प्रत्यक्ष योग: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
 
(9 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 39: Line 39:
मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो अनेक मॉड्यूल (गणित) को एक नए मॉड्यूल में जोड़ता है।
मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो अनेक मॉड्यूल (गणित) को एक नए मॉड्यूल में जोड़ता है।


इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को [[बनच स्थान]]ों और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।
इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण सदिश क्षेत्र पर विचार करते समय होते हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) पर मॉड्यूल होते हैं। निर्माण को [[बनच स्थान|बनच स्थानों]] और हिल्बर्ट स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है।


=== श्रेणियों में प्रत्यक्ष योग ===
=== श्रेणियों में प्रत्यक्ष योग ===
Line 45: Line 45:
एक [[योजक श्रेणी]] मॉड्यूल की श्रेणी के गुणों का एक सार है।<ref>[http://www.math.jussieu.fr/~schapira/lectnotes/HomAl.pdf "p.45"]</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| title=अनुबंध| access-date=2014-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20060917010409/http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| archive-date=2006-09-17|url-status=dead}}</ref> ऐसी श्रेणी में, परिमित गुणन और सह-गुणन सहमत होते हैं और प्रत्यक्ष योग उनमें से कोई एक होता है, cf. [[द्विउत्पाद|द्विगुणन]]।
एक [[योजक श्रेणी]] मॉड्यूल की श्रेणी के गुणों का एक सार है।<ref>[http://www.math.jussieu.fr/~schapira/lectnotes/HomAl.pdf "p.45"]</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| title=अनुबंध| access-date=2014-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20060917010409/http://www.princeton.edu/~hhalvors/aqft.pdf| archive-date=2006-09-17|url-status=dead}}</ref> ऐसी श्रेणी में, परिमित गुणन और सह-गुणन सहमत होते हैं और प्रत्यक्ष योग उनमें से कोई एक होता है, cf. [[द्विउत्पाद|द्विगुणन]]।


सामान्य मामला:<ref name=nLabDirectSum>{{nlab|id=direct+sum|title=Direct Sum}}</ref>
सामान्य स्थिति : <ref name=nLabDirectSum>{{nlab|id=direct+sum|title=Direct Sum}}</ref>[[श्रेणी सिद्धांत]] में {{visible anchor|प्रत्यक्ष योग|Categorical direct sum}} अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।
[[श्रेणी सिद्धांत]] में {{visible anchor|direct sum|Categorical direct sum}} अधिकांशतः, लेकिन हमेशा नहीं, प्रश्न में गणितीय वस्तुओं की [[श्रेणी (गणित)]] में अनुत्पादक होता है। उदाहरण के लिए, एबेलियन समूहों की श्रेणी में, प्रत्यक्ष योग एक सह-गुणन है। यह मॉड्यूल की श्रेणी में भी सही है।


==== समूहों की श्रेणी में सीधे रकम बनाम सह-गुणन ====
==== समूहों की श्रेणी में प्रत्यक्ष योग बनाम सह-गुणन ====


हालाँकि, प्रत्यक्ष राशि <math>S_3 \oplus \Z_2</math> (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है {{em|not}} समूहों का एक गुणन <math>S_3</math> तथा <math>\Z_2</math> [[समूहों की श्रेणी]] में।<ref>{{Cite web| url=https://planetmath.org/counterexamplesforproductsandcoproduct | title=उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण|access-date=2021-07-23 | work=Planetmath}}</ref> तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।
चूंकि, प्रत्यक्ष योग <math>S_3 \oplus \Z_2</math> (एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग के समान परिभाषित) है समूहों का एक गुणन <math>S_3</math> तथा <math>\Z_2</math> [[समूहों की श्रेणी]] में।<ref>{{Cite web| url=https://planetmath.org/counterexamplesforproductsandcoproduct | title=उत्पादों और प्रतिउत्पाद के लिए प्रति उदाहरण|access-date=2021-07-23 | work=Planetmath}}</ref> तो इस श्रेणी के लिए, किसी भी संभावित भ्रम से बचने के लिए एक स्पष्ट प्रत्यक्ष योग को अधिकांशतः एक सह-गुणन कहा जाता है।


=== समूह अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग ===
=== समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग ===
{{See also|Representation theory of finite groups#Direct sum of representations}}
{{See also|सीमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत# प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग}}
समूह अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक [[समूह क्रिया (गणित)]] जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह (गणित) दिया गया <math>G</math> और दो [[समूह प्रतिनिधित्व]] <math>V</math> तथा <math>W</math> का <math>G</math> (या, अधिक आम तौर पर, दो जी-मॉड्यूल |<math>G</math>-मॉड्यूल), अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है <math>V \oplus W</math> की क्रिया के साथ <math>g \in G</math> दिए गए घटक-वार, अर्थात्,
 
समूह प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग अंतर्निहित मॉड्यूल (गणित) के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को सामान्यीकृत करता है, इसमें एक [[समूह क्रिया (गणित)]] जोड़ता है। विशेष रूप से, एक समूह दिया गया <math>G</math> और दो [[समूह प्रतिनिधित्व]] <math>V</math> तथा <math>W</math> का <math>G</math> (या, अधिक सामान्यतः, दो <math>G</math>-मॉड्यूल |<math>G</math>-मॉड्यूल), प्रतिनिधित्व का प्रत्यक्ष योग है <math>V \oplus W</math> की क्रिया के साथ <math>g \in G</math> दिए गए घटक-के अनुसार, अर्थात्,
<math display="block">g \cdot (v, w) = (g \cdot v, g \cdot w).</math>
<math display="block">g \cdot (v, w) = (g \cdot v, g \cdot w).</math>
प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका इस प्रकार है:
प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका इस प्रकार है:


दो अभ्यावेदन दिए <math>(V, \rho_V)</math> तथा <math>(W, \rho_W)</math> प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान है <math>V \oplus W</math> और समरूपता <math>\rho_{V \oplus W}</math> द्वारा दिया गया है <math>\alpha \circ (\rho_V \times \rho_W),</math> कहाँ पे <math>\alpha: GL(V) \times GL(W) \to GL(V \oplus W)</math> उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।
दो दिए गए प्रतिनिधित्व  <math>(V, \rho_V)</math> तथा <math>(W, \rho_W)</math> प्रत्यक्ष योग का सदिश स्थान <math>V \oplus W</math> है  और समरूपता <math>\rho_{V \oplus W}</math> द्वारा दिया गया है <math>\alpha \circ (\rho_V \times \rho_W),</math> जहाँ <math>\alpha: GL(V) \times GL(W) \to GL(V \oplus W)</math> उपरोक्तानुसार समन्वय-वार क्रिया द्वारा प्राप्त प्राकृतिक मानचित्र है।


इसके अलावा, अगर <math>V,\,W</math> परिमित आयामी हैं, फिर, का आधार दिया गया है <math>V,\,W</math>, <math>\rho_V</math> तथा <math>\rho_W</math> मैट्रिक्स-मूल्यवान हैं। इस मामले में, <math>\rho_{V \oplus W}</math> के रूप में दिया जाता है
इसके अतिरिक्त, यदि <math>V,\,W</math> सीमित आयामी हैं, तब फिर दिए गए आधार पर  <math>V,\,W</math>, <math>\rho_V</math> तथा <math>\rho_W</math> आव्यूह-मूल्यवान हैं। इस स्थिति में, <math>\rho_{V \oplus W}</math> निम्न रूप में दिया जाता है
<math display="block">g \mapsto \begin{pmatrix}\rho_V(g) & 0 \\ 0 & \rho_W(g)\end{pmatrix}.</math>
<math display="block">g \mapsto \begin{pmatrix}\rho_V(g) & 0 \\ 0 & \rho_W(g)\end{pmatrix}.</math>
इसके अलावा, अगर हम इलाज करते हैं <math>V</math> तथा <math>W</math> समूह रिंग पर मॉड्यूल के रूप में <math>kG</math>, कहाँ पे <math>k</math> क्षेत्र है, तो अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग <math>V</math> तथा <math>W</math> उनके प्रत्यक्ष योग के बराबर है <math>kG</math> मॉड्यूल।
इसके अतिरिक्त, यदि हम समूह रिंग <math>kG</math> पर <math>V</math> तथा <math>W</math> को मॉड्यूल के रूप में लेते है, जहाँ पर <math>k</math> क्षेत्र है, तो प्रतिनिधित्व <math>V</math> तथा <math>W</math> का प्रत्यक्ष योग उनके प्रत्यक्ष <math>kG</math> मॉड्यूल योग के बराबर होता है।
 
=== वलयो का प्रत्यक्ष योग ===
{{main|वलयो का गुणन}}
 
कुछ लेखक दो वलयो के प्रत्यक्ष योग <math>R \oplus S</math> की बात करेंगे, जब उनका अभिप्राय प्रत्यक्ष गुणन <math>R \times S</math> से है, लेकिन इसे अनदेखा करना चाहिए<ref>[https://math.stackexchange.com/q/345501 Math StackExchange] on direct sum of rings vs. direct product of rings.</ref> जैसा कि <math>R \times S</math>, <math>R</math> तथा <math>S</math> से प्राकृतिक वलय समरूपता प्राप्त नहीं करता है: विशेष रूप से, मानचित्र <math>R \to R \times S</math> , <math>r</math> को <math>(r, 0)</math> पर भेजना रिंग समरूपता नहीं है क्योंकि यह 1 को <math>(1, 1)</math>में भेजने पर विफल रहता है (ऐसा मानते हुए <math>0 \neq 1</math> में <math>S</math>). इस प्रकार <math>R \times S</math> [[अंगूठियों की श्रेणी|वलयो की श्रेणी]] में प्रतिगुणन नहीं है, और इसे प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए। (कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी में कोप्रोडक्ट वलय का प्रदिश गुणन है।<ref>{{harvnb|Lang|2002}}, section I.11</ref> वलयो की श्रेणी में, प्रतिगुणन समूहों के मुक्त गुणन के समान निर्माण द्वारा दिया जाता है।)


=== अंगूठियों का प्रत्यक्ष योग ===
प्रत्यक्ष योग शब्दावली और संकेतन का उपयोग विशेष रूप से तब समस्याग्रस्त होता है जब वलयो के अनंत परिवारों के साथ व्यवहार किया जाता है: यदि <math>(R_i)_{i \in I}</math> गैर-तुच्छ वलयो का एक अनंत संग्रह है, तो अंतर्निहित योज्य समूहों का प्रत्यक्ष योग शब्दवार गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है, लेकिन यह एक rng  उत्पन्न करता है, जो कि गुणक पहचान के बिना एक वलय है।
{{main|Product of rings}}
कुछ लेखक प्रत्यक्ष योग की बात करेंगे <math>R \oplus S</math> दो छल्लों का जब उनका मतलब प्रत्यक्ष गुणन से है <math>R \times S</math>, लेकिन इससे बचना चाहिए<ref>[https://math.stackexchange.com/q/345501 Math StackExchange] on direct sum of rings vs. direct product of rings.</ref> जबसे <math>R \times S</math> से प्राकृतिक वलय समरूपता प्राप्त नहीं करता है <math>R</math> तथा <math>S</math>: विशेष रूप से, मानचित्र <math>R \to R \times S</math> भेजना <math>r</math> प्रति <math>(r, 0)</math> रिंग समरूपता नहीं है क्योंकि यह 1 को भेजने में विफल रहता है <math>(1, 1)</math> (ऐसा मानते हुए <math>0 \neq 1</math> में <math>S</math>). इस प्रकार <math>R \times S</math> [[अंगूठियों की श्रेणी]] में प्रतिगुणन नहीं है, और इसे प्रत्यक्ष योग के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए। (कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी में कोप्रोडक्ट रिंग्स का टेंसर गुणन है।<ref>{{harvnb|Lang|2002}}, section I.11</ref> अंगूठियों की श्रेणी में, प्रतिगुणन समूहों के मुक्त गुणन के समान निर्माण द्वारा दिया जाता है।)


प्रत्यक्ष योग शब्दावली और संकेतन का उपयोग विशेष रूप से तब समस्याग्रस्त होता है जब छल्ले के अनंत परिवारों के साथ व्यवहार किया जाता है: यदि <math>(R_i)_{i \in I}</math> गैर-तुच्छ छल्लों का एक अनंत संग्रह है, तो अंतर्निहित योज्य समूहों का प्रत्यक्ष योग शब्दवार गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है, लेकिन यह एक rng (बीजगणित) उत्पन्न करता है, जो कि गुणक पहचान के बिना एक वलय है।
=== आव्यूह का प्रत्यक्ष योग ===
{{See also|मैट्रिक्स का जोड़#प्रत्यक्ष योग}}


=== मेट्रिसेस का प्रत्यक्ष योग ===
किसी भी यादृच्छिक आव्यूह <math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math> के लिए  प्रत्यक्ष योग <math>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}</math> ,<math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math> के ब्लॉक विकर्ण आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है यदि दोनों वर्ग आव्यूह हैं (और एक समान [[ब्लॉक मैट्रिक्स|ब्लॉक आव्यूह]] के लिए, यदि नहीं)।
{{See also|Matrix addition#Direct sum}}
किसी भी मनमाना मैट्रिक्स के लिए <math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math>, प्रत्यक्ष योग <math>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}</math> के ब्लॉक मैट्रिक्स#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathbf{A}</math> तथा <math>\mathbf{B}</math> यदि दोनों वर्ग मैट्रिक्स हैं (और एक समान [[ब्लॉक मैट्रिक्स]] के लिए, यदि नहीं)।
<math display=block>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
<math display=block>\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A} & 0          \\
\mathbf{A} & 0          \\
Line 79: Line 81:




=== टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस का प्रत्यक्ष योग ===
=== टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र का प्रत्यक्ष योग ===
{{Main|Complemented subspace|Direct sum of topological groups}}
{{Main|पूरक उपक्षेत्र|टोपोलॉजिकल समूहों का प्रत्यक्ष योग}}
एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस]] (टीवीएस) <math>X,</math> जैसे बनच स्थान, कहा जाता है {{em|[[topological direct sum]]}} दो सदिश उपसमष्टियों का <math>M</math> तथा <math>N</math> यदि अतिरिक्त मानचित्र
एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्र]] (TVS) <math>X,</math> जैसे बनच क्षेत्र, को दो सदिश उप-क्षेत्र <math>M</math> तथा <math>N</math> का {{em|[[टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग]]}} कहा जाता है यदि अतिरिक्त मानचित्र  
<math display=block>\begin{alignat}{4}
<math display=block>\begin{alignat}{4}
\  \;&& M \times N &&\;\to    \;& X \\[0.3ex]
\  \;&& M \times N &&\;\to    \;& X \\[0.3ex]
     && (m, n) &&\;\mapsto\;& m + n \\
     && (m, n) &&\;\mapsto\;& m + n \\
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math> टोपोलॉजिकल सदिश क्षेत्रो का [[टीवीएस-समरूपता|समाकृतिक]] है (जिसका अर्थ है कि यह रेखीय नक्शा एक [[द्विभाजन]] [[होमियोमोर्फिज्म]] है), इस स्थिति में <math>M</math> तथा <math>N</math> को <math>X.</math>में {{em|टोपोलॉजिकल पूरक}}  कहा जाता है। यह सच है यदि और केवल यदि  इसे [[योगात्मक समूह]] [[टोपोलॉजिकल समूह|टोपोलॉजिकल समूहों]] (इसलिए अदिश गुणन को अनदेखा किया जाता है) के रूप में माना जाता है, <math>X</math> टोपोलॉजिकल उपसमूहों <math>M</math> तथा <math>N</math> का टोपोलॉजिकल [[सामयिक समूहों का प्रत्यक्ष योग|प्रत्यक्ष योग]] है यदि ऐसा है और यदि <math>X</math> हौसडॉर्फ है तो <math>M</math> तथा <math>N</math> आवश्यक रूप से <math>X.</math>के [[बंद सेट|बंद]] उप-स्थान हैं। 
एक [[टीवीएस-समरूपता]] है (जिसका अर्थ है कि यह रेखीय नक्शा एक [[द्विभाजन]] [[होमियोमोर्फिज्म]] है), इस मामले में <math>M</math> तथा <math>N</math> कहा जाता है {{em|topological complements}} में <math>X.</math> यह सच है अगर और केवल अगर [[योगात्मक समूह]] [[टोपोलॉजिकल समूह]]ों के रूप में माना जाता है (इसलिए स्केलर गुणन को अनदेखा किया जाता है), <math>X</math> [[सामयिक समूहों का प्रत्यक्ष योग]] है <math>M</math> तथा <math>N.</math> यदि ऐसा है और यदि है <math>X</math> हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है तो <math>M</math> तथा <math>N</math> आवश्यक रूप से [[बंद सेट]] उप-स्थान हैं <math>X.</math> यदि <math>M</math> एक वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि की एक सदिश उपसमष्टि है <math>X</math> तो वहाँ हमेशा एक और सदिश उप-स्थान मौजूद होता है <math>N</math> का <math>X,</math> एक कहा जाता है {{em|algebraic complement of <math>M</math> in <math>X,</math>}} ऐसा है कि <math>X</math> है {{em|algebraic direct sum}} का <math>M</math> तथा <math>N</math> (जो तब होता है जब और केवल अगर अतिरिक्त मानचित्र <math>M \times N \to X</math> एक [[वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता|सदिश अंतरिक्ष समरूपता]] है)।
बीजगणितीय प्रत्यक्ष योगों के विपरीत, इस तरह के पूरक के अस्तित्व की अब टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योगों के लिए गारंटी नहीं है।


एक सदिश उप-स्थान <math>M</math> का <math>X</math> कहा जाता है ({{em|topologically}}) {{em|[[complemented subspace]] of <math>X</math>}} अगर वहाँ कुछ सदिश उप-स्थान मौजूद है <math>N</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>X</math> का सामयिक प्रत्यक्ष योग है <math>M</math> तथा <math>N.</math> एक सदिश उप-स्थान कहा जाता है {{em|uncomplemented}} अगर यह एक पूरक उप-स्थान नहीं है।
यदि <math>M</math>, एक वास्तविक या कोम्प्लेक्स्स सदिश क्षेत्र <math>X</math> का एक सदिश उप-क्षेत्र है, तो वहाँ हमेशा <math>X</math> एक और उप-स्थान सदिश <math>N</math> उपस्थित होता है। जिसे <math>X</math> में <math>M</math> का एक बीजगणितीय पूरक कहा जाता है। ऐसा कि <math>X</math>, <math>M</math> तथा <math>N</math>  {{em|बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग}} है। (जो केवल तब ही होता है जब अतिरिक्त मानचित्र <math>M \times N \to X</math> एक [[वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता|सदिश अंतरिक्ष समरूपता]] होता है)।बीजगणितीय प्रत्यक्ष योगों के विपरीत, इस तरह के पूरक के अस्तित्व की अब टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योगों के लिए गारंटी नहीं है।
उदाहरण के लिए, हौसडॉर्फ टीवीएस का प्रत्येक सदिश उपस्थान जो एक बंद उपसमुच्चय नहीं है, आवश्यक रूप से अपूर्ण है।
 
हिल्बर्ट स्पेस का प्रत्येक बंद सदिश सबस्पेस पूरक है।
<math>X</math> का एक सदिश उप-स्थान <math>M</math>, {{em|<math>X</math> का [[पूरक उपक्षेत्र]]  }}  कहा जाता है यदि वहाँ <math>X</math> के कुछ सदिश उप-स्थान <math>N</math> उपस्थित है वह भी इस प्रकार कि <math>X</math> , <math>M</math> का टोपोलॉजिकल प्रत्यक्ष योग है। एक सदिश उप-स्थान को  {{em|अपूर्ण}} कहा जाता है यदि यह एक पूरक उप-स्थान नहीं है। उदाहरण के लिए, हौसडॉर्फ TVS का प्रत्येक सदिश उपस्थान जो एक बंद उपसमुच्चय नहीं है, आवश्यक रूप से अपूर्ण है। हिल्बर्ट क्षेत्र का प्रत्येक बंद सदिश उप-क्षेत्र पूरक है। लेकिन हर बनच क्षेत्र जो कि हिल्बर्ट स्थान नहीं है, आवश्यक रूप से कुछ अपूर्ण बंद सदिश उप-स्थान रखता है।
लेकिन हर Banach स्थान जो कि हिल्बर्ट स्थान नहीं है, आवश्यक रूप से कुछ अपूर्ण बंद सदिश उप-स्थान रखता है।


== समरूपता ==
== समरूपता ==
{{clarify|date=February 2015| reason = the context is unclear}}
{{clarify|date=February 2015| reason = the context is unclear}}
प्रत्यक्ष योग <math display="inline">\bigoplus_{i \in I} A_i</math>, I में प्रत्येक j के लिए  [[प्रोजेक्शन (गणित)|प्रोजेक्शन]] [[समरूपता]] <math display="inline">\pi_j \colon \, \bigoplus_{i \in I} A_i \to A_j</math> और I में प्रत्येक j के लिए एक सहप्रक्षेपण <math display="inline">\alpha_j \colon \, A_j \to \bigoplus_{i \in I} A_i</math> के साथ सुसज्जित रूप से प्राप्त होता है।  <ref name=Heu26>{{cite book | title=श्रेणीबद्ध क्वांटम मॉडल और तर्क| series=Pallas Proefschriften | first=Chris | last=Heunen | publisher=Amsterdam University Press | year=2009 | isbn=978-9085550242 | page=26 }}</ref>  दी गयी एक अन्य बीजगणितीय संरचना <math>B</math>  (समान अतिरिक्त संरचना के साथ) और I में प्रत्येक j के लिए समरूपता <math>g_j \colon A_j \to B</math> के लिए, एक अद्वितीय समरूपता <math display="inline">g \colon \, \bigoplus_{i \in I} A_i \to B</math> है , जिसे ''g<sub>j</sub>'' का योग कहा जाता है, वह भी तब जब सभी j के लिए  <math>g \alpha_j =g_j</math> हो।सभी जे इस प्रकार प्रत्यक्ष योग उपयुक्त श्रेणी (गणित) में प्रतिफल है।
प्रत्यक्ष योग <math display="inline">\bigoplus_{i \in I} A_i</math>, I में प्रत्येक j के लिए  [[प्रोजेक्शन (गणित)|प्रोजेक्शन]] [[समरूपता]] <math display="inline">\pi_j \colon \, \bigoplus_{i \in I} A_i \to A_j</math> और I में प्रत्येक j के लिए एक सहप्रक्षेपण <math display="inline">\alpha_j \colon \, A_j \to \bigoplus_{i \in I} A_i</math> के साथ सुसज्जित रूप से प्राप्त होता है।  <ref name=Heu26>{{cite book | title=श्रेणीबद्ध क्वांटम मॉडल और तर्क| series=Pallas Proefschriften | first=Chris | last=Heunen | publisher=Amsterdam University Press | year=2009 | isbn=978-9085550242 | page=26 }}</ref>  दी गयी एक अन्य बीजगणितीय संरचना <math>B</math>  (समान अतिरिक्त संरचना के साथ) और I में प्रत्येक j के लिए समरूपता <math>g_j \colon A_j \to B</math> के लिए, एक अद्वितीय समरूपता <math display="inline">g \colon \, \bigoplus_{i \in I} A_i \to B</math> है , जिसे ''g<sub>j</sub>'' का योग कहा जाता है, वह भी तब जब सभी j के लिए  <math>g \alpha_j =g_j</math> हो। इस प्रकार प्रत्यक्ष योग उपयुक्त श्रेणी में प्रतिफल है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
Line 103: Line 102:
* टोपोलॉजिकल समूहों का प्रत्यक्ष योग
* टोपोलॉजिकल समूहों का प्रत्यक्ष योग
*[[प्रतिबंधित उत्पाद|प्रतिबंधित गुणन]]
*[[प्रतिबंधित उत्पाद|प्रतिबंधित गुणन]]
* [[व्हिटनी राशि]]
* [[व्हिटनी राशि|व्हिटनी योग]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
Line 110: Line 109:
==संदर्भ==
==संदर्भ==
*{{Lang Algebra|edition=3r}}
*{{Lang Algebra|edition=3r}}
[[Category:सार बीजगणित]]


 
[[Category:All Wikipedia articles written in American English]]
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:All articles needing additional references]]
[[Category:Articles needing additional references from December 2013]]
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
[[Category:Articles with short description]]
[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
[[Category:CS1 maint]]
[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
[[Category:Collapse templates]]
[[Category:Created On 26/11/2022]]
[[Category:Created On 26/11/2022]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module]]
[[Category:Templates generating COinS|Cite web]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Use American English from January 2019]]
[[Category:Wikipedia articles needing clarification from February 2015]]
[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:सार बीजगणित]]

Latest revision as of 17:43, 22 December 2022

प्रत्यक्ष योग, गणित की एक शाखा और अमूर्त बीजगणित में गणितीय संरचना के बीच का एक संचालन है। यह अलग-अलग प्रकार की संरचनाओं के लिए अलग-अलग, लेकिन समान रूप से परिभाषित किया गया है। अमूर्त बीजगणित में प्रत्यक्ष योग का उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने के लिए, अधिक प्रारंभिक संरचना, एबेलियन समूह पर विचार करें। दो एबेलियन समूहों तथा का प्रत्यक्ष योग एक दूसरा एबेलियन समूह होता है जिसमे क्रमित युग्म सम्मलित होता है : जहाँ तथा . क्रमित युग्मों को जोड़ने के लिए, हम योग को द्वारा परिभाषित करते हैं; दूसरे शब्दों में जोड़ को निर्देशांक के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष योग , जहाँ