टेंसर बीजगणित: Difference between revisions

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गणित में, एक [[ सदिश स्थल ]] '' v '' के टेंसर बीजगणित, ने '' t '' ('' v '') या 't' 'को निरूपित किया{{i sup|•}}(V), V (किसी भी रैंक के) पर [[ टेन्सर ]] के [[ एक क्षेत्र पर बीजगणित ]] है, जिसमें गुणन [[ टेंसर उत्पाद ]] है।यह वी पर [[ मुक्त बीजगणित ]] है, बीजगणित से वेक्टर रिक्त स्थान के लिए [[ भुलक्कड़ फंक्टर ]] के पास छोड़ दिया जाने के अर्थ में: यह सबसे सामान्य बीजगणित है जिसमें वी, इसी [[ सार्वभौमिक संपत्ति ]] के अर्थ में (#adjunction और सार्वभौमिक संपत्ति देखें)।
गणित में,[[ सदिश स्थल | सदिश समष्टि]] ''v'' का टेंसर बीजगणित, जिसे ''T(V)'' या '''T•(V)''<nowiki/>' के रूप में दर्शाया जाता है, ''V'' (किसी भी श्रेणी के) पर [[ टेन्सर |टेन्सर]] का [[ एक क्षेत्र पर बीजगणित |बीजगणित]] होता है, जिसमें गुणन [[ टेंसर उत्पाद |टेंसर गुणनफल]] होता है। यह ''V'' पर [[ मुक्त बीजगणित |मुक्त बीजगणित]] है, बीजगणित से सदिश रिक्त स्थान के लिए [[ भुलक्कड़ फंक्टर |विस्मरण प्रकार्यक]] के समीप छोड़ने के अर्थ में: यह संबंधित [[ सार्वभौमिक संपत्ति |सार्वभौमिक गुण]] (नीचे देखें) के अर्थ में "सबसे सामान्य" बीजगणित है जिसमें ''V'' सम्मिलित है।


टेंसर बीजगणित महत्वपूर्ण है क्योंकि कई अन्य बीजगणित टी (वी) के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं।इनमें [[ बाहरी बीजगणित ]], सममित बीजगणित, [[ क्लिफोर्ड बीजगणित ]], वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित शामिल हैं।
टेंसर बीजगणित महत्वपूर्ण है क्योंकि कई अन्य बीजगणित ''T(V)'' के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं। इनमें [[ बाहरी बीजगणित |बाह्य बीजगणित]], सममित बीजगणित, [[ क्लिफोर्ड बीजगणित |क्लिफोर्ड बीजगणित]], वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित सम्मिलित हैं।


टेंसर बीजगणित में दो [[ कोयला ]] संरचनाएं भी हैं;एक साधारण एक, जो इसे एक Bialgebra नहीं बनाता है, लेकिन एक Cofree Colegebra की अवधारणा को जन्म देता है, और एक अधिक जटिल, जो एक Bialgebra की उपज देता है, और एक Hopf बीजगणित संरचना बनाने के लिए एक एंटीपोड देकर बढ़ाया जा सकता है।
टेंसर बीजगणित में भी दो [[ कोयला |सहबीजगणित]] संरचनाएं होती हैं; साधारण एक, जो इसे द्विबीजगणित नहीं बनाता है, परन्तु एक कोफ़्री सहबीजगणित की अवधारणा की ओर ले जाता है, और अधिक जटिल, जो द्विबीजगणित की उपज देता है, और एक हॉफ बीजगणित संरचना बनाने के लिए एक प्रतिध्रुव देकर इसे बढ़ाया जा सकता है।


नोट: इस लेख में, सभी बीजगणितों को यूनिटल बीजगणित और साहचर्य बीजगणित माना जाता है।यूनिट को स्पष्ट रूप से कॉपरोडक्ट को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।
नोट: इस लेख में, सभी बीजगणितों को इकाई बीजगणित और साहचर्य बीजगणित माना जाता है। इकाई को स्पष्ट रूप से सहउत्पाद को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।


== निर्माण ==
== संरचना ==
एक [[ क्षेत्र (गणित) ]] K पर एक वेक्टर स्पेस होने दें।
मान लीजिए ''V'' [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] K पर एक सदिश समष्टि है। किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक ''k'' के लिए, हम ''V'' की k-वीं टेंसर शक्ति को ''V'' के टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित करते हैं, जो स्वयं ''k'' बार होता है:
:<math>T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V.</math>
:<math>T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V.</math>
वह है, टी<sup>k </sup> v में [[ टेंसर आदेश ]] k के V पर सभी टेन्सर होते हैं।कन्वेंशन टी द्वारा<sup>0 </sup> v [[ क्षेत्रीय क्षेत्र ]] K (अपने ऊपर एक आयामी वेक्टर स्पेस के रूप में) है।
अर्थात, ''T<sup>k</sup>V'' में [[ टेंसर आदेश |टेंसर क्रम]] k के V पर सभी टेन्सर होते हैं। परम्परागत के अनुसार ''T<sup>0</sup>V'' [[ क्षेत्रीय क्षेत्र |मूल(क्षेत्र)]] ''K'' (स्वयं के ऊपर एक आयामी सदिश स्थान के रूप में) है।


हम तब टी (वी) का निर्माण टी के वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के रूप में करते हैं<sup>k </sup> v k = 0,1,2,…
फिर हम k = 0,1,2,… के लिए ''T<sup>k</sup>V'' के प्रत्यक्ष योग के रूप में ''T(V)'' की संरचना करते हैं।
:<math>T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots.</math>
:<math>T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots.</math>
टी (वी) में गुणन कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म द्वारा निर्धारित किया जाता है
''T(V)'' में गुणन टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए विहित समरूपता
:<math>T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V</math>
:<math>T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V</math>
टेंसर उत्पाद द्वारा दिया गया, जो तब सभी टी (वी) के लिए रैखिकता द्वारा बढ़ाया जाता है।इस गुणा नियम का अर्थ है कि टेंसर बीजगणित टी (वी) स्वाभाविक रूप से टी के साथ एक ग्रेडेड बीजगणित है<sup>k </sup> v ग्रेड-के सबस्पेस के रूप में सेवारत।इस ग्रेडिंग को सब्सपेस को जोड़कर 'z' ग्रेडिंग तक बढ़ाया जा सकता है <math>T^{k}V=\{0\}</math> नकारात्मक पूर्णांक के लिए k।
द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे बाद में सभी ''T(V)'' तक रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। इस गुणन नियम का अर्थ है कि टेंसर बीजगणित ''T(V)'' स्वाभाविक रूप से एक क्रमिक बीजगणित है जिसमें ''T<sup>k</sup>V'' क्रम-k-उपस्थान के रूप में कार्य करता है। उपस्थान जोड़कर इस श्रेणीकरण को 'z' श्रेणीकरण तक बढ़ाया जा सकता है <math>T^{k}V=\{0\}</math> नकारात्मक पूर्णांक k के लिए


निर्माण किसी भी [[ मॉड्यूल (गणित) ]] के टेंसर बीजगणित के लिए एक सीधा तरीके से एक [[ अव्यवस्थित अंगूठी ]] पर सामान्य करता है।यदि R एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग है, तो कोई भी किसी भी R-R Bimodule M के लिए निर्माण कर सकता है।
संरचना [[ अव्यवस्थित अंगूठी |क्रम विनिमेय वलय]] पर किसी भी [[ मॉड्यूल (गणित) |मॉड्यूल (गणित)]] ''M'' के टेंसर बीजगणित के लिए सरल विधि से सामान्यीकरण करता है। यदि R एक गैर-क्रम विनिमेय वलय है, तो कोई भी किसी भी ''R-R'' द्विप्रतिरूपक ''M'' के लिए संरचना कर सकता है। (यह सामान्य R-मॉड्यूल के लिए कार्य नहीं करता है क्योंकि पुनरावृत्त टेंसर उत्पादों का गठन नहीं किया जा सकता है।)


== सहायक और सार्वभौमिक संपत्ति ==
== सहायक और सार्वभौमिक गुण ==
टेंसर बीजगणित {{math|''T''(''V'')}} वेक्टर अंतरिक्ष पर मुक्त बीजगणित भी कहा जाता है {{math|''V''}}, और फंक्शनल है;इसका मतलब है कि नक्शा <math>V\mapsto T(V)</math> की [[ श्रेणी (गणित) ]] से एक फ़ंक्टर बनाने के लिए रैखिक मानचित्रों तक फैली हुई है {{mvar|K}}-वेक्टर स्पेस को सहयोगी बीजगणित की श्रेणी में ले जाता है।इसी तरह अन्य [[ मुक्त वस्तु ]] के साथ, फंक्टर {{math|''T''}} प्रत्येक सहयोगी को भेजने वाले भुलक्कड़ फंक्शनर के पास छोड़ दिया जाता है {{math|''K''}}अपने अंतर्निहित वेक्टर अंतरिक्ष के लिए -ALGEBRA।
टेंसर बीजगणित {{math|''T''(''V'')}} को सदिश समष्टि {{math|''V''}} पर मुक्त बीजगणित भी कहा जाता है, और क्रियात्मक है; इसका तात्पर्य है कि प्रतिचित्र <math>V\mapsto T(V)</math> {{mvar|K}} -सदिश स्थान की [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] से साहचर्य बीजगणित की श्रेणी के लिए एक प्रकार्यक बनाने के लिए रैखिक प्रतिचित्रों तक फैली हुई है। इसी प्रकार अन्य [[ मुक्त वस्तु |मुक्त संरचनाओं]] के साथ, प्रकार्यक {{math|''T''}} को विस्मरण प्रकार्यक के समीप छोड़ दिया जाता है जो प्रत्येक सहयोगी {{math|''K''}}- बीजगणित को अपने अंतर्निहित सदिश स्थान में भेजता है।


स्पष्ट रूप से, टेंसर बीजगणित निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है, जो औपचारिक रूप से इस कथन को व्यक्त करता है कि यह सबसे सामान्य बीजगणित है जिसमें V:
स्पष्ट रूप से, टेंसर बीजगणित निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है, जो औपचारिक रूप से इस कथन को व्यक्त करता है कि यह ''V'' युक्त सबसे सामान्य बीजगणित है:
: कोई रैखिक मानचित्र <math>f:V \to A</math> से {{math|''V''}} एक साहचर्य बीजगणित के लिए {{math|''A''}} ऊपर {{math|''K''}} से एक बीजगणित समरूपता के लिए विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जा सकता है {{math|''T''(''V'')}} को {{math|''A''}} जैसा कि निम्नलिखित कम्यूटेटिव आरेख द्वारा इंगित किया गया है:


[[Image:TensorAlgebra-01.png|center|टेंसर बीजगणित की सार्वभौमिक संपत्ति]]यहां {{math|''i''}} का समावेश का नक्शा है {{math|''V''}} में {{math|''T''(''V'')}}।अन्य सार्वभौमिक गुणों के लिए, टेंसर बीजगणित {{math|''T''(''V'')}} इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (विशेष रूप से, यह एक अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म के लिए अद्वितीय है), लेकिन इस परिभाषा को यह साबित करने की आवश्यकता है कि इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली वस्तु मौजूद है।
कोई रैखिक प्रतिचित्र {{math|''V''}} से एक साहचर्य बीजगणित {{math|''A''}} पर {{math|''K''}} पर <math>f:V \to A</math> विशिष्ट रूप से {{math|''T''(''V'')}} से {{math|''A''}} तक बीजगणित समरूपता के लिए विस्तारित किया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित क्रम विनिमेय आरेख द्वारा इंगित किया गया है:[[Image:TensorAlgebra-01.png|center|टेंसर बीजगणित की सार्वभौमिक गुण]]यहां {{math|''i''}} {{math|''V''}} का {{math|''T''(''V'')}} में विहित समावेशन है। अन्य सार्वभौमिक गुणों के लिए, टेंसर बीजगणित {{math|''T''(''V'')}} इस गुण को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (विशेष रूप से, यह अद्वितीय समरूपता के लिए अद्वितीय है), परन्तु इस परिभाषा को यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि इस गुण को संतुष्ट करने वाली वस्तु स्थित है।


उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति का अर्थ है कि {{mvar|''T''}} वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से एक फ़ंक्टर है {{math|''K''}}की श्रेणी में {{math|''K''}}-लगेब्रस।इसका मतलब है कि किसी भी रैखिक मानचित्र के बीच {{math|''K''}}-वेक्टर रिक्त स्थान {{math|''U''}} और {{math|''W''}} विशिष्ट रूप से एक तक फैली हुई है {{math|''K''}}-लजबरा होमोमोर्फिज्म से {{math|''T''(''U'')}} को {{math|''T''(''W'')}}।
उपरोक्त सार्वभौमिक गुण का अर्थ है कि {{mvar|''T''}}, {{math|''K''}}-बीजगणित की श्रेणी के लिए, {{math|''K''}}-पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से एक प्रकार्यक है। इसका अर्थ है कि {{math|''K''}}-सदिश रिक्त स्थान {{math|''U''}} और {{math|''W''}} के बीच किसी भी रैखिक प्रतिचित्र विशिष्ट रूप से ''T(U)'' से ''T(W)'' तक ''K''-बीजगणित समाकारिता तक विस्तारित होता है।


== गैर-कम्यूटेटिव बहुपद ==
== गैर- क्रम विनिमेय बहुपद ==
यदि v में परिमित आयाम n है, तो टेंसर बीजगणित को देखने का एक और तरीका n गैर-कम्यूटिंग चर में k पर बहुपद के बीजगणित के रूप में है।यदि हम V के लिए आधार वैक्टर लेते हैं, तो वे गैर-कम्यूटिंग चर (या अनिश्चित (चर)) बन जाते हैं (v), [[ संबद्धता ]], [[ वितरण विधि ]] और के-रैखिकता से परे कोई बाधा नहीं।
यदि ''v'' में परिमित आयाम ''n'' है, तो टेंसर बीजगणित को देखने की एक और विधि "''n'' गैर- संगणना चर में ''k'' पर बहुपदों के बीजगणित" के रूप में है। यदि हम V के लिए आधार सदिश लेते हैं, तो वे ''T(V)'' में गैर- आगंतुक चर (या अनिश्चित (चर)) बन जाते हैं, जो [[ संबद्धता |संबद्धता]], [[ वितरण विधि |वितरण विधि]] और ''K''-रैखिकता के अतिरिक्त कोई बाधा नहीं है।


ध्यान दें कि V पर बहुपद का बीजगणित नहीं है <math>T(V)</math>, बल्कि <math>T(V^*)</math>: v पर एक (सजातीय) रैखिक कार्य एक तत्व है <math>V^*,</math> उदाहरण के लिए निर्देशांक <math>x^1,\dots,x^n</math> एक वेक्टर स्थान पर [[ सहसंयोजक वेक्टर ]] होते हैं, क्योंकि वे एक वेक्टर में लेते हैं और एक स्केलर (वेक्टर का दिया गया समन्वय) देते हैं।
ध्यान दें कि V पर बहुपदों का बीजगणित <math>T(V)</math> नहीं है, यद्यपि <math>T(V^*)</math> है: ''V'' पर एक (सजातीय) रैखिक कार्य <math>V^*</math>का एक अवयव है, उदाहरण के लिए सदिश स्थान पर <math>x^1,\dots,x^n</math> निर्देशांक [[ सहसंयोजक वेक्टर |सहसदिश]] हैं, क्योंकि वे एक सदिश लेते हैं और एक अदिश (सदिश के दिए गए निर्देशांक) देते हैं।


== उद्धरण ==
== उद्धरण ==


टेंसर बीजगणित की व्यापकता के कारण, ब्याज के कई अन्य बीजगणितों का निर्माण टेंसर बीजगणित के साथ शुरू करके और फिर जनरेटर पर कुछ संबंधों को लागू करके किया जा सकता है, अर्थात् टी (वी) के कुछ भागफल सहयोगी बीजगणित का निर्माण करके।इसके उदाहरण बाहरी बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित हैं।
टेंसर बीजगणित की व्यापकता के कारण, ब्याज के कई अन्य बीजगणितों का संरचना टेंसर बीजगणित के साथ प्रारम्भ करके और फिर उत्पादक पर कुछ संबंधों को लागू करके किया जा सकता है, अर्थात् ''T(V)'' के कुछ भागफल सहयोगी बीजगणित का संरचना करके। इसके उदाहरण बाह्य बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित हैं।


== कोयला ==
== सहबीजगणित ==
टेंसर बीजगणित में दो अलग -अलग कोयला संरचनाएं हैं।एक टेंसर उत्पाद के साथ संगत है, और इस प्रकार इसे एक बायलजबरा तक बढ़ाया जा सकता है, और इसे आगे एक एंटीपोड के साथ एक हॉपफ बीजगणित संरचना के लिए बढ़ाया जा सकता है।अन्य संरचना, हालांकि सरल, को एक Bialgebra तक बढ़ाया नहीं जा सकता है।पहली संरचना को तुरंत नीचे विकसित किया गया है;दूसरी संरचना कोफ्री कोलजबरा पर अनुभाग में और नीचे दी गई है।
टेंसर बीजगणित में दो अलग-अलग सहबीजगणित संरचनाएं हैं। एक टेंसर उत्पाद के साथ संगत है, और इस प्रकार इसे द्विबीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है, और इसे आगे प्रतिध्रुव के साथ हॉफ बीजगणित संरचना के लिए बढ़ाया जा सकता है। अन्य संरचना, यद्यपि है, इसे एक द्विबीजगणित तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। पूर्व संरचना को तुरंत नीचे विकसित किया गया है; दूसरे संरचना कोफ्री सहबीजगणित पर अनुभाग में और नीचे दी गई है।


नीचे दिए गए विकास को वेज प्रतीक का उपयोग करके बाहरी बीजगणित पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू किया जा सकता है <math>\wedge</math> टेंसर प्रतीक के स्थान पर <math>\otimes</math>;बाहरी बीजगणित के तत्वों को अनुमति देते समय एक संकेत को भी ट्रैक किया जाना चाहिए।यह पत्राचार भी Bialgebra की परिभाषा के माध्यम से, और एक HOPF बीजगणित की परिभाषा पर भी रहता है।अर्थात्, बाहरी बीजगणित को हॉपफ बीजगणित संरचना भी दी जा सकती है।
नीचे दिए गए विकास को वेज प्रतीक का उपयोग करके बाह्य बीजगणित पर समान रूप से अच्छी प्रकार से लागू किया जा सकता है <math>\wedge</math> टेंसर प्रतीक के स्थान पर <math>\otimes</math>; बाह्य बीजगणित के अवयवों को अनुमति देते समय संकेत को भी पता लगाना चाहिए। यह पत्राचार भी द्विबीजगणित की परिभाषा के माध्यम से, और हॉफ बीजगणित की परिभाषा पर भी रहता है। अर्थात्, बाह्य बीजगणित को भी हॉफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।


इसी तरह, सममित बीजगणित को एक हॉपफ बीजगणित की संरचना भी दी जा सकती है, ठीक उसी फैशन में, हर जगह टेंसर उत्पाद को बदलकर <math>\otimes</math> सममित टेंसर उत्पाद द्वारा <math>\otimes_\mathrm{Sym}</math>, यानी वह उत्पाद जहां <math>v\otimes_\mathrm{Sym} w = w\otimes_\mathrm{Sym} v.</math>
इसी प्रकार, सममित बीजगणित को हॉफ बीजगणित की संरचना भी दी जा सकती है, ठीक उसी प्रकार, हर जगह टेंसर उत्पाद को बदलकर <math>\otimes</math> सममित टेंसर उत्पाद द्वारा <math>\otimes_\mathrm{Sym}</math>, अर्थात वह उत्पाद जहां <math>v\otimes_\mathrm{Sym} w = w\otimes_\mathrm{Sym} v.</math>
प्रत्येक मामले में, यह संभव है क्योंकि वैकल्पिक उत्पाद <math>\wedge</math> और सममित उत्पाद <math>\otimes_\mathrm{Sym}</math> एक Bialgebra और Hopf बीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक स्थिरता स्थितियों का पालन करें;इसे स्पष्ट रूप से नीचे दिए गए तरीके से जांचा जा सकता है।जब भी किसी के पास इन स्थिरता स्थितियों का पालन करने वाला उत्पाद होता है, तो निर्माण से गुजरता है;इस तरह के एक उत्पाद के रूप में insofar ने एक भागफल स्थान को जन्म दिया, भागफल स्थान HOPF बीजगणित संरचना को विरासत में मिला है।


[[ श्रेणी सिद्धांत ]] की भाषा में, कोई कहता है कि एक फंक्शनर है {{math|''T''}} की श्रेणी से {{math|''K''}}-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में {{math|''K''}}-सोसिएट बीजगणित।लेकिन एक फंक्टर भी है {{math|''Λ''}} बाहरी बीजगणित की श्रेणी में वेक्टर रिक्त स्थान ले रहे हैं, और एक फंक्शनल {{math|''Sym''}} वेक्टर रिक्त स्थान को सममित बीजगणित में ले जाना।से एक [[ प्राकृतिक परिवर्तन ]] है {{math|''T''}} इनमें से प्रत्येक के लिए।यह सत्यापित करते हुए कि हॉपफ बीजगणित संरचना को संरक्षित करता है, यह सत्यापित करने के समान है कि नक्शे वास्तव में स्वाभाविक हैं।
प्रत्येक विषय में, यह संभव है क्योंकि वैकल्पिक उत्पाद <math>\wedge</math> और सममित उत्पाद <math>\otimes_\mathrm{Sym}</math> एक द्विबीजगणित और हॉफ बीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक स्थिरता स्थितियों का पालन करें; इसे स्पष्ट रूप से नीचे दिए गए विधि से जांचा जा सकता है। जब भी किसी के समीप इन स्थिरता स्थितियों का पालन करने वाला उत्पाद होता है, तो संरचना से गुजरता है; जहां तक ​​इस प्रकार के उत्पाद ने भागफल स्थान को जन्म दिया है, भागफल स्थान हॉफ बीजगणित संरचना को प्राप्त करता है।


=== कोपोडक्ट ===
[[ श्रेणी सिद्धांत | श्रेणी सिद्धांत]] की भाषा में, कोई कहता है कि {{math|''K''}}-सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से {{math|''K''}}-सहयोगी बीजगणित की श्रेणी में प्रकार्यक {{math|''T''}} है। परन्तु सदिश रिक्त स्थान बाह्य बीजगणित की श्रेणी में ले जाने वाला प्रकार्यक {{math|''Λ''}} भी है, और सममित बीजगणित के लिए सदिश रिक्त स्थान ले जाने वाला प्रकार्यक {{math|''Sym''}} है। इनमें से प्रत्येक के लिए {{math|''T''}} [[ प्राकृतिक परिवर्तन |प्राकृतिक परिवर्तन]] है । यह सत्यापित करना कि भागफल हॉफ बीजगणित संरचना को संरक्षित करता है, यह सत्यापित करने के समान है कि प्रतिचित्र निश्चित ही प्राकृतिक हैं।
कोयलाजबरा एक [[ नक़ली ]] या विकर्ण ऑपरेटर को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है
 
=== सहउत्पाद ===
सहबीजगणित एक [[ नक़ली |सह-उत्पाद]] या विकर्ण संचालक को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है


:<math>\Delta: TV\to TV\boxtimes TV</math>
:<math>\Delta: TV\to TV\boxtimes TV</math>
यहां, <math>TV</math> के लिए एक छोटे हाथ के रूप में उपयोग किया जाता है <math>T(V)</math> कोष्ठक के विस्फोट से बचने के लिए। <math>\boxtimes</math> H> प्रतीक का उपयोग बाहरी टेंसर उत्पाद को निरूपित करने के लिए किया जाता है, जो एक कोयला की परिभाषा के लिए आवश्यक है।इसका उपयोग इसे आंतरिक टेंसर उत्पाद से अलग करने के लिए किया जा रहा है <math>\otimes</math>, जो पहले से ही टेंसर बीजगणित में गुणन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जा रहा है (इस मुद्दे पर और स्पष्टीकरण के लिए नीचे, नीचे अनुभाग गुणा देखें)।इन दो प्रतीकों के बीच भ्रम से बचने के लिए, अधिकांश ग्रंथ बदल जाएंगे <math>\otimes</math> एक सादे डॉट द्वारा, या यहां तक कि इसे पूरी तरह से छोड़ दें, इस समझ के साथ कि यह संदर्भ से निहित है।यह तब अनुमति देता है <math>\otimes</math> के स्थान पर इस्तेमाल किया जाना <math>\boxtimes</math> चिन्ह, प्रतीक।यह नीचे नहीं किया गया है, और दो प्रतीकों का उपयोग स्वतंत्र रूप से और स्पष्ट रूप से किया जाता है, ताकि प्रत्येक के उचित स्थान को दिखाया जा सके।परिणाम थोड़ा अधिक क्रिया है, लेकिन समझना आसान होना चाहिए।
यहां, कोष्ठकों के विस्फोटन से बचने के लिए <math>TV</math> का उपयोग <math>T(V)</math> के लिए शॉर्ट-हैंड के रूप में किया जाता है। सहबीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक "बाह्य" टेंसर उत्पाद को दर्शाने के लिए <math>\boxtimes</math> प्रतीक का उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग इसे आंतरिक टेंसर उत्पाद से अलग करने के लिए किया जा रहा है <math>\otimes</math>, जो पूर्व से ही टेंसर बीजगणित में गुणन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जा रहा है (इस मुद्दे पर और स्पष्टीकरण के लिए, नीचे अनुभाग गुणन देखें) इन दो प्रतीकों के बीच भ्रम से बचने के लिए, अधिकांश पाठ बदल दिए जाएंगे <math>\otimes</math> एक सादे बिंदु द्वारा, या इसे पूरी प्रकार से छोड़ दें, इस समझ के साथ कि यह संदर्भ से निहित है। यह तब <math>\otimes</math> प्रतीक को <math>\boxtimes</math> प्रतीक के स्थान पर उपयोग करने की अनुमति देता है। यह नीचे नहीं किया गया है, और दो प्रतीकों का मुक्त रूप से और स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, ताकि प्रत्येक का उचित स्थान दिखाया जा सके। परिणाम थोड़ा शब्दाडंबरपूर्ण है, परन्तु समझना सरल होना चाहिए।


ऑपरेटर की परिभाषा <math>\Delta</math> सबसे आसानी से चरणों में बनाया गया है, पहले तत्वों के लिए इसे परिभाषित करके <math>v\in V\subset TV</math> और फिर होमोमोर्फिक रूप से इसे पूरे बीजगणित तक बढ़ाकर।तब कॉप्रोडक्ट के लिए एक उपयुक्त विकल्प है
संचालक की परिभाषा <math>\Delta</math> सबसे सरलता से चरणों में बनाया गया है, पूर्व इसे अवयवों के लिए परिभाषित करके <math>v\in V\subset TV</math> और फिर समरूपी रूप से इसे पूरे बीजगणित तक विस्तारित करके। तब सहउत्पाद के लिए उपयुक्त विकल्प है


:<math>\Delta: v \mapsto v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v</math>
:<math>\Delta: v \mapsto v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v</math>
और
और
:<math>\Delta: 1 \mapsto 1 \boxtimes 1</math>
:<math>\Delta: 1 \mapsto 1 \boxtimes 1</math>
कहां <math>1\in K=T^0V\subset TV</math> क्षेत्र की इकाई है <math>K</math>।रैखिकता से, एक स्पष्ट रूप से है
जहाँ <math>1\in K=T^0V\subset TV</math> क्षेत्र <math>K</math> की इकाई है। रैखिकता से, स्पष्ट रूप से है
:<math>\Delta(k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k</math>
:<math>\Delta(k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k</math>
सबके लिए <math>k\in K.</math> यह सत्यापित करना सीधा है कि यह परिभाषा एक कोयला के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है: अर्थात्, वह है
सभी के लिए <math>k\in K.</math> यह सत्यापित करना स्पष्ट है कि यह परिभाषा सहबीजगणित के अभिगृहीत को संतुष्ट करती है: अर्थात्, जो कि
:<math>(\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \boxtimes \mathrm{id}_{TV}) \circ \Delta</math>
:<math>(\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \boxtimes \mathrm{id}_{TV}) \circ \Delta</math>
कहां <math>\mathrm{id}_{TV}: x\mapsto x</math> पहचान मानचित्र पर है <math>TV</math>।वास्तव में, एक हो जाता है
जहाँ <math>\mathrm{id}_{TV}: x\mapsto x</math> <math>TV</math> पर पहचान प्रतिचित्र है। निश्चित ही, एक को
:<math>((\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta)(v) =
:<math>((\mathrm{id}_{TV} \boxtimes \Delta) \circ \Delta)(v) =
v\boxtimes 1 \boxtimes 1 + 1\boxtimes v \boxtimes 1 + 1 \boxtimes 1 \boxtimes v</math>
v\boxtimes 1 \boxtimes 1 + 1\boxtimes v \boxtimes 1 + 1 \boxtimes 1 \boxtimes v</math>
और इसी तरह दूसरी तरफ।इस बिंदु पर, कोई एक लेम्मा को आमंत्रित कर सकता है, और कह सकता है कि <math>\Delta</math> तुच्छता से, रैखिकता द्वारा, सभी के लिए <math>TV</math>, चूंकि <math>TV</math> एक स्वतंत्र वस्तु है और <math>V</math> मुक्त बीजगणित का एक [[ जनरेटर (गणित) ]] है, और <math>\Delta</math> एक समरूपता है।हालांकि, स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ प्रदान करना व्यावहारिक है।अभीतक के लिए तो <math>v\otimes w \in T^2V</math>, एक (परिभाषा के अनुसार) समरूपता है
मिलता है और इसी प्रकार दूसरे पक्ष को भी। इस बिंदु पर, कोई एक लेम्मा को आमंत्रित कर सकता है, और कह सकते है कि <math>\Delta</math> साधारणता से, रैखिकता द्वारा, सभी के लिए <math>TV</math>, चूंकि <math>TV</math> मुक्त वस्तु है और <math>V</math> मुक्त बीजगणित का एक [[ जनरेटर (गणित) |उत्पादक (गणित)]] है, और <math>\Delta</math> एक समरूपता है। यद्यपि, स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ प्रदान करना व्यावहारिक है। अभी तक के लिए तो <math>v\otimes w \in T^2V</math>, एक (परिभाषा के अनुसार) समरूपता है


:<math>\Delta: v\otimes w \mapsto \Delta(v)\otimes \Delta(w)</math>
:<math>\Delta: v\otimes w \mapsto \Delta(v)\otimes \Delta(w)</math>
Line 74: Line 74:
:<math>\begin{align} \Delta (v\otimes w) &= (v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v) \otimes (w\boxtimes 1 + 1\boxtimes w) \\
:<math>\begin{align} \Delta (v\otimes w) &= (v\boxtimes 1 + 1\boxtimes v) \otimes (w\boxtimes 1 + 1\boxtimes w) \\
&= (v\otimes w) \boxtimes 1 + v\boxtimes w +  w\boxtimes v + 1 \boxtimes (v\otimes w) \end{align}</math>
&= (v\otimes w) \boxtimes 1 + v\boxtimes w +  w\boxtimes v + 1 \boxtimes (v\otimes w) \end{align}</math>
उपरोक्त विस्तार में, कभी भी लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है <math>1\otimes v</math> जैसा कि बीजगणित में सिर्फ सादा-पुराना स्केलर गुणा है;यानी, एक तुच्छ रूप से वह है <math>1\otimes v = 1\cdot v = v.</math>
उपरोक्त विस्तार में, कभी भी <math>1\otimes v</math> लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है जैसा कि बीजगणित में मात्र सादा-पूर्व अदिश गुणन है;अर्थात, साधारण रूप से अर्थात <math>1\otimes v = 1\cdot v = v.</math>
ऊपर का विस्तार बीजगणित ग्रेडिंग को संरक्षित करता है।वह है,
 
ऊपर का विस्तार बीजगणित श्रेणीकरण को संरक्षित करता है। अर्थात,
:<math>\Delta: T^2V \to \bigoplus_{k=0}^2 T^kV \boxtimes T^{2-k}V</math>
:<math>\Delta: T^2V \to \bigoplus_{k=0}^2 T^kV \boxtimes T^{2-k}V</math>
इस फैशन में जारी रखते हुए, कोई भी ऑर्डर एम के समरूप तत्व पर अभिनय करने वाले कॉप्रोडक्ट के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है:
इस प्रकार से जारी रखते हुए, कोई भी ऑर्डर एम के समरूप अवयव पर कार्य करने वाले सहउत्पाद के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\Delta(v_1\otimes\cdots\otimes v_m) &=
\Delta(v_1\otimes\cdots\otimes v_m) &=
Line 87: Line 88:
\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right)
\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जहां <math>\omega</math> प्रतीक, जिसे ш के रूप में प्रकट होना चाहिए, SHA, [[ फेरबदल उत्पाद ]] को दर्शाता है।यह दूसरे योग में व्यक्त किया गया है, जिसे सभी (p, q) शफल | (p, m-p) -shuffles पर ले लिया गया है।फेरबदल है
जहां <math>\omega</math> प्रतीक, जिसे ш के रूप में प्रकट होना चाहिए, sha, [[ फेरबदल उत्पाद |फेरबदल उत्पाद]] को दर्शाता है। यह दूसरे योग में व्यक्त किया गया है, जिसे सभी (p, m-p) -फेरबदल पर ले लिया गया है। फेरबदल है


:<math>\begin{aligned}
:<math>\begin{aligned}
Line 95: Line 96:
&\text{and }\;\sigma(p+1) <\sigma(p+2)<\cdots < \sigma(m)\}.
&\text{and }\;\sigma(p+1) <\sigma(p+2)<\cdots < \sigma(m)\}.
\end{aligned}</math>
\end{aligned}</math>
कन्वेंशन द्वारा, कोई उस श (एम, 0) और (0, एम) को लेता है {आईडी: {1, ..., एम} → → {1, ..., एम <नोबी>}}।शुद्ध टेंसर उत्पादों को लेना भी सुविधाजनक है
<nowiki>परम्परागत द्वारा, sh(m, 0) और sh(0, m) बराबर {id: {1,...,m} → → {1,..., m}} लेते हैं। शुद्ध टेंसर उत्पादों </nowiki><math>v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}</math> और <math>v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}</math> को क्रमशः p= 0 और p= m के लिए 1 के बराबर लेना भी सुविधाजनक है (<math>TV</math> में खाली उत्पाद)। फेरबदल एक सह-वृद्धि के पूर्व अभिगृहीत से सीधे अनुसरण करता है: अवयवों का सापेक्ष क्रम <math>v_k</math> राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल मात्र आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।
</nowiki><math>v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}</math> और <math>v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}</math>
क्रमशः पी = 0 और पी = एम के लिए 1 के बराबर <math>TV</math>)।फेरबदल एक सह-वृद्धि के पहले स्वयंसिद्ध से सीधे अनुसरण करता है: तत्वों का सापेक्ष क्रम <math>v_k</math> राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल केवल आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।


समान रूप से,
समान रूप से,
Line 106: Line 105:
\boxtimes
\boxtimes
\left(\prod_{k=1 \atop k \notin S}^n v_k\right)\!,</math>
\left(\prod_{k=1 \atop k \notin S}^n v_k\right)\!,</math>
जहां उत्पाद हैं <math>TV</math>, और जहां राशि के सभी सबसेट से अधिक है <math>\{1,\dots,n\}</math>
जहां उत्पाद <math>TV</math> हैं, और राशि के सभी उपसम्मुचय से अधिक <math>\{1,\dots,n\}</math> है।


पहले की तरह, बीजगणित ग्रेडिंग संरक्षित है:
पूर्व प्रकार, बीजगणित श्रेणीकरण संरक्षित है:
:<math>\Delta: T^mV \to \bigoplus_{k=0}^m T^kV \boxtimes T^{(m-k)}V</math>
:<math>\Delta: T^mV \to \bigoplus_{k=0}^m T^kV \boxtimes T^{(m-k)}V</math>




=== counit ===
=== कौनित ===
कंसिट <math>\epsilon : TV \to K</math> बीजगणित से बाहर क्षेत्र घटक के प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है।यह के रूप में लिखा जा सकता है <math>\epsilon: v\mapsto 0 </math> के लिए <math>v\in V</math> और <math>\epsilon: k\mapsto k </math> के लिए <math>k\in K=T^0V</math>।टेंसर उत्पाद के तहत समरूपता द्वारा <math>\otimes</math>, यह तक फैली हुई है
कौनित <math>\epsilon : TV \to K</math> बीजगणित से क्षेत्र घटक के प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है। इसे <math>v\in V</math> के लिए <math>\epsilon: v\mapsto 0 </math> और <math>k\in K=T^0V</math> के लिए <math>\epsilon: k\mapsto k </math> के रूप में लिखा जा सकता है। टेंसर उत्पाद के द्वारा समरूपता द्वारा <math>\otimes</math>, यह तक फैली हुई है
:<math>\epsilon: x\mapsto 0 </math>
:<math>\epsilon: x\mapsto 0 </math>
सबके लिए <math>x\in T^1V \oplus T^2V\oplus \cdots</math>
सभी के लिए <math>x\in T^1V \oplus T^2V\oplus \cdots</math> यह सत्यापित करने के लिए स्पष्ट विषय है कि यह परामर्श सहबीजगणित के लिए आवश्यक अभिगृहीत को संतुष्ट करता है:
यह सत्यापित करने के लिए एक सीधा मामला है कि यह परामर्श कोयलाजबरा के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है:
:<math>(\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id} = (\epsilon \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta.</math>
:<math>(\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id} = (\epsilon \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta.</math>
यह स्पष्ट रूप से काम करते हुए, एक है
यह स्पष्ट रूप से कार्य करते हुए, एक है
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
((\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta)(x)
((\mathrm{id} \boxtimes \epsilon) \circ \Delta)(x)
Line 126: Line 124:
&\cong x
&\cong x
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जहां, अंतिम चरण के लिए, एक ने आइसोमोर्फिज्म का उपयोग किया है <math>TV\boxtimes K \cong TV</math>, जैसा कि काउंसिट के परिभाषित स्वयंसिद्ध के लिए उपयुक्त है।
जहां, अंतिम चरण के लिए, एक ने समरूपता का उपयोग किया है <math>TV\boxtimes K \cong TV</math>, जैसा कि कौनित के परिभाषित अभिगृहीत के लिए उपयुक्त है।


== bialgebra ==
== द्विबीजगणित ==
एक Bialgebra गुणा, और comultiplication दोनों को परिभाषित करता है, और उन्हें संगत होने की आवश्यकता होती है।
एक द्विबीजगणित गुणन, और सहगुणन दोनों को परिभाषित करता है, और उन्हें संगत होने की आवश्यकता होती है।


=== गुणन ===
=== गुणन ===
गुणन एक ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है
गुणन एक संचालक द्वारा दिया जाता है
:<math>\nabla: TV\boxtimes TV\to TV</math>
:<math>\nabla: TV\boxtimes TV\to TV</math>
जो, इस मामले में, पहले से ही आंतरिक टेंसर उत्पाद के रूप में दिया गया था।वह है,
जो, इस विषय में, पूर्व से ही आंतरिक टेंसर उत्पाद के रूप में दिया गया था। अर्थात,
:<math>\nabla: x\boxtimes y\mapsto x \otimes y</math>
:<math>\nabla: x\boxtimes y\mapsto x \otimes y</math>
वह है, <math>\nabla(x\boxtimes y) = x \otimes y.</math> उपरोक्त को यह स्पष्ट करना चाहिए कि क्यों <math>\boxtimes</math> प्रतीक का उपयोग करने की आवश्यकता है: <math>\otimes</math> वास्तव में एक और एक ही चीज थी <math>\nabla</math>;और यहाँ उल्लेखनीय ढलान से अराजकता होगी।इसे मजबूत करने के लिए: टेंसर उत्पाद <math>\otimes</math> टेंसर बीजगणित गुणन से मेल खाता है <math>\nabla</math> एक बीजगणित की परिभाषा में उपयोग किया जाता है, जबकि टेंसर उत्पाद <math>\boxtimes</math> एक कोयला में comultiplication की परिभाषा में आवश्यक है।ये दो टेंसर उत्पाद एक ही बात नहीं हैं!
अर्थात, <math>\nabla(x\boxtimes y) = x \otimes y.</math> उपरोक्त को यह स्पष्ट करना चाहिए कि <math>\boxtimes</math> प्रतीक का उपयोग करने की आवश्यकता क्यों है: <math>\otimes</math> निश्चित ही एक और एक ही बात थी <math>\nabla</math>;और यहाँ उल्लेखनीय ढलान से अराजकता होगी। इसे मजबूत करने के लिए: टेंसर उत्पाद <math>\otimes</math> टेंसर बीजगणित गुणन से मेल खाता है <math>\nabla</math> बीजगणित की परिभाषा में उपयोग किया जाता है, जबकि टेंसर उत्पाद <math>\boxtimes</math> सहबीजगणित में सहगुणन की परिभाषा में आवश्यक है। ये दो टेंसर उत्पाद एक ही बात नहीं हैं!


=== यूनिट ===
=== इकाई ===
बीजगणित के लिए इकाई
बीजगणित के लिए इकाई
:<math>\eta: K\to TV</math>
:<math>\eta: K\to TV</math>
सिर्फ एम्बेडिंग है, ताकि
मात्र अंतःस्थापन है, ताकि
:<math>\eta: k\mapsto k</math>
:<math>\eta: k\mapsto k</math>
यह इकाई टेंसर उत्पाद के साथ संगत है <math>\otimes</math> तुच्छ है: यह वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद की मानक परिभाषा का हिस्सा है।वह है, <math>k\otimes x = kx</math> फील्ड तत्व k और किसी भी के लिए <math>x\in TV.</math> अधिक मौखिक रूप से, एक साहचर्य बीजगणित के लिए स्वयंसिद्धों को दो होमोमोर्फिज्म की आवश्यकता होती है (या आरेखों को कम करने):
यह इकाई टेंसर उत्पाद के साथ संगत है <math>\otimes</math> साधारण है: यह सदिश रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद की मानक परिभाषा का हिस्सा है। अर्थात, <math>k\otimes x = kx</math> क्षेत्र अवयव k और किसी भी के लिए <math>x\in TV.</math> अधिक मौखिक रूप से, एक साहचर्य बीजगणित के लिए अभिगृहीत को दो समरूपता की आवश्यकता होती है (या आरेखों को कम करने):
:<math>\nabla\circ(\eta \boxtimes\mathrm{id}_{TV}) = \eta\otimes \mathrm{id}_{TV} = \eta\cdot \mathrm{id}_{TV}</math>
:<math>\nabla\circ(\eta \boxtimes\mathrm{id}_{TV}) = \eta\otimes \mathrm{id}_{TV} = \eta\cdot \mathrm{id}_{TV}</math>
पर <math>K\boxtimes TV</math>, और उस सममित रूप से, पर <math>TV\boxtimes K</math>, वह
पर <math>K\boxtimes TV</math>, और उस सममित रूप से, पर <math>TV\boxtimes K</math>, जो कि
:<math>\nabla\circ(\mathrm{id}_{TV}\boxtimes\eta) = \mathrm{id}_{TV}\otimes\eta = \mathrm{id}_{TV}\cdot\eta</math>
:<math>\nabla\circ(\mathrm{id}_{TV}\boxtimes\eta) = \mathrm{id}_{TV}\otimes\eta = \mathrm{id}_{TV}\cdot\eta</math>
जहां इन समीकरणों के दाहिने हाथ को स्केलर उत्पाद के रूप में समझा जाना चाहिए।
जहां इन समीकरणों के दाहिने हाथ को अदिश उत्पाद के रूप में समझा जाना चाहिए।


=== संगतता ===
=== संगतता ===
यूनिट और काउंसिट, और गुणा और comultiplication, सभी को संगतता स्थितियों को संतुष्ट करना होगा।यह देखना सीधा है
इकाई और कौनित, और गुणन और सहगुणन, सभी को संगतता स्थितियों को संतुष्ट करना होगा। यह देखना स्पष्ट है कि
:<math>\epsilon \circ \eta = \mathrm{id}_K.</math>
:<math>\epsilon \circ \eta = \mathrm{id}_K.</math>
इसी तरह, इकाई comultiplication के साथ संगत है:
इसी प्रकार, इकाई सहगुणन के साथ संगत है:
:<math>\Delta \circ \eta = \eta \boxtimes \eta \cong \eta</math>
:<math>\Delta \circ \eta = \eta \boxtimes \eta \cong \eta</math>
उपरोक्त को आइसोमोर्फिज्म के उपयोग की आवश्यकता है <math>K\boxtimes K \cong K</math> काम करने के क्रम में;इसके बिना, एक रैखिकता खो देता है।घटक-वार,
उपरोक्त को समरूपता के उपयोग की आवश्यकता है <math>K\boxtimes K \cong K</math> कार्य करने के लिए; इसके बिना, रैखिकता खो देता है। घटक-विधि,
:<math>(\Delta \circ \eta)(k) = \Delta(k) = k(1 \boxtimes 1) \cong k </math>
:<math>(\Delta \circ \eta)(k) = \Delta(k) = k(1 \boxtimes 1) \cong k </math>
दाहिने हाथ की ओर आइसोमोर्फिज्म का उपयोग करने के साथ।
दाहिने हाथ की ओर समरूपता का उपयोग करने के साथ।


गुणा और counit संगत हैं:
गुणन और कौनित संगत हैं:
:<math>(\epsilon \circ \nabla)(x\boxtimes y) = \epsilon(x\otimes y) = 0</math>
:<math>(\epsilon \circ \nabla)(x\boxtimes y) = \epsilon(x\otimes y) = 0</math>
जब भी x या y के तत्व नहीं होते हैं <math>K</math>, और अन्यथा, एक क्षेत्र पर स्केलर गुणा है: <math>k_1\otimes k_2=k_1 k_2.</math> सत्यापित करने के लिए सबसे मुश्किल गुणा और comultiplication की संगतता है:
जब भी x या y <math>K</math> के अवयव नहीं होते हैं, और अन्यथा, किसी के समीप क्षेत्र पर अदिश गुणन है: <math>k_1\otimes k_2=k_1 k_2.</math> सत्यापित करने के लिए सबसे जटिल गुणन और सहगुणन की संगतता है:
:<math>\Delta \circ\nabla = (\nabla \boxtimes \nabla)  
:<math>\Delta \circ\nabla = (\nabla \boxtimes \nabla)  
\circ (\mathrm{id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm{id})  
\circ (\mathrm{id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm{id})  
\circ (\Delta \boxtimes \Delta)</math>
\circ (\Delta \boxtimes \Delta)</math>
कहां <math>\tau(x\boxtimes y)= y \boxtimes x</math> तत्वों का आदान -प्रदान।संगतता की स्थिति को केवल सत्यापित करने की आवश्यकता है <math>V\subset TV</math>;पूर्ण संगतता सभी के लिए एक होमोमोर्फिक विस्तार के रूप में अनुसरण करती है <math>TV.</math> सत्यापन क्रिया है लेकिन सीधा है;यह यहां नहीं दिया गया है, अंतिम परिणाम को छोड़कर:
जहाँ <math>\tau(x\boxtimes y)= y \boxtimes x</math> अवयवों का आदान-प्रदान करता है। संगतता की स्थिति को मात्र <math>V\subset TV</math> पर सत्यापित करने की आवश्यकता है; पूर्ण संगतता सभी <math>TV</math> के लिए समरूपी विस्तार के रूप में अनुसरण करती है। सत्यापन क्रिया परन्तु स्पष्ट है;यह यहां नहीं दिया गया है, अंतिम परिणाम को छोड़कर:
:<math>(\Delta \circ\nabla)(v\boxtimes w) = \Delta(v\otimes w)</math>
:<math>(\Delta \circ\nabla)(v\boxtimes w) = \Delta(v\otimes w)</math>
के लिए <math>v,w\in V,</math> इसके लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति कोयलाजबरा अनुभाग में ऊपर दी गई थी।
<math>v,w\in V</math>के लिए, स्पष्ट अभिव्यक्ति उपरोक्त सह बीजगणित खंड में दी गई थी।


== हॉपफ बीजगणित ==
== हॉफ बीजगणित ==
HOPF बीजगणित Bialgebra Axioms में एक एंटीपोड जोड़ता है।एंटीपोड <math>S</math> पर <math>k\in K=T^0V</math> द्वारा दिया गया है
हॉफ बीजगणित द्विबीजगणित अभिगृहीत में एक प्रतिध्रुव जोड़ता है। प्रतिध्रुव <math>S</math> पर <math>k\in K=T^0V</math> द्वारा दिया गया है
:<math>S(k)=k</math>
:<math>S(k)=k</math>
इसे कभी-कभी एंटी-आइडेंटिटी कहा जाता है।पर एंटीपोड <math>v\in V=T^1V</math> द्वारा दिया गया है
इसे कभी-कभी प्रति-समरूपता कहा जाता है। <math>v\in V=T^1V</math> पर प्रतिध्रुव
:<math>S(v)=-v</math>
:<math>S(v)=-v</math>
और इसपर <math>v \otimes w\in T^2V</math> द्वारा
द्वारा और <math>v \otimes w\in T^2V</math> पर
:<math>S(v \otimes w) = S(w) \otimes S(v) = w\otimes v</math>
:<math>S(v \otimes w) = S(w) \otimes S(v) = w\otimes v</math> द्वारा दिया गया है
यह होमोमोर्फिक रूप से फैली हुई है
यह समरूप रूप से फैली हुई है
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 185: Line 183:


=== संगतता ===
=== संगतता ===
गुणा और comultiplication के साथ एंटीपोड की संगतता के लिए आवश्यक है
गुणन और सहगुणन के साथ प्रतिध्रुव की संगतता के लिए आवश्यक है
:<math>\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta
:<math>\nabla \circ (S \boxtimes \mathrm{id}) \circ \Delta
= \eta \circ \epsilon
= \eta \circ \epsilon
= \nabla \circ (\mathrm{id} \boxtimes S) \circ \Delta</math>
= \nabla \circ (\mathrm{id} \boxtimes S) \circ \Delta</math>
यह घटक पर सत्यापित करने के लिए सीधा है <math>k\in K</math>:
यह <math>k\in K</math> घटक पर सत्यापित करने के लिए स्पष्ट है:
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 198: Line 196:
&= k
&= k
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इसी तरह, पर <math>v\in V</math>:
इसी प्रकार, <math>v\in V</math> पर :
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 210: Line 208:
याद करें कि
याद करें कि
:<math>(\eta \circ \epsilon)(k)=\eta(k)=k</math>
:<math>(\eta \circ \epsilon)(k)=\eta(k)=k</math>
और कि
और वह
:<math>(\eta \circ \epsilon)(x)=\eta(0)=0</math>
:<math>(\eta \circ \epsilon)(x)=\eta(0)=0</math>
किसी के लिए <math>x\in TV</math> वह नहीं है <math>K.</math>
किसी भी ऐसे <math>x\in TV</math> के लिए जो <math>K</math> नहीं है।
एक समान तरीके से आगे बढ़ सकता है, होमोमोर्फिज्म द्वारा, यह सत्यापित करते हुए कि एंटीपोड फेरबदल में उचित रद्द करने वाले संकेतों को सम्मिलित करता है, संगतता स्थिति के साथ शुरू होता है <math>T^2V</math> और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ना।


== cofree cocomplete Coalgebra ==
समरूपता द्वारा समान विधि से आगे बढ़ सकता है,यह सत्यापित करते हुए कि प्रतिध्रुव फेरबदल में उचित रद्द करने वाले संकेतों को सम्मिलित करता है, जो कि <math>T^2V</math> पर अनुकूलता की स्थिति से प्रारम्भ होता है और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।
{{main article|Cofree coalgebra}}
 
एक टेंसर बीजगणित पर एक अलग कोपोडक्ट को परिभाषित कर सकता है, जो ऊपर दिए गए की तुलना में सरल है।यह द्वारा दिया गया है
== कोफ़्री सहपूर्ण सहबीजगणित ==
{{main article|कोफ़्री सहबीजगणित}}
 
टेंसर बीजगणित पर अलग उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है, जो ऊपर दिए गए से सरल है। यह
:<math>\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_k) := \sum_{j=0}^{k} (v_0 \otimes \dots \otimes v_j) \boxtimes (v_{j+1} \otimes \dots \otimes v_{k+1})</math>
:<math>\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_k) := \sum_{j=0}^{k} (v_0 \otimes \dots \otimes v_j) \boxtimes (v_{j+1} \otimes \dots \otimes v_{k+1})</math>
यहाँ, पहले की तरह, कोई उल्लेखनीय चाल का उपयोग करता है <math>v_0=v_{k+1}=1\in K</math> (याद करते हुए <math>v\otimes 1=v</math> तुच्छ रूप से)।
द्वारा दिया गया है,यहाँ, पूर्व के प्रकार, कोई सांकेतिक योजना का उपयोग करता है <math>v_0=v_{k+1}=1\in K</math> (उस <math>v\otimes 1=v</math> को साधारण रूप से याद करते हुए)।
 
यह सहउत्पाद एक सहबीजगणित को जन्म देता है। यह सहबीजगणित का वर्णन करता है जो ''T''(''V''<sup>∗</sup>) पर बीजगणित संरचना के लिए [[ द्वंद्व (रैखिक बीजगणित) |द्वंद्व (रैखिक बीजगणित)]] है, जहाँ ''V''<sup>∗</sup> रैखिक प्रतिचित्र ''V''→ ''''F'''<nowiki/>' के दोहरे सदिश स्थान को दर्शाता है। उसी प्रकार से कि टेंसर बीजगणित एक मुक्त बीजगणित है, इसी सहबीजगणित को सह-मुक्त कहा जाता है। सामान्य उत्पाद के साथ यह द्विबीजगणित नहीं है। इसे गुणनफल <math>v_i\cdot v_j=(i,j)v_{i+j}</math> के साथ द्विबीजगणित में बदला जा सकता है,जहां '''''(i,j)''''' <math>\tbinom{i+j}{i}</math> के द्विपद गुणांक को दर्शाता है। इस द्विबीजगणित को [[ विभाजित शक्ति संरचना |विभाजित शक्ति संरचना]] के रूप में जाना जाता है।
 
इसके और अन्य सहबीजगणित के बीच का अंतर <math>T^2V</math> अवधि में सबसे सरलता से देखा जाता है। यहां, किसी के समीप


यह कॉप्रोडक्ट एक कोयला को जन्म देता है।यह एक कोयला का वर्णन करता है जो टी पर बीजगणित संरचना के लिए [[ द्वंद्व (रैखिक बीजगणित) ]] है<sup>& lowast; </sup>), जहाँ v<sup>& Lowast; </sup> रैखिक मानचित्र v → 'f' के दोहरे वेक्टर स्थान को दर्शाता है।उसी तरह से कि टेंसर बीजगणित एक मुक्त बीजगणित है, इसी कोयला को कोक-फ्री कहा जाता है।सामान्य उत्पाद के साथ यह एक Bialgebra नहीं है।इसे उत्पाद के साथ एक bialgebra में बदल दिया जा सकता है <math>v_i\cdot v_j=(i,j)v_{i+j}</math> जहां (मैं, जे) के लिए द्विपद गुणांक को दर्शाता है <math>\tbinom{i+j}{i}</math>।इस bialgebra को [[ विभाजित शक्ति संरचना ]] के रूप में जाना जाता है।
<math>v,w\in V</math>  


इसके बीच का अंतर, और अन्य कोलजबरा सबसे आसानी से देखा जाता है <math>T^2V</math> अवधि।यहाँ, एक के पास है
के लिए
:<math>\Delta(v\otimes w) = 1\boxtimes (v\otimes w) + v \boxtimes w + (v\otimes w) \boxtimes 1</math>
:<math>\Delta(v\otimes w) = 1\boxtimes (v\otimes w) + v \boxtimes w + (v\otimes w) \boxtimes 1</math>
के लिए <math>v,w\in V</math>, जो पहले की तुलना में स्पष्ट रूप से एक फेरबदल शब्द को याद कर रहा है।
है, जिसमें पूर्व की तुलना में स्पष्ट रूप से फेरबदल शब्द को याद कर रहा है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*लट [[ लट वेक्टर स्थान ]]
*[[ लट वेक्टर स्थान |गुंफित सदिश स्थान]]
*ब्रेडेड [[ हॉपफ बीजगणित ]]
*[[ लट वेक्टर स्थान |गुंफित]] हॉफ बीजगणित
*[[ मोनोइडल श्रेणी ]]
*[[ मोनोइडल श्रेणी ]]
*बहुस्तरीय बीजगणित
*बहुस्तरीय बीजगणित
*क्यू: स्टैनिसलाव लेम#लव एंड टेंसर बीजगणित | स्टैनिसलाव लेम का प्यार और टेंसर बीजगण
*स्टैनिस्लाव लेम का प्यार और टेंसर बीजगणित
*[[ फॉक स्पेस ]]
*[[ फॉक स्पेस | फॉक]] [[ लट वेक्टर स्थान |स्थान]]


 
*
==इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची==
 
*अंक शास्त्र
*छोड़ दिया गया
*कोफ्री कोयला
*एकत बीजगणित
*सममितीय बीजगणित
*भागीदार साहचर्य बीजगणित
*बियालजबरा
*सार्वभौमिक बीजगणित बीजगणित
*हॉपफ बीजगणित
*वेल बीजगणित
*साहित्यिक बीजगणित
*पूर्णांक
*वेक्टर रिक्त स्थान का प्रत्यक्ष योग
*वर्गीय बीजगणित
*बिमोड्यूल
*फंक्टर
*रेखीय मानचित्र
*बीजगणितता
*आक्रामक आरेख
*समावेश नक्शा
*तक
*वेक्टर स्थानों की श्रेणी
*आधार वेक्टर
*दोहरी वेक्टर स्थान
*बहुपक्षीय बीजगणित
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==संदर्भ==
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Latest revision as of 11:46, 7 February 2023

गणित में, सदिश समष्टि v का टेंसर बीजगणित, जिसे T(V) या 'T•(V)' के रूप में दर्शाया जाता है, V (किसी भी श्रेणी के) पर टेन्सर का बीजगणित होता है, जिसमें गुणन टेंसर गुणनफल होता है। यह V पर मुक्त बीजगणित है, बीजगणित से सदिश रिक्त स्थान के लिए विस्मरण प्रकार्यक के समीप छोड़ने के अर्थ में: यह संबंधित सार्वभौमिक गुण (नीचे देखें) के अर्थ में "सबसे सामान्य" बीजगणित है जिसमें V सम्मिलित है।

टेंसर बीजगणित महत्वपूर्ण है क्योंकि कई अन्य बीजगणित T(V) के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं। इनमें बाह्य बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित सम्मिलित हैं।

टेंसर बीजगणित में भी दो सहबीजगणित संरचनाएं होती हैं; साधारण एक, जो इसे द्विबीजगणित नहीं बनाता है, परन्तु एक कोफ़्री सहबीजगणित की अवधारणा की ओर ले जाता है, और अधिक जटिल, जो द्विबीजगणित की उपज देता है, और एक हॉफ बीजगणित संरचना बनाने के लिए एक प्रतिध्रुव देकर इसे बढ़ाया जा सकता है।

नोट: इस लेख में, सभी बीजगणितों को इकाई बीजगणित और साहचर्य बीजगणित माना जाता है। इकाई को स्पष्ट रूप से सहउत्पाद को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।

संरचना

मान लीजिए V क्षेत्र (गणित) K पर एक सदिश समष्टि है। किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक k के लिए, हम V की k-वीं टेंसर शक्ति को V के टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित करते हैं, जो स्वयं k बार होता है:

अर्थात, TkV में टेंसर क्रम k के V पर सभी टेन्सर होते हैं। परम्परागत के अनुसार T0V मूल(क्षेत्र) K (स्वयं के ऊपर एक आयामी सदिश स्थान के रूप में) है।

फिर हम k = 0,1,2,… के लिए TkV के प्रत्यक्ष योग के रूप में T(V) की संरचना करते हैं।

T(V) में गुणन टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए विहित समरूपता

द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे बाद में सभी T(V) तक रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। इस गुणन नियम का अर्थ है कि टेंसर बीजगणित T(V) स्वाभाविक रूप से एक क्रमिक बीजगणित है जिसमें TkV क्रम-k-उपस्थान के रूप में कार्य करता है। उपस्थान जोड़कर इस श्रेणीकरण को 'z' श्रेणीकरण तक बढ़ाया जा सकता है नकारात्मक पूर्णांक k के लिए ।

संरचना क्रम विनिमेय वलय पर किसी भी मॉड्यूल (गणित) M के टेंसर बीजगणित के लिए सरल विधि से सामान्यीकरण करता है। यदि R एक गैर-क्रम विनिमेय वलय है, तो कोई भी किसी भी R-R द्विप्रतिरूपक M के लिए संरचना कर सकता है। (यह सामान्य R-मॉड्यूल के लिए कार्य नहीं करता है क्योंकि पुनरावृत्त टेंसर उत्पादों का गठन नहीं किया जा सकता है।)

सहायक और सार्वभौमिक गुण

टेंसर बीजगणित T(V) को सदिश समष्टि V पर मुक्त बीजगणित भी कहा जाता है, और क्रियात्मक है; इसका तात्पर्य है कि प्रतिचित्र K -सदिश स्थान की श्रेणी (गणित) से साहचर्य बीजगणित की श्रेणी के लिए एक प्रकार्यक बनाने के लिए रैखिक प्रतिचित्रों तक फैली हुई है। इसी प्रकार अन्य मुक्त संरचनाओं के साथ, प्रकार्यक T को विस्मरण प्रकार्यक के समीप छोड़ दिया जाता है जो प्रत्येक सहयोगी K- बीजगणित को अपने अंतर्निहित सदिश स्थान में भेजता है।

स्पष्ट रूप से, टेंसर बीजगणित निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है, जो औपचारिक रूप से इस कथन को व्यक्त करता है कि यह V युक्त सबसे सामान्य बीजगणित है:

कोई रैखिक प्रतिचित्र V से एक साहचर्य बीजगणित A पर K पर विशिष्ट रूप से T(V) से A तक बीजगणित समरूपता के लिए विस्तारित किया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित क्रम विनिमेय आरेख द्वारा इंगित किया गया है:

टेंसर बीजगणित की सार्वभौमिक गुण

यहां i V का T(V) में विहित समावेशन है। अन्य सार्वभौमिक गुणों के लिए, टेंसर बीजगणित T(V) इस गुण को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (विशेष रूप से, यह अद्वितीय समरूपता के लिए अद्वितीय है), परन्तु इस परिभाषा को यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि इस गुण को संतुष्ट करने वाली वस्तु स्थित है।

उपरोक्त सार्वभौमिक गुण का अर्थ है कि T, K-बीजगणित की श्रेणी के लिए, K-पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से एक प्रकार्यक है। इसका अर्थ है कि K-सदिश रिक्त स्थान U और W के बीच किसी भी रैखिक प्रतिचित्र विशिष्ट रूप से T(U) से T(W) तक K-बीजगणित समाकारिता तक विस्तारित होता है।

गैर- क्रम विनिमेय बहुपद

यदि v में परिमित आयाम n है, तो टेंसर बीजगणित को देखने की एक और विधि "n गैर- संगणना चर में k पर बहुपदों के बीजगणित" के रूप में है। यदि हम V के लिए आधार सदिश लेते हैं, तो वे T(V) में गैर- आगंतुक चर (या अनिश्चित (चर)) बन जाते हैं, जो संबद्धता, वितरण विधि और K-रैखिकता के अतिरिक्त कोई बाधा नहीं है।

ध्यान दें कि V पर बहुपदों का बीजगणित नहीं है, यद्यपि है: V पर एक (सजातीय) रैखिक कार्य का एक अवयव है, उदाहरण के लिए सदिश स्थान पर निर्देशांक सहसदिश हैं, क्योंकि वे एक सदिश लेते हैं और एक अदिश (सदिश के दिए गए निर्देशांक) देते हैं।

उद्धरण

टेंसर बीजगणित की व्यापकता के कारण, ब्याज के कई अन्य बीजगणितों का संरचना टेंसर बीजगणित के साथ प्रारम्भ करके और फिर उत्पादक पर कुछ संबंधों को लागू करके किया जा सकता है, अर्थात् T(V) के कुछ भागफल सहयोगी बीजगणित का संरचना करके। इसके उदाहरण बाह्य बीजगणित, सममित बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित हैं।

सहबीजगणित

टेंसर बीजगणित में दो अलग-अलग सहबीजगणित संरचनाएं हैं। एक टेंसर उत्पाद के साथ संगत है, और इस प्रकार इसे द्विबीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है, और इसे आगे प्रतिध्रुव के साथ हॉफ बीजगणित संरचना के लिए बढ़ाया जा सकता है। अन्य संरचना, यद्यपि है, इसे एक द्विबीजगणित तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। पूर्व संरचना को तुरंत नीचे विकसित किया गया है; दूसरे संरचना कोफ्री सहबीजगणित पर अनुभाग में और नीचे दी गई है।

नीचे दिए गए विकास को वेज प्रतीक का उपयोग करके बाह्य बीजगणित पर समान रूप से अच्छी प्रकार से लागू किया जा सकता है टेंसर प्रतीक के स्थान पर ; बाह्य बीजगणित के अवयवों को अनुमति देते समय संकेत को भी पता लगाना चाहिए। यह पत्राचार भी द्विबीजगणित की परिभाषा के माध्यम से, और हॉफ बीजगणित की परिभाषा पर भी रहता है। अर्थात्, बाह्य बीजगणित को भी हॉफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।

इसी प्रकार, सममित बीजगणित को हॉफ बीजगणित की संरचना भी दी जा सकती है, ठीक उसी प्रकार, हर जगह टेंसर उत्पाद को बदलकर सममित टेंसर उत्पाद द्वारा , अर्थात वह उत्पाद जहां

प्रत्येक विषय में, यह संभव है क्योंकि वैकल्पिक उत्पाद और सममित उत्पाद एक द्विबीजगणित और हॉफ बीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक स्थिरता स्थितियों का पालन करें; इसे स्पष्ट रूप से नीचे दिए गए विधि से जांचा जा सकता है। जब भी किसी के समीप इन स्थिरता स्थितियों का पालन करने वाला उत्पाद होता है, तो संरचना से गुजरता है; जहां तक ​​इस प्रकार के उत्पाद ने भागफल स्थान को जन्म दिया है, भागफल स्थान हॉफ बीजगणित संरचना को प्राप्त करता है।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, कोई कहता है कि K-सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से K-सहयोगी बीजगणित की श्रेणी में प्रकार्यक T है। परन्तु सदिश रिक्त स्थान बाह्य बीजगणित की श्रेणी में ले जाने वाला प्रकार्यक Λ भी है, और सममित बीजगणित के लिए सदिश रिक्त स्थान ले जाने वाला प्रकार्यक Sym है। इनमें से प्रत्येक के लिए T प्राकृतिक परिवर्तन है । यह सत्यापित करना कि भागफल हॉफ बीजगणित संरचना को संरक्षित करता है, यह सत्यापित करने के समान है कि प्रतिचित्र निश्चित ही प्राकृतिक हैं।

सहउत्पाद

सहबीजगणित एक सह-उत्पाद या विकर्ण संचालक को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है

यहां, कोष्ठकों के विस्फोटन से बचने के लिए का उपयोग के लिए शॉर्ट-हैंड के रूप में किया जाता है। सहबीजगणित की परिभाषा के लिए आवश्यक "बाह्य" टेंसर उत्पाद को दर्शाने के लिए प्रतीक का उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग इसे आंतरिक टेंसर उत्पाद से अलग करने के लिए किया जा रहा है , जो पूर्व से ही टेंसर बीजगणित में गुणन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जा रहा है (इस मुद्दे पर और स्पष्टीकरण के लिए, नीचे अनुभाग गुणन देखें) इन दो प्रतीकों के बीच भ्रम से बचने के लिए, अधिकांश पाठ बदल दिए जाएंगे एक सादे बिंदु द्वारा, या इसे पूरी प्रकार से छोड़ दें, इस समझ के साथ कि यह संदर्भ से निहित है। यह तब प्रतीक को प्रतीक के स्थान पर उपयोग करने की अनुमति देता है। यह नीचे नहीं किया गया है, और दो प्रतीकों का मुक्त रूप से और स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, ताकि प्रत्येक का उचित स्थान दिखाया जा सके। परिणाम थोड़ा शब्दाडंबरपूर्ण है, परन्तु समझना सरल होना चाहिए।

संचालक की परिभाषा सबसे सरलता से चरणों में बनाया गया है, पूर्व इसे अवयवों के लिए परिभाषित करके और फिर समरूपी रूप से इसे पूरे बीजगणित तक विस्तारित करके। तब सहउत्पाद के लिए उपयुक्त विकल्प है

और

जहाँ क्षेत्र की इकाई है। रैखिकता से, स्पष्ट रूप से है

सभी के लिए यह सत्यापित करना स्पष्ट है कि यह परिभाषा सहबीजगणित के अभिगृहीत को संतुष्ट करती है: अर्थात्, जो कि

जहाँ पर पहचान प्रतिचित्र है। निश्चित ही, एक को

मिलता है और इसी प्रकार दूसरे पक्ष को भी। इस बिंदु पर, कोई एक लेम्मा को आमंत्रित कर सकता है, और कह सकते है कि साधारणता से, रैखिकता द्वारा, सभी के लिए , चूंकि मुक्त वस्तु है और मुक्त बीजगणित का एक उत्पादक (गणित) है, और एक समरूपता है। यद्यपि, स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ प्रदान करना व्यावहारिक है। अभी तक के लिए तो , एक (परिभाषा के अनुसार) समरूपता है

विस्तार, एक है

उपरोक्त विस्तार में, कभी भी लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है जैसा कि बीजगणित में मात्र सादा-पूर्व अदिश गुणन है;अर्थात, साधारण रूप से अर्थात

ऊपर का विस्तार बीजगणित श्रेणीकरण को संरक्षित करता है। अर्थात,

इस प्रकार से जारी रखते हुए, कोई भी ऑर्डर एम के समरूप अवयव पर कार्य करने वाले सहउत्पाद के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है:

जहां प्रतीक, जिसे ш के रूप में प्रकट होना चाहिए, sha, फेरबदल उत्पाद को दर्शाता है। यह दूसरे योग में व्यक्त किया गया है, जिसे सभी (p, m-p) -फेरबदल पर ले लिया गया है। फेरबदल है

परम्परागत द्वारा, sh(m, 0) और sh(0, m) बराबर {id: {1,...,m} → → {1,..., m}} लेते हैं। शुद्ध टेंसर उत्पादों और को क्रमशः p= 0 और p= m के लिए 1 के बराबर लेना भी सुविधाजनक है ( में खाली उत्पाद)। फेरबदल एक सह-वृद्धि के पूर्व अभिगृहीत से सीधे अनुसरण करता है: अवयवों का सापेक्ष क्रम राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल मात्र आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।

समान रूप से,

जहां उत्पाद हैं, और राशि के सभी उपसम्मुचय से अधिक है।

पूर्व प्रकार, बीजगणित श्रेणीकरण संरक्षित है:


कौनित

कौनित बीजगणित से क्षेत्र घटक के प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है। इसे के लिए और के लिए के रूप में लिखा जा सकता है। टेंसर उत्पाद के द्वारा समरूपता द्वारा , यह तक फैली हुई है

सभी के लिए यह सत्यापित करने के लिए स्पष्ट विषय है कि यह परामर्श सहबीजगणित के लिए आवश्यक अभिगृहीत को संतुष्ट करता है:

यह स्पष्ट रूप से कार्य करते हुए, एक है

जहां, अंतिम चरण के लिए, एक ने समरूपता का उपयोग किया है , जैसा कि कौनित के परिभाषित अभिगृहीत के लिए उपयुक्त है।

द्विबीजगणित

एक द्विबीजगणित गुणन, और सहगुणन दोनों को परिभाषित करता है, और उन्हें संगत होने की आवश्यकता होती है।

गुणन

गुणन एक संचालक द्वारा दिया जाता है

जो, इस विषय में, पूर्व से ही आंतरिक टेंसर उत्पाद के रूप में दिया गया था। अर्थात,

अर्थात, उपरोक्त को यह स्पष्ट करना चाहिए कि प्रतीक का उपयोग करने की आवश्यकता क्यों है: निश्चित ही एक और एक ही बात थी ;और यहाँ उल्लेखनीय ढलान से अराजकता होगी। इसे मजबूत करने के लिए: टेंसर उत्पाद टेंसर बीजगणित गुणन से मेल खाता है बीजगणित की परिभाषा में उपयोग किया जाता है, जबकि टेंसर उत्पाद सहबीजगणित में सहगुणन की परिभाषा में आवश्यक है। ये दो टेंसर उत्पाद एक ही बात नहीं हैं!

इकाई

बीजगणित के लिए इकाई

मात्र अंतःस्थापन है, ताकि

यह इकाई टेंसर उत्पाद के साथ संगत है साधारण है: यह सदिश रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद की मानक परिभाषा का हिस्सा है। अर्थात, क्षेत्र अवयव k और किसी भी के लिए अधिक मौखिक रूप से, एक साहचर्य बीजगणित के लिए अभिगृहीत को दो समरूपता की आवश्यकता होती है (या आरेखों को कम करने):

पर , और उस सममित रूप से, पर , जो कि

जहां इन समीकरणों के दाहिने हाथ को अदिश उत्पाद के रूप में समझा जाना चाहिए।

संगतता

इकाई और कौनित, और गुणन और सहगुणन, सभी को संगतता स्थितियों को संतुष्ट करना होगा। यह देखना स्पष्ट है कि

इसी प्रकार, इकाई सहगुणन के साथ संगत है:

उपरोक्त को समरूपता के उपयोग की आवश्यकता है कार्य करने के लिए; इसके बिना, रैखिकता खो देता है। घटक-विधि,

दाहिने हाथ की ओर समरूपता का उपयोग करने के साथ।

गुणन और कौनित संगत हैं:

जब भी x या y के अवयव नहीं होते हैं, और अन्यथा, किसी के समीप क्षेत्र पर अदिश गुणन है: सत्यापित करने के लिए सबसे जटिल गुणन और सहगुणन की संगतता है:

जहाँ अवयवों का आदान-प्रदान करता है। संगतता की स्थिति को मात्र पर सत्यापित करने की आवश्यकता है; पूर्ण संगतता सभी के लिए समरूपी विस्तार के रूप में अनुसरण करती है। सत्यापन क्रिया परन्तु स्पष्ट है;यह यहां नहीं दिया गया है, अंतिम परिणाम को छोड़कर:

के लिए, स्पष्ट अभिव्यक्ति उपरोक्त सह बीजगणित खंड में दी गई थी।

हॉफ बीजगणित

हॉफ बीजगणित द्विबीजगणित अभिगृहीत में एक प्रतिध्रुव जोड़ता है। प्रतिध्रुव पर द्वारा दिया गया है

इसे कभी-कभी प्रति-समरूपता कहा जाता है। पर प्रतिध्रुव

द्वारा और पर

द्वारा दिया गया है

यह समरूप रूप से फैली हुई है


संगतता

गुणन और सहगुणन के साथ प्रतिध्रुव की संगतता के लिए आवश्यक है

यह घटक पर सत्यापित करने के लिए स्पष्ट है:

इसी प्रकार, पर :

याद करें कि

और वह

किसी भी ऐसे के लिए जो नहीं है।

समरूपता द्वारा समान विधि से आगे बढ़ सकता है,यह सत्यापित करते हुए कि प्रतिध्रुव फेरबदल में उचित रद्द करने वाले संकेतों को सम्मिलित करता है, जो कि पर अनुकूलता की स्थिति से प्रारम्भ होता है और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।

कोफ़्री सहपूर्ण सहबीजगणित

टेंसर बीजगणित पर अलग उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है, जो ऊपर दिए गए से सरल है। यह

द्वारा दिया गया है,यहाँ, पूर्व के प्रकार, कोई सांकेतिक योजना का उपयोग करता है (उस को साधारण रूप से याद करते हुए)।

यह सहउत्पाद एक सहबीजगणित को जन्म देता है। यह सहबीजगणित का वर्णन करता है जो T(V) पर बीजगणित संरचना के लिए द्वंद्व (रैखिक बीजगणित) है, जहाँ V रैखिक प्रतिचित्र V→ 'F' के दोहरे सदिश स्थान को दर्शाता है। उसी प्रकार से कि टेंसर बीजगणित एक मुक्त बीजगणित है, इसी सहबीजगणित को सह-मुक्त कहा जाता है। सामान्य उत्पाद के साथ यह द्विबीजगणित नहीं है। इसे गुणनफल के साथ द्विबीजगणित में बदला जा सकता है,जहां (i,j) के द्विपद गुणांक को दर्शाता है। इस द्विबीजगणित को विभाजित शक्ति संरचना के रूप में जाना जाता है।

इसके और अन्य सहबीजगणित के बीच का अंतर अवधि में सबसे सरलता से देखा जाता है। यहां, किसी के समीप

के लिए

है, जिसमें पूर्व की तुलना में स्पष्ट रूप से फेरबदल शब्द को याद कर रहा है।

यह भी देखें

संदर्भ

  • Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra I. Chapters 1-3. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. (See Chapter 3 §5)