प्रत्यक्ष योग

प्रत्यक्ष योग, गणित की एक शाखा और अमूर्त बीजगणित में गणितीय संरचना के बीच का एक संचालन है। यह अलग-अलग प्रकार की संरचनाओं के लिए अलग-अलग, लेकिन समान रूप से परिभाषित किया गया है। अमूर्त बीजगणित में प्रत्यक्ष योग का उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने के लिए, अधिक प्रारंभिक संरचना, एबेलियन समूह पर विचार करें। दो एबेलियन समूहों $A$ तथा $B$ का प्रत्यक्ष योग एक दूसरा एबेलियन समूह $A\oplus B$ होता है जिसमे क्रमित युग्म $(a,b)$ सम्मलित होता है : जहाँ $a\in A$ तथा $b\in B$. क्रमित युग्मों को जोड़ने के लिए, हम $(a,b)+(c,d)$ योग को $(a+c,b+d)$ द्वारा परिभाषित करते हैं; दूसरे शब्दों में जोड़ को निर्देशांक के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष योग $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$, जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक कार्तीय तल है, $\mathbb {R} ^{2}$. इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग दो सदिश क्षेत्र या दो मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए किया जा सकता है।

हम किसी भी परिमित संख्या के जोड़ के साथ प्रत्यक्ष योग भी बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, $A\oplus B\oplus C$, जहाँ पर $A,B,$ तथा $C$ एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं हैं ( उदाहरण के लिए, सभी एबेलियन समूह, या सभी सदिश क्षेत्र )। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष योग समरूपता तक साहचर्य है। वह है, एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$, $B$, तथा $C$ के लिए $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ । प्रत्यक्ष योग समरूपता तक क्रमविनिमेय भी है, अर्थात एक ही तरह की किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$, $B$, तथा $C$ के लिए $A\oplus B\cong B\oplus A$ ।

बहुत से एबेलियन समूहों, सदिश रिक्त स्थान, या मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग, संबंधित प्रत्यक्ष गुणन के लिए प्रामाणिक रूप से समाकृतिक है। सामान्यतः, यह कुछ बीजगणितीय वस्तुओं के लिए गलत है, जैसे कि गैर-अबेलियन समूह।

ऐसे मामले में जहाँ असीमित रूप से कई वस्तुएं संयुक्त होती हैं, प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद आइसोमोर्फिक नहीं होते हैं, यहां तक ​​कि एबेलियन समूहों, सदिश रिक्त स्थान या मॉड्यूल के लिए भी। एक उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों की अपरिमित रूप से अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल पर विचार करें। प्रत्यक्ष उत्पाद में एक तत्व एक अनंत अनुक्रम है, जैसे (1,2,3,...) लेकिन प्रत्यक्ष योग में, एक आवश्यकता है कि सभी लेकिन बहुत से निर्देशांक शून्य हों, इसलिए अनुक्रम (1,2) ,3,...) प्रत्यक्ष उत्पाद का एक तत्व होगा, लेकिन प्रत्यक्ष योग का नहीं, जबकि (1,2,0,0,0,...) दोनों का एक तत्व होगा। अक्सर, यदि एक + चिह्न का उपयोग किया जाता है, तो बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी निर्देशांक शून्य होने चाहिए, जबकि यदि गुणन के किसी रूप का उपयोग किया जाता है, तो निश्चित रूप से बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी 1 होना चाहिए। अधिक तकनीकी भाषा में, यदि योगफल हैं $(A_{i})_{i\in I}$, प्रत्यक्ष योग

$$\bigoplus _{i\in I}A_{i}$$

tuples के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $(a_{i})_{i\in I}$ साथ $a_{i}\in A_{i}$ ऐसा है कि $a_{i}=0$ सभी के लिए लेकिन निश्चित रूप से बहुत से i. प्रत्यक्ष योग ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ प्रत्यक्ष उत्पाद में निहित है ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$, लेकिन सूचकांक सेट होने पर सख्ती से छोटा होता है $I$ अनंत है, क्योंकि प्रत्यक्ष उत्पाद के एक तत्व में असीम रूप से कई अशून्य निर्देशांक हो सकते हैं।

उदाहरण

xy-प्लेन, एक द्वि-आयामी सदिश स्पेस, को दो एक-आयामी सदिश स्पेस, अर्थात् x और y अक्षों के प्रत्यक्ष योग के रूप में माना जा सकता है। इस प्रत्यक्ष योग में, x और y अक्ष केवल मूल बिंदु (शून्य सदिश) पर प्रतिच्छेद करते हैं। जोड़ को निर्देशांक-वार परिभाषित किया गया है, अर्थात