अतान2 (atan2): Difference between revisions

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== परिभाषा और गणना ==
== परिभाषा और गणना ==
{{anchor|Definition}}कार्यक्रम {{math|अटन2}} जटिल संख्या {{math|''x'' + ''i''&hairsp;''y''}} पर लागू तर्क फ़ंक्शन के मुख्य मान की गणना करता है। अर्थात्, {{math|1=atan2(''y'', ''x'') = Pr arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'') = Arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'')}}  कोण में कोई फर्क किए बिना तर्क को {{math|2π}} (मूल के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ के अनुरूप) के मनमाने ढंग से बदला जा सकता है, लेकिन {{math|atan2}} को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए  <math>( -\pi, \pi ]</math> {{math|−''π'' < atan2(''y'', ''x'') ≤ ''π''}}   
{{anchor|Definition}}कार्यक्रम {{math|atan2}} जटिल संख्या {{math|''x'' + ''i''&hairsp;''y''}} पर लागू तर्क फलन के मुख्य मान की गणना करता है। अर्थात्, {{math|1=atan2(''y'', ''x'') = Pr arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'') = Arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'')}}  कोण में कोई फर्क किए बिना तर्क को {{math|2π}} (मूल के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ के अनुरूप) के मनमाने ढंग से बदला जा सकता है, लेकिन {{math|atan2}} को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए  <math>( -\pi, \pi ]</math> {{math|−''π'' < atan2(''y'', ''x'') ≤ ''π''}}   


मानक के संदर्भ में {{math|आर्कटान}} कार्य, जिसकी सीमा {{open-closed|−π/2, π/2}} है , इसे एक ऐसी सतह को परिभाषित करने के लिए निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है जिसमें सेमी-इनफिनिट लाइन x<0 y=0 के अतिरिक्त कोई असततता नहीं है:
मानक के संदर्भ में {{math|arctan}} कार्य, जिसकी सीमा {{open-closed|−π/2, π/2}} है , इसे इस प्रकार परिभाषित करने के लिए निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है जिसमें सेमी-अनंत लाइन x<0 y=0 के अतिरिक्त कोई असततता नहीं है:


<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
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  \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.
  \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
चार अतिव्यापी आधे विमानों के साथ एक कॉम्पैक्ट एक्सप्रेशन है
चार अतिव्यापी आधे तलों के साथ एक कॉम्पैक्ट एक्सप्रेशन है


<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
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&\qquad + \bigl(1-2[y<0]\bigr) \left( \pi [x<0] + \tfrac12\pi[x=0] \right) \\[5mu]
&\qquad + \bigl(1-2[y<0]\bigr) \left( \pi [x<0] + \tfrac12\pi[x=0] \right) \\[5mu]
&\qquad + \text{undefined}\;\![x=0 \wedge y=0]
&\qquad + \text{undefined}\;\![x=0 \wedge y=0]
\end{align}</math> स्पष्ट सशर्त के बिना सूत्र (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग):
\end{align}</math> स्पष्ट सशर्त के बिना सूत्र (कंप्यूटर भाषा ):
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \lim_{z \to x^+}\arctan\left(\frac{y}{z}\right) + \frac{\pi}2\sgn(y)\sgn(x)\left(\sgn(x)-1\right) </math>
<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) = \lim_{z \to x^+}\arctan\left(\frac{y}{z}\right) + \frac{\pi}2\sgn(y)\sgn(x)\left(\sgn(x)-1\right) </math>
स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र से प्राप्त निम्न अभिव्यक्ति का उपयोग {{math|atan2}} परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है :
स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र से प्राप्त निम्न अभिव्यक्ति का उपयोग {{math|atan2}} परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है :
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[[File:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|thumb|तर्क के प्रमुख मूल्य की व्युत्पत्ति इस आंकड़े को संदर्भित करती है]]टिप्पणियाँ:
[[File:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|thumb|तर्क के प्रमुख मूल्य की व्युत्पत्ति इस आंकड़े को संदर्भित करती है]]टिप्पणियाँ:
* यह सीमा में परिणाम पैदा करता है {{open-closed|−π, π}}.<ref group="note">One can apply the periodicity of the result to map to another desired range, e.g. mapping to {{closed-open|0, 2π}} by adding {{math|2π}} to the negative results.</ref>
* यह सीमा में परिणाम पैदा करता है {{open-closed|−π, π}}.<ref group="note">One can apply the periodicity of the result to map to another desired range, e.g. mapping to {{closed-open|0, 2π}} by adding {{math|2π}} to the negative results.</ref>
* जैसा ऊपर बताया गया है, तर्क का मुख्य मूल्य {{math|atan2(''y'', ''x'')}} त्रिकोणमिति द्वारा  {{math|आर्कटन(''y''/''x'')}} से संबंधित हो सकता है। व्युत्पत्ति इस प्रकार है:{{pb}} यदि {{math|1=(''x'', ''y'')  = (''r'' cos ''θ'', ''r'' sin ''θ'')}}, तो {{math|1=tan(''θ''/2) = ''y'' / (''r'' + ''x'')}}. यह इस प्रकार है कि <math display="block">\operatorname{atan2}(y, x) = \theta = 2\,\theta/2 = 2\arctan\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}.</math> ध्यान दें कि {{math|{{sqrt|''x''{{sup|{{small|2}}}} + ''y''{{sup|{{small|2}}}}}} + x ≠ 0}} संबंधित डोमेन में।
* जैसा ऊपर बताया गया है, तर्क का मुख्य मूल्य {{math|atan2(''y'', ''x'')}} त्रिकोणमिति द्वारा  {{math|arcton(''y''/''x'')}} से संबंधित हो सकता है। व्युत्पत्ति इस प्रकार है:{{pb}} यदि {{math|1=(''x'', ''y'')  = (''r'' cos ''θ'', ''r'' sin ''θ'')}}, तो {{math|1=tan(''θ''/2) = ''y'' / (''r'' + ''x'')}}. यह इस प्रकार है कि <math display="block">\operatorname{atan2}(y, x) = \theta = 2\,\theta/2 = 2\arctan\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}.</math> ध्यान दें कि {{math|{{sqrt|''x''{{sup|{{small|2}}}} + ''y''{{sup|{{small|2}}}}}} + x ≠ 0}} संबंधित डोमेन में।


== व्युत्पन्न ==
== व्युत्पन्न ==
{{details|Winding number}}
{{details|घुमावदार संख्या
समारोह के रूप में {{math|atan2}} दो चरों का एक फलन है, इसके दो आंशिक अवकलज हैं। उन बिंदुओं पर जहां ये डेरिवेटिव मौजूद हैं, {{math|atan2}} स्थिरांक को छोड़कर, के बराबर है {{math|arctan(''y''/''x'')}}. इसलिए के लिए {{math|''x'' > 0}} या {{math|''y'' ≠ 0}},
}}
समारोह के रूप में {{math|atan2}} दो चरों का एक फलन है, इसके दो आंशिक अवकलज हैं। उन बिंदुओं पर जहां ये डेरिवेटिव सम्मलित हैं, {{math|atan2}} स्थिरांक को छोड़कर, के बराबर है {{math|arctan(''y''/''x'')}}. इसलिए के लिए {{math|''x'' > 0}} या {{math|''y'' ≠ 0}},
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
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अत: atan2 की प्रवणता किसके द्वारा दी जाती है
अत: atan2 की प्रवणता किसके द्वारा दी जाती है
:<math>\nabla \text{atan2}(y,x)=\left({-y\over x^2+y^2}, \ {x\over x^2+y^2}\right).</math>
:<math>\nabla \text{atan2}(y,x)=\left({-y\over x^2+y^2}, \ {x\over x^2+y^2}\right).</math>
अनौपचारिक रूप से समारोह का प्रतिनिधित्व करना {{math|atan2}} कोण समारोह के रूप में {{math|1=''θ''(''x'', ''y'') = atan2(''y'', ''x'')}} (जो केवल स्थिरांक तक परिभाषित है) [[कुल अंतर]] के लिए निम्न सूत्र देता है:
अनौपचारिक रूप से फलन का प्रतिनिधित्व करना {{math|atan2}} कोण फलन के रूप में {{math|1=''θ''(''x'', ''y'') = atan2(''y'', ''x'')}} (जो केवल स्थिरांक तक परिभाषित है) [[कुल अंतर]] के लिए निम्न सूत्र देता है:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\mathrm{d}\theta
\mathrm{d}\theta
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&= -\frac{y}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y.
&= -\frac{y}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जबकि समारोह {{math|atan2}} नकारात्मक के साथ असंतत है {{mvar|x}}-अक्ष, इस तथ्य को दर्शाता है कि कोण को लगातार परिभाषित नहीं किया जा सकता है, इस व्युत्पन्न को मूल को छोड़कर लगातार परिभाषित किया जाता है, इस तथ्य को दर्शाता है कि मूल को छोड़कर हर जगह अनंत (और वास्तव में स्थानीय) परिवर्तन को परिभाषित किया जा सकता है। पथ के साथ इस व्युत्पन्न को एकीकृत करने से पथ पर कोण में कुल परिवर्तन होता है, और एक बंद लूप पर एकीकृत करने से [[घुमावदार संख्या]] मिलती है।
जबकि फलन {{math|atan2}} नकारात्मक के साथ असंतत है {{mvar|x}}-अक्ष, इस तथ्य को दर्शाता है कि कोण को लगातार परिभाषित नहीं किया जा सकता है, इस व्युत्पन्न को मूल को छोड़कर लगातार परिभाषित किया जाता है, इस तथ्य को दर्शाता है कि मूल को छोड़कर हर जगह अनंत (और वास्तव में स्थानीय) परिवर्तन को परिभाषित किया जा सकता है। पथ के साथ इस व्युत्पन्न को एकीकृत करने से पथ पर कोण में कुल परिवर्तन होता है, और एक बंद लूप पर एकीकृत करने से [[घुमावदार संख्या]] मिलती है।


डिफरेंशियल ज्योमेट्री की भाषा में, यह व्युत्पन्न एक-रूप है, और यह [[बंद अंतर रूप]] है (इसका व्युत्पन्न शून्य है) लेकिन [[सटीक अंतर रूप]] नहीं है (यह 0-रूप का व्युत्पन्न नहीं है, अर्थात, एक कार्य), और वास्तव में यह पंक्चर किए गए विमान का पहला [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] उत्पन्न करता है। यह इस तरह के एक रूप का सबसे बुनियादी उदाहरण है, और यह [[अंतर ज्यामिति]] में मौलिक है।
अंतर ज्यामिति की भाषा में, यह व्युत्पन्न एक-रूप है, और यह [[बंद अंतर रूप]] है (इसका व्युत्पन्न शून्य है) लेकिन [[सटीक अंतर रूप]] नहीं है (यह 0-रूप का व्युत्पन्न नहीं है, अर्थात, एक कार्य), और वास्तव में यह पंक्चर किए गए तल का पहला [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] उत्पन्न करता है। यह इस प्रकार के एक रूप का सबसे बुनियादी उदाहरण है, और यह [[अंतर ज्यामिति]] में मौलिक है।


का आंशिक डेरिवेटिव {{math|atan2}} त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन शामिल नहीं हैं, जो इसे कई अनुप्रयोगों (जैसे एम्बेडेड सिस्टम) में विशेष रूप से उपयोगी बनाता है जहां त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मूल्यांकन करना महंगा हो सकता है।
आंशिक डेरिवेटिव {{math|atan2}} त्रिकोणमितीय फलन सम्मलित नहीं हैं, जो इसे कई अनुप्रयोगों (जैसे एम्बेडेड प्रणाली) में विशेष रूप से उपयोगी बनाता है जहां त्रिकोणमितीय फलन का मूल्यांकन करना महंगा हो सकता है।


== चित्रण ==
== चित्रण ==
[[File:Atan2 60.svg|thumb|right|300px|atan2 चयनित किरणों के लिए]]यह आंकड़ा यूनिट सर्कल पर लेबल किए गए उत्पत्ति से चयनित किरणों के साथ अटन2 के मान दिखाता है। रेडियन में मान वृत्त के अंदर दिखाए जाते हैं। आरेख मानक गणितीय सम्मेलन का उपयोग करता है जो कोणों को शून्य से दाईं ओर किरण के साथ [[दक्षिणावर्त]] बढ़ाता है। ध्यान दें कि तर्कों {{math|atan2(''y'', ''x'')}} का क्रम उल्टा है; फलन {{math|(''x'', ''y'')}}  बिंदु के अनुरूप कोण की गणना करता है .
[[File:Atan2 60.svg|thumb|right|300px|atan2 चयनित किरणों के लिए]]यह आंकड़ा इकाई घेरा पर लेबल किए गए उत्पत्ति से चयनित किरणों के साथ '''atan2''' के मान दिखाता है। रेडियन में मान वृत्त के अंदर दिखाए जाते हैं। आरेख मानक गणितीय सम्मेलन का उपयोग करता है जो कोणों को शून्य से दाईं ओर किरण के साथ [[दक्षिणावर्त]] बढ़ाता है। ध्यान दें कि तर्कों {{math|atan2(''y'', ''x'')}} का क्रम उल्टा है; फलन {{math|(''x'', ''y'')}}  बिंदु के अनुरूप कोण की गणना करता है .
{{clear}}
{{clear}}


[[File:Atan2atan.png|thumb|right|300px|व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और atan2 कार्यों की तुलना]]यह आंकड़ा <math>\arctan(\tan(\theta))</math> के साथ-साथ <math>\operatorname {atan2}(\sin(\theta),\cos(\theta))</math> के मान दिखाता है  <math>0\le \theta \le 2\pi</math> दोनों कार्य क्रमशः <math>\pi</math> तथा <math>2\pi</math> के साथ विषम और आवधिक हैं, और इस प्रकार <math>\theta</math> के वास्तविक मूल्यों के किसी भी क्षेत्र में आसानी से पूरक हो सकते हैं। <math>\theta = \pi</math> <math>\operatorname {atan2}</math> और  <math>\theta \in \{\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\}</math> <math>\arctan</math> की शाखाओं में कटौती साफ देखी जा सकती है <ref>{{cite web|url=http://www.mndynamics.com/indexp.html|title=वुल्फ जंग: मंडल, जटिल गतिशीलता के लिए सॉफ्टवेयर|website=www.mndynamics.com|access-date=20 April 2018}}</ref>
[[File:Atan2atan.png|thumb|right|300px|व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और atan2 कार्यों की तुलना]]यह आंकड़ा <math>\arctan(\tan(\theta))</math> के साथ-साथ <math>\operatorname {atan2}(\sin(\theta),\cos(\theta))</math> के मान दिखाता है  <math>0\le \theta \le 2\pi</math> दोनों कार्य क्रमशः <math>\pi</math> तथा <math>2\pi</math> के साथ विषम और आवधिक हैं, और इस प्रकार <math>\theta</math> के वास्तविक मूल्यों के किसी भी क्षेत्र में आसानी से पूरक हो सकते हैं। <math>\theta = \pi</math> <math>\operatorname {atan2}</math> और  <math>\theta \in \{\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\}</math> <math>\arctan</math> की शाखाओं में कटौती साफ देखी जा सकती है <ref>{{cite web|url=http://www.mndynamics.com/indexp.html|title=वुल्फ जंग: मंडल, जटिल गतिशीलता के लिए सॉफ्टवेयर|website=www.mndynamics.com|access-date=20 April 2018}}</ref>
नीचे दिए गए दो आंकड़े क्रमशः {{math|atan2(''y'', ''x'')}} और {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} विमान के एक क्षेत्र के ऊपर। ध्यान दें कि {{math|atan2(''y'', ''x'')}} के लिए, मूल बिंदु से निकलने वाले X/Y-प्लेन में किरणों का मान स्थिर होता है, लेकिन  {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}}  एक्स/वाई-प्लेन मूल बिंदु से गुजरने वाली X/Y-तल में रेखाओं का मान स्थिर रहता है।{{math|''x'' > 0}} के लिए, दो आरेख समान मान देते हैं।   
नीचे दिए गए दो आंकड़े क्रमशः {{math|atan2(''y'', ''x'')}} और {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} तल के एक क्षेत्र के ऊपर। ध्यान दें कि {{math|atan2(''y'', ''x'')}} के लिए, मूल बिंदु से निकलने वाले X/Y-तल में किरणों का मान स्थिर होता है, लेकिन  {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}}  X/Y-तल मूल बिंदु से गुजरने वाली X/Y-तल में रेखाओं का मान स्थिर रहता है।{{math|''x'' > 0}} के लिए, दो आरेख समान मान देते हैं।   


{| class="wikitable" style="text-align: center;
{| class="wikitable" style="text-align: center;
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== कोण योग और अंतर पहचान ==
== कोण योग और अंतर पहचान ==
{{Main|List of trigonometric identities#Angle sum and difference identities}}
{{Main|त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची कोण योग और अंतर सर्वसमिका
}}
<math>\operatorname{atan2}</math> का योग निम्नलिखित पहचान के अनुसार एक ही ऑपरेशन में संक्षिप्त किया जा सकता है
<math>\operatorname{atan2}</math> का योग निम्नलिखित पहचान के अनुसार एक ही ऑपरेशन में संक्षिप्त किया जा सकता है


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.<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) \in (-\pi, \pi]</math>. उपलब्ध कराया .
.<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) \in (-\pi, \pi]</math>. उपलब्ध कराया .


प्रमाण में दो स्थितियों पर विचार करना सम्मलित है, एक जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math> और एक कहाँ <math>y_2 = 0</math> तथा <math>x_2 < 0</math>.
प्रमाण में दो स्थितियों पर विचार करना सम्मलित है, एक जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math> और एक <math>y_2 = 0</math> तथा <math>x_2 < 0</math>.


हम केवल उस स्थितिपर विचार करते हैं जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math>. शुरू करने के लिए, हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं:
हम केवल उस स्थिति पर विचार करते हैं जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math>. शुरू करने के लिए, हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं:


# <math>-\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-y,x)</math> उसे उपलब्ध कराया <math>y \neq 0</math> या <math>x > 0</math>.
# <math>-\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-y,x)</math> उसे उपलब्ध कराया <math>y \neq 0</math> या <math>x > 0</math>.
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# <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.
# <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.


देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क (जटिल विश्लेषण) पहचान है <math>e^{i \operatorname{Arg} \zeta} = \bar{\zeta}</math> कहाँ पे <math>\bar{\zeta} = \zeta / \left|\zeta\right|</math>, इसलिये <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2})</math>. इसके अतिरिक्त, चूंकि <math>\operatorname{Arg} \zeta = \operatorname{Arg} a \zeta</math> किसी भी सकारात्मक वास्तविक मूल्य के लिए <math>a</math>, तो अगर हम करते हैं <math>\zeta = \zeta_1 \zeta_2</math> तथा <math>a = \frac{1}{\left|\zeta_1\right|\left|\zeta_2\right|}</math> तो हमारे पास हैं <math>\operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.
देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क (जटिल विश्लेषण) पहचान है <math>e^{i \operatorname{Arg} \zeta} = \bar{\zeta}</math> कहाँ पे <math>\bar{\zeta} = \zeta / \left|\zeta\right|</math>, इसलिये <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2})</math>. इसके अतिरिक्त, चूंकि <math>\operatorname{Arg} \zeta = \operatorname{Arg} a \zeta</math> किसी भी सकारात्मक वास्तविक मूल्य के लिए <math>a</math>, तो यदि हम करते हैं <math>\zeta = \zeta_1 \zeta_2</math> तथा <math>a = \frac{1}{\left|\zeta_1\right|\left|\zeta_2\right|}</math> तो हमारे पास हैं <math>\operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.


इन अवलोकनों से निम्नलिखित समानताएं हैं:
इन अवलोकनों से निम्नलिखित समानताएं हैं:
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परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी वैक्टर हैं, उन वैक्टरों के बीच कोण की सहायता से गणना करने के लिए अभ्यास में अंतर सूत्र का प्रायः <math>\operatorname{atan2}</math> उपयोग किया जाता है , क्योंकि परिणामी संगणना  <math>(-\pi, \pi]</math>सीमा में सौम्य व्यवहार करती है और इस प्रकार कई व्यावहारिक स्थितियों में रेंज चेक के बिना इसका उपयोग किया जा सकता है।
परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी वैक्टर हैं, उन वैक्टरों के बीच कोण की सहायता से गणना करने के लिए अभ्यास में अंतर सूत्र का प्रायः <math>\operatorname{atan2}</math> उपयोग किया जाता है , क्योंकि परिणामी संगणना  <math>(-\pi, \pi]</math>सीमा में सौम्य व्यवहार करती है और इस प्रकार कई व्यावहारिक स्थितियों में रेंज चेक के बिना इसका उपयोग किया जा सकता है।


== पूर्व-वामावर्त, उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा में, आदि। == <math>\mathrm{atan2}</math> h> फ़ंक्शन मूल रूप से शुद्ध गणित में सम्मेलन के लिए डिज़ाइन किया गया था जिसे पूर्व-वामावर्त कहा जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, चूँकि , उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-दक्षिणावर्त सम्मेलन प्रायः आदर्श होते हैं। वायुमंडलीय विज्ञान में, उदाहरण के लिए, [[हवा की दिशा]] का उपयोग करके <math>\mathrm{atan2}</math> गणना की जा सकती है  इसके तर्कों के रूप में पवन सदिश के पूर्व- और उत्तर-घटकों के साथ कार्य करना;<ref>Wind Direction Quick Reference, NCAR UCAR Earth Observing Laboratory. https://www.eol.ucar.edu/content/wind-direction-quick-reference</ref> [[सौर दिगंश कोण]] की गणना सौर वेक्टर के पूर्व और उत्तर-घटकों के तर्कों के समान ही की जा सकती है। हवा की दिशा सामान्य रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त अर्थ में परिभाषित की जाती है, और सौर दिगंश कोण व्यापक रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा दोनों का उपयोग करता है।<ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.renene.2021.03.047|title=एक सौर दिगंश सूत्र जो गणितीय कठोरता से समझौता किए बिना परिस्थितिजन्य उपचार को अनावश्यक बनाता है: गणितीय सेटअप, सबसोलर बिंदु और atan2 फ़ंक्शन के आधार पर एक सूत्र का अनुप्रयोग और विस्तार|year=2021|last1=Zhang|first1=Taiping|last2=Stackhouse|first2=Paul W.|last3=MacPherson|first3=Bradley|last4=Mikovitz|first4=J. Colleen|journal=Renewable Energy|volume=172|pages=1333–1340|s2cid=233631040}}</ref> इन विभिन्न परिपाटियों को पदों की अदला-बदली करके और x- और y-तर्कों के संकेतों को निम्नानुसार बदलकर महसूस किया जा सकता है:
== पूर्व-वामावर्त, उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा में, आदि। <math>\mathrm{atan2}</math> h> फलन मूल रूप से शुद्ध गणित में सम्मेलन के लिए डिज़ाइन किया गया था जिसे पूर्व-वामावर्त कहा जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, चूँकि , उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-दक्षिणावर्त सम्मेलन प्रायः आदर्श होते हैं। वायुमंडलीय विज्ञान में, उदाहरण के लिए, [[हवा की दिशा]] का उपयोग करके <math>\mathrm{atan2}</math> गणना की जा सकती है  इसके तर्कों के रूप में पवन सदिश के पूर्व- और उत्तर-घटकों के साथ कार्य करना;<ref>Wind Direction Quick Reference, NCAR UCAR Earth Observing Laboratory. https://www.eol.ucar.edu/content/wind-direction-quick-reference</ref> [[सौर दिगंश कोण]] की गणना सौर वेक्टर के पूर्व और उत्तर-घटकों के तर्कों के समान ही की जा सकती है। हवा की दिशा सामान्य रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त अर्थ में परिभाषित की जाती है, और सौर दिगंश कोण व्यापक रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा दोनों का उपयोग करता है।<ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.renene.2021.03.047|title=एक सौर दिगंश सूत्र जो गणितीय कठोरता से समझौता किए बिना परिस्थितिजन्य उपचार को अनावश्यक बनाता है: गणितीय सेटअप, सबसोलर बिंदु और atan2 फ़ंक्शन के आधार पर एक सूत्र का अनुप्रयोग और विस्तार|year=2021|last1=Zhang|first1=Taiping|last2=Stackhouse|first2=Paul W.|last3=MacPherson|first3=Bradley|last4=Mikovitz|first4=J. Colleen|journal=Renewable Energy|volume=172|pages=1333–1340|s2cid=233631040}}</ref> इन विभिन्न परिपाटियों को पदों की आदान-प्रदान करके और x- y-तर्कों के संकेतों को निम्नानुसार बदलकर महसूस किया जा सकता है:
* <math>\mathrm{atan2}(y, x),\;\;\;\;\;</math> (पूर्व-वामावर्त कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(y, x),\;\;\;\;\;</math> (पूर्व-वामावर्त कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(x, y),\;\;\;\;\;</math> (उत्तर-क्लॉकवाइज कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(x, y),\;\;\;\;\;</math> (उत्तर-क्लॉकवाइज कन्वेंशन)
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एक उदाहरण के रूप में, चलो <math>x_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> तथा <math>y_{0}=\frac{1}{2}</math>, तो पूर्व-वामावर्त स्वरूप <math>\mathrm{atan2}(y_{0}, x_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=30^{\circ}</math> देता है , उत्तर-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(x_{0}, y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=60^{\circ}</math> प्रारूप देता है , और दक्षिण-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(-x_{0}, -y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=-120^{\circ}</math>प्रारूप देता है .
एक उदाहरण के रूप में, चलो <math>x_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> तथा <math>y_{0}=\frac{1}{2}</math>, तो पूर्व-वामावर्त स्वरूप <math>\mathrm{atan2}(y_{0}, x_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=30^{\circ}</math> देता है , उत्तर-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(x_{0}, y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=60^{\circ}</math> प्रारूप देता है , और दक्षिण-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(-x_{0}, -y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=-120^{\circ}</math>प्रारूप देता है .


प्रकट कर सकते हैं , x- और/या y-तर्कों के चिह्न को बदलने और उनकी स्थितियों की अदला-बदली करने से के 8 संभावित रूपांतर  पैदा हो सकते हैं  <math>\mathrm{atan2}</math> कार्य करते हैं और वे, दिलचस्प रूप से, कोण की 8 संभावित परिभाषाओं के अनुरूप हैं, अर्थात्, दक्षिणावर्त या वामावर्त 4 मुख्य दिशाओं, उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम में से प्रत्येक से शुरू होते हैं।
प्रकट कर सकते हैं , x- और/या y-तर्कों के चिह्न को बदलने और उनकी स्थितियों की आदान-प्रदान करने से के 8 संभावित रूपांतर  पैदा हो सकते हैं  <math>\mathrm{atan2}</math> कार्य करते हैं और वे, दिलचस्प रूप से, कोण की 8 संभावित परिभाषाओं के अनुरूप हैं, अर्थात्, दक्षिणावर्त या वामावर्त 4 मुख्य दिशाओं, उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम में से प्रत्येक से शुरू होते हैं।


== आम कंप्यूटर भाषाओं में समारोह की प्रतीति ==
== सरल कंप्यूटर भाषाओं में फलन की प्रति ==
फ़ंक्शन की प्राप्ति एक कंप्यूटर भाषा से दूसरे में भिन्न होती है:
फलन की प्राप्ति एक कंप्यूटर भाषा से दूसरे में भिन्न होती है:
* माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में,<ref>{{cite web|url=http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/bb238940.aspx|title=माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल Atan2 विधि|publisher=Microsoft}}</ref> OpenOffice.org Calc, [[LibreOffice Calc]],<ref>{{cite web|url=https://help.libreoffice.org/Calc/Mathematical_Functions#ATAN2|title=लिब्रे ऑफिस कैल्क ATAN2|publisher=Libreoffice.org}}</ref> [[गूगल दस्तावेज़]],<ref>{{Cite web|url=https://support.google.com/docs/topic/1361471 |title=कार्य और सूत्र – दस्तावेज़ संपादक सहायता|website=support.google.com}}</ref> [[नंबर (स्प्रेडशीट)]],<ref>{{cite web|url=https://www.apple.com/mac/numbers/compatibility/functions.html#trigonometric |title=संख्याओं के त्रिकोणमितीय कार्यों की सूची|publisher=Apple }}</ref> और SQL:2008|ANSI SQL:2008 मानक,<ref>{{cite web|url=http://www.info.teradata.com/HTMLPubs/DB_TTU_15_00/index.html#page/SQL_Reference/B035_1145_015K/Arithmetic.062.225.html#ww15697556 |title=एएनएसआई एसक्यूएल: 2008 मानक|publisher=Teradata |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150820094929/http://www.info.teradata.com/HTMLPubs/DB_TTU_15_00/index.html |archive-date=2015-08-20 }}</ref> 2-तर्क आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन के मानक अनुक्रम में दो तर्क हैं <math>(\operatorname{Re}, \operatorname{Im})</math> (उपर्युक्त चर्चा में प्रयुक्त सम्मेलन के सापेक्ष उलटा)।
* माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में,<ref>{{cite web|url=http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/bb238940.aspx|title=माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल Atan2 विधि|publisher=Microsoft}}</ref> OpenOffice.org Calc, [[LibreOffice Calc]],<ref>{{cite web|url=https://help.libreoffice.org/Calc/Mathematical_Functions#ATAN2|title=लिब्रे ऑफिस कैल्क ATAN2|publisher=Libreoffice.org}}</ref> [[गूगल दस्तावेज़]],<ref>{{Cite web|url=https://support.google.com/docs/topic/1361471 |title=कार्य और सूत्र – दस्तावेज़ संपादक सहायता|website=support.google.com}}</ref> [[नंबर (स्प्रेडशीट)]],<ref>{{cite web|url=https://www.apple.com/mac/numbers/compatibility/functions.html#trigonometric |title=संख्याओं के त्रिकोणमितीय कार्यों की सूची|publisher=Apple }}</ref> और SQL:2008|ANSI SQL:2008 मानक,<ref>{{cite web|url=http://www.info.teradata.com/HTMLPubs/DB_TTU_15_00/index.html#page/SQL_Reference/B035_1145_015K/Arithmetic.062.225.html#ww15697556 |title=एएनएसआई एसक्यूएल: 2008 मानक|publisher=Teradata |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150820094929/http://www.info.teradata.com/HTMLPubs/DB_TTU_15_00/index.html |archive-date=2015-08-20 }}</ref> 2-तर्क आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन के मानक अनुक्रम में दो तर्क हैं <math>(\operatorname{Re}, \operatorname{Im})</math> (उपर्युक्त चर्चा में प्रयुक्त सम्मेलन के सापेक्ष उलटा)।
* गणित में, रूप <code>ArcTan[''x'',&hairsp;''y'']</code> उपयोग किया जाता है जहां एक पैरामीटर प्रपत्र सामान्य चापस्पर्शज्या की आपूर्ति करता है। गणित वर्गीकृत करता है <code>ArcTan[0,&hairsp;0]</code> एक अनिश्चित अभिव्यक्ति के रूप में।
* गणित में, रूप <code>ArcTan[''x'',&hairsp;''y'']</code> उपयोग किया जाता है जहां एक पैरामीटर प्रपत्र सामान्य चापस्पर्शज्या की आपूर्ति करता है। गणित वर्गीकृत करता है <code>ArcTan[0,&hairsp;0]</code> एक अनिश्चित अभिव्यक्ति के रूप में।

Revision as of 14:05, 22 December 2022

अटन2(y, x) किरण के बीच बिंदु (x, y) और धनात्मक x-अक्ष पर कोण θ किरण (ज्यामिति) देता है, जो (−π, π] तक सीमित है .
का ग्राफ

कम्प्यूटिंग और गणित में, फलन (गणित) atan2 2-तर्क चाप स्पर्शरेखा है। परिभाषा के अनुसार, कोण माप है (रेडियन में, ) धनात्मक -अक्ष और किरण के बीच मूल से बिंदु तक कार्तीय तल में। समान रूप से, जटिल संख्या का तर्क (जटिल विश्लेषण) (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है 

 h> फलन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा फोरट्रान में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था θ कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में (x, y) ध्रुवीय निर्देशांक के लिए (r, θ). यदि  तथा , फिर