एबेलियन श्रेणी

गणित में, एक एबेलियनश्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें आकारिकी और वस्तुओं को जोड़ा जा सकता है और जिसमें कर्नेल और कोकरनेल मौजूद हैं, और वांछनीय गुण हैं। एबेलियन श्रेणी का प्रेरक प्रोटोटाइपिकल उदाहरण एबेलियन समूहों की श्रेणी है, एबी। सिद्धांत अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा और स्वतंत्र रूप से डेविड बुक्सबाउम के थोड़े पहले के काम में कई कोहोलॉजी सिद्धांतों को एकजुट करने के प्रयास में उत्पन्न हुआ।एबेलियन श्रेणियां बहुत स्थिर श्रेणियां हैं; उदाहरण के लिए वे नियमित हैं और वे सर्प प्रमेयिका को संतुष्ट करते हैं। एबेलियन श्रेणियों का वर्ग कई स्पष्ट निर्माणों के तहत बंद है, उदाहरण के लिए, एक एबेलियन श्रेणी के चेन कॉम्प्लेक्स की श्रेणी, या एक छोटी श्रेणी से एक एबेलियन श्रेणी के मज़दूरों की श्रेणी भी एबेलियन है। ये स्थिरता गुण उन्हें होमोलॉजिकल बीजगणित और उससे आगे के लिए अपरिहार्य बनाते हैं; बीजगणितीय ज्यामिति, कोहोलॉजी और शुद्ध श्रेणी सिद्धांत में सिद्धांत के प्रमुख अनुप्रयोग हैं। एबेलियन श्रेणियों का नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

एक श्रेणी एबेलियन है यदि यह पूर्वानुकूल श्रेणी है और

• इसकी एक शून्य वस्तु है,
• इसमें सभी बाइनरी द्विउत्पाद हैं,
• इसमें सभी कर्नेल और कोकर्नेल हैं, और
• सभी एकरूपता और अधिरूपता सामान्य रूपवाद हैं।

यह परिभाषा समतुल्य है निम्नलिखित टुकड़ों में परिभाषा के लिए:

• एबेलियन समूहों के मोनोइडल श्रेणी एब पर समृद्ध होने पर एक श्रेणी पूर्ववर्ती है। इसका मतलब यह है कि सभी होम-सेट एबेलियन समूह हैं और आकारिकी की संरचना बिलिनियर है।
• यदि वस्तुओं के प्रत्येक परिमित सेट में एक बाइप्रोडक्ट होता है, तो एक पूर्ववर्ती श्रेणी योगात्मक होती है। इसका मतलब है कि हम परिमित प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद बना सकते हैं। डीईएफ़। 1.2.6, यह आवश्यक है कि एक योगात्मक श्रेणी में एक शून्य वस्तु (खाली बाइप्रोडक्ट) हो।
• एक योजक श्रेणी प्रीबेलियन श्रेणी है यदि प्रत्येक आकारिकी में कर्नेल और कोकर्नेल दोनों होते हैं।
• अंत में, एक प्रीबेलियन श्रेणी एबेलियन है यदि प्रत्येक मोनोमोर्फिज्म और एपिमोर्फिज्म सामान्य है। इसका मतलब यह है कि मोनोमोर्फिज्म किसी आकारिकी का एक कर्नेल है, और एपिमोर्फिज्म किसी आकारिकी का एक कोकर्नल है।

ध्यान दें कि होम-सेट पर समृद्ध संरचना पहली परिभाषा के पहले तीन स्वयंसिद्धों का परिणाम है। यह सिद्धांत और इसकी विहित प्रकृति में एबेलियन समूहों की श्रेणी की मूलभूत प्रासंगिकता पर प्रकाश डालता है।

इस सेटिंग में सटीक अनुक्रम की अवधारणा स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है, और यह पता चला है कि सटीक फ़ैक्टर, यानी विभिन्न अर्थों में सटीक अनुक्रमों को संरक्षित करने वाले फ़ैक्टर, एबेलियन श्रेणियों के बीच प्रासंगिक फ़ैक्टर हैं। इस सटीकता अवधारणा को सटीक श्रेणी के सिद्धांत में स्वयंसिद्ध किया गया है, नियमित श्रेणी का एक बहुत ही विशेष मामला बनता है।

उदाहरण

• जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सभी एबेलियन समूहों की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है। सभी परिमित एबेलियन समूहों की श्रेणी भी एक एबेलियन श्रेणी है, जैसा कि सभी परिमित एबेलियन समूहों की श्रेणी है।
• यदि R एक वलय है, तो R के ऊपर सभी बाएँ (या दाएँ) मॉड्यूल की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है। वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है, कि कोई भी छोटी एबेलियन श्रेणी इस तरह के मॉड्यूल (मिशेल के एम्बेडिंग प्रमेय) की एक पूर्ण उपश्रेणी के बराबर है।
• यदि R एक लेफ्ट-नॉथेरियन रिंग है, तो R के ऊपर बारीक रूप से उत्पन्न लेफ्ट मॉड्यूल की श्रेणी एबेलियन है। विशेष रूप से, एक नोथेरियन कम्यूटेटिव रिंग पर बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की श्रेणी एबेलियन है; इस तरह, एबेलियन श्रेणियां क्रम विनिमेय बीजगणित में दिखाई देती हैं।
• पिछले दो उदाहरणों के विशेष मामलों के रूप में: एक निश्चित फ़ील्ड के ऊपर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी एबेलियन है, जैसा कि परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी है।
• यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो X पर सभी (वास्तविक या जटिल) वेक्टर बंडलों की श्रेणी आमतौर पर एक एबेलियन श्रेणी नहीं होती है, क्योंकि मोनोमोर्फिज़्म हो सकते हैं जो गुठली नहीं हैं।
• यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो X पर एबेलियन समूहों के सभी शीफ (गणित) की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है। अधिक आम तौर पर, ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी पर एबेलियन समूहों के ढेरों की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है। इस तरह, एबेलियन श्रेणियां बीजगणितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में दिखाई देती हैं।
• यदि 'सी' एक श्रेणी (गणित) # छोटी और बड़ी श्रेणियां हैं और 'ए' एक एबेलियन श्रेणी है, तो 'सी' से 'ए' तक की फ़ैक्टर श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी बनाती है। यदि 'सी' छोटी और प्रीएडिटिव श्रेणी है, तो 'सी' से 'ए' तक के सभी योगात्मक कारक की श्रेणी भी एक एबेलियन श्रेणी बनाती है। उत्तरार्द्ध आर-मॉड्यूल उदाहरण का एक सामान्यीकरण है, क्योंकि एक अंगूठी को एक वस्तु के साथ एक पूर्ववर्ती श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है।

ग्रोथेंडिक के स्वयंसिद्ध

अपने तोहोकू लेख में, ग्रोथेंडिक ने चार अतिरिक्त स्वयंसिद्धों (और उनके दोहरे) को सूचीबद्ध किया है जो एक एबेलियन श्रेणी ए को संतुष्ट कर सकता है। ये स्वयंसिद्ध आज भी आम उपयोग में हैं। वे निम्नलिखित हैं:

• AB3) हर अनुक्रमित परिवार के लिए (ए_i) ए की वस्तुओं का, उत्पाद *ए_i A में मौजूद है (अर्थात A पूर्ण है)।
• AB4) A, AB3 को संतुष्ट करता है), और मोनोमोर्फिज़्म के एक परिवार का प्रतिफल एक मोनोमोर्फिज़्म है।
• AB5 श्रेणी) A संतुष्ट करता है AB3), और सटीक अनुक्रमों के फ़िल्टर किए गए कोलिमिट्स सटीक हैं।

और उनके दोहरे

• AB3*) प्रत्येक अनुक्रमित परिवार के लिए (ए_i) A की वस्तुओं का, उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) PA_i A में मौजूद है (अर्थात A पूर्ण श्रेणी है)।
• AB4*) A, AB3* को संतुष्ट करता है, और एपिमोर्फिज्म के एक परिवार का उत्पाद एक एपिमोर्फिज्म है।
• AB5*) A संतुष्ट करता है AB3*), और सटीक अनुक्रमों की फ़िल्टर की गई सीमाएं सटीक हैं।

अभिगृहीत AB1) और AB2) भी दिए गए थे। वे हैं जो एक योज्य श्रेणी को एबेलियन बनाते हैं। विशेष रूप से:

• AB1) प्रत्येक आकारिकी में एक कर्नेल और एक कोकर्नेल होता है।
• AB2) प्रत्येक आकारिकी f के लिए, coim f से im f तक विहित आकारिकी एक समरूपता है।

ग्रोथेंडिक ने अभिगृहीत AB6) और AB6*) भी दिए।

• AB6) A संतुष्ट करता है AB3), और फ़िल्टर की गई श्रेणियों का एक परिवार दिया है $I_{j},j\in J$ और नक्शे $A_{j}:I_{j}\to A$, अपने पास $\prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}$, जहां लिम फ़िल्टर किए गए कोलिमिट को दर्शाता है।
• AB6*) A, AB3* को संतुष्ट करता है, और कोफ़िल्टर्ड श्रेणियों का एक परिवार दिया जाता है $I_{j},j\in J$ और नक्शे $A_{j}:I_{j}\to A$, अपने पास $\sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}$, जहां लिम सह-फ़िल्टर्ड सीमा को दर्शाता है।

प्राथमिक गुण

एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं की किसी भी जोड़ी ए, बी को देखते हुए, ए से बी तक एक विशेष शून्य रूपवाद है। इसे होम-सेट होम (ए, बी) के 0 (संख्या) तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि यह है एक एबेलियन समूह। वैकल्पिक रूप से, इसे अद्वितीय रचना A → 0 → B के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ 0 एबेलियन श्रेणी की शून्य वस्तु है।

एबेलियन श्रेणी में, प्रत्येक आकारिकी f को एक अधिरूपता की संरचना के रूप में लिखा जा सकता है, जिसके बाद एक मोनोमोर्फिज्म होता है। इस एपिमोर्फिज्म को f का coimage कहा जाता है, जबकि मोनोमोर्फिज्म को f का इमेज (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है।

एबेलियन श्रेणियों में उप-वस्तु और भागफल की वस्तुएं अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए सबऑब्जेक्ट ए के उप-ऑब्जेक्ट्स का poset एक बाध्य जाली है।

प्रत्येक एबेलियन श्रेणी 'ए' सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की मोनोइडल श्रेणी पर एक मॉड्यूल (गणित) है; अर्थात्, हम एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह G और 'A' की किसी भी वस्तु A का टेंसर उत्पाद बना सकते हैं। एबेलियन श्रेणी भी एक कोमॉड्यूल है; होम (जी, ए) को 'ए' की वस्तु के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। यदि 'ए' पूर्ण श्रेणी है, तो हम जी को पूरी तरह से उत्पन्न करने की आवश्यकता को हटा सकते हैं; आम तौर पर, हम 'ए' में परिमित समृद्ध सीमाएं बना सकते हैं।

संबंधित अवधारणाएं

समरूप बीजगणित के लिए एबेलियन श्रेणियां सबसे सामान्य सेटिंग हैं। उस क्षेत्र में उपयोग किए गए सभी निर्माण प्रासंगिक हैं, जैसे कि सटीक अनुक्रम और विशेष रूप से लघु सटीक अनुक्रम और व्युत्पन्न फ़ंक्टर। सभी एबेलियन श्रेणियों में लागू होने वाले महत्वपूर्ण प्रमेयों में पांच लेम्मा (और एक विशेष मामले के रूप में लघु पांच लेम्मा), साथ ही सांप लेम्मा (और एक विशेष मामले के रूप में नौ लेम्मा) शामिल हैं।

अर्ध-सरल एबेलियन श्रेणियां

Main article: Semi-simplicity

एक एबेलियन श्रेणी $\mathbf {A}$ वस्तुओं का संग्रह होने पर अर्ध-सरल कहा जाता है $\{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )$ साधारण वस्तुएँ कहलाती हैं (जिसका अर्थ है किसी की एकमात्र उप-वस्तुएँ $X_{i}$ शून्य वस्तु हैं $0$ और खुद) ऐसा है कि एक वस्तु $X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )$ प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (एबेलियन श्रेणी के प्रतिफल को दर्शाता है) <ब्लॉककोट>$X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}$यह तकनीकी स्थिति बल्कि मजबूत है और प्रकृति में पाई जाने वाली एबेलियन श्रेणियों के कई प्राकृतिक उदाहरणों को बाहर करती है। उदाहरण के लिए, एक रिंग के ऊपर अधिकांश मॉड्यूल श्रेणियां $R$ अर्ध-सरल नहीं हैं; वास्तव में, यह मामला है अगर और केवल अगर $R$ एक अर्ध-सरल अंगूठी है।

उदाहरण

प्रकृति में पाई जाने वाली कुछ एबेलियन श्रेणियां अर्ध-सरल हैं, जैसे

• परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी ${\text{FinVect}}(k)$ एक निश्चित क्षेत्र के ऊपर $k$
• माश्के के प्रमेय द्वारा अभ्यावेदन की श्रेणी ${\text{Rep}}_{k}(G)$ एक परिमित समूह का $G$ एक मैदान के ऊपर $k$ जिसकी विशेषता विभाजित नहीं होती है $|G|$ एक अर्ध-साधारण एबेलियन श्रेणी है।
• नोथेरियन योजना स्कीम (गणित) पर सुसंगत शेफ की श्रेणी अर्ध-सरल है यदि और केवल यदि $X$ अलघुकरणीय बिन्दुओं का परिमित असंयुक्त संघ है। यह विभिन्न क्षेत्रों में सदिश स्थानों की श्रेणियों के परिमित उत्पाद के बराबर है। आगे की दिशा में इसे सच दिखाना सभी को दिखाने के बराबर है ${\text{Ext}}^{1}$ समूह गायब हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि कोहोलॉजिकल आयाम 0 है। यह केवल तब होता है जब गगनचुंबी इमारत ढेर हो जाती है $k_{x}$ एक बिंदु पर $x\in X$ ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान शून्य के बराबर है, जो आइसोमोर्फिक है ${\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})$ ऐसी योजना के लिए स्थानीय बीजगणित का उपयोग करना।

गैर-उदाहरण

एबेलियन श्रेणियों के कुछ प्राकृतिक प्रति-उदाहरण मौजूद हैं जो अर्ध-सरल नहीं हैं, जैसे कि प्रतिनिधित्व सिद्धांत की कुछ श्रेणियां। उदाहरण के लिए, लाई समूह के अभ्यावेदन की श्रेणी $(\mathbb {R} ,+)$ प्रतिनिधित्व <ब्लॉककोट> है$a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}$जिसमें आयाम का केवल एक उप-निरूपण है $1$. वास्तव में, यह किसी भी शक्तिहीन समूह के लिए सत्य है^{पेज 112}.

एबेलियन श्रेणियों की उपश्रेणियाँ

एबेलियन श्रेणियों के कई प्रकार (पूर्ण, योगात्मक) उपश्रेणियाँ हैं जो प्रकृति में होती हैं, साथ ही साथ कुछ परस्पर विरोधी शब्दावली भी हैं।

मान लीजिए A एक एबेलियन श्रेणी है, C एक पूर्ण, योज्य उपश्रेणी है, और I समावेशन फ़ैक्टर है।

• सी एक सटीक उपश्रेणी है यदि यह स्वयं एक सटीक श्रेणी है और समावेशन आई एक सटीक फ़ैक्टर है। यह तभी और केवल तब होता है जब सी एपिमोर्फिज्म के पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) और मोनोमोर्फिज्म के पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) के तहत बंद हो। C में सटीक क्रम इस प्रकार A में सटीक क्रम हैं जिसके लिए सभी वस्तुएँ C में स्थित हैं।
• सी एक एबेलियन उपश्रेणी है यदि यह स्वयं एक एबेलियन श्रेणी है और समावेशन आई एक सटीक फ़ंक्टर है। यह तब होता है जब और केवल अगर कर्नेल और कोकर्नेल लेने के तहत सी बंद हो जाता है। ध्यान दें कि एबेलियन श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणियों के उदाहरण हैं जो स्वयं एबेलियन हैं लेकिन जहां समावेशन फ़ंक्टर सटीक नहीं है, इसलिए वे एबेलियन उपश्रेणियाँ नहीं हैं (नीचे देखें)।
• सी एक मोटी उपश्रेणी है अगर इसे सीधे सारांश लेने के तहत बंद किया जाता है और छोटे सटीक अनुक्रमों पर 2-आउट-ऑफ-3 संपत्ति को संतुष्ट करता है; वह है, अगर $0\to M'\to M\to M''\to 0$ ए में एक छोटा सटीक अनुक्रम है जैसे कि दो $M',M,M''$ सी में झूठ बोलते हैं, तो तीसरा भी करता है। दूसरे शब्दों में, C एपिमॉर्फिज्म के कर्नेल, मोनोमोर्फिज्म के कोकर्नेल और एक्सटेंशन के तहत बंद है। ध्यान दें कि पी. गेब्रियल ने मोटी उपश्रेणी शब्द का प्रयोग यह वर्णन करने के लिए किया है कि हम यहां सेरे उपश्रेणी कहते हैं।
• सी एक टोपोलॉजीज़िंग उपश्रेणी है यदि यह उपश्रेणी के तहत बंद है।
• सी एक स्थानीयकरण उपश्रेणी है यदि, सभी छोटे सटीक अनुक्रमों के लिए $0\to M'\to M\to M''\to 0$ ए में हमारे पास सी में 'एम' है अगर और केवल अगर दोनों $M',M''$ सी में हैं। दूसरे शब्दों में, सी एक्सटेंशन और सबक्वायरेंट्स के तहत बंद है। ये उपश्रेणियाँ A से दूसरी एबेलियन श्रेणी के सटीक फ़ैक्टरों की गुठली हैं।
• सी एक स्थानीयकरण उपश्रेणी है यदि यह एक सेरे उपश्रेणी है जैसे कि भागफल फ़ैक्टर $Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C}$ एक सहायक फ़ैक्टरों को स्वीकार करता है।
• एक विस्तृत उपश्रेणी की दो प्रतिस्पर्धी धारणाएँ हैं। एक संस्करण यह है कि C में A की प्रत्येक वस्तु शामिल है (समरूपता तक); एक पूर्ण उपश्रेणी के लिए यह स्पष्ट रूप से दिलचस्प नहीं है। (इसे एक उपश्रेणी भी कहा जाता है # उपश्रेणियों के प्रकार उपश्रेणी।) अन्य संस्करण यह है कि सी एक्सटेंशन के तहत बंद है।

यहाँ एक एबेलियन श्रेणी की पूर्ण, योगात्मक उपश्रेणी का एक स्पष्ट उदाहरण दिया गया है जो स्वयं एबेलियन है लेकिन समावेशन फ़ैक्टर सटीक नहीं है। चलो के एक क्षेत्र हो, $T_{n}$ ऊपरी-त्रिकोणीय का बीजगणित $n\times n$ कश्मीर से अधिक matrices, और $\mathbf {A} _{n}$ परिमित-आयामी की श्रेणी $T_{n}$-मॉड्यूल। फिर प्रत्येक $\mathbf {A} _{n}$ एक एबेलियन श्रेणी है और हमारे पास एक समावेशन कारक है $I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}$ सरल प्रोजेक्टिव, सरल इंजेक्शन और अपरिवर्तनीय प्रोजेक्टिव-इंजेक्शन मॉड्यूल की पहचान करना। I की आवश्यक छवि एक पूर्ण, योगात्मक उपश्रेणी है, लेकिन I सटीक नहीं है।

इतिहास

एबेलियन श्रेणियां किसके द्वारा पेश की गईं Buchsbaum (1955) (सटीक श्रेणी के नाम के तहत) और Grothendieck (1957) विभिन्न कोहोलॉजी सिद्धांतों को एकजुट करने के लिए। उस समय, शीफ (गणित) के लिए एक कोहोलॉजी सिद्धांत और समूह (गणित) के लिए एक कोहोलॉजी सिद्धांत था। दोनों को अलग-अलग परिभाषित किया गया था, लेकिन उनके समान गुण थे। वास्तव में, इन समानताओं का अध्ययन करने के लिए अधिकांश श्रेणी सिद्धांत भाषा के रूप में विकसित किए गए थे। ग्रोथेंडिक ने दो सिद्धांतों को एकीकृत किया: वे दोनों एबेलियन श्रेणियों पर व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में उत्पन्न होते हैं; एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों के ढेरों की एबेलियन श्रेणी, और जी-मॉड्यूल की एबेलियन श्रेणी। किसी दिए गए समूह जी के लिए जी-मॉड्यूल।

यह भी देखें

• त्रिकोणीय श्रेणी

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• ऑपरेटर
• आकारिता
• कोहोलॉजी सिद्धांत
• समरूप बीजगणित
• अंक शास्त्र
• साँप लेम्मा
• पूर्वगामी श्रेणी
• बिलिनियर ऑपरेटर
• योजक श्रेणी
• मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग
• सटीक ऑपरेटर
• सटीक क्रम
• अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह
• सदिश स्थल
• नोथेरियन रिंग
• हेमल आयाम
• अंगूठी (गणित)
• सहउत्पाद
• फ़िल्टर्ड कोलिमिट
• एबी5 श्रेणी
• पूरी श्रेणी
• समाकृतिकता
• बंधी हुई जाली
• अंतिम
• भागफल वस्तु
• छवि (श्रेणी सिद्धांत)
• व्युत्पन्न कारक
• लघु पाँच लेम्मा
• पाँच लेम्मा
• अर्द्ध साधारण अंगूठी
• सुसंगत शीफ
• योजना (गणित)
• ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान
• झूठ समूह
• उपभाग
• सहायक कारक

संदर्भ

• Buchsbaum, David A. (1955), "Exact categories and duality", Transactions of the American Mathematical Society, 80 (1): 1–34, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, MR 0074407
• Freyd, Peter (1964), Abelian Categories, New York: Harper and Row
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 9: 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537
• Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
• Popescu, Nicolae (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press