प्रत्यक्ष योग: Difference between revisions

Latest revision as of 17:43, 22 December 2022

प्रत्यक्ष योग, गणित की एक शाखा और अमूर्त बीजगणित में गणितीय संरचना के बीच का एक संचालन है। यह अलग-अलग प्रकार की संरचनाओं के लिए अलग-अलग, लेकिन समान रूप से परिभाषित किया गया है। अमूर्त बीजगणित में प्रत्यक्ष योग का उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने के लिए, अधिक प्रारंभिक संरचना, एबेलियन समूह पर विचार करें। दो एबेलियन समूहों $A$ तथा $B$ का प्रत्यक्ष योग एक दूसरा एबेलियन समूह $A\oplus B$ होता है जिसमे क्रमित युग्म $(a,b)$ सम्मलित होता है : जहाँ $a\in A$ तथा $b\in B$ . क्रमित युग्मों को जोड़ने के लिए, हम $(a,b)+(c,d)$ योग को $(a+c,b+d)$ द्वारा परिभाषित करते हैं; दूसरे शब्दों में जोड़ को निर्देशांक के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष योग $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ , जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक कार्तीय तल है, $\mathbb {R} ^{2}$ . इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग दो सदिश क्षेत्र या दो मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए किया जा सकता है।

हम किसी भी परिमित संख्या के जोड़ के साथ प्रत्यक्ष योग भी बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, $A\oplus B\oplus C$ , जहाँ पर $A,B,$ तथा $C$ एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं हैं ( उदाहरण के लिए, सभी एबेलियन समूह, या सभी सदिश क्षेत्र )। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष योग समरूपता तक साहचर्य है। वह है, एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ , $B$ , तथा $C$ के लिए $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ । प्रत्यक्ष योग समरूपता तक क्रमविनिमेय भी है, अर्थात एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ , $B$ , तथा $C$ के लिए $A\oplus B\cong B\oplus A$ ।

बहुत से एबेलियन समूहों, सदिश क्षेत्र, या मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग, संबंधित प्रत्यक्ष गुणन के लिए प्रामाणिक रूप से समाकृतिक है। सामान्यतः, यह कुछ बीजगणितीय वस्तुओं के लिए गलत है, जैसे कि गैर-अबेलियन समूह।

ऐसे स्थिति में जहाँ असीमित रूप से अनेक वस्तुएं संयुक्त होती हैं, प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन समाकृतिक नहीं होते हैं, यहाँ तक कि एबेलियन समूहों, सदिश क्षेत्र या मॉड्यूल के लिए भी समाकृतिक नहीं होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों की अपरिमित रूप से अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल पर विचार करें। प्रत्यक्ष गुणन में एक तत्व, एक अनंत अनुक्रम है जैसे (1,2,3,...) लेकिन प्रत्यक्ष योग में, एक आवश्यकता है कि सभी लेकिन बहुत से निर्देशांक शून्य हों, इसलिए अनुक्रम (1,2,3,...) प्रत्यक्ष गुणन का एक तत्व होगा, लेकिन प्रत्यक्ष योग का नहीं, जबकि (1,2,0,0,0,...) दोनों का एक तत्व होगा। अधिकांशतः, यदि एक + चिह्न का उपयोग किया जाता है, तो बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी निर्देशांक शून्य होने चाहिए, जबकि यदि गुणन के किसी रूप का उपयोग किया जाता है, तो निश्चित रूप से बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी 1 होना चाहिए। अधिक तकनीकी भाषा में, यदि योगफल $(A_{i})_{i\in I}$ हैं , तब प्रत्यक्ष योग

\bigoplus _{i\in I}A_{i}

टुपल्स के सेट

(a_{i})_{i\in I}

के रूप में परिभाषित किया गया है

a_{i}\in A_{i}

ऐसे कि

a_{i}=0

सभी लेकिन निश्चित रूप से बहुत से i के लिए। प्रत्यक्ष योग

{\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}

प्रत्यक्ष गुणन

\prod_{i}

@@ Line 39: / Line 39: @@
 मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो अनेक मॉड्यूल (गणित) को एक नए मॉड्यूल में जोड़ता है।
-इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को [[बनच स्थान]]ों और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।
+इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को [[बनच स्थान|बनच स्थानों]] और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।
 === श्रेणियों में प्रत्यक्ष योग ===
@@ Line 45: / Line 45: @@
 एक [[योजक श्रेणी]] मॉड्यूल की श्रेणी के गुणों का एक सार है।<ref>[http://www.math.jussieu.fr/~schapira/lectnotes/HomAl.pdf "p.45"]</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| title=अनुबंध| access-date=2014-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20060917010409/http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| archive-date=2006-09-17|url-status=dead}}</ref> ऐसी श्रेणी में, परिमित गुणन और सह-गुणन सहमत होते हैं और प्रत्यक्ष योग उनमें से कोई एक होता है, cf. [[द्विउत्पाद|द्विगुणन]]।
-सामान्य मामला:<ref name=nLabDirectSum>{{nlab|id=direct+sum|title=Direct Sum}}</ref>
+सामान्य स्थिति : <ref name=nLabDirectSum>{{nlab|id=direct+sum|title=Direct Sum}}</ref>[[श्रेणी सिद्धांत]] में {{visible anchor|प्रत्यक्ष योग|Categorical direct sum}} अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।
-[[श्रेणी सिद्धांत]] में {{visible anchor|direct sum|Categorical direct sum}} अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की [[श्रेणी (गणित)]] में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।
-==== समूहों की श्रेणी में सीधे रकम बनाम सह-गुणन ====
+==== समूहों की श्रेणी में प्रत्यक्ष योग बनाम सह-गुणन ====
-हालाँकि, प्रत्यक्ष राशि <math>S_3 \oplus \Z_2</math> (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है {{em|not}} समूहों का एक गुणन <math>S_3</math> तथा <math>\Z_2</math> [[समूहों की श्रेणी]] में।<ref>{{Cite web| url=https://planetmath.org/counterexamplesforproductsandcoproduct | title=उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण|access-date=2021-07-23 | work=Planetmath}}</ref> तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।
+चूंकि, प्रत्यक्ष योग <math>S_3 \oplus \Z_2</math> (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है समूहों का एक गुणन <math>S_3</math> तथा <math>\Z_2</math> [[समूहों की श्रेणी]] में।<ref>{{Cite web| url=https://planetmath.org/counterexamplesforproductsandcoproduct | title=उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण|access-date=2021-07-23 | work=Planetmath}}</ref> तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।
-=== समूह अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग ===
+=== समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग ===
-{{See also|Representation theory of finite groups#Direct sum of representations}}
+{{See also|सीमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत# प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग}}
-समूह अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक [[समूह क्रिया (गणित)]] जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह (गणित) दिया गया <math>G</math> और दो [[समूह प्रतिनिधित्व]] <math>V</math> तथा <math>W</math> का <math>G</math> (या, अधिक आम तौर पर, दो जी-मॉड्यूल |<math>G</math>-मॉड्यूल), अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है <math>V \oplus W</math> की क्रिया के साथ <math>g \in G</math> दिए गए घटक-वार, अर्थात्,
+समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक [[समूह क्रिया (गणित)]] जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह  दिया गया <math>G</math> और दो [[समूह प्रतिनिधित्व]] <math>V</math> तथा <math>W</math> का <math>G</math> (या, अधिक सामान्यतः, दो <math>G</math>-मॉड्यूल |<math>G</math>-मॉड्यूल), प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग है <math>V \oplus W</math> की क्रिया के साथ <math>g \in G</math> दिए गए घटक-के अनुसार, अर्थात्,
 <math display="block">g \cdot (v, w) = (g \cdot v, g \cdot w).</math>
 प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका इस प्रकार है:
-दो अभ्यावेदन दिए <math>(V, \rho_V)</math> तथा <math>(W, \rho_W)</math> प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान है <math>V \oplus W</math> और समरूपता <math>\rho_{V \oplus W}</math> द्वारा दिया गया है <math>\alpha \circ (\rho_V \times \rho_W),</math> कहाँ पे <math>\alpha: GL(V) \times GL(W) \to GL(V \oplus W)</math> उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।
+दो दिए गए प्रतिनिधित्व  <math>(V, \rho_V)</math> तथा <math>(W, \rho_W)</math> प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान <math>V \oplus W</math> है  और समरूपता <math>\rho_{V \oplus W}</math> द्वारा दिया गया है <math>\alpha \circ (\rho_V \times \rho_W),</math> जहाँ <math>\alpha: GL(V) \times GL(W) \to GL(V \oplus W)</math> उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।
-इसके अलावा, यदि <math>V,\,W</math> परिमित आयामी हैं, फिर, का आधार दिया गया है <math>V,\,W</math>, <math>\rho_V</math> तथा <math>\rho_W</math> मैट्रिक्स-मूल्यवान हैं। इस मामले में, <math>\rho_{V \oplus W}</math> के रूप में दिया जाता है
+इसके अतिरिक्त, यदि <math>V,\,W</math> सीमित आयामी हैं, तब फिर दिए गए आधार पर  <math>V,\,W</math>, <math>\rho_V</math> तथा <math>\rho_W</math> आव्यूह-मूल्यवान हैं। इस स्थिति में, <math>\rho_{V \oplus W}</math> निम्न रूप में दिया जाता है
 <math display="block">g \mapsto \begin{pmatrix}\rho_V(g) & 0 \\ 0 & \rho_W(g)\end{pmatrix}.</math>
-इसके अलावा, यदि हम इलाज करते हैं <math>V</math> तथा <math>W</math> समूह रिंग पर मॉड्यूल के रूप में <math>kG</math>, कहाँ पे <math>k</math> क्षेत्र है, तो अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग <math>V</math> तथा <math>W</math> उनके प्रत्यक्ष योग के बराबर है <math>kG</math> मॉड्यूल।
+इसके अतिरिक्त, यदि हम समूह रिंग <math>kG</math> पर <math>V</math> तथा <math>W</math> को मॉड्यूल के रूप में लेते है, जहाँ पर <math>k</math> क्षेत्र है, तो प्रतिनिधित्व <math>V</math> तथा <math>W</math> का प्रत्यक्ष योग उनके प्रत्यक्ष <math>kG</math> मॉड्यूल योग के बराबर होता है।
 === वलयो का प्रत्यक्ष योग ===
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 ==संदर्भ==
 *{{Lang Algebra|edition=3r}}
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