फेजर: Difference between revisions
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{{short description|Complex number representing a particular sine wave}} | {{short description|Complex number representing a particular sine wave}} | ||
[[Image:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|विशिष्ट के लिए श्रृंखला [[आरएलसी सर्किट]] और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण {{mvar|ω}}. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना [[जटिल विमान]]) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो [[वोल्टेज]] के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।]]भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू <ref name="FoxBolton2002">{{cite book|author1=Huw Fox|author2=William Bolton|title=Mathematics for Engineers and Technologists|url=https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204|url-access=limited|year=2002|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-08-051119-1|page=[https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204/page/n36 30]}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{cite book|author=Clay Rawlins|title=Basic AC Circuits|url=https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl|url-access=limited|year=2000 |publisher=Newnes|isbn=978-0-08-049398-5|page=[https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl/page/n134 124]|edition=2nd}}</ref>) [[साइन लहर]] का प्रतिनिधित्व करने वाली [[जटिल संख्या]] है जिसका [[आयाम]] ({{mvar|A}}), [[कोणीय आवृत्ति]] ({{mvar|ω}}), और चरण (तरंगें) ({{mvar|θ}}) [[समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह [[विश्लेषणात्मक संकेत]] नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref> जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,<ref name="Kumar2008">{{cite book|author=K. S. Suresh Kumar|title=Electric Circuits and Networks|year=2008|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-1390-7|page=272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{cite book|author1=Kequian Zhang|author2=Dejie Li|title=Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-74296-8|page=13|edition=2nd}}</ref> और (पुराने पाठ्य में) सिनर <ref name="Hindmarsh2014"/> या यहां तक कि जटिल कहा जाता है।<ref name="Hindmarsh2014">{{cite book|author=J. Hindmarsh|title=Electrical Machines & their Applications|year=1984|edition=4th|publisher=Elsevier|isbn=978-1-4832-9492-6|page=58}}</ref> | |||
[[Image:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|विशिष्ट के लिए श्रृंखला [[आरएलसी सर्किट]] और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण {{mvar|ω}}. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना [[जटिल विमान]]) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो [[वोल्टेज]] के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।]]भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू <ref name="FoxBolton2002">{{cite book|author1=Huw Fox|author2=William Bolton|title=Mathematics for Engineers and Technologists|url=https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204|url-access=limited|year=2002|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-08-051119-1|page=[https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204/page/n36 30]}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{cite book|author=Clay Rawlins|title=Basic AC Circuits|url=https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl|url-access=limited|year=2000 |publisher=Newnes|isbn=978-0-08-049398-5|page=[https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl/page/n134 124]|edition=2nd}}</ref>) [[साइन लहर]] का प्रतिनिधित्व करने वाली [[जटिल संख्या]] है जिसका [[आयाम]] ({{mvar|A}}), [[कोणीय आवृत्ति]] ({{mvar|ω}}), और चरण (तरंगें) ({{mvar|θ}}) [[समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह [[विश्लेषणात्मक संकेत]] नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref> जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,<ref name="Kumar2008">{{cite book|author=K. S. Suresh Kumar|title=Electric Circuits and Networks|year=2008|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-1390-7|page=272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{cite book|author1=Kequian Zhang|author2=Dejie Li|title=Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-74296-8|page=13|edition=2nd}}</ref> और (पुराने | |||
[[प्रत्यावर्ती धारा]] द्वारा संचालित [[विद्युत नेटवर्क]] में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)<ref name=":02">{{Cite book |last=Gross |first=Charles A. |title=Fundamentals of electrical engineering |date=2012 |publisher=CRC Press |others=Thaddeus Adam Roppel |isbn=978-1-4398-9807-9 |location=Boca Raton, FL |oclc=863646311}}</ref>{{Rp|page=53}} और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है। | [[प्रत्यावर्ती धारा]] द्वारा संचालित [[विद्युत नेटवर्क]] में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)<ref name=":02">{{Cite book |last=Gross |first=Charles A. |title=Fundamentals of electrical engineering |date=2012 |publisher=CRC Press |others=Thaddeus Adam Roppel |isbn=978-1-4398-9807-9 |location=Boca Raton, FL |oclc=863646311}}</ref>{{Rp|page=53}} और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है। | ||
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कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को [[लाप्लास रूपांतरण]] के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{cite book|author1=Won Y. Yang|author2=Seung C. Lee|title=Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-82240-1|pages=256–261}}</ref> चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।<ref name="YangLee2008"/> | कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को [[लाप्लास रूपांतरण]] के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{cite book|author1=Won Y. Yang|author2=Seung C. Lee|title=Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-82240-1|pages=256–261}}</ref> चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।<ref name="YangLee2008"/> | ||
[[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब | [[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब फलन <math>A \cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता है{{pi}}/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है {{math|1=''t'' = 0}} (और कम से {{math|1=''t'' = ''n'' 2''π''/''ω''}} के सभी [[पूर्णांक]] मानों के लिए {{mvar|n}}).]] | ||
== | == संकेतन == | ||
{{see also|वेक्टर अंकन}} | {{see also|वेक्टर अंकन}} | ||
फेजर | फेजर संकेतन (एंगल संकेतन के रूप में भी जाना जाता है) [[इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग]] और [[विद्युत अभियन्त्रण]] में प्रयोग होने वाला गणितीय संकेतन है। <math>1 \angle \theta</math> यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>(\cos \theta,\, \sin \theta)</math> या जटिल संख्या <math>\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}</math>, साथ <math>i^2 = -1</math>, दोनों में 1 का [[परिमाण (गणित)]] है। सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं <math>A</math> और [[कोण]] <math>\theta</math> लिखा है <math>A \angle \theta.</math><ref>{{cite book | title=Electric circuits | edition=8th | first1=James William | last1=Nilsson | first2=Susan A. | last2=Riedel | publisher=Prentice Hall | year=2008 | isbn=978-0-13-198925-2 | page=338 | url=https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC}}, [https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338 Chapter 9, page 338]</ref> | ||
कोण को [[डिग्री (कोण)]] में डिग्री से [[कांति]] में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>1 \angle 90</math> माना जाएगा <math>1 \angle 90^\circ,</math> जो वेक्टर है <math>(0,\, 1)</math> या संख्या <math>e^{i\pi/2} = i.</math> | कोण को [[डिग्री (कोण)]] में डिग्री से [[कांति]] में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>1 \angle 90</math> माना जाएगा <math>1 \angle 90^\circ,</math> जो वेक्टर है <math>(0,\, 1)</math> या संख्या <math>e^{i\pi/2} = i.</math> | ||
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={} &AB \cos(\omega t + (\theta + \phi)). | ={} &AB \cos(\omega t + (\theta + \phi)). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इलेक्ट्रॉनिक्स में, <math>B e^{i\phi}</math> [[विद्युत प्रतिबाधा]] का प्रतिनिधित्व करेगा, जो समय से स्वतंत्र है। विशेष रूप से यह किसी अन्य चरण के लिए आशुलिपि संकेतन नहीं है। फेजर धारा को प्रतिबाधा से गुणा करने पर फेजर वोल्टेज उत्पन्न होता है। लेकिन दो फेजर्स (या फेजर को | इलेक्ट्रॉनिक्स में, <math>B e^{i\phi}</math> [[विद्युत प्रतिबाधा]] का प्रतिनिधित्व करेगा, जो समय से स्वतंत्र है। विशेष रूप से यह किसी अन्य चरण के लिए आशुलिपि संकेतन नहीं है। फेजर धारा को प्रतिबाधा से गुणा करने पर फेजर वोल्टेज उत्पन्न होता है। लेकिन दो फेजर्स (या फेजर को वर्ग करना) का उत्पाद दो साइनसोइड्स के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करेगा, जो दुसरे-रैखिक ऑपरेशन है जो नए आवृत्ति घटकों का उत्पादन करता है। फेजर संकेतन केवल आवृत्ति वाले प्रणाली का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जैसे साइनसॉइड द्वारा प्रेरित रैखिक प्रणाली। | ||
=== जोड़ === | === जोड़ === | ||
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={} &A_3 \cos(\omega t + \theta_3), | ={} &A_3 \cos(\omega t + \theta_3), | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ: | |||
<math display="block">A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,</math> | <math display="block">A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,</math> | ||
और, अगर हम लेते हैं <math display="inline"> \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]</math>, तब <math>\theta_3</math> है: | और, अगर हम लेते हैं <math display="inline"> \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]</math>, तब <math>\theta_3</math> है: | ||
* <math display="inline">\sgn(A_1 \sin(\theta_1) + A_2 \sin(\theta_2)) \cdot \frac{\pi}{2},</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = 0,</math> साथ <math>\sgn</math> [[साइन समारोह]]; | * <math display="inline">\sgn(A_1 \sin(\theta_1) + A_2 \sin(\theta_2)) \cdot \frac{\pi}{2},</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = 0,</math> साथ <math>\sgn</math> [[साइन समारोह|साइन फलन]]; | ||
* <math>\arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 > 0</math>; | * <math>\arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 > 0</math>; | ||
* <math>\pi + \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 < 0</math>. | * <math>\pi + \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 < 0</math>. | ||
या, जटिल तल पर कोसाइन के कानून के माध्यम से (या त्रिकोणमितीय पहचान | या, जटिल तल पर कोसाइन के कानून के माध्यम से (या त्रिकोणमितीय पहचान कोण योग और अंतर पहचान): | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta) | A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta) | ||
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जहाँ <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.</math> | जहाँ <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.</math> | ||
आवश्यक बात यह है कि ए<sub>3</sub> और θ<sub>3</sub> ω या t पर निर्भर न हों, जो फेजर संकेतन को संभव बनाता है। समय और आवृत्ति निर्भरता को दबाया जा सकता है और परिणाम में फिर से सम्मिलित किया जा सकता है जब तक कि बीच में उपयोग किए जाने वाले एकमात्र संचालन वे होते हैं जो एक और चरण उत्पन्न करते हैं। कोण संकेतन में, ऊपर दिखाए गए ऑपरेशन को लिखा गया है: | |||
<math display="block">A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.</math> | <math display="block">A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.</math> | ||
जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर {{math|[''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)]}} और {{math|[''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)]}} वेक्टर हैं (ज्यामितीय) | जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर {{math|[''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)]}} और {{math|[''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)]}} वेक्टर हैं (ज्यामितीय) जोड़ और घटाव निर्देशांक के साथ परिणामी वेक्टर का उत्पादन करने के लिए {{math|[''A''<sub>3</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>), ''A''<sub>3</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>)]}} (एनीमेशन देखें)। | ||
[[Image:destructive interference.png|thumb|right|पूर्ण विनाशकारी हस्तक्षेप में तीन तरंगों का फेजर आरेख]]भौतिकी में, इस प्रकार का जोड़ तब होता है जब साइनसॉइड [[हस्तक्षेप (तरंग प्रसार)]] एक दूसरे के साथ, रचनात्मक या विनाशकारी रूप से होता है। स्थैतिक वेक्टर अवधारणा इस तरह के प्रश्नों में उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: पूर्ण रद्दीकरण के लिए तीन समान साइनसोइड्स के बीच किस चरण के अंतर की आवश्यकता होगी? इस स्थितियों में, बस समान लंबाई के तीन वैक्टर लेने की कल्पना करें और उन्हें सिर से पूंछ तक इस तरह रखें कि आखिरी सिर पहली पूंछ से जोड़ खाता हो। स्पष्ट रूप से, जो आकृति इन शर्तों को संतुष्ट करती है वह समबाहु त्रिभुज है, इसलिए प्रत्येक चरण से अगले चरण के बीच का कोण 120° ({{frac|2{{pi}}|3}}रेडियन), या तरंग दैर्ध्य का एक तिहाई {{frac|{{var|λ}}|3}}. तो प्रत्येक तरंग के बीच का चरण अंतर भी 120 ° होना चाहिए, जैसा कि [[तीन चरण की शक्ति]] में होता है। | [[Image:destructive interference.png|thumb|right|पूर्ण विनाशकारी हस्तक्षेप में तीन तरंगों का फेजर आरेख]]भौतिकी में, इस प्रकार का जोड़ तब होता है जब साइनसॉइड [[हस्तक्षेप (तरंग प्रसार)]] एक दूसरे के साथ, रचनात्मक या विनाशकारी रूप से होता है। स्थैतिक वेक्टर अवधारणा इस तरह के प्रश्नों में उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: पूर्ण रद्दीकरण के लिए तीन समान साइनसोइड्स के बीच किस चरण के अंतर की आवश्यकता होगी? इस स्थितियों में, बस समान लंबाई के तीन वैक्टर लेने की कल्पना करें और उन्हें सिर से पूंछ तक इस तरह रखें कि आखिरी सिर पहली पूंछ से जोड़ खाता हो। स्पष्ट रूप से, जो आकृति इन शर्तों को संतुष्ट करती है वह समबाहु त्रिभुज है, इसलिए प्रत्येक चरण से अगले चरण के बीच का कोण 120° ({{frac|2{{pi}}|3}}रेडियन), या तरंग दैर्ध्य का एक तिहाई {{frac|{{var|λ}}|3}}. तो प्रत्येक तरंग के बीच का चरण अंतर भी 120 ° होना चाहिए, जैसा कि [[तीन चरण की शक्ति]] में होता है। | ||
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इसी तरह, जब वेक्टर की नोक लंबवत होती है तो यह सकारात्मक शिखर मान का प्रतिनिधित्व करती है, ({{math|+''A''<sub>max</sub>}}) 90° पर या {{frac|{{pi}}|2}} और ऋणात्मक शिखर मान, ({{math|−''A''<sub>max</sub>}}) 270° पर या {{frac|3{{pi}}|2}}. तब तरंग का समय अक्ष या तो डिग्री या रेडियन में कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से फेजर चला गया है। तो हम कह सकते हैं कि फेजर स्केल्ड वोल्टेज या घूर्णन वेक्टर के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी समय में जमे हुए हैं, ({{mvar|t}}) और ऊपर हमारे उदाहरण में, यह 30° के कोण पर है। | इसी तरह, जब वेक्टर की नोक लंबवत होती है तो यह सकारात्मक शिखर मान का प्रतिनिधित्व करती है, ({{math|+''A''<sub>max</sub>}}) 90° पर या {{frac|{{pi}}|2}} और ऋणात्मक शिखर मान, ({{math|−''A''<sub>max</sub>}}) 270° पर या {{frac|3{{pi}}|2}}. तब तरंग का समय अक्ष या तो डिग्री या रेडियन में कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से फेजर चला गया है। तो हम कह सकते हैं कि फेजर स्केल्ड वोल्टेज या घूर्णन वेक्टर के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी समय में जमे हुए हैं, ({{mvar|t}}) और ऊपर हमारे उदाहरण में, यह 30° के कोण पर है। | ||
कभी-कभी जब हम प्रत्यावर्ती तरंगों का विश्लेषण कर रहे होते हैं, तो हमें फेजर की स्थिति जानने की आवश्यकता हो सकती है, जो समय में किसी विशेष क्षण में वैकल्पिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है, | कभी-कभी जब हम प्रत्यावर्ती तरंगों का विश्लेषण कर रहे होते हैं, तो हमें फेजर की स्थिति जानने की आवश्यकता हो सकती है, जो समय में किसी विशेष क्षण में वैकल्पिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है, अधिकतर जब हम एक ही अक्ष पर दो अलग-अलग तरंगों की तुलना करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, वोल्टेज और करंट। हमने ऊपर तरंग रूप में मान लिया है कि तरंग समय पर शुरू होती है {{math|1=''t'' = 0}} डिग्री या रेडियन में संबंधित चरण कोण के साथ होती है। | ||
लेकिन अगर दूसरी तरंग इस शून्य बिंदु के बाईं ओर या दाईं ओर शुरू होती है, या यदि हम दो तरंगों के बीच के संबंध को फेजर टिप्पणी में प्रस्तुत करना चाहते हैं, तो हमें इस चरण के अंतर को ध्यान में रखना होगा, {{var|Φ}} तरंग | लेकिन अगर दूसरी तरंग इस शून्य बिंदु के बाईं ओर या दाईं ओर शुरू होती है, या यदि हम दो तरंगों के बीच के संबंध को फेजर टिप्पणी में प्रस्तुत करना चाहते हैं, तो हमें इस चरण के अंतर को ध्यान में रखना होगा, {{var|Φ}} तरंग का है। पिछले चरण अंतर ट्यूटोरियल से नीचे दिए गए आरेख पर विचार करें। | ||
=== विभेदीकरण और एकीकरण === | === विभेदीकरण और एकीकरण === | ||
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जहां चरण <math>V_\text{s} = V_\text{P} e^{i\theta},</math> और चरण <math>V_\text{c}</math> निर्धारित की जाने वाली अज्ञात मात्रा है। | जहां चरण <math>V_\text{s} = V_\text{P} e^{i\theta},</math> और चरण <math>V_\text{c}</math> निर्धारित की जाने वाली अज्ञात मात्रा है। | ||
फेजर शॉर्टहैंड | फेजर शॉर्टहैंड संकेतन में, डिफरेंशियल इक्वेशन कम हो जाता है: | ||
<math display="block">i \omega V_\text{c} + \frac{1}{RC} V_\text{c} = \frac{1}{RC}V_\text{s}.</math> | <math display="block">i \omega V_\text{c} + \frac{1}{RC} V_\text{c} = \frac{1}{RC}V_\text{s}.</math> | ||
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}} | }} | ||
चूंकि यह सभी के लिए होना चाहिए <math>t</math>, विशेष रूप से: <math display="inline">t - \frac{\pi}{2\omega},</math> यह इस प्रकार है कि: | चूंकि यह सभी के लिए होना चाहिए <math>t</math>, विशेष रूप से: <math display="inline">t - \frac{\pi}{2\omega},</math> यह इस प्रकार है कि: | ||
फेजर कैपेसिटर वोल्टेज के लिए समाधान देता है: | फेजर कैपेसिटर वोल्टेज के लिए समाधान देता है: | ||
| Line 158: | Line 133: | ||
=== चरणों का अनुपात === | === चरणों का अनुपात === | ||
जटिल विद्युत प्रतिबाधा नामक एक मात्रा दो फेजर्स का अनुपात है, जो फेजर नहीं है, क्योंकि यह साइनसोइडली भिन्न | जटिल विद्युत प्रतिबाधा नामक एक मात्रा दो फेजर्स का अनुपात है, जो फेजर नहीं है, क्योंकि यह साइनसोइडली भिन्न फलन के अनुरूप नहीं है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
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फेजर्स के साथ, [[एकदिश धारा]] सर्किट को हल करने की विधि को रैखिक एसी सर्किट को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।{{Efn|name="ac-circuits"}} | फेजर्स के साथ, [[एकदिश धारा]] सर्किट को हल करने की विधि को रैखिक एसी सर्किट को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।{{Efn|name="ac-circuits"}} | ||
; प्रतिरोधों के लिए ओम का नियम: प्रतिरोधक के पास समय की देरी नहीं होती है और इसलिए संकेत के चरण को नहीं बदलता है {{math|1=''V'' = ''IR''}} वैध रहता है। | ; प्रतिरोधों के लिए ओम का नियम: प्रतिरोधक के पास समय की देरी नहीं होती है और इसलिए संकेत के चरण को नहीं बदलता है {{math|1=''V'' = ''IR''}} वैध रहता है। | ||
; प्रतिरोधों, प्रेरकों और संधारित्रों के लिए ओम का नियम: {{math|1=''V'' = ''IZ''}} कहाँ {{mvar|Z}} जटिल विद्युत प्रतिबाधा है। | ; प्रतिरोधों, प्रेरकों और संधारित्रों के लिए ओम का नियम: {{math|1=''V'' = ''IZ''}} कहाँ {{mvar|Z}} जटिल विद्युत प्रतिबाधा है। | ||
; किरचॉफ के सर्किट नियम: वोल्टेज और करंट के साथ जटिल फेजर्स के रूप में कार्य करें। | ; किरचॉफ के सर्किट नियम: वोल्टेज और करंट के साथ जटिल फेजर्स के रूप में कार्य करें। | ||
एसी सर्किट में हमारे पास वास्तविक शक्ति होती है ({{mvar|P}}) जो सर्किट और प्रतिक्रियाशील शक्ति (क्यू) में औसत शक्ति का प्रतिनिधित्व है जो आगे और पीछे बहने वाली शक्ति को इंगित करता है। हम [[जटिल शक्ति]] को भी परिभाषित कर सकते हैं {{math|1=''S'' = ''P'' + ''jQ''}} और स्पष्ट शक्ति जो की परिमाण है {{mvar|S}}. फेजर्स में व्यक्त एसी सर्किट के लिए शक्ति कानून तब है {{math|1=''S'' = ''VI''<sup>*</sup>}} (कहाँ {{math|1=''I''<sup>*</sup>}} का जटिल संयुग्म है {{math|1=''I''}}, और वोल्टेज और वर्तमान चरण के परिमाण {{math|1=''V''}} और का {{math|1=''I''}} वोल्टेज और करंट के मूल माध्य वर्ग परिभाषा मान क्रमशः हैं)। | एसी सर्किट में हमारे पास वास्तविक शक्ति होती है ({{mvar|P}}) जो सर्किट और प्रतिक्रियाशील शक्ति (क्यू) में औसत शक्ति का प्रतिनिधित्व है जो आगे और पीछे बहने वाली शक्ति को इंगित करता है। हम [[जटिल शक्ति]] को भी परिभाषित कर सकते हैं {{math|1=''S'' = ''P'' + ''jQ''}} और स्पष्ट शक्ति जो की परिमाण है {{mvar|S}}. फेजर्स में व्यक्त एसी सर्किट के लिए शक्ति कानून तब है {{math|1=''S'' = ''VI''<sup>*</sup>}} (कहाँ {{math|1=''I''<sup>*</sup>}} का जटिल संयुग्म है {{math|1=''I''}}, और वोल्टेज और वर्तमान चरण के परिमाण {{math|1=''V''}} और का {{math|1=''I''}} वोल्टेज और करंट के मूल माध्य वर्ग परिभाषा मान क्रमशः हैं)। | ||
इसे देखते हुए हम रेसिस्टर्स, कैपेसिटर और [[प्रारंभ करनेवाला]] ्युक्त सिंगल आवृत्ति | इसे देखते हुए हम रेसिस्टर्स, कैपेसिटर और [[प्रारंभ करनेवाला]] ्युक्त सिंगल आवृत्ति लीनियर एसी सर्किट का विश्लेषण करने के लिए फेजर्स के साथ रेसिस्टिव सर्किट के विश्लेषण की विधि को प्रारंभ कर सकते हैं। बहु आवृत्ति रैखिक एसी सर्किट और विभिन्न तरंगों के साथ एसी सर्किट का विश्लेषण वोल्टेज और धाराओं को खोजने के लिए किया जा सकता है, सभी तरंगों को परिमाण और चरण के साथ साइन वेव घटकों (फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके) में परिवर्तित करके, फिर प्रत्येक आवृत्ति का अलग-अलग विश्लेषण किया जा सकता है, जैसा कि [[सुपरपोजिशन प्रमेय]] द्वारा अनुमत है। यह समाधान विधि केवल उन इनपुटों पर लागू होती है जो ज्यावक्रीय हैं और उन समाधानों के लिए जो स्थिर अवस्था में हैं, अर्थात, सभी ट्रांज़िएंट के समाप्त हो जाने के बाद।<ref>{{Cite book|title=Introduction to electromagnetic compatibility| last=Clayton|first=Paul| publisher=Wiley|year=2008|isbn=978-81-265-2875-2|pages=861}}</ref> | ||
अवधारणा अधिकांशत विद्युत प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करने में सम्मिलित | अवधारणा अधिकांशत विद्युत प्रतिबाधा का प्रतिनिधित्व करने में सम्मिलित होती है। इस स्थितियों में, चरण कोण प्रतिबाधा पर लागू वोल्टेज और इसके माध्यम से संचालित वर्तमान के बीच का [[चरण अंतर]] है। | ||
=== पावर इंजीनियरिंग === | === पावर इंजीनियरिंग === | ||
तीन चरण एसी बिजली प्रणालियों के विश्लेषण में, सामान्यतः | तीन चरण एसी बिजली प्रणालियों के विश्लेषण में, सामान्यतः फेजर्स का जोड़ा एकता के तीन जटिल घन जड़ों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो ग्राफिक रूप से 0, 120 और 240 डिग्री के कोण पर इकाई परिमाण के रूप में दर्शाया जाता है। पॉलीपेज़ एसी सर्किट मात्राओं को फ़ैसर के रूप में उपचार करके, संतुलित सर्किट को सरल बनाया जा सकता है और असंतुलित सर्किट को [[सममित घटक]] के बीजगणितीय संयोजन के रूप में माना जा सकता है। यह दृष्टिकोण वोल्टेज ड्रॉप, पावर फ्लो और शॉर्ट-सर्किट धाराओं की विद्युत गणना में आवश्यक कार्य को बहुत सरल करता है। पावर प्रणाली विश्लेषण के संदर्भ में, चरण कोण अधिकांशतः डिग्री (कोण) में दिया जाता है, और साइनसॉइड के शिखर आयाम के अतिरिक्त [[वर्गमूल औसत का वर्ग]] मूल्य में परिमाण है । | ||
[[तुल्यकालिक]] की विधि ट्रांसमिशन नेटवर्क में व्यापक बिंदुओं पर ट्रांसमिशन प्रणाली | [[तुल्यकालिक]] की विधि ट्रांसमिशन नेटवर्क में व्यापक बिंदुओं पर ट्रांसमिशन प्रणाली वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने वाले चरणों को मापने के लिए डिजिटल उपकरणों का उपयोग करती है। फेजर्स के बीच अंतर शक्ति प्रवाह और प्रणाली स्थिरता का संकेत देते हैं। | ||
=== दूरसंचार: अनुरूप मॉडुलन === | === दूरसंचार: अनुरूप मॉडुलन === | ||
फेजर का उपयोग कर घूर्णन फ्रेम चित्र एनालॉग मॉड्यूलेशन जैसे आयाम मॉड्यूलेशन (और इसके वेरिएंट) को समझने के लिए शक्तिशाली उपकरण हो सकता है<ref name=IJRES>de Oliveira, H.M. and Nunes, F.D. ''About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations''. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES) Vol.2, N.1, Jan., pp.11-18, 2014. ISSN 2320-9364 </ref>) और आवृत्ति मॉडुलन। | |||
<math display="block">x(t) = \operatorname{Re}\left( A e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi f_0 t} \right),</math> जहां कोष्ठक में शब्द जटिल विमान में घूर्णन वेक्टर के रूप में देखा जाता है। | <math display="block">x(t) = \operatorname{Re}\left( A e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi f_0 t} \right),</math> जहां कोष्ठक में शब्द जटिल विमान में घूर्णन वेक्टर के रूप में देखा जाता है। | ||
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फेजर की लंबाई होती है <math>A</math>, की दर से वामावर्त घुमाता है <math>f_0</math> प्रति सेकंड और समय पर क्रांतियाँ <math>t = 0</math> का कोण बनाता है <math>\theta</math> सकारात्मक वास्तविक अक्ष के संबंध में। | फेजर की लंबाई होती है <math>A</math>, की दर से वामावर्त घुमाता है <math>f_0</math> प्रति सेकंड और समय पर क्रांतियाँ <math>t = 0</math> का कोण बनाता है <math>\theta</math> सकारात्मक वास्तविक अक्ष के संबंध में। | ||
तरंग <math>x(t)</math> फिर वास्तविक अक्ष पर इस सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है। इस फेजर (वाहक) और दो अतिरिक्त फेजर्स (मॉड्यूलेशन फेजर्स) द्वारा संग्राहक तरंग का प्रतिनिधित्व किया जाता है। यदि मॉड्यूलेटिंग संकेत फॉर्म का सिंगल टोन है <math>Am \cos{2\pi f_m t} </math>, कहाँ <math>m</math> मॉडुलन गहराई है और <math>f_m</math> मॉडुलक संकेत | तरंग <math>x(t)</math> फिर वास्तविक अक्ष पर इस सदिश के प्रक्षेपण के रूप में देखा जा सकता है। इस फेजर (वाहक) और दो अतिरिक्त फेजर्स (मॉड्यूलेशन फेजर्स) द्वारा संग्राहक तरंग का प्रतिनिधित्व किया जाता है। यदि मॉड्यूलेटिंग संकेत फॉर्म का सिंगल टोन है <math>Am \cos{2\pi f_m t} </math>, कहाँ <math>m</math> मॉडुलन गहराई है और <math>f_m</math> मॉडुलक संकेत की आवृत्ति है, तो आयाम मॉडुलन के लिए दो मॉडुलन चरणों द्वारा दिया जाता है, | ||
<math>{1 \over 2} Am e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi (f_0+f_m) t}</math>, और | <math>{1 \over 2} Am e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi (f_0+f_m) t}</math>, और | ||
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== बाहरी संबंध == | == बाहरी संबंध == | ||
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] | * [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] | ||
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Visual Representation of Phasors] | * [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Visual Representation of Phasors] | ||
* [http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html Polar and Rectangular Notation] | * [http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html Polar and Rectangular Notation] | ||
* [http://www.de.ufpe.br/~hmo/AM_phasor_diagrams.html Phasor in Telecommunication] | * [http://www.de.ufpe.br/~hmo/AM_phasor_diagrams.html Phasor in Telecommunication] | ||
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