मॉड्यूल (गणित)

गणित में, एक मॉड्यूल सदिश स्थान की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें अदिश (गणित) के क्षेत्र (गणित) को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। 'मॉड्यूल' की अवधारणा विनिमेय समूह की धारणा को भी सामान्यीकृत करती है, क्योंकि विनिमेय समूह पूर्णांकों के वलय के ऊपर के मॉड्यूल हैं।

सदिश स्थान की तरह, एक मॉड्यूल एक योज्य विनिमेय समूह है, और अदिश गुणन वलय या मॉड्यूल के तत्वों के बीच जोड़ के संचालन पर वितरण गुण है और वलय गुणन के साथ अर्धसमूह क्रिया है।

मॉड्यूल समूह (गणित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से बहुत निकट से संबंधित हैं। वह क्रम विनिमेय बीजगणित और अनुरूपता बीजगणित के केंद्रीय विचारों में से एक हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

परिचय और परिभाषा

प्रेरणा

सदिश स्थान में, अदिशों का समुच्चय एक क्षेत्र होता है और अदिश गुणन द्वारा सदिशों पर कार्य करता है, जो वितरण नियम जैसे कुछ स्वयंसिद्धों के अधीन होता है। एक मॉड्यूल में, अदिशों को केवल एक वलय (गणित) आवश्यकता होती है, इसलिए मॉड्यूल अवधारणा एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। क्रमविनिमेय बीजगणित में, दोनों आदर्श (वलय सिद्धांत) और भागफल के वलय मॉड्यूल हैं, ताकि आदर्शों या भागफल के वलय के बारे में कई तर्कों को मॉड्यूल के बारे में एक ही तर्क में जोड़ा जा सके। गैर-क्रमविनिमेय बीजगणित में, बाएं आदर्शों, आदर्शों और मॉड्यूल के बीच का अंतर अधिक स्पष्ट हो जाता है, चूंकि कुछ वलयों-सैद्धांतिक स्थितियों को या तो बाएं आदर्शों या बाएं मॉड्यूल के बारे में व्यक्त किया जा सकता है।

मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में अच्छी तरह से व्यवहार वाली वलय पर मॉड्यूल के दायरे में संभव के रूप में सदिश रिक्त स्थान के कई वांछनीय गुणों का विस्तार होता है, जैसे कि एक प्रमुख आदर्श डोमेन। चूंकि, सदिश रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल थोड़ा अधिक जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, सभी मॉड्यूल का आधार (रैखिक बीजगणित) नहीं होता है, और यहां तक ​​​​कि जो ऐसा करते है, मुफ्त मॉड्यूल के लिए, एक अद्वितीय रैंक की आवश्यकता नहीं होती है यदि अंतर्निहित वलय अपरिवर्तनीय आधार संख्या की स्थिति को पूरा नहीं करती है, जिसमें हमेशा एक (संभवतः अनंत) होता है। आधार जिसकी कार्डिनैलिटी तब अद्वितीय है। (इन अंतिम दो अभिकथनों को सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, लेकिन परिमित-आयामी रिक्त स्थान या कुछ अच्छी तरह से व्यवहार किए गए अनंत-आयामी रिक्त स्थान जैसे L^p रिक्त स्थान के मामले में नहीं।)

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि R एक वलय (गणित) है, और 1 इसकी गुणात्मक तत्समक है।

एक 'बायाँ R-मॉड्यूल' M में एक विनिमेय समूह (M, +) और एक ऑपरेशन R × M → M होता है जैसे कि सभी r, s में R और x, y में M ​​के लिए, हमारे पास है

1. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
2. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
3. $(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
4. $1\cdot x=x.$

संक्रिया (·) को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक (·) को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और R में गुणन के लिए संसर्ग आरक्षित रखते हैं। कोई इ�