कार्य के रूप में) की गणना कर सकता है।

यह माप प्रकाश के अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों के साथ किया जाता है, और बहुत उच्च स्थानिक संकल्प के साथ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, 100 एनएम से कम के पूर्व सौर अनाज के प्रयोगशाला नमूने में पराबैंगनी (यूवी) अवशोषण बैंड की तलाश की जा सकती है, अर्थात यूवी स्पेक्ट्रोस्कोपी के लिए बहुत छोटा। यद्यपि इलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी में प्रकाश स्पेक्ट्रोस्कोपी की तुलना में खराब ऊर्जा संकल्प है, दृश्य, पराबैंगनी और सॉफ्ट एक्स-रे विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम में गुणों पर डेटा उसी प्रयोग में अंकित किया जा सकता है।

कोण से हल किए गए फोटोमिशन स्पेक्ट्रोस्कोपी में क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों का उपयोग इलेक्ट्रॉनों की आत्म-ऊर्जा के वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ने के लिए किया जा सकता है। यह सामग्री में इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव की जाने वाली कई शारीरिक अंतःक्रियाओं की विशेषता है। उल्लेखनीय उदाहरण उच्च तापमान सुपरकंडक्टर्स में हैं, जहां बैंड फैलाव में स्व-ऊर्जा के वास्तविक भाग के अनुरूप किंक देखे जाते हैं और स्व-ऊर्जा के काल्पनिक भाग के अनुरूप एमडीसी चौड़ाई में परिवर्तन भी देखे जाते हैं।

हैड्रान स्कैटरिंग

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों का उपयोग हाड्रोनिक बिखरने के संदर्भ में अभिन्न फैलाव संबंधों के नाम से भी किया जाता है। इस स्थितियों में, समारोह बिखरने का आयाम है। ऑप्टिकल प्रमेय के उपयोग के माध्यम से बिखरने वाले आयाम का काल्पनिक हिस्सा तब कुल क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) से संबंधित होता है, जो शारीरिक रूप से मापने योग्य मात्रा है।

भूभौतिकी

भूकंपीय तरंग प्रसार के लिए, क्रेमर-क्रोनिग संबंध एक क्षीण मीडिया में गुणवत्ता कारक के लिए सही रूप खोजने में मदद करता है।

यह भी देखें

• फैलाव (प्रकाशिकी)
• रैखिक प्रतिक्रिया समारोह
• संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता

संदर्भ

स्रोत

• Mansoor Sheik-Bahae (2005). "Nonlinear Optics Basics. Kramers–Kronig Relations in Nonlinear Optics". In Robert D. Guenther (ed.). आधुनिक प्रकाशिकी का विश्वकोश. Amsterdam: Academic Press. ISBN 0-12-227600-0.
• Valerio Lucarini; Jarkko J. Saarinen; Kai-Erik Peiponen; Erik M. Vartiainen (2005). ऑप्टिकल सामग्री अनुसंधान में क्रामर्स-क्रोनिग संबंध. Heidelberg: Springer. Bibcode:2005kkro.book.....L. ISBN 3-540-23673-2.
• Frederick W. King (2009). "19–22". हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म. Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51720-1.
• J. D. Jackson (1975). "section 7.10". शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-43132-X.

श्रेणी:जटिल विश्लेषण श्रेणी:पदार्थ में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र