अतान2 (atan2): Difference between revisions

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== कोण योग और अंतर पहचान ==
== कोण योग और अंतर पहचान ==
{{Main|List of trigonometric identities#Angle sum and difference identities}}
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का योग <math>\operatorname{atan2}</math> निम्नलिखित पहचान के अनुसार एक ही ऑपरेशन में संक्षिप्त किया जा सकता है
<math>\operatorname{atan2}</math> का योग निम्नलिखित पहचान के अनुसार एक ही ऑपरेशन में संक्षिप्त किया जा सकता है


:<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2)</math>
:<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2)</math>
...उसे उपलब्ध कराया <math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) \in (-\pi, \pi]</math>.
.<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) \in (-\pi, \pi]</math>. उपलब्ध कराया .


सबूत में दो मामलों पर विचार करना शामिल है, एक जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math> और एक कहाँ <math>y_2 = 0</math> तथा <math>x_2 < 0</math>.
प्रमाण में दो स्थितियों पर विचार करना सम्मलित है, एक जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math> और एक कहाँ <math>y_2 = 0</math> तथा <math>x_2 < 0</math>.


हम केवल उस मामले पर विचार करते हैं जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math>. शुरू करने के लिए, हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं:
हम केवल उस स्थितिपर विचार करते हैं जहां <math>y_2 \neq 0</math> या <math>x_2 > 0</math>. शुरू करने के लिए, हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं:


# <math>-\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-y,x)</math> उसे उपलब्ध कराया <math>y \neq 0</math> या <math>x > 0</math>.
# <math>-\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-y,x)</math> उसे उपलब्ध कराया <math>y \neq 0</math> या <math>x > 0</math>.
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# <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.
# <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.


देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क (जटिल विश्लेषण) # पहचान है <math>e^{i \operatorname{Arg} \zeta} = \bar{\zeta}</math> कहाँ पे <math>\bar{\zeta} = \zeta / \left|\zeta\right|</math>, इसलिये <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2})</math>. इसके अलावा, चूंकि <math>\operatorname{Arg} \zeta = \operatorname{Arg} a \zeta</math> किसी भी सकारात्मक वास्तविक मूल्य के लिए <math>a</math>, तो अगर हम करते हैं <math>\zeta = \zeta_1 \zeta_2</math> तथा <math>a = \frac{1}{\left|\zeta_1\right|\left|\zeta_2\right|}</math> तो हमारे पास हैं <math>\operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.
देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क (जटिल विश्लेषण) पहचान है <math>e^{i \operatorname{Arg} \zeta} = \bar{\zeta}</math> कहाँ पे <math>\bar{\zeta} = \zeta / \left|\zeta\right|</math>, इसलिये <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2})</math>. इसके अतिरिक्त, चूंकि <math>\operatorname{Arg} \zeta = \operatorname{Arg} a \zeta</math> किसी भी सकारात्मक वास्तविक मूल्य के लिए <math>a</math>, तो अगर हम करते हैं <math>\zeta = \zeta_1 \zeta_2</math> तथा <math>a = \frac{1}{\left|\zeta_1\right|\left|\zeta_2\right|}</math> तो हमारे पास हैं <math>\operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.


इन अवलोकनों से निम्नलिखित समानताएं हैं:
इन अवलोकनों से निम्नलिखित समानताएं हैं:
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&{} = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2) & \text{by (2)}
&{} = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm y_2 x_1, x_1 x_2 \mp y_1 y_2) & \text{by (2)}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी वैक्टर हैं, उन वैक्टरों के बीच कोण की सहायता से गणना करने के लिए अभ्यास में अंतर सूत्र का अक्सर उपयोग किया जाता है <math>\operatorname{atan2}</math>, क्योंकि परिणामी संगणना सीमा में सौम्य व्यवहार करती है <math>(-\pi, \pi]</math> और इस प्रकार कई व्यावहारिक स्थितियों में रेंज चेक के बिना इसका उपयोग किया जा सकता है।
परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी वैक्टर हैं, उन वैक्टरों के बीच कोण की सहायता से गणना करने के लिए अभ्यास में अंतर सूत्र का प्रायः <math>\operatorname{atan2}</math> उपयोग किया जाता है , क्योंकि परिणामी संगणना <math>(-\pi, \pi]</math>सीमा में सौम्य व्यवहार करती है और इस प्रकार कई व्यावहारिक स्थितियों में रेंज चेक के बिना इसका उपयोग किया जा सकता है।


== पूर्व-वामावर्त, उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा में, आदि। == <math>\mathrm{atan2}</math> h> फ़ंक्शन मूल रूप से शुद्ध गणित में सम्मेलन के लिए डिज़ाइन किया गया था जिसे पूर्व-वामावर्त कहा जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, हालांकि, उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-दक्षिणावर्त सम्मेलन अक्सर आदर्श होते हैं। वायुमंडलीय विज्ञान में, उदाहरण के लिए, [[हवा की दिशा]] का उपयोग करके गणना की जा सकती है <math>\mathrm{atan2}</math> इसके तर्कों के रूप में पवन सदिश के पूर्व- और उत्तर-घटकों के साथ कार्य करना;<ref>Wind Direction Quick Reference, NCAR UCAR Earth Observing Laboratory. https://www.eol.ucar.edu/content/wind-direction-quick-reference</ref> [[सौर दिगंश कोण]] की गणना सौर वेक्टर के पूर्व और उत्तर-घटकों के तर्कों के समान ही की जा सकती है। हवा की दिशा सामान्य रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त अर्थ में परिभाषित की जाती है, और सौर दिगंश कोण व्यापक रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा दोनों का उपयोग करता है।<ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.renene.2021.03.047|title=एक सौर दिगंश सूत्र जो गणितीय कठोरता से समझौता किए बिना परिस्थितिजन्य उपचार को अनावश्यक बनाता है: गणितीय सेटअप, सबसोलर बिंदु और atan2 फ़ंक्शन के आधार पर एक सूत्र का अनुप्रयोग और विस्तार|year=2021|last1=Zhang|first1=Taiping|last2=Stackhouse|first2=Paul W.|last3=MacPherson|first3=Bradley|last4=Mikovitz|first4=J. Colleen|journal=Renewable Energy|volume=172|pages=1333–1340|s2cid=233631040}}</ref> इन विभिन्न परिपाटियों को पदों की अदला-बदली करके और x- और y-तर्कों के संकेतों को निम्नानुसार बदलकर महसूस किया जा सकता है:
== पूर्व-वामावर्त, उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा में, आदि। == <math>\mathrm{atan2}</math> h> फ़ंक्शन मूल रूप से शुद्ध गणित में सम्मेलन के लिए डिज़ाइन किया गया था जिसे पूर्व-वामावर्त कहा जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, चूँकि , उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-दक्षिणावर्त सम्मेलन प्रायः आदर्श होते हैं। वायुमंडलीय विज्ञान में, उदाहरण के लिए, [[हवा की दिशा]] का उपयोग करके <math>\mathrm{atan2}</math> गणना की जा सकती है  इसके तर्कों के रूप में पवन सदिश के पूर्व- और उत्तर-घटकों के साथ कार्य करना;<ref>Wind Direction Quick Reference, NCAR UCAR Earth Observing Laboratory. https://www.eol.ucar.edu/content/wind-direction-quick-reference</ref> [[सौर दिगंश कोण]] की गणना सौर वेक्टर के पूर्व और उत्तर-घटकों के तर्कों के समान ही की जा सकती है। हवा की दिशा सामान्य रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त अर्थ में परिभाषित की जाती है, और सौर दिगंश कोण व्यापक रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा दोनों का उपयोग करता है।<ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.renene.2021.03.047|title=एक सौर दिगंश सूत्र जो गणितीय कठोरता से समझौता किए बिना परिस्थितिजन्य उपचार को अनावश्यक बनाता है: गणितीय सेटअप, सबसोलर बिंदु और atan2 फ़ंक्शन के आधार पर एक सूत्र का अनुप्रयोग और विस्तार|year=2021|last1=Zhang|first1=Taiping|last2=Stackhouse|first2=Paul W.|last3=MacPherson|first3=Bradley|last4=Mikovitz|first4=J. Colleen|journal=Renewable Energy|volume=172|pages=1333–1340|s2cid=233631040}}</ref> इन विभिन्न परिपाटियों को पदों की अदला-बदली करके और x- और y-तर्कों के संकेतों को निम्नानुसार बदलकर महसूस किया जा सकता है:
* <math>\mathrm{atan2}(y, x),\;\;\;\;\;</math> (पूर्व-वामावर्त कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(y, x),\;\;\;\;\;</math> (पूर्व-वामावर्त कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(x, y),\;\;\;\;\;</math> (उत्तर-क्लॉकवाइज कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(x, y),\;\;\;\;\;</math> (उत्तर-क्लॉकवाइज कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(-x, -y)</math>. (दक्षिण-क्लॉकवाइज कन्वेंशन)
* <math>\mathrm{atan2}(-x, -y)</math>. (दक्षिण-क्लॉकवाइज कन्वेंशन)


एक उदाहरण के रूप में, चलो <math>x_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> तथा <math>y_{0}=\frac{1}{2}</math>, तो पूर्व-वामावर्त स्वरूप देता है <math>\mathrm{atan2}(y_{0}, x_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=30^{\circ}</math>, उत्तर-दक्षिणावर्त प्रारूप देता है <math>\mathrm{atan2}(x_{0}, y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=60^{\circ}</math>, और दक्षिण-दक्षिणावर्त प्रारूप देता है <math>\mathrm{atan2}(-x_{0}, -y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=-120^{\circ}</math>.
एक उदाहरण के रूप में, चलो <math>x_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> तथा <math>y_{0}=\frac{1}{2}</math>, तो पूर्व-वामावर्त स्वरूप <math>\mathrm{atan2}(y_{0}, x_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=30^{\circ}</math> देता है , उत्तर-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(x_{0}, y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=60^{\circ}</math> प्रारूप देता है , और दक्षिण-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(-x_{0}, -y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=-120^{\circ}</math>प्रारूप देता है .


जाहिरा तौर पर, x- और/या y-तर्कों के चिह्न को बदलने और उनकी स्थितियों की अदला-बदली करने से के 8 संभावित रूपांतर पैदा हो सकते हैं <math>\mathrm{atan2}</math> कार्य करते हैं और वे, दिलचस्प रूप से, कोण की 8 संभावित परिभाषाओं के अनुरूप हैं, अर्थात्, दक्षिणावर्त या वामावर्त 4 मुख्य दिशाओं, उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम में से प्रत्येक से शुरू होते हैं।
प्रकट कर सकते हैं , x- और/या y-तर्कों के चिह्न को बदलने और उनकी स्थितियों की अदला-बदली करने से के 8 संभावित रूपांतर पैदा हो सकते हैं <math>\mathrm{atan2}</math> कार्य करते हैं और वे, दिलचस्प रूप से, कोण की 8 संभावित परिभाषाओं के अनुरूप हैं, अर्थात्, दक्षिणावर्त या वामावर्त 4 मुख्य दिशाओं, उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम में से प्रत्येक से शुरू होते हैं।


== आम कंप्यूटर भाषाओं में समारोह की प्रतीति ==
== आम कंप्यूटर भाषाओं में समारोह की प्रतीति ==

Revision as of 22:01, 20 December 2022

अटन2(y, x) किरण के बीच बिंदु (x, y) और धनात्मक x-अक्ष पर कोण θ किरण (ज्यामिति) देता है, जो (−π, π] तक सीमित है .
File:Arctangent2.svg
का ग्राफ

कम्प्यूटिंग और गणित में, फ़ंक्शन (गणित) अटन2 2-तर्क चाप स्पर्शरेखा है। परिभाषा के अनुसार, कोण माप है (रेडियन में, ) धनात्मक -अक्ष और किरण के बीच मूल से बिंदु तक कार्तीय तल में। समान रूप से, जटिल संख्या का तर्क (जटिल विश्लेषण) (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है 

 h> फ़ंक्शन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा फोरट्रान में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था θ कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में (x, y) ध्रुवीय निर्देशांक के लिए (r, θ). यदि  तथा , फिर  तथा

यदि x > 0, वांछित कोण माप है चूँकि, कब x < 0, कोना एंटीपोडल बिंदु वांछित कोण है, और ±π (एक आधा मोड़ (कोण)) बिंदु को सही चतुर्भुज (विमान ज्यामिति) में रखने के लिए जोड़ा जाना चाहिए।[1] का फ़ंक्शन का उपयोग इस सुधार को दूर करता है, कोड और गणितीय सूत्रों को सरल करता है।

प्रेरणा

File:Atan2 argument sign graph.svg
−π से +π तक y/x के संबंधित संकेतों के साथ स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़। हरा तीर atan2(-1, -1) और atan2(1, 1) के परिणामों की ओर संकेत करता है।

सामान्य एकल-तर्क चाप स्पर्शरेखा फ़ंक्शन अंतराल में केवल कोण माप देता है और इसके बीच के कोण को खोजने के लिए इसका आह्वान करते समय x-एक्सिस और कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम प्लेन में एक मनमाना वेक्टर, बाएं आधे-प्लेन (यानी, एक बिंदु) में एक दिशा को इंगित करने का कोई आसान तरीका नहीं है साथ ). एंटीपोडल बिंदु कोण उपायों में समान स्पर्शरेखा होती है क्योंकि तो स्पर्शरेखा एक कोण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए अपने आप में पर्याप्त नहीं है।

दिए गए बिंदु या सदिश एक बिंदु गणितीय सूत्र या कंप्यूटर कोड को कई मामलों को संभालना चाहिए; कम से कम एक के धनात्मक मानों के लिए और एक के ऋणात्मक मानों के लिए, और कभी-कभी अतिरिक्त स्थितियाँ जब ऋणात्मक हो या एक निर्देशांक शून्य हो। वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कोण के उपायों को खोजना और कार्टेशियन को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में परिवर्तित करना आम है, और यह कोड बेमानी और त्रुटि-प्रवण है।

इसका समाधान करने के लिए, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं ने कम से कम 1960 के फोरट्रान I V भाषा के रूप में atan2 फ़ंक्शन की शुरुआत की।[2] मात्रा atan2(y,x