ठोस कोण: Difference between revisions

Solid angle
Solid angle
सामान्य प्रतीक	Ω
Si इकाई	steradian
अन्य इकाइयां	Square degree
SI आधार इकाइयाँ में	m2/m2
संरक्षित?	No
अन्य मात्राओं से ; व्युत्पत्तियां
आयाम	Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table.

Revision as of 09:23, 17 January 2023

ज्यामिति में, एक ठोस कोण (प्रतीक: $Ω$ )किसी विशेष बिंदु से देखने के क्षेत्र की मात्रा का एक माप है जो किसी दिए गए ऑब्जेक्ट को कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि वस्तु उस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई) में, एक ठोस कोण को एक आयामहीन इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे steradian (प्रतीक: sr) कहा जाता है। एक स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर इकाई क्षेत्रपर एक इकाई क्षेत्र से मेल खाता है, इसलिए एक वस्तु जो शीर्ष से सभी किरणों को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी, $4\pi$ । ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की एक छोटी वस्तु दूर की बड़ी वस्तु के समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण

स्टेरेडियन में एक वस्तु का ठोस कोण एक इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल (ज्यामिति) के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि वस्तु को कवर करता है। स्टेरेडियन में एक इकाई क्षेत्र के एक खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में एक इकाई वृत्त के एक चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में एक समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में एक ठोस कोण किसी वस्तु द्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्र का अनुपात उस क्षेत्र की त्रिज्या के वर्ग द्वारा दिए गए क्षेत्र से होता है। वृत्त। सूत्र है

 $\Omega ={\frac {A}{r^{2}}},$

जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अक्सर खगोल विज्ञान, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। किसी वस्तु का ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ वस्तु का वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

File:Solid Angle, 1 Steradian.svg

एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।

एक गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु से मापा जाता है 4Pi| $π$ sr, और एक घन के केंद्र पर उसके एक फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या 2 $π$ /3सीनियर ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = (180/ $π$ )² वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = 1/4 $π$ आंशिक क्षेत्र), जिसे विवाद (इकाई) के रूप में भी जाना जाता है (1 एसपी = 4 $π$ एसआर)।

गोलाकार निर्देशांक में#एकीकरण_और_विभिन्नता_में_गोलाकार_निर्देशांक एक फ़ंक्शन के अंतर के लिए एक सूत्र है,

d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

कहां

θ

अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और

φ

देशांतर है।

एक मनमाना उन्मुख सतह के लिए ठोस कोण $S$ एक बिंदु पर घटाया गया $P$ सतह के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है $S$ केंद्र के साथ इकाई क्षेत्र में $P$ , जिसकी गणना सतह अभिन्न के रूप में की जा सकती है:

\Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

कहां

{\hat {r}}={\vec {r}}/r

के अनुरूप इकाई सदिश है

{\vec {r}}

, सतह के एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र का स्थिति वेक्टर

dS

बिंदु के संबंध में

P

, और कहाँ

{\hat {n}}

इकाई सामान्य वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है

dS

. भले ही इकाई पर प्रक्षेपण सतह पर हो

S

समरूपी नहीं है, स्केलर उत्पाद के संकेत द्वारा वर्णित सतह अभिविन्यास के अनुसार कई गुना सही ढंग से माना जाता है

{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}

.

इस प्रकार एक सपाट सतह क्षेत्र वाले एक छोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगाया जा सकता है $dS$ , अभिविन्यास ${\hat {n}}$ , और दूरी $r$ दर्शक के रूप में:

d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),

जहां एक गोले का सतह क्षेत्र है

A = 4 π r 2

.

व्यावहारिक अनुप्रयोग

[[ [[ चमक ]]दार तीव्रता ]] और चमक को परिभाषित करना, और संबंधित रेडियोमेट्रिक मात्राएं उज्ज्वल तीव्रता और चमक
गोलाकार त्रिकोणमिति की गणना#क्षेत्रफल और गोलीय आधिक्य $E$ एक गोलाकार त्रिभुज का
सीमा तत्व विधि (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना
धातु परिसरों में लिगेंड ्स के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें
चार्ज वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत की गणना करना
गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना
रदरफोर्ड बिखराव में क्रॉस सेक्शन की गणना करना
रमन बिखरना में क्रॉस सेक्शन की गणना करना
प्रकाशित तंतु के स्वीकृति शंकु का ठोस कोण

सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण

शंकु, गोलाकार टोपी, गोलार्ध

File:Steradian cone and cap.svg

एक गोले के अंदर शंकु (1) और गोलाकार टोपी (2) का खंड। इस आंकड़े में

θ = A /2

और

r = 1

.

ठोस कोण के शीर्ष पर एक शंकु (ज्यामिति) का ठोस कोण, और शीर्ष (ज्यामिति) कोण 2 के साथ $θ$ , एक इकाई गोले पर एक गोलाकार टोपी का क्षेत्रफल है

\Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.

छोटे के लिए

θ

ऐसा है कि

cos θ \approx 1 - θ 2 /2

यह कम हो जाता है

π θ 2

, एक वृत्त का क्षेत्र।

यूनिट स्फेरिकल कोऑर्डिनेट सिस्टम#इंटीग्रेशन और डिफरेंशियल इन गोलाकार कोऑर्डिनेट का उपयोग करके निम्नलिखित दोहरा अभिन्न की गणना करके उपरोक्त पाया जाता है:

\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{θ} \sin θ^{'} d θ^{'} \end{aligned}

@@ Line 17: / Line 17: @@
 | derivations = <math>\Omega = A/r^2</math>
 }}
-[[ ज्यामिति ]] में, एक ठोस कोण (प्रतीक: {{math|Ω}}) किसी दिए गए ऑब्जेक्ट को कवर करने वाले किसी विशेष बिंदु से [[ देखने के क्षेत्र ]] की मात्रा का एक उपाय है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है।
+[[ ज्यामिति ]] में, एक ठोस कोण (प्रतीक: {{math|Ω}})किसी विशेष बिंदु से [[ देखने के क्षेत्र |देखने के क्षेत्र]] की मात्रा का एक माप है जो किसी दिए गए ऑब्जेक्ट को कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि वस्तु उस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।
-जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और वस्तु को उस बिंदु पर उसके ठोस कोण को अंतरित कोण कहा जाता है।
-[[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली ]] (एसआई) में, एक ठोस कोण माप की एक आयामहीन मात्रा इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे [[ steradian ]] (प्रतीक: sr) कहा जाता है। एक स्टेरेडियन शीर्ष के आसपास के [[ इकाई क्षेत्र ]] पर क्षेत्र की एक इकाई से मेल खाता है, इसलिए एक वस्तु जो शीर्ष से सभी किरणों को अवरुद्ध करती है, वह इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र के बराबर कई स्टेरेडियन को कवर करेगी, <math>4\pi</math>. ठोस कोणों को कोणीय उपायों जैसे [[ वर्ग डिग्री ]], मिनट और सेकंड के वर्गों में भी मापा जा सकता है।
+[[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली ]] (एसआई) में, एक ठोस कोण को एक आयामहीन इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे [[ steradian |steradian]] (प्रतीक: sr) कहा जाता है। एक स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर [[ इकाई क्षेत्र |इकाई क्षेत्र]]पर एक इकाई क्षेत्र से मेल खाता है, इसलिए एक वस्तु जो शीर्ष से सभी किरणों को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी, <math>4\pi</math>। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।
 पास की एक छोटी वस्तु दूर की बड़ी वस्तु के समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

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परिभाषा और गुण

व्यावहारिक अनुप्रयोग

सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण

शंकु, गोलाकार टोपी, गोलार्ध