धन और ऋण संकेत: Difference between revisions

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हाइफन-धन, प्लस, ऋण संकेत की तुलना

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धन और ऋण संकेत
In Unicode	U+002B + PLUS SIGN (+) ; U+2212 − MINUS SIGN (−)
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Related
See also	U+00B1 ± PLUS-MINUS SIGN ; U+2213 ∓ MINUS-OR-PLUS SIGN; U+2052 ⁒ COMMERCIAL MINUS SIGN

Latest revision as of 09:19, 28 December 2022

धन और श्रण विज्ञान, + तथा −, क्रमशः संकेत और चिह्न की धारणाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय प्रतीकों की शब्दावली हैं। इसके साथ ही + जोड़ के संचालन का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके परिणामस्वरूप योग (जोड़) की प्रक्रिया होती है, जबकि − घटाव की प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है और इसके परिणामस्वरूप एक अंतर प्राप्त होता है।^[1] उनका उपयोग कई अन्य अर्थों तक बढ़ा दिया गया है जैसे कमोबेश समान। धन और श्रण लैटिन भाषा के शब्द हैं, जिनका अर्थ क्रमशः अधिक और कम होता है।

इतिहास

चूंकि अब संकेत वर्णमाला या हिंदी-अरबी अंकों के रूप में जाने-पहचाने लगते हैं, लेकिन वे बहुत अधिक प्राचीन शब्द नहीं हैं। जोड़ के लिए मिस्र का चित्रलिपि चिह्न, उदाहरण के लिए- जिस दिशा में पाठ लिखा गया था। उस दिशा में चलने वाले पैरों की एक जोड़ी समान दिखता है (मिस्र की भाषा या तो दाएं से बाएं या बाएं से दाएं लिखी जा सकती है), रिवर्स चिन्ह के साथ घटाव का संकेत प्राप्त होता है।^[2]

14वीं शताब्दी की निकोल ओरेसमे की पाण्डुलिपि से यह ज्ञात होता है कि इसका सर्वप्रथम उपयोग क्या हो सकता है। ^[3]15वीं शताब्दी के प्रारंभ में यूरोप में अधिकांशतः P योग (जोड़) के संकेत के रूप में और M अक्षर का प्रयोग घटाव (श्रण) के संकेत के रूप में किया जाता था।^[4]^[5]प्रतीक (पी चित्र शीर्षक के साथ p̄ के लिये più (अधिक) अर्थात योगऔर एम चित्र शीर्षक के साथ m̄ के लिये meno (कम) अर्थात श्रण)। लुका पैसिओली के गणित संग्रह में पहली बार दिखा और पहली बार 1494 में वेनिस में छपा और प्रकाशित भी हुआ।^[6]

+ चिह्न का सरलीकरण है लैटिन (एम्परसेंड के विकास की तुलना में)।^[7] − ऊपर लिखे टिल्ड से लिया जा सकता है। जिसका प्रयोग घटाव को प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह पत्र के आशुलिपि संस्करण से आ सकता है।

अपने 1489 ग्रंथ में, जोहान्स विडमैन ने प्रतीकों का विवरण दिया है। − तथा + ऋण और मेर के रूप में (आधुनिक जर्मन में मेर का अभिप्राय-अधिक ): इनका उपयोग ग्रंथ में जोड़ और घटाव प्रक्रिया के लिए नहीं किया गया था, लेकिन अधिशेष और घाटे को दर्शाने के लिए उपयोग किया गया था। आधुनिक अर्थ में इनका उपयोग हेनरी ग्रैमेटियस द्वारा 1518 की पुस्तक में प्रमाणित है।^[10]^[11]

बराबर चिह्न के रूपकार रॉबर्ट रिकॉर्डे ने 1557 में विट्टे का वेटस्टोन में ब्रिटेन के लिए धन और श्रण चिन्ह प्रस्तुत किया है। अन्य दो संकेत अधिकांशतः उपयोग होते हैं। जिनमें से पहला इस प्रकार + और अधिक बनाया जाता है और दूसरा - के समान बनाया जाता है।

धन चिह्न

धन चिह्न + एक द्वि आधारी संकारक है। जो कि जोड़ को दर्शाता है। जैसे कि $2 + 3 = 5$ . यह एक एक आधारी संचालक के रूप में भी काम कर सकता है जो अपने ओपेरंड पहचान समारोह को छोड़ देता है ( $+ x$ का अर्थ समान है $x$ ). इस अंकन का उपयोग तब किया जा सकता है, जब किसी संख्या की सकारात्मकता पर जोर देना वांछित हो, विशेष रूप से ऋणात्मक संख्याओं के विपरीत ( $+5$ और $-5$ ).

धन चिन्ह विचाराधीन गणितीय प्रणाली के आधार पर कई अन्य कार्यों को भी निर्देश दे सकता है। कई बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि वेक्टर रिक्त स्थान और आव्यूह में कुछ क्रियायें होती हैं। जिन्हें जोड़ कहा जाता है। चूंकि यह धन चिन्ह का उपयोग केवल विनिमेय गुणों को दर्शाने के लिए एक पारंपरिक प्रक्रिया है। इस प्रतीक का प्रयोग रसायन विज्ञान और भौतिकी में भी किया जाता है। अधिक जानकारी के लिए देखें § अन्य प्रयोग.

ऋण चिह्न

ऋण चिह्न −के गणित में मुख्यतः तीन उपयोग हैं:^[12]

घटाव संचालक: एक द्वि आधारी संचालक घटाव के संचालन को संकेत देने के लिए, जैसा कि 5 − 3 = 2 में है। घटाव प्रक्रिया जोड़ की एक व्युत्क्रम प्रक्रिया है। वह फलन जिसका मान किसी फलन की किसी वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या तर्क के लिए उस तर्क का योज्य प्रतिलोम होता है। उदाहरण के लिए- यदि $x = 3$ , फिर $- x = -3$ , लेकिन अगर $x = -3$ , फिर $- x = +3$ . इसी प्रकार, $-(- x) = x$ .
एक संख्यात्मक स्थिरांक का एक उपसर्ग। जब इसे एक अहस्ताक्षरित अंक के ठीक पहले रखा जाता है, तो संयोजन एक श्रणात्मक संख्या को प्रकट करता है। धनात्मक संख्या का योगात्मक व्युत्क्रम जिसे अन्यथा अंक नाम दिया जाता है। इस प्रयोग में ' $-5$ ' एक संख्या को उसी तरह नाम देता है। जैसे कि 'अर्धवृत्त' एक ज्यामितीय आकृति का नाम देता है। इस चेतावनी के साथ कि 'अर्ध' का फलन नाम के रूप में अलग उपयोग नहीं होता है।

कई संदर्भों में, इससे कोई अन्य प्रभाव नहीं पड़ता है कि इनमें से दूसरा या तीसरा प्रयोग अभिप्रेत है: $-5$ समान संख्या है। जब उन्हें विभाजित करना महत्वपूर्ण होता है, तो एक बढ़ा हुआ श्रण चिन्ह ¯ कभी-कभी नकारात्मक स्थिरांक के लिए प्रयोग किया जाता है, जैसे कि प्रोग्रामिंग भाषा एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा), और कुछ प्रारंभिक रेखांकन कैलकुलेटर।^{[lower-alpha 1]} सभी तीन उपयोगों को अधिकांशतः भाषण में ऋण के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। चूंकि द्वि आधारी संचालक को कभी-कभी टेक अवे के रूप में पढ़ा जाता है।^[13] अमेरिकी अंग्रेजी में आजकल -5 (उदाहरण के लिए) को अधिकांशतः श्रणात्मक पांच के रूप में संदर्भित किया जाता है। चूंकि 1950 से पहले पैदा हुए वक्ता अधिकांशतः इसे शून्य से पांच के रूप में संदर्भित करते हैं। (तापमान पुराने उपयोग का पालन करते हैं -5° को अधिकांशतः माइनस फाइव डिग्री कहा जाता है।)^[14] इसके अतिरिक्त संयुक्त राज्य अमेरिका में कुछ पाठ्यपुस्तकें प्रोत्साहित करती हैं $- x$ के विपरीत पढ़ा जाए । $x$ का योज्य प्रतिलोम - $x$ , ऐसा आभास देने से बचने के लिए $- x$ अनिवार्य रूप से श्रणात्मक है (चूंकि $x$ स्वयं पहले से ही श्रणात्मक हो सकता है)।^[15]गणित और अधिकांशतः प्रोग्रामिंग भाषाओं में, संचालन के क्रम के नियमों का अर्थ है $-5 2$ के बराबर है $-25$ । घातांक एकात्मक ऋण की तुलना में अधिक मजबूती से बांधता है, जो गुणन या विभाजन की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण है। चूंकि कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में (विशेष रूप से माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में), एक आधारी संचालक सबसे मजबूत बनते हैं, इसलिए उन स्थितियों में -5² =25 है, लेकिन 0-5² =-25 है।^[16]धन चिह्न के समान, रसायन विज्ञान और भौतिकी में ऋण चिह्न का भी उपयोग किया जाता है। अधिक जानकारी के लिए देखें § अन्य प्रयोग नीचे।

प्रारंभिक शिक्षा में प्रयोग करें

कुछ प्रारंभिक शिक्षक धनात्मक या ऋणात्मक संख्याएँ दिखाने के लिए संख्याओं के पहले बढ़ाए गए धन और श्रण चिह्नों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, −5 को 3 से घटाना सकारात्मक तीन के रूप में पढ़ा जा सकता है तथा श्रणात्मक 5 को हटा दें और इस रूप में दिखाया जा सकता है:

3 - - 5

हो जाता है

3 + 5 = 8

,

या इसको अन्य प्रकार से भी प्रदर्शित कर सकते हैं

+ 3 - - 5

हो जाता है

+ 3 + + 5 = + 8

.

== क्वालीफायर == के रूप में प्रयोग करें

ग्रेडिंग सिस्टम ( वर्गीकरण प्रक्रिया, जैसा की परीक्षा के अंक) में, धन चिन्ह एक वर्गीकरण का एक स्तर ऊपर और श्रण चिन्ह एक श्रेणी कम चिन्हित करता है। उदाहरण के लिए, B− (बी श्रणात्मक) से एक ग्रेड कम है B. कुछ अवसरों पर, इसे दो प्लस या माइनस संकेतों तक बढ़ाया जाता है (उदाहरण के लिए, A++ से दो ग्रेड अधिक है A).

धनात्मक और श्रणात्मक को कभी-कभी संक्षिप्त रूप दिया जाता है +ve तथा −ve.^[17]

गणित

गणित में एकतरफ की सीमा $x \to a +$ साधन $x$ दृष्टिकोण $a$ दाईं ओर से (अर्थात, दाईं ओर की सीमा), और $x \to a -$ साधन $x$ दृष्टिकोण $a$ बाईं ओर से (अर्थात, बाईं ओर की सीमा)। उदाहरण के लिए, $\infty$ जैसा $x \to 0 +$ लेकिन $\infty$ जैसा $x \to 0 -$ .

रक्त

आरएच कारक की उपस्थिति या अनुपस्थिति को निर्देशित करने के लिए रक्त प्रकार अधिकांशतः धन या श्रण के साथ योग्य होते हैं। उदाहरण के लिए, ए+ का अर्थ आरएच कारक के साथ एबीओ रक्त समूह प्रणाली है, जबकि बी- का अर्थ आरएच कारक अनुपस्थित के साथ बी प्रकार का रक्त है।

संगीत

संगीत में, ऑगमेंटेड ट्रायड ऑगमेंटेड कॉर्ड टेबल को चिन्ह के साथ दर्शाया गया है, चूंकि यह अभ्यास सार्वभौमिक नहीं है (क्योंकि उन पत्रों के वर्तनी के लिए अन्य प्रकार भी हैं)। उदाहरण के लिए, C+ को C संवर्धित कॉर्ड पढ़ा जाता है। कभी-कभी धन को ऊपर की ओर लिखा हुआ के रूप में लिखा जाता है।

कम्प्यूटर के क्षेत्र में उपयोग

साथ ही साथ सामान्य गणितीय उपयोग, कंप्यूटिंग में कई अन्य उद्देश्यों के लिए धन और श्रण संकेतों का उपयोग किया जा सकता है।

धन और श्रण चिन्ह का उपयोग कंप्यूटर पटल पर पेड़ रूप में किया जाता है— यह दिखाने के लिए कि कोई फोल्डर ढह गया है या नहीं।

कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का संयोजन लिखा जाता है "a" + "b", और परिणाम "ab".

अधिकांशतः प्रोग्रामिंग भाषाओं में, घटाव और निषेध को ASCII हाइफन-ऋण वर्ण के साथ दर्शाया गया है, -. एपीएल ( कार्यरचना भाषा) में एक ऋणात्मक चिह्न (यूनिकोड यू+00एएफ) का उपयोग ऋणात्मक संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जैसा कि ¯3. जबकि J (कार्यरचना भाषा) में एक संख्या को बल देना द्वारा निरूपित किया जाता है, जैसा कि _5.

C (कार्यरचना भाषा) और कुछ अन्य कंप्यूटर कार्यरचना भाषा में, दो धन चिह्न वेतन वृद्धि ऑपरेटर का संकेत देते हैं और दो श्रण चिन्ह एक डिक्रीमेंट का संकेत देते हैं। चर के पहले या बाद में संचालक की स्थिति निर्देशित करती है कि नया या पुराना मान इससे पढ़ा जाता है या नहीं। उदाहरण के लिए, यदि x= 6 है, तो y = x++ x को 7 तक बढ़ाता है लेकिन y को 6 पर स्थिर करता है, जबकि y = ++x एक्स और वाई दोनों को 7 पर सेट करेगा। विस्तार से, ++ कभी-कभी कंप्यूटिंग शब्दावली में सुधार को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसा कि भाषा C++ के नाम पर है।

नियमित अभिव्यक्तियों में, + मिलान किए जाने वाले आकार में 1 या उससे अधिक को निर्देशित करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, x+ का अर्थ अक्षर x का एक या अधिक है।

गणित में श्नणात्मक शून्य की कोई अवधारणा नहीं है, लेकिन कंप्यूटिंग में -0 (संख्या) का शून्य से अलग प्रतिनिधित्व हो सकता है। IEEE अस्थिर बिन्दु मानक में, 1 / −0 ऋणात्मक अनंत है ( $-\infty$ ) जबकि 1 / 0 अनंत है ( $\infty$ ).

अन्य उपयोग

भौतिकी में, जॉर्ज क्रिस्टोफ लिचेंबर्ग द्वारा विभिन्न विद्युत आवेशों के लिए धन और श्रण संकेतों का उपयोग शुरू किया गया था।

रसायन शास्त्र में, श्रण संकेतों का उपयोग 1 के धनात्मक या श्नणात्मक आवेश वाले आयन को प्रकट करने के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, एनएच)। यदि आवेश 1 से अधिक है, तो आवेश को दर्शाने वाली एक संख्या चिन्ह के पहले लिखी जाती है जैसा कि कंकाल सूत्र के रूप में दो परमाणुओं के बीच एक सहसंयोजक बंधन के लिए एन डैश के स्थान पर ऋण चिह्न का भी उपयोग किया जाता है।अंतर्राष्ट्रीय ध्वन्यात्मक वर्णमाला में, भाषण ध्वनियों के सापेक्ष अभिव्यक्ति को इंगित करने के लिए अधोलिखित किए गए धन और श्रण संकेतों को विशेषक के रूप में उपयोग किया जाता है।

श्रण चिन्ह का उपयोग डैन भाषा, क्रुमेन भाषा, कराबोरो भाषा, मवान भाषा, वान भाषा, याउरे वे भाषा, न्याबवा भाषा और गोदी भाषा| गोदी की शब्दावली में स्वर पत्र के रूप में भी किया जाता है।^[18] टोन लेटर (U+02D7) के लिये किया जाने वाला यूनिकोड अक्षर गणिती से अलग है।

धन चिह्न कभी-कभी दर्शाता है /ɨ/ ह्यूचोल भाषा ऑर्थोग्राफी की वर्तनी में।^[19]बीजगणितीय संकेतन में शतरंज के खेल को सुरक्षित करने के लिए उपयोग किया जाता है, धन चिह्न + एक चाल को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है जो प्रतिद्वंद्वी को चेक (शतरंज) में डालता है, जबकि एक दो धन चिन्ह ++ कभी-कभी दो बार चेक को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है। धन और श्रण संकेतों के संयोजन का उपयोग एक चाल (+/−, +/=, =/+, −/+) का मूल्यांकन करने के लिए भी किया जाता है।

भाषा विज्ञान में, एक अधिलेख धन ⁺ कभी-कभी तारक चिह्न को प्रतिस्थापित करता है, जो अप्रमाणित भाषाई पुनर्निर्माण को दर्शाता है।

वानस्पतिक नामों में, एक धन चिन्ह भ्रष्टाचार-चीमेरा को दर्शाता है।

एक अंतर्राष्ट्रीय फोन नंबर की शुरुआत में लिखा गया एक धन चिह्न अंतर्राष्ट्रीय कॉल उपसर्गों की सूची है जो ग्राहक को अंतर्राष्ट्रीय उपसर्ग मिलान करने के लिए याद रखने का कार्य करता है। जो एक देश से दूसरे देश में भिन्न होता है और अंतर्राष्ट्रीय टेलीफोन नंबर के रूप में निम्नलिखित नंबर की पहचान करने के लिए भी कार्य करता है और उस नंबर की खोज करने में भी सहायक होता है।^[20]

वर्ण कोड

Read	Character	Unicode	ASCII	in URL	HTML notations
Plus	+	U+002B	43_dec, 2B_hex	`%2B`	`+`, `+`
Minus	−	U+2212		`%E2%88%92`	`− − −`
Hyphen-minus	-	U+002D	45_dec, 2D_hex	`%2D`	`-`
Small Hyphen-minus	﹣	U+FE63		`%EF%B9%A3`	`﹣ ﹣`
Full-width Plus	＋	U+FF0B		`%EF%BC%8B`	`＋＋`
Full-width Hyphen-minus	－	U+FF0D		`%EF%BC%8D`	`－－`

हाइफ़न-ऋण चिह्न, -, ऋण चिह्न का मूल ASCII (आस्काई) संस्करण है, जो एक हैफ़ेन के रूप में दोगुना हो जाता है। यह सामान्यतः धन चिन्ह की तुलना में लंबाई में छोटा होता है और अधिकांशतः धन चिन्ह के क्रॉस बार से अलग ऊंचाई पर होता है। जब वर्ण समूह ASCII तक सीमित हो तो इसका उपयोग वास्तविक ऋण चिह्न के विकल्प के रूप में किया जा सकता है। अधिकांश कार्यरचना भाषा और अन्य कंप्यूटर पठनीय भाषाएं ऐसा करती हैं क्योंकि ASCII सामान्यतः वर्ण एन्कोडिंग के समूह के रूप में उपलब्ध है, जबकि U+2212 केवल एक एकाधारी कोड सुविधा है। साथ ही गणना के लिए प्रयोग करने योग्य कई अन्य सॉफ़्टवेयर U+2212 को स्वीकार नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, =3−2 को एक्सेल में या 3−2= को विन्डोज कैलकुलेटर में प्रेशित करना काम नहीं करेगा।

चूंकि अधिकांश कीबोर्ड विन्यास पर ट्रू श्रण उपलब्ध नहीं है, इसलिए टाइपोग्राफर कभी-कभी ऋण चिह्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुत समान एन डैश, U+2013 का उपयोग करते हैं, चूंकि गणितीय टंकण सेटिंग कार्यक्रम में इसे पसंद नहीं किया जाता है।^[21] अधिकांश कंप्यूटरों पर एन डैश बनाने के तरीके उपलब्ध हैं; देखना डैश § अक्षरों का टंकण.

वैकल्पिक ऋण चिह्न

एक व्यावसायिक ऋण चिह्न है, ⁒, जिसका उपयोग जर्मनी और स्कैंडिनेविया में किया जाता है। प्रतीक ÷ ओबेलस स्कैंडेनेविया में गणित में।^[22]

वैकल्पिक प्लस साइन

एक यहूदी परंपरा जो कम से कम 19वीं शताब्दी से चली आ रही है, प्रतीक का उपयोग करके धन लिखना है ﬩.^[23] इस अभ्यास को इज़राइली स्कूलों में अपनाया गया था और आज भी प्राथमिक विद्यालयों (धर्मनिरपेक्ष विद्यालयों सहित) इसका प्रयोग किया जा रहा है। लेकिन कुछ माध्यमिक विद्यालयों में यह सहज है।^[24] यह कभी-कभी धार्मिक लेखकों द्वारा इन्हें पुस्तकों में भी प्रयोग किया जाता है, लेकिन वयस्कों के लिए अधिकांश पुस्तकें अंतरराष्ट्रीय प्रतीक का उपयोग करती हैं +. इस प्रथा का कारण यह है कि यह प्रतीक के लेखन से बचती है + यह एक ईसाई क्रॉस जैसा दिखता है।यूनिकोड में यह प्रतीक स्थान पर है U+FB29 ﬩ HEBREW LETTER ALTERNATIVE PLUS SIGN.^[25]

यह भी देखें

एन डैश, एक डैश जो घटाव के प्रतीक के समान दिखता है लेकिन विभिन्न उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है
धन-श्रण चिन्ह ±
गणितीय प्रतीकों की शब्दावली
⊕ (बहुविकल्पी)

सन्दर्भ और फुटनोट

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↑ Unicode U+FB29 reference page This form of the plus sign is also used on the control buttons at individual seats on board the El Al Israel Airlines aircraft.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

मिस्र की चित्रलिपि
हस्तलिपि
सारांश
जॉन विडमैन
सोदागर
बराबर का चिह्न
सदिश स्थल
क्रमचयी गुणधर्म
भौतिक विज्ञान
जटिल संख्या
एक समारोह का तर्क
योगज प्रतिलोम
मूल्य (गणित)
समारोह (गणित)
कार्रवाई के आदेश
एक तरफा सीमा
रक्त के प्रकार
कड़ी
जे (प्रोग्रामिंग भाषा)
सी (प्रोग्रामिंग भाषा)
नकारात्मक अनंत
अनंतता
एक झलक
सापेक्ष मुखरता
उत्तर भाषाएँ
पुरुष भाषा
और भाषाएँ
दोहरी जाँच
तारांकन
अंतर्राष्ट्रीय कॉल उपसर्गों की सूची
वाणिज्यिक ऋण चिह्न
या
माध्यमिक स्कूल
इजराइल
प्राथमिक स्कूल

बाहरी संबंध

The dictionary definition of plus sign at Wiktionary
The dictionary definition of minus sign at Wiktionary

[13] t least the early Texas Instruments models, including the TI-81 and TI-82

[:0-1] Weisstein, Eric W. "घटाव". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-26.

[2] Karpinski, Louis C. (1917). "Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians". The American Mathematical Monthly. 24 (6): 257–265. doi:10.2307/2973180. JSTOR 2973180. MR 1518824.

[3] The birth of symbols – Zdena Lustigova, Faculty of Mathematics and Physics Charles University, Prague Archived 2013-07-08 at archive.today

[ley196504-4] Ley, Willy (April 1965). "प्रतीकात्मक रूप से बोलना". For Your Information. Galaxy Science Fiction. pp. 57–67.

[5] Stallings, Lynn (May 2000). "बीजगणितीय संकेतन का एक संक्षिप्त इतिहास". School Science and Mathematics. 100 (5): 230–235. doi:10.1111/j.1949-8594.2000.tb17262.x. Retrieved 13 April 2009.

[6] Sangster, Alan; Stoner, Greg; McCarthy, Patricia (2008). "लुका पैसिओली के सुम्मा अरिथमेटिका के लिए बाजार" (PDF). Accounting Historians Journal. 35 (1): 111–134 [p. 115]. doi:10.2308/0148-4184.35.1.111.

[7] Cajori, Florian (1928). "Origin and meanings of the signs + and -". गणितीय अंकन का इतिहास, वॉल्यूम। 1. The Open Court Company, Publishers.

[widmann1489-8] Widmann, Johannes (1489). "Be [n]de और सभी कॉफ़मैनशाफ़्ट पर सुंदर गणना". Leipzig : Konrad Kachelofen. p. 176.

[widmann1508-9] Widmann, Johannes (1508). "सभी व्यापारियों से फुर्तीला और सुंदर चालान". Kolophon: Gedruck zů Pfhortzheim von Thoman Anßhelm. p. 122.

[10] Smith, D.E. (1951). गणित का इतिहास. Vol. 1. Courier Dover Publications. pp. 258, 330. ISBN 0486204308.

[11] Earliest Uses of Symbols of Operation

[12] Henri Picciotto (1990). The Algebra Lab. Creative Publications. p. 9. ISBN 978-0-88488-964-9.

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[15] Schwartzman, Steven (1994). गणित के शब्द. The Mathematical Association of America. p. 136. ISBN 9780883855119.

[16] Wheeler, Ruric E. (2001). आधुनिक गणित (11 ed.). p. 171.

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[18] Castledine, George; Close, Ann (2009). एडल्ट नर्सिंग की ऑक्सफोर्ड हैंडबुक. Oxford University Press. p. xvii. ISBN 9780191039676..

[19] Hartell, Rhonda L., ed. (1993), The Alphabets of Africa. Dakar: UNESCO and SIL.

[20] Biglow, Brad Morris (2001). जातीय-राष्ट्रवादी राजनीति और सांस्कृतिक संरक्षण: ततीकिता, जलिस्को, मेक्सिको के विक्सारिटारी (हुइचोल) के बीच शिक्षा और सीमावर्ती पहचान (PDF) (PhD). University of Florida. p. 284.

[21] International Telecommunication Union, Recommendation E.123, Notation for national and international telephone numbers, e-mail addresses and Web addresses.

[22] "यूनिकोड मानक, संस्करण 13.0, अध्याय 6.2" (PDF). 2020. General Punctuation § Dashes and Hyphens.

[23] "6. Writing Systems and Punctuation". यूनिकोड मानक: संस्करण 10.0 - कोर विशिष्टता (PDF). Unicode Consortium. June 2017. p. 280, Obelus.

[JE-24] Kaufmann Kohler (1901–1906). "Cross". In Cyrus Adler; et al. (eds.). यहूदी विश्वकोश.

[University_of_California-25] Christian-Jewish Dialogue: Theological Foundations By Peter von der Osten-Sacken (1986 – Fortress Press) ISBN 0-8006-0771-6 "In Israel the plus sign used in mathematics is represented by a horizontal stroke with a vertical hook instead of the sign otherwise used all over the world, because the latter is reminiscent of a cross." (Page 96)

[26] Unicode U+FB29 reference page This form of the plus sign is also used on the control buttons at individual seats on board the El Al Israel Airlines aircraft.

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