प्रत्यक्ष योग: Difference between revisions

Latest revision as of 17:43, 22 December 2022

प्रत्यक्ष योग, गणित की एक शाखा और अमूर्त बीजगणित में गणितीय संरचना के बीच का एक संचालन है। यह अलग-अलग प्रकार की संरचनाओं के लिए अलग-अलग, लेकिन समान रूप से परिभाषित किया गया है। अमूर्त बीजगणित में प्रत्यक्ष योग का उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने के लिए, अधिक प्रारंभिक संरचना, एबेलियन समूह पर विचार करें। दो एबेलियन समूहों $A$ तथा $B$ का प्रत्यक्ष योग एक दूसरा एबेलियन समूह $A\oplus B$ होता है जिसमे क्रमित युग्म $(a,b)$ सम्मलित होता है : जहाँ $a\in A$ तथा $b\in B$ . क्रमित युग्मों को जोड़ने के लिए, हम $(a,b)+(c,d)$ योग को $(a+c,b+d)$ द्वारा परिभाषित करते हैं; दूसरे शब्दों में जोड़ को निर्देशांक के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष योग $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ , जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक कार्तीय तल है, $\mathbb {R} ^{2}$ . इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग दो सदिश क्षेत्र या दो मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए किया जा सकता है।

हम किसी भी परिमित संख्या के जोड़ के साथ प्रत्यक्ष योग भी बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, $A\oplus B\oplus C$ , जहाँ पर $A,B,$ तथा $C$ एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं हैं ( उदाहरण के लिए, सभी एबेलियन समूह, या सभी सदिश क्षेत्र )। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष योग समरूपता तक साहचर्य है। वह है, एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ , $B$ , तथा $C$ के लिए $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ । प्रत्यक्ष योग समरूपता तक क्रमविनिमेय भी है, अर्थात एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ , $B$ , तथा $C$ के लिए $A\oplus B\cong B\oplus A$ ।

बहुत से एबेलियन समूहों, सदिश क्षेत्र, या मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग, संबंधित प्रत्यक्ष गुणन के लिए प्रामाणिक रूप से समाकृतिक है। सामान्यतः, यह कुछ बीजगणितीय वस्तुओं के लिए गलत है, जैसे कि गैर-अबेलियन समूह।

ऐसे स्थिति में जहाँ असीमित रूप से अनेक वस्तुएं संयुक्त होती हैं, प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन समाकृतिक नहीं होते हैं, यहाँ तक कि एबेलियन समूहों, सदिश क्षेत्र या मॉड्यूल के लिए भी समाकृतिक नहीं होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों की अपरिमित रूप से अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल पर विचार करें। प्रत्यक्ष गुणन में एक तत्व, एक अनंत अनुक्रम है जैसे (1,2,3,...) लेकिन प्रत्यक्ष योग में, एक आवश्यकता है कि सभी लेकिन बहुत से निर्देशांक शून्य हों, इसलिए अनुक्रम (1,2,3,...) प्रत्यक्ष गुणन का एक तत्व होगा, लेकिन प्रत्यक्ष योग का नहीं, जबकि (1,2,0,0,0,...) दोनों का एक तत्व होगा। अधिकांशतः, यदि एक + चिह्न का उपयोग किया जाता है, तो बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी निर्देशांक शून्य होने चाहिए, जबकि यदि गुणन के किसी रूप का उपयोग किया जाता है, तो निश्चित रूप से बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी 1 होना चाहिए। अधिक तकनीकी भाषा में, यदि योगफल $(A_{i})_{i\in I}$ हैं , तब प्रत्यक्ष योग

\bigoplus _{i\in I}A_{i}

टुपल्स के सेट

(a_{i})_{i\in I}

के रूप में परिभाषित किया गया है

a_{i}\in A_{i}

ऐसे कि

a_{i}=0

सभी लेकिन निश्चित रूप से बहुत से i के लिए। प्रत्यक्ष योग

{\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}

प्रत्यक्ष गुणन

{\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}

में निहित है, लेकिन सूचकांक सेट होने पर सख्ती से छोटा होता है

I

अनंत है, क्योंकि प्रत्यक्ष गुणन के एक तत्व में असीम रूप से अनेक अशून्य निर्देशांक हो सकते हैं।^[1]

उदाहरण

xy-तल, एक द्वि-आयामी सदिश क्षेत्र, को दो एक-आयामी सदिश क्षेत्र, अर्थात् x और y अक्षों के प्रत्यक्ष योग के रूप में माना जा सकता है। इस प्रत्यक्ष योग में, x और y अक्ष केवल मूल बिंदु (शून्य सदिश) पर प्रतिच्छेद करते हैं। जोड़ को निर्देशांक-के अनुसार परिभाषित किया गया है, अर्थात $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ , जो सदिश योग के समान है।

दो संरचनाएं $A$ तथा $B$ दी गई हैं, उनका प्रत्यक्ष योग $A\oplus B$ प्रकार से लिखा जाता है। संरचनाओं के अनुक्रमित परिवार $A_{i}$ को देखते हुए, $i\in I$ प्रत्यक्ष योग ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ लिखा जा सकता है। प्रत्येक A_i को A का 'प्रत्यक्ष योग' कहा जाता है। यदि सूचकांक सेट सीमित है, तो प्रत्यक्ष योग, प्रत्यक्ष गुणन के समान होता है। समूहों के विषय में, यदि समूह संचालन $+$ के रूप में लिखा गया है, तो प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है, जबकि यदि समूह संचालन $*$ लिखा जाता है प्रत्यक्ष गुणन वाक्यांश का उपयोग किया जाता है। जब सूचकांक सेट अनंत होता है, तो प्रत्यक्ष योग, प्रत्यक्ष गुणन के समान नहीं होता है क्योंकि प्रत्यक्ष योग की अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि सभी लेकिन अंतत: अनेक निर्देशांक शून्य होने चाहिए।

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष योग

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष योगों के बीच एक भेद किया जाता है, सामान्यतः दोनों तुल्याकारी हैं। यदि योग को पहले परिभाषित किया जाता है, और फिर योग के संदर्भ में प्रत्यक्ष योग को परिभाषित किया जाता है, तो हमारे पास बाहरी प्रत्यक्ष योग होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करते हैं $\mathbb {R}$ और फिर परिभाषित करें $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ प्रत्यक्ष योग को बाह्य कहा जाता है।

यदि, दूसरी ओर, हम पहले कुछ बीजगणितीय संरचना को परिभाषित करते हैं $S$ और फिर लिखो $S$ दो अवसंरचनाओं के प्रत्यक्ष योग के रूप में $V$ तथा $W$ , तो प्रत्यक्ष योग को आंतरिक कहा जाता है। इस मामले में, के प्रत्येक तत्व $S$ के एक तत्व के बीजगणितीय संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है $V$ और का एक तत्व $W$ . आंतरिक प्रत्यक्ष योग के उदाहरण के लिए, विचार करें $\mathbb {Z} _{6}$ (पूर्णांक मॉड्यूल छह), जिनके तत्व हैं $\{0,1,2,3,4,5\}$ . यह आंतरिक प्रत्यक्ष योग $\mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है .

प्रत्यक्ष योग के प्रकार

एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग

एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग, प्रत्यक्ष योग का एक प्रोटोटाइपिक उदाहरण है। ऐसे ही दिए गए दो समूहो $(A,\circ )$ तथा $(B,\bullet ),$ के लिए उनका प्रत्यक्ष योग $A\oplus B$ समूहों के प्रत्यक्ष गुणन के समान है। यही है, अंतर्निहित सेट कार्तीय गुणन $A\times B$ है और समूह संचालन $\,\cdot \,$ घटक के अनुसार परिभाषित किया गया है:

\left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).

यह परिभाषा सीधे तौर पर बहुत से एबेलियन समूहों के योगों का सामान्यीकरण करती है।

$i\in I$ द्वारा अनुक्रमित, समूहों के एक यादृच्छिक परिवार $A_{i}$ के लिए, उनका प्रत्यक्ष योग ^[2]

\bigoplus _{i\in I}A_{i}

प्रत्यक्ष गुणन का उपसमूह है जिसमें तत्व

{\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}

होते हैं जिनके पास सीमित समर्थन है, जहाँ परिभाषा के अनुसार,

\left(a_{i}\right)_{i\in I}

को सीमित समर्थन कहा जाता है यदि सभी के लिए लेकिन निश्चित रूप से बहुत से

i.

के लिए

a_{i}

,

A_{i}

का पहचान तत्व है।^[3] गैर-तुच्छ समूहों के एक अनंत परिवार

\left(A_{i}\right)_{i\in I}

का प्रत्यक्ष योग, गुणन समूह

{\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}

का उचित उपसमूह होता है।

मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग

मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो अनेक मॉड्यूल (गणित) को एक नए मॉड्यूल में जोड़ता है।

इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को बनच स्थानों और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

श्रेणियों में प्रत्यक्ष योग

एक योजक श्रेणी मॉड्यूल की श्रेणी के गुणों का एक सार है।^[4]^[5] ऐसी श्रेणी में, परिमित गुणन और सह-गुणन सहमत होते हैं और प्रत्यक्ष योग उनमें से कोई एक होता है, cf. द्विगुणन।

सामान्य स्थिति : ^[2]श्रेणी सिद्धांत में प्रत्यक्ष योग अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की श्रेणी में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।

समूहों की श्रेणी में प्रत्यक्ष योग बनाम सह-गुणन

चूंकि, प्रत्यक्ष योग $S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है समूहों का एक गुणन $S_{3}$ तथा $\mathbb {Z} _{2}$ समूहों की श्रेणी में।^[6] तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।

समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग

समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक समूह क्रिया (गणित) जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह दिया गया $G$ और दो समूह प्रतिनिधित्व $V$ तथा $W$ का $G$ (या, अधिक सामान्यतः, दो $G$ -मॉड्यूल | $G$ -मॉड्यूल), प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग है $V\oplus W$ की क्रिया के साथ $g\in G$ दिए गए घटक-के अनुसार, अर्थात्,

g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).

प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका इस प्रकार है:

दो दिए गए प्रतिनिधित्व $(V,\rho _{V})$ तथा $(W,\rho _{W})$ प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान $V\oplus W$ है और समरूपता $\rho _{V\oplus W}$ द्वारा दिया गया है $\alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),$ जहाँ $\alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)$ उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।

इसके अतिरिक्त, यदि $V,\,W$ सीमित आयामी हैं, तब फिर दिए गए आधार पर $V,\,W$ , $\rho _{V}$ तथा $\rho _{W}$ आव्यूह-मूल्यवान हैं। इस स्थिति में, $\rho _{V\oplus W}$ निम्न रूप में दिया जाता है

g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.

इसके अतिरिक्त, यदि हम समूह रिंग

kG

पर

V

तथा

W

को मॉड्यूल के रूप में लेते है, जहाँ पर

k

क्षेत्र है, तो प्रतिनिधित्व

V

तथा

W

का प्रत्यक्ष योग उनके प्रत्यक्ष

kG

मॉड्यूल योग के बराबर होता है।

वलयो का प्रत्यक्ष योग

कुछ लेखक दो वलयो के प्रत्यक्ष योग $R\oplus S$ की बात करेंगे, जब उनका अभिप्राय प्रत्यक्ष गुणन $R\times S$ से है, लेकिन इसे अनदेखा करना चाहिए^[7] जैसा कि $R\times S$ , $R$ तथा $S$ से प्राकृतिक वलय समरूपता प्राप्त नहीं करता है: विशेष रूप से, मानचित्र $R\to R\times S$ , $r$ को $(r,0)$ पर भेजना रिंग समरूपता नहीं है क्योंकि यह 1 को $(1,1)$ में भेजने पर विफल रहता है (ऐसा मानते हुए $0\neq 1$ में $S$ ). इस प्रकार $R\times S$ वलयो की श्रेणी में प्रतिगुणन नहीं है, और इसे प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए। (कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी में कोप्रोडक्ट वलय का प्रदिश गुणन है।^[8] वलयो की श्रेणी में, प्रतिगुणन समूहों के मुक्त गुणन के समान निर्माण द्वारा दिया जाता है।)

प्रत्यक्ष योग शब्दावली और संकेतन का उपयोग विशेष रूप से तब समस्याग्रस्त होता है जब वलयो के अनंत परिवारों के साथ व्यवहार किया जाता है: यदि $(R_{i})_{i\in I}$ गैर-तुच्छ वलयो का एक अनंत संग्रह है, तो अंतर्निहित योज्य समूहों का प्रत्यक्ष योग शब्दवार गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है, लेकिन यह एक rng उत्पन्न करता है, जो कि गुणक पहचान के बिना एक वलय है।

आव्यूह का प्रत्यक्ष योग

किसी भी यादृच्छिक आव्यूह $\mathbf {A}$ तथा $\mathbf {B}$ के लिए प्रत्यक्ष योग $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B}$ , $\mathbf {A}$ तथा $\mathbf {B}$ के ब्लॉक विकर्ण आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है यदि दोनों वर्ग आव्यूह हैं (और एक समान ब्लॉक आव्यूह के लिए, यदि नहीं)।

\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.

टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र का प्रत्यक्ष योग

एक टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र (TVS) $X,$ जैसे बनच क्षेत्र, को दो सदिश उप-क्षेत्र $M$ तथा $N$ का टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग कहा जाता है यदि अतिरिक्त मानचित्र

{\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}

टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्रो का समाकृतिक है (जिसका अर्थ है कि यह रेखीय नक्शा एक द्विभाजन होमियोमोर्फिज्म है), इस स्थिति में

M

तथा

N

को

X.

में टोपोलॉजिकल पूरक कहा जाता है। यह सच है यदि और केवल यदि इसे योगात्मक समूह टोपोलॉजिकल समूहों (इसलिए अदिश गुणन को अनदेखा किया जाता है) के रूप में माना जाता है,

X

टोपोलॉजिकल उपसमूहों

M

तथा

N

का टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग है यदि ऐसा है और यदि

X

हौसडॉर्फ है तो

M

तथा

N

आवश्यक रूप से

X.

के बंद उप-स्थान हैं।

यदि $M$ , एक वास्तविक या कोम्प्लेक्स्स सदिश क्षेत्र $X$ का एक सदिश उप-क्षेत्र है, तो वहाँ हमेशा $X$ एक और उप-स्थान सदिश $N$ उपस्थित होता है। जिसे $X$ में $M$ का एक बीजगणितीय पूरक कहा जाता है। ऐसा कि $X$ , $M$ तथा $N$ बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग है। (जो केवल तब ही होता है जब अतिरिक्त मानचित्र $M\times N\to X$ एक सदिश अंतरिक्ष समरूपता होता है)।बीजगणितीय प्रत्यक्ष योगों के विपरीत, इस तरह के पूरक के अस्तित्व की अब टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योगों के लिए गारंटी नहीं है।

$X$ का एक सदिश उप-स्थान $M$ , $X$ का पूरक उपक्षेत्र कहा जाता है यदि वहाँ $X$ के कुछ सदिश उप-स्थान $N$ उपस्थित है वह भी इस प्रकार कि $X$ , $M$ का टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग है। एक सदिश उप-स्थान को अपूर्ण कहा जाता है यदि यह एक पूरक उप-स्थान नहीं है। उदाहरण के लिए, हौसडॉर्फ TVS का प्रत्येक सदिश उपस्थान जो एक बंद उपसमुच्चय नहीं है, आवश्यक रूप से अपूर्ण है। हिल्बर्ट क्षेत्र का प्रत्येक बंद सदिश उप-क्षेत्र पूरक है। लेकिन हर बनच क्षेत्र जो कि हिल्बर्ट स्थान नहीं है, आवश्यक रूप से कुछ अपूर्ण बंद सदिश उप-स्थान रखता है।

समरूपता

^{[clarification needed]}

प्रत्यक्ष योग ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ , I में प्रत्येक j के लिए प्रोजेक्शन समरूपता ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ और I में प्रत्येक j के लिए एक सहप्रक्षेपण ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ के साथ सुसज्जित रूप से प्राप्त होता है। ^[9] दी गयी एक अन्य बीजगणितीय संरचना $B$ (समान अतिरिक्त संरचना के साथ) और I में प्रत्येक j के लिए समरूपता $g_{j}\colon A_{j}\to B$ के लिए, एक अद्वितीय समरूपता ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ है , जिसे g_j का योग कहा जाता है, वह भी तब जब सभी j के लिए $g\alpha _{j}=g_{j}$ हो। इस प्रकार प्रत्यक्ष योग उपयुक्त श्रेणी में प्रतिफल है।

यह भी देखें

समूहों का प्रत्यक्ष योग
क्रमपरिवर्तन का प्रत्यक्ष योग
टोपोलॉजिकल समूहों का प्रत्यक्ष योग
प्रतिबंधित गुणन
व्हिटनी योग

↑ Thomas W. Hungerford, Algebra, p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
↑ ^2.0 ^2.1 Direct Sum at the nLab
↑ Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 177, Allyn and Bacon, 1965
↑ "p.45"
↑ "अनुबंध" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2006-09-17. Retrieved 2014-01-14.
↑ "उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण". Planetmath. Retrieved 2021-07-23.
↑ Math StackExchange on direct sum of rings vs. direct product of rings.
↑ Lang 2002, section I.11
↑ Heunen, Chris (2009). श्रेणीबद्ध क्वांटम मॉडल और तर्क. Pallas Proefschriften. Amsterdam University Press. p. 26. ISBN 978-9085550242.

संदर्भ

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

[1] Thomas W. Hungerford, Algebra, p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189

[nLabDirectSum-2] 2.0 ^2.1 Direct Sum at the nLab

[3] Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 177, Allyn and Bacon, 1965

[4] "p.45"

[5] "अनुबंध" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2006-09-17. Retrieved 2014-01-14.

[6] "उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण". Planetmath. Retrieved 2021-07-23.

[7] Math StackExchange on direct sum of rings vs. direct product of rings.

[8] Lang 2002, section I.11

[Heu26-9] Heunen, Chris (2009). श्रेणीबद्ध क्वांटम मॉडल और तर्क. Pallas Proefschriften. Amsterdam University Press. p. 26. ISBN 978-9085550242.

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 मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो अनेक मॉड्यूल (गणित) को एक नए मॉड्यूल में जोड़ता है।
-इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को [[बनच स्थान]]ों और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।
+इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को [[बनच स्थान|बनच स्थानों]] और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।
 === श्रेणियों में प्रत्यक्ष योग ===
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 एक [[योजक श्रेणी]] मॉड्यूल की श्रेणी के गुणों का एक सार है।<ref>[http://www.math.jussieu.fr/~schapira/lectnotes/HomAl.pdf "p.45"]</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| title=अनुबंध| access-date=2014-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20060917010409/http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| archive-date=2006-09-17|url-status=dead}}</ref> ऐसी श्रेणी में, परिमित गुणन और सह-गुणन सहमत होते हैं और प्रत्यक्ष योग उनमें से कोई एक होता है, cf. [[द्विउत्पाद|द्विगुणन]]।
-सामान्य मामला:<ref name=nLabDirectSum>{{nlab|id=direct+sum|title=Direct Sum}}</ref>
+सामान्य स्थिति : <ref name=nLabDirectSum>{{nlab|id=direct+sum|title=Direct Sum}}</ref>[[श्रेणी सिद्धांत]] में {{visible anchor|प्रत्यक्ष योग|Categorical direct sum}} अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।
-[[श्रेणी सिद्धांत]] में {{visible anchor|direct sum|Categorical direct sum}} अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की [[श्रेणी (गणित)]] में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।
-==== समूहों की श्रेणी में सीधे रकम बनाम सह-गुणन ====
+==== समूहों की श्रेणी में प्रत्यक्ष योग बनाम सह-गुणन ====
-हालाँकि, प्रत्यक्ष राशि <math>S_3 \oplus \Z_2</math> (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है {{em|not}} समूहों का एक गुणन <math>S_3</math> तथा <math>\Z_2</math> [[समूहों की श्रेणी]] में।<ref>{{Cite web| url=https://planetmath.org/counterexamplesforproductsandcoproduct | title=उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण|access-date=2021-07-23 | work=Planetmath}}</ref> तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।
+चूंकि, प्रत्यक्ष योग <math>S_3 \oplus \Z_2</math> (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है समूहों का एक गुणन <math>S_3</math> तथा <math>\Z_2</math> [[समूहों की श्रेणी]] में।<ref>{{Cite web| url=https://planetmath.org/counterexamplesforproductsandcoproduct | title=उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण|access-date=2021-07-23 | work=Planetmath}}</ref> तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।
-=== समूह अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग ===
+=== समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग ===
-{{See also|Representation theory of finite groups#Direct sum of representations}}
+{{See also|सीमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत# प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग}}
-समूह अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक [[समूह क्रिया (गणित)]] जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह (गणित) दिया गया <math>G</math> और दो [[समूह प्रतिनिधित्व]] <math>V</math> तथा <math>W</math> का <math>G</math> (या, अधिक आम तौर पर, दो जी-मॉड्यूल |<math>G</math>-मॉड्यूल), अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है <math>V \oplus W</math> की क्रिया के साथ <math>g \in G</math> दिए गए घटक-वार, अर्थात्,
+समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक [[समूह क्रिया (गणित)]] जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह  दिया गया <math>G</math> और दो [[समूह प्रतिनिधित्व]] <math>V</math> तथा <math>W</math> का <math>G</math> (या, अधिक सामान्यतः, दो <math>G</math>-मॉड्यूल |<math>G</math>-मॉड्यूल), प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग है <math>V \oplus W</math> की क्रिया के साथ <math>g \in G</math> दिए गए घटक-के अनुसार, अर्थात्,
 <math display="block">g \cdot (v, w) = (g \cdot v, g \cdot w).</math>
 प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका इस प्रकार है:
-दो अभ्यावेदन दिए <math>(V, \rho_V)</math> तथा <math>(W, \rho_W)</math> प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान है <math>V \oplus W</math> और समरूपता <math>\rho_{V \oplus W}</math> द्वारा दिया गया है <math>\alpha \circ (\rho_V \times \rho_W),</math> कहाँ पे <math>\alpha: GL(V) \times GL(W) \to GL(V \oplus W)</math> उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।
+दो दिए गए प्रतिनिधित्व  <math>(V, \rho_V)</math> तथा <math>(W, \rho_W)</math> प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान <math>V \oplus W</math> है  और समरूपता <math>\rho_{V \oplus W}</math> द्वारा दिया गया है <math>\alpha \circ (\rho_V \times \rho_W),</math> जहाँ <math>\alpha: GL(V) \times GL(W) \to GL(V \oplus W)</math> उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।
-इसके अलावा, अगर <math>V,\,W</math> परिमित आयामी हैं, फिर, का आधार दिया गया है <math>V,\,W</math>, <math>\rho_V</math> तथा <math>\rho_W</math> मैट्रिक्स-मूल्यवान हैं। इस मामले में, <math>\rho_{V \oplus W}</math> के रूप में दिया जाता है
+इसके अतिरिक्त, यदि <math>V,\,W</math> सीमित आयामी हैं, तब फिर दिए गए आधार पर  <math>V,\,W</math>, <math>\rho_V</math> तथा <math>\rho_W</math> आव्यूह-मूल्यवान हैं। इस स्थिति में, <math>\rho_{V \oplus W}</math> निम्न रूप में दिया जाता है
 <math display="block">g \mapsto \begin{pmatrix}\rho_V(g) & 0 \\ 0 & \rho_W(g)\end{pmatrix}.</math>
-इसके अलावा, अगर हम इलाज करते हैं <math>V</math> तथा <math>W</math> समूह रिंग पर मॉड्यूल के रूप में <math>kG</math>, कहाँ पे <math>k</math> क्षेत्र है, तो अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग <math>V</math> तथा <math>W</math> उनके प्रत्यक्ष योग के बराबर है <math>kG</math> मॉड्यूल।
+इसके अतिरिक्त, यदि हम समूह रिंग <math>kG</math> पर <math>V</math> तथा <math>W</math> को मॉड्यूल के रूप में लेते है, जहाँ पर <math>k</math> क्षेत्र है, तो प्रतिनिधित्व <math>V</math> तथा <math>W</math> का प्रत्यक्ष योग उनके प्रत्यक्ष <math>kG</math> मॉड्यूल योग के बराबर होता है।
+=== वलयो का प्रत्यक्ष योग ===
+{{main|वलयो का गुणन}}
+कुछ लेखक दो वलयो के प्रत्यक्ष योग <math>R \oplus S</math> की बात करेंगे, जब उनका अभिप्राय प्रत्यक्ष गुणन <math>R \times S</math> से है, लेकिन इसे अनदेखा करना चाहिए<ref>[https://math.stackexchange.com/q/345501 Math StackExchange] on direct sum of rings vs. direct product of rings.</ref> जैसा कि <math>R \times S</math>, <math>R</math> तथा <math>S</math> से प्राकृतिक वलय समरूपता प्राप्त नहीं करता है: विशेष रूप से, मानचित्र <math>R \to R \times S</math> , <math>r</math> को <math>(r, 0)</math> पर भेजना रिंग समरूपता नहीं है क्योंकि यह 1 को <math>(1, 1)</math>में भेजने पर विफल रहता है  (ऐसा मानते हुए <math>0 \neq 1</math> में <math>S</math>). इस प्रकार <math>R \times S</math> [[अंगूठियों की श्रेणी|वलयो की श्रेणी]] में प्रतिगुणन नहीं है, और इसे प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए। (कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी में कोप्रोडक्ट वलय का प्रदिश गुणन है।<ref>{{harvnb|Lang|2002}}, section I.11</ref> वलयो की श्रेणी में, प्रतिगुणन समूहों के मुक्त गुणन के समान निर्माण द्वारा दिया जाता है।)
-=== अंगूठियों का प्रत्यक्ष योग ===
+प्रत्यक्ष योग शब्दावली और संकेतन का उपयोग विशेष रूप से तब समस्याग्रस्त होता है जब वलयो के अनंत परिवारों के साथ व्यवहार किया जाता है: यदि <math>(R_i)_{i \in I}</math> गैर-तुच्छ वलयो का एक अनंत संग्रह है, तो अंतर्निहित योज्य समूहों का प्रत्यक्ष योग शब्दवार गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है, लेकिन यह एक rng  उत्पन्न करता है, जो कि गुणक पहचान के बिना एक वलय है।
-{{main|Product of rings}}
-कुछ लेखक प्रत्यक्ष योग की बात करेंगे <math>R \oplus S</math> दो छल्लों का जब उनका मतलब प्रत्यक्ष गुणन से है <math>R \times S</math>, लेकिन इससे बचना चाहिए<ref>[https://math.stackexchange.com/q/345501 Math StackExchange] on direct sum of rings vs. direct product of rings.</ref> जबसे <math>R \times S</math> से प्राकृतिक वलय समरूपता प्राप्त नहीं करता है <math>R</math> तथा <math>S</math>: विशेष रूप से, मानचित्र <math>R \to R \times S</math> भेजना <math>r</math> प्रति <math>(r, 0)</math> रिंग समरूपता नहीं है क्योंकि यह 1 को भेजने में विफल रहता है <math>(1, 1)</math> (ऐसा मानते हुए <math>0 \neq 1</math> में <math>S</math>). इस प्रकार <math>R \times S</math> [[अंगूठियों की श्रेणी]] में प्रतिगुणन नहीं है, और इसे प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए। (कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी में कोप्रोडक्ट रिंग्स का टेंसर गुणन है।<ref>{{harvnb|Lang|2002}}, section I.11</ref> अंगूठियों की श्रेणी में, प्रतिगुणन समूहों के मुक्त गुणन के समान निर्माण द्वारा दिया जाता है।)
-प्रत्यक्ष योग शब्दावली और संकेतन का उपयोग विशेष रूप से तब समस्याग्रस्त होता है जब छल्ले के अनंत परिवारों के साथ व्यवहार किया जाता है: यदि <math>(R_i)_{i \in I}</math> गैर-तुच्छ छल्लों का एक अनंत संग्रह है, तो अंतर्निहित योज्य समूहों का प्रत्यक्ष योग शब्दवार गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है, लेकिन यह एक rng (बीजगणित) उत्पन्न करता है, जो कि गुणक पहचान के बिना एक वलय है।
+=== आव्यूह का प्रत्यक्ष योग ===
+{{See also|मैट्रिक्स का जोड़#प्रत्यक्ष योग}}
-=== मेट्रिसेस का प्रत्यक्ष योग ===
+किसी भी यादृच्छिक आव्यूह <math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math> के लिए  प्रत्यक्ष योग <math>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}</math> ,<math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math> के ब्लॉक विकर्ण आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है यदि दोनों वर्ग आव्यूह हैं (और एक समान [[ब्लॉक मैट्रिक्स|ब्लॉक आव्यूह]] के लिए, यदि नहीं)।
-{{See also|Matrix addition#Direct sum}}
-किसी भी मनमाना मैट्रिक्स के लिए <math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math>, प्रत्यक्ष योग <math>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}</math> के ब्लॉक मैट्रिक्स#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math> यदि दोनों वर्ग मैट्रिक्स हैं (और एक समान [[ब्लॉक मैट्रिक्स]] के लिए, यदि नहीं)।
 <math display=block>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
 \mathbf{A} & 0          \\
@@ Line 79: / Line 81: @@
-=== टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस का प्रत्यक्ष योग ===
+=== टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र का प्रत्यक्ष योग ===
-{{Main|Complemented subspace|Direct sum of topological groups}}
+{{Main|पूरक उपक्षेत्र|टोपोलॉजिकल समूहों का प्रत्यक्ष योग}}
-एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस]] (टीवीएस) <math>X,</math> जैसे बनच स्थान, कहा जाता है {{em|[[topological direct sum]]}} दो सदिश उपसमष्टियों का <math>M</math> तथा <math>N</math> यदि अतिरिक्त मानचित्र
+एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र]] (TVS) <math>X,</math> जैसे बनच क्षेत्र, को दो सदिश उप-क्षेत्र <math>M</math> तथा <math>N</math> का {{em|[[टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग]]}} कहा जाता है यदि अतिरिक्त मानचित्र
 <math display=block>\begin{alignat}{4}
 \  \;&& M \times N &&\;\to    \;& X \\[0.3ex]
       && (m, n) &&\;\mapsto\;& m + n \\
-\end{alignat}</math>
+\end{alignat}</math> टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्रो का [[टीवीएस-समरूपता|समाकृतिक]] है (जिसका अर्थ है कि यह रेखीय नक्शा एक [[द्विभाजन]] [[होमियोमोर्फिज्म]] है), इस स्थिति में <math>M</math> तथा <math>N</math> को <math>X.</math>में {{em|टोपोलॉजिकल पूरक}}  कहा जाता है। यह सच है यदि और केवल यदि  इसे [[योगात्मक समूह]] [[टोपोलॉजिकल समूह|टोपोलॉजिकल समूहों]] (इसलिए अदिश गुणन को अनदेखा किया जाता है) के रूप में माना जाता है, <math>X</math> टोपोलॉजिकल उपसमूहों <math>M</math> तथा <math>N</math> का टोपोलॉजिकल [[सामयिक समूहों का प्रत्यक्ष योग|प्रत्यक्ष योग]] है यदि ऐसा है और यदि <math>X</math> हौसडॉर्फ है तो <math>M</math> तथा <math>N</math> आवश्यक रूप से <math>X.</math>के [[बंद सेट|बंद]] उप-स्थान हैं।
-एक [[टीवीएस-समरूपता]] है (जिसका अर्थ है कि यह रेखीय नक्शा एक [[द्विभाजन]] [[होमियोमोर्फिज्म]] है), इस मामले में <math>M</math> तथा <math>N</math> कहा जाता है {{em|topological complements}} में <math>X.</math> यह सच है अगर और केवल अगर [[योगात्मक समूह]] [[टोपोलॉजिकल समूह]]ों के रूप में माना जाता है (इसलिए स्केलर गुणन को अनदेखा किया जाता है), <math>X</math> [[सामयिक समूहों का प्रत्यक्ष योग]] है <math>M</math> तथा <math>N.</math> यदि ऐसा है और यदि है <math>X</math> हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है तो <math>M</math> तथा <math>N</math> आवश्यक रूप से [[बंद सेट]] उप-स्थान हैं <math>X.</math> यदि <math>M</math> एक वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि की एक सदिश उपसमष्टि है <math>X</math> तो वहाँ हमेशा एक और सदिश उप-स्थान मौजूद होता है <math>N</math> का <math>X,</math> एक कहा जाता है {{em|algebraic complement of <math>M</math> in <math>X,</math>}} ऐसा है कि <math>X</math> है {{em|algebraic direct sum}} का <math>M</math> तथा <math>N</math> (जो तब होता है जब और केवल अगर अतिरिक्त मानचित्र <math>M \times N \to X</math> एक [[वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता|सदिश अंतरिक्ष समरूपता]] है)।
-बीजगणितीय प्रत्यक्ष योगों के विपरीत, इस तरह के पूरक के अस्तित्व की अब टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योगों के लिए गारंटी नहीं है।
-एक सदिश उप-स्थान <math>M</math> का <math>X</math> कहा जाता है ({{em|topologically}}) {{em|[[complemented subspace]] of <math>X</math>}} अगर वहाँ कुछ सदिश उप-स्थान मौजूद है <math>N</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>X</math> का सामयिक प्रत्यक्ष योग है <math>M</math> तथा <math>N.</math> एक सदिश उप-स्थान कहा जाता है {{em|uncomplemented}} अगर यह एक पूरक उप-स्थान नहीं है।
+यदि <math>M</math>, एक वास्तविक या कोम्प्लेक्स्स सदिश क्षेत्र <math>X</math> का एक सदिश उप-क्षेत्र है, तो वहाँ हमेशा <math>X</math> एक और उप-स्थान सदिश <math>N</math> उपस्थित होता है। जिसे <math>X</math> में <math>M</math>  का एक बीजगणितीय पूरक कहा जाता है। ऐसा कि <math>X</math>, <math>M</math> तथा <math>N</math>  {{em|बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग}}  है। (जो केवल तब ही होता है जब अतिरिक्त मानचित्र <math>M \times N \to X</math> एक [[वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता|सदिश अंतरिक्ष समरूपता]] होता है)।बीजगणितीय प्रत्यक्ष योगों के विपरीत, इस तरह के पूरक के अस्तित्व की अब टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योगों के लिए गारंटी नहीं है।
-उदाहरण के लिए, हौसडॉर्फ टीवीएस का प्रत्येक सदिश उपस्थान जो एक बंद उपसमुच्चय नहीं है, आवश्यक रूप से अपूर्ण है।
-हिल्बर्ट स्पेस का प्रत्येक बंद सदिश सबस्पेस पूरक है।
+<math>X</math> का एक सदिश उप-स्थान <math>M</math>, {{em|<math>X</math> का [[पूरक उपक्षेत्र]]  }}  कहा जाता है यदि वहाँ <math>X</math> के कुछ सदिश उप-स्थान <math>N</math> उपस्थित है वह भी इस प्रकार कि <math>X</math> , <math>M</math> का टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग है। एक सदिश उप-स्थान को  {{em|अपूर्ण}}  कहा जाता है यदि यह एक पूरक उप-स्थान नहीं है। उदाहरण के लिए, हौसडॉर्फ TVS का प्रत्येक सदिश उपस्थान जो एक बंद उपसमुच्चय नहीं है, आवश्यक रूप से अपूर्ण है। हिल्बर्ट क्षेत्र का प्रत्येक बंद सदिश उप-क्षेत्र पूरक है। लेकिन हर बनच क्षेत्र जो कि हिल्बर्ट स्थान नहीं है, आवश्यक रूप से कुछ अपूर्ण बंद सदिश उप-स्थान रखता है।
-लेकिन हर Banach स्थान जो कि हिल्बर्ट स्थान नहीं है, आवश्यक रूप से कुछ अपूर्ण बंद सदिश उप-स्थान रखता है।
 == समरूपता ==
@@ Line 110: / Line 109: @@
 ==संदर्भ==
 *{{Lang Algebra|edition=3r}}
-[[Category:सार बीजगणित]]
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