द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 02:01, 9 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

The binomial coefficient

{\tbinom {n}{k}}

appears as the

k

th entry in the

n

th row of Pascal's triangle (counting starts at

0

). Each entry is the sum of the two above it.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है $(x + y) n$ फॉर्म के योग में शर्तों को शामिल करने वाले $ax b y c$ है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं $b + c = n$ , और गुणांक $a$ प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अक्सर $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।.^[1]^[2] इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया^[6] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[6] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[7] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[8] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[9] हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[8]

आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[8]^[10]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव है

(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},

जहाँ पे

n\geq 0

एक पूर्णांक है और प्रत्येक

{\tbinom {n}{k}}

एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है

{\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }

.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। संकलन अंकन पद्धति का उपयोग कर के इसे इस रूप में लिखा जाता है।

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब

x

तथा

y

की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित होता है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है

1

के लिये

y

, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है

द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, ताकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित कर के, इसे सूत्र के रूप में सूत्र पढ़ा जा सके

(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

या समकक्ष

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},

या अधिक स्पष्ट रूप से^[11]

(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं

{\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}

[convergence-14] 1.0 ^1.1 This is to guarantee convergence. Depending on $r$ , the series may also converge sometimes when $| x | = | y |$ .

[wolfram-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "द्विपद प्रमेय". Wolfram MathWorld.

[Coolidge-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Coolidge, J. L. (1949). "द्विपद प्रमेय की कहानी". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.

[Chinese-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). चीनी गणित का इतिहास. Springer.

[Biggs-4] 4.0 ^4.1 Biggs, N. L. (1979). "कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

[5] "द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा" (PDF). core.ac.uk. p. 401. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 2019-01-08.

[Karaji-6] 6.0 ^6.1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[7] Landau, James A. (1999-05-08). "हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज" (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Retrieved 2007-04-13.

[Kline-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Kline, Morris (1972). गणितीय सोच का इतिहास. Oxford University Press. p. 273.

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[10] Bourbaki, N. (18 November 1998). गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व. J. Meldrum (Translator). ISBN 978-3-540-64767-6.

[11] भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके. 2013. p. 34. doi:10.1016/c2009-0-30629-7. ISBN 9780123846549.

[barth2004-12] 12.0 ^12.1 Barth, Nils R. (2004). "एन-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193.

[13] Binomial theorem – inductive proofs Archived February 24, 2015, at the Wayback Machine

[Sokolowsky-15] Sokolowsky, Dan; Rennie, Basil C. (February 1979). "समस्या 352". Crux Mathematicorum. 5 (2): 55–56.

[16] Aigner, Martin (1997) [Reprint of the 1979 Edition]. संयोजन सिद्धांत. Springer. p. 105. ISBN 3-540-61787-6.

[17] Olver, Peter J. (2000). झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.

[18] Spivey, Michael Z. (2019). द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला. CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800.

[19] Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). आधार - सामग्री संकोचन (in English). John Wiley & Sons, Inc. p. 320. doi:10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.

[20] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[21] "पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।". arquivopessoa.net.

[1]

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[Note 1]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

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 == द्विपद गुणांक ==
-{{Main|Binomial coefficient}}
+{{Main|द्विपद गुणांक}}
-द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। ये आमतौर पर लिखे जाते हैं <math>\tbinom{n}{k},</math> और उच्चारित{{mvar|n}} चुनें {{mvar|k}}.
+द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। ये आमतौर पर लिखे जाते हैं <math>\tbinom{n}{k},</math> और उच्चारित {{mvar|n}} चुनें {{mvar|k}}
 === सूत्र ===
-का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} सूत्र द्वारा दिया गया है
+{{math|''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} का गुणांक सूत्र द्वारा दिया गया है
 <math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!},</math>
-जिसे फैक्टोरियल फ़ंक्शन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है {{math|''n''!}}. समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है
+जिसे फैक्टोरियल फलन {{math|''n''!}} के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है
 <math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math>
-साथ {{mvar|k}} अंश (गणित) के अंश और हर दोनों में कारक। हालांकि इस सूत्र में एक अंश शामिल है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
+भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ। हालांकि इस सूत्र में एक अंश शामिल है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
 === मिश्रित व्याख्या ===
-द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|k}} एक से तत्व {{mvar|n}}-तत्व सेट। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है: यदि हम लिखते हैं {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} एक उत्पाद के रूप में (गणित)
+द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> की व्याख्या {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से {{mvar|k}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में की जा सकती है। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है, यदि हम {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
 <math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math>
-फिर, वितरण नियम के अनुसार, दोनों में से प्रत्येक विकल्प के लिए विस्तार में एक शब्द होगा {{mvar|x}} या {{mvar|y}} उत्पाद के प्रत्येक द्विपद से। उदाहरण के लिए, केवल एक शब्द होगा {{math|''x''<sup>''n''</sup>}}, चुनने के अनुरूप {{mvar|x}} प्रत्येक द्विपद से। हालांकि, फॉर्म की कई शर्तें होंगी {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक {{mvar|y}}. इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} बिल्कुल चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा {{math|2}} एक से तत्व {{mvar|n}}-तत्व सेट।
+फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होगा। हालांकि, {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में {{mvar|y}}.योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपक्षीय चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}  {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से बिल्कुल {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा।
 == प्रमाण ==
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     &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3
 \end{align}</math>
-बराबरी <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि तीन हैं {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो के साथ {{mvar|y}}एस, अर्थात्,
+बराबरी <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो वाईएस के साथ हैं, अर्थात्।
 <math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math>
-के तीन 2-तत्व सबसेट के अनुरूप {{math|{{mset|1, 2, 3}}}}, अर्थात्,
+अर्थात्{{math|{{mset|1, 2, 3}}}},के तीन-तत्वों के 2-उपसमूहों के अनुरूप,
 <math display="block">\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, </math>
-जहां प्रत्येक उपसमुच्चय के पदों को निर्दिष्ट करता है {{mvar|y}} एक संगत स्ट्रिंग में।
-==== सामान्य मामला ====
-विस्तार {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का योग बनाता है {{math|2<sup>''n''</sup>}} फार्म के उत्पाद {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} है {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}}. पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद बराबर है {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} कुछ के लिए {{mvar|k}} के बीच {{math|0}} तथा{{mvar|n}}. किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|k}}, निम्नलिखित उत्तराधिकार में बराबर साबित होते हैं:
+जहां प्रत्येक उपसमुच्चय संबंधित स्ट्रिंग में {{mvar|y}} की स्थिति निर्दिष्ट करता है।
-* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} विस्तार में
-* की संख्या {{mvar|n}}-चरित्र {{math|''x'',''y''}} तार होना {{mvar|y}} में बिल्कुल {{mvar|k}} पदों
+==== सामान्य स्थिति ====
-* की संख्या {{mvar|k}}-तत्व का सबसेट {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}}
+{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}} है पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद  {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}}  के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
-* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math>
+* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में,
-यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
+*बिल्कुल {{mvar|k}}  स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में,
+* {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} के {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
+* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
 === आगमनात्मक प्रमाण ===
-गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। कब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष बराबर {{math|1}}, जबसे {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> अब मान लीजिए कि समानता दिए गए के लिए है {{mvar|n}}; हम इसे साबित करेंगे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, होने देना {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करें {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद में {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} में बहुपद है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} ऐसा है कि {{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा। पहचान
+गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष बराबर {{math|1}}, जबसे {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> अब मान लीजिए कि समानता दिए गए {{mvar|n}};के लिए है हम इसे साबित करेंगे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, होने देना {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करें {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद में {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} में बहुपद है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में एक बहुपद ऐसा है कि{{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा इकाई में,
 <math display="block"> (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n</math>
-दिखाता है {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''+1</sup>}} में भी एक बहुपद है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}, तथा
+दिखाता है {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''+1</sup>}} {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}, में भी एक बहुपद है, तथा
 <math display="block"> [(x+y)^{n+1}]_{j,k} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1},</math>
 चूंकि अगर {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' − 1) + ''k'' = ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' − 1) = ''n''}}. अब, दाएँ हाथ की ओर है
 <math display="block"> \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},</math>
-पास्कल की पहचान से।<ref>[http://proofs.wiki/Binomial_theorem Binomial theorem] – inductive proofs {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20150224130932/http://proofs.wiki/Binomial_theorem |date=February 24, 2015 }}</ref> वहीं दूसरी ओर अगर {{math|1=''j'' + ''k'' ≠ ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' – 1) + ''k'' ≠ ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' – 1) ≠ ''n''}}, तो हम प्राप्त करते हैं {{math|1=0 + 0 = 0}}. इस प्रकार
+पास्कल की इकाई में।<ref>[http://proofs.wiki/Binomial_theorem Binomial theorem] – inductive proofs {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20150224130932/http://proofs.wiki/Binomial_theorem |date=February 24, 2015 }}</ref> वहीं दूसरी ओर अगर {{math|1=''j'' + ''k'' ≠ ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' – 1) + ''k'' ≠ ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' – 1) ≠ ''n''}}, तो हम प्राप्त करते हैं {{math|1=0 + 0 = 0}}. इस प्रकार
 <math display="block">(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,</math>
-जो आगमनात्मक परिकल्पना है {{math|1=''n'' + 1}} इसके लिए प्रतिस्थापित {{mvar|n}} और इस तरह आगमनात्मक कदम पूरा करता है।
+जो आगमनात्मक परिकल्पना है {{math|1=''n'' + 1}} इसके लिए प्रतिस्थापित {{mvar|n}} और इस तरह आगमनात्मक चरण को पूरा करता है।
 == सामान्यीकरण ==
 === न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय ===
-{{Main|Binomial series}}
+{{Main|द्विपद श्रृंखला}}
-के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। (वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है।) इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी को मनमाना ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक मनमानी संख्या के लिए {{mvar|r}}, कोई परिभाषित कर सकता है
+के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक  यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
 <math display="block">{r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math><!--This is not the same as \frac{r!}{k!(r−k)!}. Please do not change it.-->
-कहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> Pochhammer प्रतीक है, यहाँ एक गिरते फैक्टोरियल के लिए खड़ा है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो अगर {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ हैं {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}},<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> तथा {{mvar|r}} कोई सम्मिश्र संख्या है, किसी के पास है
+जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, '''यहाँ एक गिरते फैक्टोरियल के लिए खड़ा है'''। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> तथा {{mvar|r}} कोई सम्मिश्र संख्या है, किसी के पास है,
 <math display="block">\begin{align}
     (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \\
     &= x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
   \end{align}</math>
-कब {{mvar|r}} एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक होते हैं {{math|1=''r'' + 1}} अशून्य शर्तें। के अन्य मूल्यों के लिए {{mvar|r}}, श्रृंखला में आमतौर पर असीम रूप से कई गैर-शून्य शब्द होते हैं।
-उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है:
-<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
+कब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक  {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद होते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में आम तौर पर असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
-ले रहा {{math|1=''r'' = &minus;1}}, सामान्यीकृत द्विपद श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला # बंद-रूप सूत्र देती है, जिसके लिए मान्य है {{math|{{abs|''x''}} < 1}}:
-<math display="block">(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots</math>
+उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
+ले रहा {{math|1=''r'' = &minus;1}}, सामान्यीकृत द्विपद श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र देती है, जो {{math|{{abs|''x''}} < 1}}के लिए मान्य है<math display="block">(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots</math>
 अधिक आम तौर पर, के साथ {{math|1=''s'' = −''r''}}:
 <math display="block">\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k.</math>
-तो, उदाहरण के लिए, कब {{math|1=''s'' = 1/2}},
+तो, उदाहरण के लिए, जब {{math|1=''s'' = 1/2}},
 <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
 === आगे सामान्यीकरण ===
-सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण के लिए, फिर से मान लेना चाहिए {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name=convergence group=Note />और की शक्तियों को परिभाषित करें {{math|1=''x'' + ''y''}} तथा {{mvar|x}} रेडियस की ओपन डिस्क पर परिभाषित एक होलोमॉर्फिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम का उपयोग करना {{math|{{abs|''x''}}}} पर केंद्रित है {{mvar|x}}. सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय तत्वों के लिए भी मान्य है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} एक Banach बीजगणित के रूप में लंबे समय तक {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, तथा {{mvar|x}} उलटा है, और {{math|{{norm|''y''/''x''}} < 1}}.
+'''सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण के लिए, फिर से मान लेना चाहिए {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />और की शक्तियों को परिभाषित करें {{math|1=''x'' + ''y''}} तथा {{mvar|x}} रेडियस की ओपन''' डिस्क पर परिभाषित एक होलोमॉर्फिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम का उपयोग करना {{math|{{abs|''x''}}}} पर केंद्रित है {{mvar|x}}. सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय तत्वों के लिए भी मान्य है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} एक Banach बीजगणित के रूप में लंबे समय तक {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, तथा {{mvar|x}} उलटा है, और {{math|{{norm|''y''/''x''}} < 1}}.
 द्विपद प्रमेय का एक संस्करण बहुपदों के निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक-जैसे परिवार के लिए मान्य है: किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}, परिभाषित करना <math> x^{(0)} = 1 </math> तथा
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 जहां गैर-नकारात्मक पूर्णांक सूचकांकों के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है {{math|''k''<sub>1</sub>}} के माध्यम से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} ऐसा कि सभी का योग {{math|''k''<sub>''i''</sub>}} है{{mvar|n}}. (विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए{{mvar|n}}). गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
 <math display="block"> \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>
-संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> एक सेट के विभाजन के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है {{mvar|n}}-तत्व आकार के सबसेट को डिसजॉइंट सेट में सेट करता है {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}.
+संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> एक सम्मुचय के विभाजन के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है {{mvar|n}}-तत्व आकार के सबसम्मुचय को डिसजॉइंट सम्मुचय में सम्मुचय करता है {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}.
 === {{anchor|multi-binomial}} बहु-द्विपद प्रमेय ===
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 सामान्य लीबनिज नियम देता है {{mvar|n}}द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का वें व्युत्पन्न:<ref>{{cite book |last=Olver |first=Peter J. |year=2000 |title=झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग|publisher=Springer |pages=318–319 |isbn=9780387950006 |url=https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&pg=PA318 }}</ref>
 <math display="block">(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math>
-यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} इंगित करता है {{mvar|n}}एक समारोह का व्युत्पन्न। अगर एक सेट {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, और उसके बाद के सामान्य कारक को रद्द कर देता है {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} परिणाम के दोनों पक्षों से, साधारण द्विपद प्रमेय पुनर्प्राप्त किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
+यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} इंगित करता है {{mvar|n}}एक समारोह का व्युत्पन्न। अगर एक सम्मुचय {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, और उसके बाद के सामान्य कारक को रद्द कर देता है {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} परिणाम के दोनों पक्षों से, साधारण द्विपद प्रमेय पुनर्प्राप्त किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 02:01, 9 December 2022

इतिहास

कथन

उदाहरण

ज्यामितीय व्याख्या

द्विपद गुणांक

सूत्र

मिश्रित व्याख्या

प्रमाण

संयोजन प्रमाण

उदाहरण

सामान्य स्थिति

आगमनात्मक प्रमाण

सामान्यीकरण

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय

आगे सामान्यीकरण

बहुपद प्रमेय

बहु-द्विपद प्रमेय

जनरल लीबनिज नियम

अनुप्रयोग

बहु-कोण पहचान

संभावना

अमूर्त बीजगणित में

लोकप्रिय संस्कृति में

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

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