फेजर: Difference between revisions

[[Image:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|विशिष्ट के लिए श्रृंखला [[आरएलसी सर्किट]] और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण {{mvar|ω}}. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना [[जटिल विमान]]) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो [[वोल्टेज]] के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।]]भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू <ref name="FoxBolton2002">{{cite book|author1=Huw Fox|author2=William Bolton|title=Mathematics for Engineers and Technologists|url=https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204|url-access=limited|year=2002|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-08-051119-1|page=[https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204/page/n36 30]}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{cite book|author=Clay Rawlins|title=Basic AC Circuits|url=https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl|url-access=limited|year=2000 |publisher=Newnes|isbn=978-0-08-049398-5|page=[https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl/page/n134 124]|edition=2nd}}</ref>) [[साइन लहर]] का प्रतिनिधित्व करने वाली [[जटिल संख्या]] है जिसका [[आयाम]] ({{mvar|A}}), [[कोणीय आवृत्ति]] ({{mvar|ω}}), और चरण (तरंगें) ({{mvar|θ}}) [[समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह [[विश्लेषणात्मक संकेत]] नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref> जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,<ref name="Kumar2008">{{cite book|author=K. S. Suresh Kumar|title=Electric Circuits and Networks|year=2008|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-1390-7|page=272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{cite book|author1=Kequian Zhang|author2=Dejie Li|title=Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-74296-8|page=13|edition=2nd}}</ref> और (पुराने पाठ्य में) सिनर <ref name="Hindmarsh2014"/> या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है।<ref name="Hindmarsh2014">{{cite book|author=J. Hindmarsh|title=Electrical Machines & their Applications|year=1984|edition=4th|publisher=Elsevier|isbn=978-1-4832-9492-6|page=58}}</ref>

[[प्रत्यावर्ती धारा]] द्वारा संचालित [[विद्युत नेटवर्क]] में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)<ref name=":02">{{Cite book |last=Gross |first=Charles A. |title=Fundamentals of electrical engineering |date=2012 |publisher=CRC Press |others=Thaddeus Adam Roppel |isbn=978-1-4398-9807-9 |location=Boca Raton, FL |oclc=863646311}}</ref>{{Rp|page=53}} और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।

फेजर शब्द की उत्पत्ति सही ही बताती है कि [[यूक्लिडियन वेक्टर]] के लिए संभव के समान (डायग्रामेटिक) गणना फेजर के लिए भी संभव है।<ref name="Hindmarsh2014"/> फेजर ट्रांसफॉर्म की महत्वपूर्ण अतिरिक्त विशेषता यह है कि साइनसॉइडल संकेत के व्युत्पन्न और [[अभिन्न]] (स्थिर आयाम, अवधि और चरण वाले) फेजर्स पर सरल बीजगणितीय संचालन से मेल खाते हैं; चरण रूपांतरण इस प्रकार आरएलसी सर्किट के वैकल्पिक वर्तमान [[स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स)]] के [[नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)]] (गणना) को [[अंतर समीकरण]] को हल करने के अतिरिक्त फेजर डोमेन में सरल [[बीजगणितीय समीकरण]] (यद्यपि जटिल गुणांक के साथ) को हल करके (वास्तविक के साथ) की अनुमति देता है। संख्या गुणांक समय डोमेन मे<ref name="Eccles2011">{{cite book|author=William J. Eccles|title=Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals|year=2011| publisher=Morgan & Claypool Publishers|isbn=978-1-60845-668-0|page=51}}</ref><ref name="DorfSvoboda2010">{{cite book| author1=Richard C. Dorf|author2=James A. Svoboda|title=Introduction to Electric Circuits|url=https://archive.org/details/introductiontoel00dorf_304|url-access=limited|year=2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-52157-1|page=[https://archive.org/details/introductiontoel00dorf_304/page/n680 661]|edition=8th}}</ref>{{Efn|name="ac-circuits"|Including analysis of the AC circuits.{{r|:02|pp=53}}}} चरण परिवर्तन के प्रवर्तक 19वीं शताब्दी के अंत में [[सामान्य विद्युतीय]] में काम कर रहे [[चार्ल्स प्रोटियस स्टेनमेट्ज़]] थे।<ref name="RobbinsMiller2012">{{cite book|author1=Allan H. Robbins|author2=Wilhelm Miller|title=Circuit Analysis: Theory and Practice|year=2012| edition=5th| publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40192-8|page=536}}</ref><ref name="YangLee2008"/>

कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को [[लाप्लास रूपांतरण]] के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{cite book|author1=Won Y. Yang|author2=Seung C. Lee|title=Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-82240-1|pages=256–261}}</ref> चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।<ref name="YangLee2008"/>

[[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब फलन <math>A \cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता है{{pi}}/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है {{math|1=''t'' = 0}} (और कम से {{math|1=''t'' = ''n'' 2''π''/''ω''}} के सभी [[पूर्णांक]] मानों के लिए {{mvar|n}}).]]

 

जहां केवल पैरामीटर <math>t</math> समय-भिन्न है। [[काल्पनिक भाग]] का समावेश:

यूलर के सूत्र के अनुसार, लेड पैराग्राफ में वर्णित फैक्टरिंग संपत्ति देता है:

जिसका वास्तविक भाग मूल साइनसॉइड है। जटिल प्रतिनिधित्व का लाभ यह है कि अन्य जटिल प्रस्तुतियों के साथ रैखिक संचालन जटिल परिणाम उत्पन्न करता है जिसका वास्तविक भाग अन्य जटिल साइनसॉइड के वास्तविक भागों के साथ समान रैखिक संचालन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त , सभी गणित सिर्फ चरणों के साथ किया जा सकता है <math>A e^{i \theta},</math> और सामान्य कारक <math>e^{i\omega t}</math> परिणाम के वास्तविक भाग से पहले पुन: सम्मिलित किया जाता है।

कार्यक्रम <math>Ae^{i(\omega t + \theta)}</math> का विश्लेषणात्मक निरूपण कहा जाता है <math>A\cos(\omega t + \theta).</math> चित्र 2 इसे जटिल तल में घूमते हुए सदिश के रूप में दर्शाता है। कभी-कभी संपूर्ण कार्य को चरण के रूप में संदर्भित करना सुविधाजनक होता है,<ref>{{cite book |last1=Singh |first1=Ravish R |title=Electrical Networks |date=2009 |publisher=Mcgraw Hill Higher Education |isbn=978-0070260962 |page=4.13 |chapter=Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities}}</ref> जैसा कि हम अगले भाग में करते हैं। लेकिन फेजर शब्द का अर्थ सामान्यतः  पर केवल स्थिर जटिल संख्या होता है <math>A e^{i\theta}.</math>

{{see also|सम्मिश्र संख्या संबंध और संचालन}}

=== स्थिर (अदिश) द्वारा गुणा ===

चरण का गुणन <math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}</math> जटिल स्थिरांक द्वारा, <math>B e^{i\phi}</math>, एक और चरण पैदा करता है। इसका अर्थ  है कि इसका एकमात्र प्रभाव अंतर्निहित साइनसॉइड के आयाम और चरण को बदलना है:

इलेक्ट्रॉनिक्स में, <math>B e^{i\phi}</math> [[विद्युत प्रतिबाधा]] का प्रतिनिधित्व करेगा, जो समय से स्वतंत्र है। विशेष रूप से यह किसी अन्य चरण के लिए आशुलिपि संकेतन नहीं है। फेजर धारा को प्रतिबाधा से गुणा करने पर फेजर वोल्टेज उत्पन्न होता है। लेकिन दो फेजर्स (या फेजर को वर्ग करना) का उत्पाद दो साइनसोइड्स के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करेगा, जो दुसरे-रैखिक ऑपरेशन है जो नए आवृत्ति घटकों का उत्पादन करता है। फेजर संकेतन  केवल आवृत्ति वाले प्रणाली का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जैसे साइनसॉइड द्वारा प्रेरित रैखिक प्रणाली।

[[File:sumafasores.gif|thumb|right|घूर्णन सदिशों के योग के रूप में फेजर्स का योग]]एकाधिक चरणों का योग एक और चरण उत्पन्न करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समान आवृत्ति वाले साइनसोइड्स का योग भी उस आवृत्ति के साथ साइनसॉइड होता है:

जहाँ:

* <math display="inline">\sgn(A_1 \sin(\theta_1)  + A_2 \sin(\theta_2)) \cdot \frac{\pi}{2},</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = 0,</math> साथ <math>\sgn</math> [[साइन समारोह|साइन फलन]];

या, जटिल तल पर कोसाइन के कानून के माध्यम से (या त्रिकोणमितीय पहचान कोण योग और अंतर पहचान):

जहाँ <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.</math>

 

आवश्यक बात यह है कि ए₃ और θ₃ ω या t पर निर्भर न हों, जो फेजर संकेतन को संभव बनाता है। समय और आवृत्ति निर्भरता को दबाया जा सकता है और परिणाम में फिर से सम्मिलित किया जा सकता है जब तक कि बीच में उपयोग किए जाने वाले एकमात्र संचालन वे होते हैं जो एक और चरण उत्पन्न करते हैं। कोण संकेतन में, ऊपर दिखाए गए ऑपरेशन को लिखा गया है:

जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर {{math|[''A''₁ cos(''ωt'' + ''θ''₁), ''A''₁ sin(''ωt'' + ''θ''₁)]}} और {{math|[''A''₂ cos(''ωt'' + ''θ''₂), ''A''₂ sin(''ωt'' + ''θ''₂)]}} वेक्टर हैं (ज्यामितीय) जोड़ और घटाव निर्देशांक के साथ परिणामी वेक्टर का उत्पादन करने के लिए {{math|[''A''₃ cos(''ωt'' + ''θ''₃), ''A''₃ sin(''ωt'' + ''θ''₃)]}} (एनीमेशन देखें)।

[[Image:destructive interference.png|thumb|right|पूर्ण विनाशकारी हस्तक्षेप में तीन तरंगों का फेजर आरेख]]भौतिकी में, इस प्रकार का जोड़ तब होता है जब साइनसॉइड [[हस्तक्षेप (तरंग प्रसार)]] एक दूसरे के साथ, रचनात्मक या विनाशकारी रूप से होता है। स्थैतिक वेक्टर अवधारणा इस तरह के प्रश्नों में उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: पूर्ण रद्दीकरण के लिए तीन समान साइनसोइड्स के बीच किस चरण के अंतर की आवश्यकता होगी? इस स्थितियों  में, बस समान लंबाई के तीन वैक्टर लेने की कल्पना करें और उन्हें सिर से पूंछ तक इस तरह रखें कि आखिरी सिर पहली पूंछ से जोड़ खाता हो। स्पष्ट रूप से, जो आकृति इन शर्तों को संतुष्ट करती है वह समबाहु त्रिभुज है, इसलिए प्रत्येक चरण से अगले चरण के बीच का कोण 120° ({{frac|2{{pi}}|3}}रेडियन), या तरंग दैर्ध्य का एक तिहाई {{frac|{{var|λ}}|3}}. तो प्रत्येक तरंग के बीच का चरण अंतर भी 120 ° होना चाहिए, जैसा कि [[तीन चरण की शक्ति]] में होता है।

तीन तरंगों के उदाहरण में, पहली और आखिरी लहर के बीच चरण अंतर 240 डिग्री था, जबकि दो तरंगों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप 180 डिग्री पर होता है। कई तरंगों की सीमा में, फेजर्स को विनाशकारी हस्तक्षेप के लिए चक्र बनाना चाहिए, चुकीं  पहला फेजर अंतिम के साथ लगभग समानांतर हो। इसका अर्थ  यह है कि कई स्रोतों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप तब होता है जब पहली और आखिरी लहर 360 डिग्री, पूर्ण तरंग दैर्ध्य से भिन्न होती है <math>\lambda</math>. यही कारण है कि एकल भट्ठा [[विवर्तन]] में, मिनिमा तब होता है जब दूर किनारे से प्रकाश निकट किनारे से प्रकाश की तुलना में पूर्ण तरंग दैर्ध्य यात्रा करता है।

चूंकि एकल वेक्टर वामावर्त दिशा में घूमता है, बिंदु A पर इसकी नोक 360° या 2 की पूर्ण क्रांति को घुमाएगी {{pi}} रेडियंस पूर्ण चक्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि इसकी गतिमान नोक की लंबाई समय में अलग-अलग कोणीय अंतरालों पर ग्राफ में स्थानांतरित की जाती है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, तो साइनसॉइडल तरंग को शून्य समय के साथ बाईं ओर से खींचा जाएगा। क्षैतिज अक्ष के साथ प्रत्येक स्थिति उस समय को इंगित करती है जो शून्य समय से बीत चुका है, {{math|1=''t'' = 0}}. जब वेक्टर क्षैतिज होता है तो वेक्टर की नोक 0°, 180° और 360° पर कोणों का प्रतिनिधित्व करती है।

इसी तरह, जब वेक्टर की नोक लंबवत होती है तो यह सकारात्मक शिखर मान का प्रतिनिधित्व करती है, ({{math|+''A''_max}}) 90° पर या {{frac|{{pi}}|2}} और ऋणात्मक शिखर मान, ({{math|−''A''_max}}) 270° पर या {{frac|3{{pi}}|2}}. तब तरंग का समय अक्ष या तो डिग्री या रेडियन में कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से फेजर चला गया है। तो हम कह सकते हैं कि फेजर स्केल्ड वोल्टेज या घूर्णन वेक्टर के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी समय में जमे हुए हैं, ({{mvar|t}}) और ऊपर हमारे उदाहरण में, यह 30° के कोण पर है।

कभी-कभी जब हम प्रत्यावर्ती तरंगों का विश्लेषण कर रहे होते हैं, तो हमें फेजर की स्थिति जानने की आवश्यकता हो सकती है, जो समय में किसी विशेष क्षण में वैकल्पिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है, अधिकतर जब हम एक ही अक्ष पर दो अलग-अलग तरंगों की तुलना करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, वोल्टेज और करंट। हमने ऊपर तरंग रूप में मान लिया है कि तरंग समय पर शुरू होती है {{math|1=''t'' = 0}} डिग्री या रेडियन में संबंधित चरण कोण के साथ होती है।

लेकिन अगर दूसरी तरंग इस शून्य बिंदु के बाईं ओर या दाईं ओर शुरू होती है, या यदि हम दो तरंगों के बीच के संबंध को फेजर टिप्पणी में प्रस्तुत करना चाहते हैं, तो हमें इस चरण के अंतर को ध्यान में रखना होगा, {{var|Φ}} तरंग का है। पिछले चरण अंतर ट्यूटोरियल से नीचे दिए गए आरेख पर विचार करें।

इसलिए, चरण प्रतिनिधित्व में, साइनसॉइड का व्युत्पन्न समय स्थिरांक से गुणा हो जाता है <math display="inline">i \omega = e^{i\pi/2} \cdot \omega</math>.

इसी प्रकार, फेजर को एकीकृत करना गुणा से मेल खाता है <math display="inline">\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}.</math> समय-निर्भर कारक, <math>e^{i\omega t},</math> अप्रभावित है।

जब हम फेजर अंकगणित के साथ रेखीय अंतर समीकरण को हल करते हैं, तो हम केवल गुणनखण्ड कर रहे होते हैं <math>e^{i\omega t}</math> समीकरण की सभी शर्तों से बाहर, और इसे उत्तर में पुनः सम्मिलित करना। उदाहरण के लिए, [[आरसी सर्किट]] में [[संधारित्र]] के पार वोल्टेज के लिए निम्नलिखित अंतर समीकरण पर विचार करें:

फेजर शॉर्टहैंड संकेतन में, डिफरेंशियल इक्वेशन कम हो जाता है: