ठोस कोण: Difference between revisions

Solid angle
Solid angle
सामान्य प्रतीक	Ω
Si इकाई	steradian
अन्य इकाइयां	Square degree
SI आधार इकाइयाँ में	m2/m2
संरक्षित?	No
अन्य मात्राओं से ; व्युत्पत्तियां
आयाम	Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table.

Revision as of 12:07, 17 January 2023

ज्यामिति में, ठोस कोण (प्रतीक: $Ω$ )किसी विशेष बिंदु से दृष्टि क्षेत्र की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए पिंडको कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को पिंडकितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से पिंडको देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि पिंडउस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे स्टेरेडियन (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर इकाई क्षेत्र पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए पिंडजो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र $4\pi$ के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की छोटी पिंडदूर की बड़ी पिंडके समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण

स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है

\Omega ={\frac {A}{r^{2}}},

जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अधिकांशतः खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

File:Solid Angle, 1 Steradian.svg

एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।

गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या 2 $π$ /3 sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = (180/ $π$ )² वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = 1/4 $π$ आंशिक क्षेत्र), जिसे स्पैट (इकाई) (1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।

गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है,

d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

जहां

θ

अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और

φ

देशांतर है।

यादृच्छिक उन्मुख सतह $S$ के लिए बिंदु $P$ पर अंतरित ठोस कोण सतह $S$ के केंद्र $P$ , के साथ इकाई क्षेत्र के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है, जिसकी गणना सतह समाकलन के रूप में की जा सकती है:

\Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

जहां

{\hat {r}}={\vec {r}}/r

के अनुरूप इकाई सदिश है

{\vec {r}}

, बिंदु

P

के संबंध में सतह

dS

के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की स्थिति सदिश और जहाँ

{\hat {n}}

,

dS

को इकाई सामान्य सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि यदि इकाई क्षेत्र पर सतह

S

पर प्रक्षेपण समरूपी नहीं है, तो अदिश गुणनफल

{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}

है।

इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र $dS$ , अभिविन्यास ${\hat {n}}$ , दर्शक से $r$ दूरी इस प्रकार है:

d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),

जहां गोले का सतह क्षेत्र

A = 4 π r 2

है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

दीप्त तीव्रता और दीप्त को परिभाषित करना, और संबंधित विकिरणमापी मात्राएं विकिरक तीव्रता और विकिरक
गोलाकार त्रिभुज के गोलाकार अतिरिक्त $E$ की गणना करना
सीमा तत्व विधि (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना
धातु परिसरों में लिगेंड के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें
चार्ज वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत की गणना करना
गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना
रदरफोर्ड प्रभाव में अनुप्रस्थ काट की गणना करना
रमण प्रभाव में अनुप्रस्थ काट की गणना करना
प्रकाशित तंतु के

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 स्टेरेडियन में पिंडका ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि पिंडको कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी पिंडद्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है<math display=block>\Omega=\frac{A}{r^2},</math>जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।
-ठोस कोण अक्सर खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से [[ खगोल भौतिकी |खगोल भौतिकी]] में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।
+ठोस कोण अधिकांशतः खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से [[ खगोल भौतिकी |खगोल भौतिकी]] में उपयोग किए जाते हैं। किसी पिंडका ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ पिंडका वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।
 [[Image:Solid_Angle,_1_Steradian.svg|thumb|एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।]]गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या {{sfrac|2{{pi}}|3}} sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = {{pars|s=200%|{{sfrac|180|{{pi}}}}}}<sup>2</sup> वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = {{sfrac|1|4{{pi}}}} आंशिक क्षेत्र), जिसे[[ विवाद (इकाई) | स्पैट (इकाई) (]]1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।
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 <math display=block>\Omega = \iint_S \frac{ \hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\,dS \ = \iint_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi,</math>
-जहां <math>\hat{r} = \vec{r} / r</math> के अनुरूप इकाई सदिश है <math> \vec{r} </math>, बिंदु {{mvar|P}} के संबंध में सतह {{math|''dS''}} के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की[[ स्थिति वेक्टर | स्थिति सदिश]] और जहाँ <math> \hat{n} </math>, {{math|''dS''}} को इकाई [[ सामान्य वेक्टर |सामान्य सदिश]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि अगर इकाई क्षेत्र पर सतह {{mvar|S}} पर प्रक्षेपण [[ समरूपी |समरूपी]] नहीं है, तो अदिश गुणनफल <math>\hat{r} \cdot \hat{n}</math> है।
+जहां <math>\hat{r} = \vec{r} / r</math> के अनुरूप इकाई सदिश है <math> \vec{r} </math>, बिंदु {{mvar|P}} के संबंध में सतह {{math|''dS''}} के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की[[ स्थिति वेक्टर | स्थिति सदिश]] और जहाँ <math> \hat{n} </math>, {{math|''dS''}} को इकाई [[ सामान्य वेक्टर |सामान्य सदिश]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक कि यदि इकाई क्षेत्र पर सतह {{mvar|S}} पर प्रक्षेपण [[ समरूपी |समरूपी]] नहीं है, तो अदिश गुणनफल <math>\hat{r} \cdot \hat{n}</math> है।
 इस प्रकार कोई भी छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र {{math|''dS''}}, अभिविन्यास <math>\hat{n}</math>, दर्शक से {{math|''r''}} दूरी इस प्रकार है:
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 &= 2\pi\left(1 - \cos\theta \right).
 \end{align}</math>
-यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] ने साबित किया कि गोलाकार कैप का सतह क्षेत्र हमेशा वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार कैप के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां कैप की समरूपता की अक्ष कैप को काटती है।<ref>{{cite journal |year = 2015 |title = Archimedes on Spheres and Cylinders |journal = Math Pages |url = http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm}}</ref> आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है
+यह सूत्र बिना कलन के भी निकाला जा सकता है। 2200 साल पहले [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] ने सिद्ध किया कि गोलाकार कैप का सतह क्षेत्र हमेशा वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिसकी त्रिज्या गोलाकार कैप के रिम से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है, जहां कैप की समरूपता की अक्ष कैप को काटती है।<ref>{{cite journal |year = 2015 |title = Archimedes on Spheres and Cylinders |journal = Math Pages |url = http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm}}</ref> आरेख में इस त्रिज्या के रूप में दिया गया है
 <math display=block> 2r \sin \frac{\theta}{2}. </math>
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 जहां
 <math display=block> \theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}. </math>
-एक और दिलचस्प सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना शामिल है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math|Ω}} है:<ref>{{cite journal| first=Folke| last=Eriksson| title= On the measure of solid angles| journal= Math. Mag.| volume=63|issue=3|pages=184–187|year=1990| doi=10.2307/2691141| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal| last = Van Oosterom| first = A|author2=Strackee, J | year = 1983| title = The Solid Angle of a Plane Triangle| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.| volume = BME-30| issue = 2| pages = 125–126| doi = 10.1109/TBME.1983.325207| pmid = 6832789| s2cid = 22669644}}</ref>
+एक और दिलचस्प सूत्र में 3 आयामी समष्टि में शिखरों को सदिश के रूप में व्यक्त करना सम्मलित है। मान लीजिए <math>\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c </math> शीर्षों A, B और C की सदिश स्थितियाँ हैं, और {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण हैं। त्रिकोणीय सतह ABC द्वारा अंतरित ठोस कोण {{math|Ω}} है:<ref>{{cite journal| first=Folke| last=Eriksson| title= On the measure of solid angles| journal= Math. Mag.| volume=63|issue=3|pages=184–187|year=1990| doi=10.2307/2691141| jstor=2691141}}</ref><ref>{{cite journal| last = Van Oosterom| first = A|author2=Strackee, J | year = 1983| title = The Solid Angle of a Plane Triangle| journal = IEEE Trans. Biomed. Eng.| volume = BME-30| issue = 2| pages = 125–126| doi = 10.1109/TBME.1983.325207| pmid = 6832789| s2cid = 22669644}}</ref>
 <math display=block>\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) =
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    \right).
 </math>
-जहाँ कोष्ठक (* *) अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [* * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और {{mvar|i}} [[ काल्पनिक इकाई | काल्पनिक इकाई]] है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: {{math|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}। जटिल गुणनफल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। हालांकि,<math>2\pi</math> का गुणक <math>\arg</math> के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से मार्ग किया जाना चाहिए। इसके अलावा, जटिल चरणों के चलने वाले गुणनफल को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अधः प्रवाह से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।
+जहाँ कोष्ठक (* *) अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [* * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और {{mvar|i}} [[ काल्पनिक इकाई | काल्पनिक इकाई]] है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: {{math|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}। जटिल गुणनफल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। चूंकि,<math>2\pi</math> का गुणक <math>\arg</math> के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से मार्ग किया जाना चाहिए। इसके अतिरिक्त, जटिल चरणों के चलने वाले गुणनफल को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अधः प्रवाह से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।
 === अक्षांश-देशांतर आयत ===
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 == यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==
-{{math|''d''}} -आयामी यूक्लिडियन समष्टि में यूनिट स्फीयर की पूर्ण ({{mvar|d − 1}})-आयामी गोलाकार सतह द्वारा अंतरित ठोस कोण को किसी भी आयाम ''d'' में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अक्सर इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है
+{{math|''d''}} -आयामी यूक्लिडियन समष्टि में यूनिट स्फीयर की पूर्ण ({{mvar|d − 1}})-आयामी गोलाकार सतह द्वारा अंतरित ठोस कोण को किसी भी आयाम ''d'' में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अधिकांशतः इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है
 <math display="block">\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}, </math>
 जहां {{math|Γ}} [[ गामा समारोह |गामा]] फलन है। जब {{math|''d''}} पूर्णांक होता है, तो गामा फलन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।<ref>{{cite journal| last = Jackson| first = FM| year = 1993| title = Polytopes in Euclidean n-space| journal = Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications| volume = 29| issue = 11/12| pages = 172–174| url = https://www.researchgate.net/publication/265585180}}</ref> यह इस प्रकार है कि

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