अनुक्रम सीमा: Difference between revisions
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=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
मेट्रिक | मेट्रिक स्थान का एक बिंदु <math>x</math> <math>(X, d)</math> अनुक्रम <math>(x_n)</math> की सीमा है यदि: | ||
: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> होती है जैसे कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, हमारे पास <math>d(x_n, x) < \varepsilon </math>. | : प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> होती है जैसे कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, हमारे पास <math>d(x_n, x) < \varepsilon </math>. | ||
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=== गुण === | === गुण === | ||
*जब यह अस्तित्व में होता है, तो एक अनुक्रम की सीमा अद्वितीय होती है, क्योंकि | *जब यह अस्तित्व में होता है, तो एक अनुक्रम की सीमा अद्वितीय होती है, क्योंकि भिन्न-भिन्न बिंदुओं को कुछ सकारात्मक दूरी से भिन्न किया जाता है, इसलिए <math>\varepsilon </math> इस दूरी के आधे से कम, अनुक्रम शब्द दूरी के भीतर नहीं हो सकते <math>\varepsilon </math> दोनों बिंदुओं का। | ||
*किसी भी सतत फलन f के लिए, यदि <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> | *किसी भी सतत फलन f के लिए, यदि <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> सम्मलित है, तो <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}x_n \right)</math>. वास्तव में, एक फलन (गणित) f निरंतर है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमों की सीमाओं को संरक्षित करता है। | ||
=== कॉची सीक्वेंस === | === कॉची सीक्वेंस === | ||
{{main| | {{main|कॉची अनुक्रम}} | ||
[[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| कॉची सीक्वेंस का प्लॉट (x<sub>n</sub>), नीले रंग में <math>x_n</math> बनाम n दिखाया गया है । दृष्टिगत रूप से, हम देखते हैं कि अनुक्रम एक सीमा बिंदु पर अभिसरण करता हुआ प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में पद n बढ़ने पर एक साथ निकट हो जाते हैं। वास्तविक संख्या में प्रत्येक कौशी क्रम किसी सीमा तक अभिसरित होता है।]]एक कॉशी अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें अंततः मनमाने ढंग से एक साथ बंद हो जाती हैं, पर्याप्त रूप से कई प्रारंभिक शब्दों को छोड़ दिए जाने के बाद। [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] में अनुक्रमों के अध्ययन में, और विशेष रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]] में कॉची अनुक्रम की धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कॉची | [[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| कॉची सीक्वेंस का प्लॉट (x<sub>n</sub>), नीले रंग में <math>x_n</math> बनाम n दिखाया गया है । दृष्टिगत रूप से, हम देखते हैं कि अनुक्रम एक सीमा बिंदु पर अभिसरण करता हुआ प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में पद n बढ़ने पर एक साथ निकट हो जाते हैं। वास्तविक संख्या में प्रत्येक कौशी क्रम किसी सीमा तक अभिसरित होता है।]]एक कॉशी अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें अंततः मनमाने ढंग से एक साथ बंद हो जाती हैं, पर्याप्त रूप से कई प्रारंभिक शब्दों को छोड़ दिए जाने के बाद। [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] में अनुक्रमों के अध्ययन में, और विशेष रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]] में कॉची अनुक्रम की धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कॉची आकर्ष है: वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण होता है यदि केवल यह एक कॉची अनुक्रम है। यह अन्य पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान में सही रहता है। | ||
== | == संस्थानिक स्थान == | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
संस्थानिक स्थान का एक बिंदु <math>x \in X</math> अनुक्रम का एक सीमा बिंदु है <math>(X, \tau)</math> एक है {{sfn|Dugundji|1966|pp=209-210}}{{sfn|Császár|1978|p=61}} अनुक्रम का <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> यदि: | |||
: | : सभी [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|संस्थानिक निकटतम]] के लिए <math>U</math> का <math>x</math>, कुछ उपस्तिथ है <math>N \in \N</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>x_n \in U</math>.<ref>{{cite book|last1=Zeidler|first1=Eberhard|title=एप्लाइड कार्यात्मक विश्लेषण: मुख्य सिद्धांत और उनके अनुप्रयोग|date=1995|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-0-387-94422-7|page=29|edition=1}}</ref> | ||
यह मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए दी गई परिभाषा से मेल खाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक मीट्रिक स्थान है और <math>\tau</math> द्वारा उत्पन्न | यह मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए दी गई परिभाषा से मेल खाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक मीट्रिक स्थान है और <math>\tau</math> द्वारा उत्पन्न संस्थानिक है <math>d</math>. | ||
अंकों के अनुक्रम की एक सीमा <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> एक | अंकों के अनुक्रम की एक सीमा <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> एक संस्थानिक स्थान में <math>T</math> एक फलन की सीमा की एक विशेष स्थिति है संस्थानिक रिक्त स्थान पर कार्य: एक फलन का डोमेन है <math>\N</math> स्थान में <math>\N \cup \lbrace + \infty \rbrace</math>, सजातीय रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली की [[प्रेरित टोपोलॉजी|प्रेरित संस्थानिक]] के साथ, एक फलन की श्रेणी है <math>T</math>, और फलन तर्क <math>n</math> आदत है <math>+\infty</math>, जो इस स्थान में एक समुच्चय का एक सीमा बिंदु है <math>\N</math>. | ||
=== गुण === | === गुण === | ||
हौसडॉर्फ | हौसडॉर्फ स्थान में, अनुक्रमों की सीमाएं अद्वितीय होती हैं जब भी वे उपस्तिथ होती हैं। ध्यान दें कि गैर-हॉसडॉर्फ स्थानों में ऐसा होना जरूरी नहीं है; विशेष रूप से, यदि दो बिंदु <math>x</math> तथा <math>y</math> [[स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य]] हैं, फिर कोई भी क्रम जो अभिसरण करता है <math>x</math> में जुटना चाहिए <math>y</math> और इसके विपरीत। | ||
== [[हाइपररियल नंबर]] == | == [[हाइपररियल नंबर|अतिवास्तविक नंबर]] == | ||
अतिवास्तविक नंबरों का उपयोग करते हुए सीमा की परिभाषा अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देती है कि सूचकांक के एक बहुत बड़े मूल्य के लिए, संबंधित शब्द सीमा के बहुत निकट है। अधिक त्रुटिहीन, एक वास्तविक अनुक्रम <math>(x_n)</math> ''L'' की ओर जाता है यदि सभी अनंत [[अतिप्राकृतिक]] ''H'' के लिए, शब्द <math>x_H</math> ''L'' के असीम रूप से निकट है (यदि, अंतर <math>x_H - L</math> अपरिमित है)। समतुल्य रूप से, L का मानक भाग फलन <math>x_H</math>है : | |||
:<math> L = {\rm st}(x_H)</math>. | :<math> L = {\rm st}(x_H)</math>. | ||
| Line 162: | Line 162: | ||
== एक से अधिक इंडेक्स == का अनुक्रम | == एक से अधिक इंडेक्स == का अनुक्रम | ||
कभी-कभी एक से अधिक | कभी-कभी एक से अधिक अनुक्रमणिका वाले अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक डबल अनुक्रम <math>(x_{n, m})</math>. इस क्रम की एक सीमा <math>L</math> होती है यदि यह <math>L</math> के निकट हो जाता है, जब जब n और m दोनों बहुत बड़े हो जाते हैं। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
| Line 168: | Line 168: | ||
*यदि निरंतर c के लिए <math>x_{n, m} = c</math> तो <math>x_{n,m} \to c</math>. | *यदि निरंतर c के लिए <math>x_{n, m} = c</math> तो <math>x_{n,m} \to c</math>. | ||
*यदि <math>x_{n, m} = \frac{1}{n + m}</math>, तो <math>x_{n, m} \to 0</math>. | *यदि <math>x_{n, m} = \frac{1}{n + m}</math>, तो <math>x_{n, m} \to 0</math>. | ||
*यदि <math>x_{n, m} = \frac{n}{n + m}</math>, तो सीमा | *यदि <math>x_{n, m} = \frac{n}{n + m}</math>, तो सीमा सम्मलित नहीं है। n और m की सापेक्ष वृद्धि गति के आधार पर, यह क्रम 0 और 1 के बीच किसी भी मान के निकट हो सकता है। | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
| Line 178: | Line 178: | ||
यदि निम्न स्थिति होती है: | यदि निम्न स्थिति होती है: | ||
: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या | : प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या सम्मलित है <math>N</math> जैसे कि, प्राकृत संख्याओं के प्रत्येक युग्म के लिए <math>n, m \geq N</math>, हमारे पास <math>|x_{n, m} - x| < \varepsilon</math>.<ref name="Zakon">{{cite book|chapter=Chapter 4. Function Limits and Continuity|pages=223|title=गणितीय विश्लेषण, वॉल्यूम I|year=2011|last1=Zakon|first1=Elias|isbn=9781617386473}}</ref> | ||
दूसरे शब्दों में, निकटता के प्रत्येक माप के लिए <math>\varepsilon</math>, अनुक्रम की शर्तें अंततः सीमा के | दूसरे शब्दों में, निकटता के प्रत्येक माप के लिए <math>\varepsilon</math>, अनुक्रम की शर्तें अंततः सीमा के निकटहोती हैं। अनुक्रम <math>(x_{n, m})</math> को सीमा <math>x</math> की ओर अभिसरण या झुकाव कहा जाता है। | ||
प्रतीकात्मक रूप से, यह है: | प्रतीकात्मक रूप से, यह है: | ||
:<math>\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies |x_{n, m} - x| < \varepsilon \right)\right)\right) </math>. | :<math>\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies |x_{n, m} - x| < \varepsilon \right)\right)\right) </math>. | ||
ध्यान दें कि दोहरी सीमा पहले n में सीमा लेने और फिर m में लेने से | ध्यान दें कि दोहरी सीमा पहले n में सीमा लेने और फिर m में लेने से भिन्न है। उत्तरार्द्ध को [[पुनरावृत्त सीमा]] के रूप में जाना जाता है। यह देखते हुए कि दोहरी सीमा और पुनरावृत्त सीमा दोनों उपस्तिथ हैं, उनका मूल्य समान है। चूँकि , यह संभव है कि उनमें से एक उपस्तिथ हो लेकिन दूसरा नहीं हो। | ||
=== अनंत सीमा === | === अनंत सीमा === | ||
| Line 199: | Line 199: | ||
:<math>\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} > K \right)\right)\right)</math>. | :<math>\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} > K \right)\right)\right)</math>. | ||
इसी प्रकार एक क्रम <math>(x_{n,m})</math> ऋणात्मक | इसी प्रकार एक क्रम <math>(x_{n,m})</math> ऋणात्मक अनन्तकी ओर जाता है, लिखा है | ||
:<math>x_{n,m} \to -\infty</math>, या | :<math>x_{n,m} \to -\infty</math>, या | ||
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix} | :<math>\lim_{\begin{smallmatrix} | ||
| Line 210: | Line 210: | ||
:<math>\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} < K \right)\right)\right)</math>. | :<math>\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} < K \right)\right)\right)</math>. | ||
यदि कोई अनुक्रम धनात्मक या ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, तो यह अपसारी है। चूँकि, एक अपसारी अनुक्रम को धनात्मक या ऋणात्मक | यदि कोई अनुक्रम धनात्मक या ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, तो यह अपसारी है। चूँकि, एक अपसारी अनुक्रम को धनात्मक या ऋणात्मक अनन्त और अनुक्रम की आवश्यकता नहीं है <math>x_{n,m}=(-1)^{n+m}</math> ऐसा ही एक उदाहरण देता है। | ||
=== बिंदुवार सीमाएं और समान सीमाएं === | === बिंदुवार सीमाएं और समान सीमाएं === | ||
दोहरे क्रम <math>(x_{n,m})</math> के लिए , हम किसी एक सूचकांक में सीमा ले सकते हैं, कहते हैं, <math>n \to \infty</math>, एकल अनुक्रम <math>(y_m)</math> प्राप्त करने के लिए . वास्तव में, इस सीमा को लेते समय दो संभावित अर्थ होते हैं। पहले वाले को | दोहरे क्रम <math>(x_{n,m})</math> के लिए , हम किसी एक सूचकांक में सीमा ले सकते हैं, कहते हैं, <math>n \to \infty</math>, एकल अनुक्रम <math>(y_m)</math> प्राप्त करने के लिए . वास्तव में, इस सीमा को लेते समय दो संभावित अर्थ होते हैं। पहले वाले को बिंदुवार सीमा कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है | ||
:<math>x_{n, m} \to y_m\quad \text{pointwise}</math>, या | :<math>x_{n, m} \to y_m\quad \text{pointwise}</math>, या | ||
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जिसका तात्पर्य है: | जिसका तात्पर्य है: | ||
: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math> और प्रत्येक निश्चित प्राकृतिक संख्या <math>m</math>, एक प्राकृतिक संख्या उपस्तिथ है <math>N(\varepsilon, m) > 0</math> जैसे कि, | : प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math> और प्रत्येक निश्चित प्राकृतिक संख्या <math>m</math>, एक प्राकृतिक संख्या उपस्तिथ है <math>N(\varepsilon, m) > 0</math> जैसे कि, बिंदुवार सीमा प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, हमारे पास <math>|x_{n, m} - y_m| < \varepsilon</math>.<ref name="Habil">{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/242705642_Double_Sequences_and_Double_Series|date=2005|title=डबल सीक्वेंस और डबल सीरीज|last=Habil|first=Eissa|language=en|access-date=2022-10-28}}</ref> | ||
प्रतीकात्मक रूप से, यह है: | प्रतीकात्मक रूप से, यह है: | ||
:<math>\forall \varepsilon > 0 \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \right)\right)\right)\right)</math>. | :<math>\forall \varepsilon > 0 \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \right)\right)\right)\right)</math>. | ||
जब ऐसी सीमा होती है, तो हम अनुक्रम <math>(x_{n, m})</math> कहते हैं | जब ऐसी सीमा होती है, तो हम अनुक्रम <math>(x_{n, m})</math> कहते हैं [[बिंदुवार अभिसरण]] करने के लिए <math>(y_m)</math>. | ||
दूसरे को एक समान सीमा कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है | दूसरे को एक समान सीमा कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है | ||
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: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या उपस्तिथ है <math>N(\varepsilon) > 0</math> जैसे कि, | : प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या उपस्तिथ है <math>N(\varepsilon) > 0</math> जैसे कि, सभी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>m</math> और सभी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, हमारे पास <math>|x_{n, m} - y_m| < \varepsilon</math>.<ref name="Habil"/> | ||
प्रतीकात्मक रूप से, यह है: | प्रतीकात्मक रूप से, यह है: | ||
Revision as of 23:09, 21 December 2022
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नियमित एन-पक्षीय बहुभुजों के परिधि द्वारा दिए गए अनुक्रम जो यूनिट सर्कल को घेरते हैं, सर्कल के परिधि के बराबर सीमा होती है, अर्थात . अन्तर्लिखित बहुभुजों के लिए संबंधित अनुक्रम की एक ही सीमा है।
| n | n sin(1/n) |
|---|---|
| 1 | 0.841471 |
| 2 | 0.958851 |
| ... | |
| 10 | 0.998334 |
| ... | |
| 100 | 0.999983 |
सकारात्मक पूर्णांक के रूप में बड़ा हो जाता है, मूल्य के निकट हो जाता है . हम कहते हैं कि अनुक्रम की सीमा बराबरी .
गणित में, एक अनुक्रम की सीमा वह मान है जो किसी अनुक्रम के पदों की ओर प्रवृत्त होता है, और प्रायः इसका उपयोग करके निरूपित किया जाता है प्रतीक (जैसे, ).[1] यदि ऐसी सीमा सम्मलित है, तो अनुक्रम को अभिसरण कहा जाता है।[2] एक क्रम जो अभिसरण नहीं करता है उसे अपसारी कहा जाता है।[3] एक अनुक्रम की सीमा को मौलिक धारणा कहा जाता है जिस पर संपूर्ण गणितीय विश्लेषण अंततः टिका होता है।[1]
सीमाओं को किसी भी मीट्रिक स्थान या संस्थानिक स्थान में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन प्रायः वास्तविक संख्या में पहली बार सामना किया जाता है।
इतिहास
एलिया के यूनानी दार्शनिक ज़ेनो के विरोधाभासों को सूत्रबद्ध करने के लिए प्रसिद्ध हैं।
ल्यूसिपस, डेमोक्रिटस, एंटिफॉन (व्यक्ति), कनिडस के यूडोक्सस और आर्किमिडीज ने थकावट की विधि विकसित की, जो एक क्षेत्र या मात्रा निर्धारित करने के लिए सन्निकटन के अनंत अनुक्रम का उपयोग करता है। आर्किमिडीज योग करने में सफल रहे जिसे अब ज्यामितीय श्रृंखला कहा जाता है।
ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट ने अपने काम ओपस जियोमीट्रिक श्रंखला (1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: "एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जो कोई भी प्रगति तक नहीं पहुंच सकता है, भले ही वह अनंत में जारी हो, लेकिन जिस तक वह एक दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है।"[4] आइजैक न्यूटन ने अनंत श्रृंखला के साथ विश्लेषण (1669 में लिखा गया, पांडुलिपि में परिचालित, 1711 में प्रकाशित), प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि (1671 में लिखा गया, 1736 में अंग्रेजी अनुवाद में प्रकाशित, लैटिन मूल बहुत बाद में प्रकाशित) पर अपने कार्यों में श्रृंखला से निपटा। और ट्रैक्टेटस डी क्वाडराटुरा कर्वारम (1693 में लिखा गया, 1704 में उनके परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित)। बाद के काम में, न्यूटन (x + o)n के द्विपद विस्तार पर विचार करता है, जिसे वह तब सीमा के रूप में लेते हुए रैखिक करता है, जब 0 की ओर जाता है।
18वीं दशक में, लियोनहार्ड यूलर जैसे गणितज्ञ सही समय पर रुक कर कुछ भिन्न श्रृंखलाओं का योग करने में सफल रहे; जब तक इसकी गणना की जा सकती है, तब तक उन्हें इस बात की ज्यादा चिंता नहीं थी कि कोई सीमा सम्मलित है या नहीं। दशक के अंत में, जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने अपने थ्योरी डेस फोंक्शन्स एनालिटिक्स (1797) में कहा कि कठोरता की कमी ने कलन में और विकास को रोक दिया। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अतिज्यामितीय श्रृंखला (1813) के अपने तसवीर का ख़ाका में पहली बार उन स्थितियों की जांच की जिसके अंतर्गत एक श्रृंखला एक सीमा तक परिवर्तित हो गई।
एक सीमा की आधुनिक परिभाषा (किसी भी ε के लिए एक अनुक्रमणिका N सम्मलित है जिससे...) बर्नार्ड बोलजानो (डेर बिनोमिशे लेहर्सत्ज़, प्राग 1816, जो उस समय बहुत कम ध्यान दिया गया था) और 1870 के दशक में कार्ल वीयरस्ट्रास द्वारा दिया गया था। .
वास्तविक संख्या
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एक अभिसरण अनुक्रम का प्लॉट {an} नीले रंग में दिखाया गया है। यहाँ, कोई यह देख सकता है कि अनुक्रम 0 की सीमा में परिवर्तित हो रहा है क्योंकि n बढ़ता है।