अभिन्न समीकरण

For पूर्णांक अज्ञात के समीकरण, see डायोफैंटाइन समीकरण.

गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन एक समाकल चिन्ह के अंतर्गत होता है। गणितीय संकेतन में, समाकल समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0$$

जहाँ $I^{i}(u)$ एक समाकल संकारक है जो u पर फलन करता है। इसलिए, समाकल समीकरणों को अवकल समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहाँ अवकलज वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में समाकल सम्मिलित होते हैं। उपरोक्त सामान्य समाकल समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना को एक अवकल समीकरण के सामान्य रूप के साथ देखा जा सकता है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0$$

जहाँ $D^{i}(u)$ को कोटि i के अवकल संकारक के रूप में देखा जा सकता है। अवकल और समाकल समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी प्रायः दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है। उदाहरण के लिए, परिसीमा मान समस्या को हल करने की एक विधि अवकल समीकरण को इसकी सीमा शर्तों के साथ किसी समाकल समीकरण में परिवर्तित करके और समाकल समीकरण को हल करना है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरणों जैसे भौतिक विज्ञान में अवकल समीकरणों में प्रायः एक एनालॉग समाकल और अवकल प्ररूप होता है। यह भी देखें, उदाहरण के लिए, ग्रीन का फलन और फ्रेडहोम सिद्धांत।

वर्गीकरण और संक्षिप्त विवरण

समाकल समीकरणों के लिए विभिन्न वर्गीकरण पद्धतियां विद्यामन हैं। कुछ मानक वर्गीकरणों में रेखीय और अरैखिक के बीच अंतर सम्मिलित हैं; सजातीय और असमघाती; फ़्रेडहोल्म और वोल्टेरा; प्रथम कोटि, द्वितीय कोटि और तृतीय कोटि; और अव्युत्क्रमणीय और नियमित समाकल समीकरण। ये अंतर सामान्यतः कुछ मूल गुणधर्म पर आधारित होते हैं जैसे समीकरण की रैखिकता या समीकरण की सजातीयता पर विचार करना। इन टिप्पणियों को निम्नलिखित परिभाषाओं और उदाहरणों के माध्यम से ठोस बनाया गया है:

रैखिकता

रेखीय: एक समाकल समीकरण रेखीय होता है यदि अज्ञात फलन u(x) और इसके समाकल समीकरण में रैखिक दिखाई देते हैं। अतः एक रैखिक समीकरण का उदाहरण निम्नलिखित होगा है:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

नामकरण परिपाटी पर एक नोट के रूप में: i) u(x) को अज्ञात फलन कहा जाता है, ii) f(x) को ज्ञात फलन कहा जाता है, iii) K(x,t) दो चरों का एक फलन है और इसे प्रायः कर्नल फलन कहा जाता है, और iv) λ एक अज्ञात कारक या प्राचल है, जो रैखिक बीजगणित में आइगेनमान के समान भूमिका निभाता है।

अरैखिक: एक समाकल समीकरण अरैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) या इसका कोई भी समाकल समीकरण में अरैखिक दिखाई देता है। इसलिए, यदि हम u(t) को $u^{2}(x),\,\,cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}$ से प्रतिस्थापित करते हैं, तो अरैखिक समीकरणों के उदाहरण ऊपर दिए गए समीकरण होंगे, जैसे:

$$u(x)=f(x)+{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)}$$