द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

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== द्विपद गुणांक ==
== द्विपद गुणांक ==
{{Main|Binomial coefficient}}
{{Main|द्विपद गुणांक}}
द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। ये आमतौर पर लिखे जाते हैं <math>\tbinom{n}{k},</math> और उच्चारित{{mvar|n}} चुनें {{mvar|k}}.
द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। ये आमतौर पर लिखे जाते हैं <math>\tbinom{n}{k},</math> और उच्चारित {{mvar|n}} चुनें {{mvar|k}}


=== सूत्र ===
=== सूत्र ===
का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} सूत्र द्वारा दिया गया है
{{math|''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} का गुणांक सूत्र द्वारा दिया गया है
<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!},</math>
<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!},</math>
जिसे फैक्टोरियल फ़ंक्शन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है {{math|''n''!}}. समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है
जिसे फैक्टोरियल फलन {{math|''n''!}} के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है
<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math>
<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math>
साथ {{mvar|k}} अंश (गणित) के अंश और हर दोनों में कारक। हालांकि इस सूत्र में एक अंश शामिल है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ। हालांकि इस सूत्र में एक अंश शामिल है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।


=== मिश्रित व्याख्या ===
=== मिश्रित व्याख्या ===
द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|k}} एक से तत्व {{mvar|n}}-तत्व सेट। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है: यदि हम लिखते हैं {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} एक उत्पाद के रूप में (गणित)
द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> की व्याख्या {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से {{mvar|k}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में की जा सकती है। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है, यदि हम {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math>
<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math>
फिर, वितरण नियम के अनुसार, दोनों में से प्रत्येक विकल्प के लिए विस्तार में एक शब्द होगा {{mvar|x}} या {{mvar|y}} उत्पाद के प्रत्येक द्विपद से। उदाहरण के लिए, केवल एक शब्द होगा {{math|''x''<sup>''n''</sup>}}, चुनने के अनुरूप {{mvar|x}} प्रत्येक द्विपद से। हालांकि, फॉर्म की कई शर्तें होंगी {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक {{mvar|y}}. इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} बिल्कुल चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा {{math|2}} एक से तत्व {{mvar|n}}-तत्व सेट।
 
 
फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होगा। हालांकि, {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में {{mvar|y}}.योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपक्षीय चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से बिल्कुल {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा।


== प्रमाण ==
== प्रमाण ==
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   &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3
   &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3
\end{align}</math>
\end{align}</math>
बराबरी <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि तीन हैं {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो के साथ {{mvar|y}}एस, अर्थात्,
बराबरी <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो वाईएस के साथ हैं, अर्थात्।
<math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math>
<math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math>
के तीन 2-तत्व सबसेट के अनुरूप {{math|{{mset|1, 2, 3}}}}, अर्थात्,
अर्थात्{{math|{{mset|1, 2, 3}}}},के तीन-तत्वों के 2-उपसमूहों के अनुरूप,
<math display="block">\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, </math>
<math display="block">\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, </math>
जहां प्रत्येक उपसमुच्चय के पदों को निर्दिष्ट करता है {{mvar|y}} एक संगत स्ट्रिंग में।


==== सामान्य मामला ====
 
विस्तार {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का योग बनाता है {{math|2<sup>''n''</sup>}} फार्म के उत्पाद {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} है {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}}. पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद बराबर है {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} कुछ के लिए {{mvar|k}} के बीच {{math|0}} तथा{{mvar|n}}. किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|k}}, निम्नलिखित उत्तराधिकार में बराबर साबित होते हैं:
जहां प्रत्येक उपसमुच्चय संबंधित स्ट्रिंग में {{mvar|y}} की स्थिति निर्दिष्ट करता है।
* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} विस्तार में
 
* की संख्या {{mvar|n}}-चरित्र {{math|''x'',''y''}} तार होना {{mvar|y}} में बिल्कुल {{mvar|k}} पदों
==== सामान्य स्थिति ====
* की संख्या {{mvar|k}}-तत्व का सबसेट {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}}
{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}} है पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}}  के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math>
* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में,
यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
*बिल्कुल {{mvar|k}}  स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में,
* {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} के {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।


=== आगमनात्मक प्रमाण ===
=== आगमनात्मक प्रमाण ===
गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। कब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष बराबर {{math|1}}, जबसे {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> अब मान लीजिए कि समानता दिए गए के लिए है {{mvar|n}}; हम इसे साबित करेंगे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, होने देना {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करें {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद में {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} में बहुपद है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} ऐसा है कि {{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा। पहचान
गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष बराबर {{math|1}}, जबसे {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> अब मान लीजिए कि समानता दिए गए {{mvar|n}};के लिए है हम इसे साबित करेंगे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, होने देना {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करें {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद में {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} में बहुपद है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} में एक बहुपद ऐसा है कि{{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा इकाई में,
<math display="block"> (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n</math>
<math display="block"> (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n</math>
दिखाता है {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''+1</sup>}} में भी एक बहुपद है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}, तथा
दिखाता है {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''+1</sup>}} {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}, में भी एक बहुपद है, तथा
<math display="block"> [(x+y)^{n+1}]_{j,k} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1},</math>
<math display="block"> [(x+y)^{n+1}]_{j,k} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1},</math>
चूंकि अगर {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' − 1) + ''k'' = ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' − 1) = ''n''}}. अब, दाएँ हाथ की ओर है
चूंकि अगर {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' − 1) + ''k'' = ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' − 1) = ''n''}}. अब, दाएँ हाथ की ओर है
<math display="block"> \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},</math>
<math display="block"> \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},</math>
पास्कल की पहचान से।<ref>[http://proofs.wiki/Binomial_theorem Binomial theorem] – inductive proofs {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20150224130932/http://proofs.wiki/Binomial_theorem |date=February 24, 2015 }}</ref> वहीं दूसरी ओर अगर {{math|1=''j'' + ''k'' ≠ ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' – 1) + ''k'' ≠ ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' – 1) ≠ ''n''}}, तो हम प्राप्त करते हैं {{math|1=0 + 0 = 0}}. इस प्रकार
पास्कल की इकाई में।<ref>[http://proofs.wiki/Binomial_theorem Binomial theorem] – inductive proofs {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20150224130932/http://proofs.wiki/Binomial_theorem |date=February 24, 2015 }}</ref> वहीं दूसरी ओर अगर {{math|1=''j'' + ''k'' ≠ ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' – 1) + ''k'' ≠ ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' – 1) ≠ ''n''}}, तो हम प्राप्त करते हैं {{math|1=0 + 0 = 0}}. इस प्रकार
<math display="block">(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,</math>
<math display="block">(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,</math>
जो आगमनात्मक परिकल्पना है {{math|1=''n'' + 1}} इसके लिए प्रतिस्थापित {{mvar|n}} और इस तरह आगमनात्मक कदम पूरा करता है।
जो आगमनात्मक परिकल्पना है {{math|1=''n'' + 1}} इसके लिए प्रतिस्थापित {{mvar|n}} और इस तरह आगमनात्मक चरण को पूरा करता है।


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==


=== न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय ===
=== न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय ===
{{Main|Binomial series}}
{{Main|द्विपद श्रृंखला}}
1665 के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। (वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है।) इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी को मनमाना ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक मनमानी संख्या के लिए {{mvar|r}}, कोई परिभाषित कर सकता है
 
1665 के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
<math display="block">{r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math><!--This is not the same as \frac{r!}{k!(r−k)!}. Please do not change it.-->
<math display="block">{r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math><!--This is not the same as \frac{r!}{k!(r−k)!}. Please do not change it.-->
कहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> Pochhammer प्रतीक है, यहाँ एक गिरते फैक्टोरियल के लिए खड़ा है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो अगर {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ हैं {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}},<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> तथा {{mvar|r}} कोई सम्मिश्र संख्या है, किसी के पास है
जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, '''यहाँ एक गिरते फैक्टोरियल के लिए खड़ा है'''। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> तथा {{mvar|r}} कोई सम्मिश्र संख्या है, किसी के पास है,
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
   (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \\
   (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \\
   &= x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
   &= x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
  \end{align}</math>
  \end{align}</math>
कब {{mvar|r}} एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक होते हैं {{math|1=''r'' + 1}} अशून्य शर्तें। के अन्य मूल्यों के लिए {{mvar|r}}, श्रृंखला में आमतौर पर असीम रूप से कई गैर-शून्य शब्द होते हैं।


उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है:
 
<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
कब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक  {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद होते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में आम तौर पर असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
ले रहा {{math|1=''r'' = &minus;1}}, सामान्यीकृत द्विपद श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला # बंद-रूप सूत्र देती है, जिसके लिए मान्य है {{math|{{abs|''x''}} < 1}}:
 
<math display="block">(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots</math>
उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
ले रहा {{math|1=''r'' = &minus;1}}, सामान्यीकृत द्विपद श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र देती है, जो {{math|{{abs|''x''}} < 1}}के लिए मान्य है<math display="block">(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots</math>
अधिक आम तौर पर, के साथ {{math|1=''s'' = −''r''}}:
अधिक आम तौर पर, के साथ {{math|1=''s'' = −''r''}}:
<math display="block">\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k.</math>
<math display="block">\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k.</math>
तो, उदाहरण के लिए, कब {{math|1=''s'' = 1/2}},
तो, उदाहरण के लिए, जब {{math|1=''s'' = 1/2}},
<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>




=== आगे सामान्यीकरण ===
=== आगे सामान्यीकरण ===
सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण के लिए, फिर से मान लेना चाहिए {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name=convergence group=Note />और की शक्तियों को परिभाषित करें {{math|1=''x'' + ''y''}} तथा {{mvar|x}} रेडियस की ओपन डिस्क पर परिभाषित एक होलोमॉर्फिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम का उपयोग करना {{math|{{abs|''x''}}}} पर केंद्रित है {{mvar|x}}. सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय तत्वों के लिए भी मान्य है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} एक Banach बीजगणित के रूप में लंबे समय तक {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, तथा {{mvar|x}} उलटा है, और {{math|{{norm|''y''/''x''}} < 1}}.
'''सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण के लिए, फिर से मान लेना चाहिए {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />और की शक्तियों को परिभाषित करें {{math|1=''x'' + ''y''}} तथा {{mvar|x}} रेडियस की ओपन''' डिस्क पर परिभाषित एक होलोमॉर्फिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम का उपयोग करना {{math|{{abs|''x''}}}} पर केंद्रित है {{mvar|x}}. सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय तत्वों के लिए भी मान्य है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} एक Banach बीजगणित के रूप में लंबे समय तक {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, तथा {{mvar|x}} उलटा है, और {{math|{{norm|''y''/''x''}} < 1}}.


द्विपद प्रमेय का एक संस्करण बहुपदों के निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक-जैसे परिवार के लिए मान्य है: किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}, परिभाषित करना <math> x^{(0)} = 1 </math> तथा
द्विपद प्रमेय का एक संस्करण बहुपदों के निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक-जैसे परिवार के लिए मान्य है: किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}, परिभाषित करना <math> x^{(0)} = 1 </math> तथा
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जहां गैर-नकारात्मक पूर्णांक सूचकांकों के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है {{math|''k''<sub>1</sub>}} के माध्यम से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} ऐसा कि सभी का योग {{math|''k''<sub>''i''</sub>}} है{{mvar|n}}. (विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए{{mvar|n}}). गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
जहां गैर-नकारात्मक पूर्णांक सूचकांकों के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है {{math|''k''<sub>1</sub>}} के माध्यम से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} ऐसा कि सभी का योग {{math|''k''<sub>''i''</sub>}} है{{mvar|n}}. (विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए{{mvar|n}}). गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
<math display="block"> \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>
<math display="block"> \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>
संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> एक सेट के विभाजन के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है {{mvar|n}}-तत्व आकार के सबसेट को डिसजॉइंट सेट में सेट करता है {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}.
संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> एक सम्मुचय के विभाजन के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है {{mvar|n}}-तत्व आकार के सबसम्मुचय को डिसजॉइंट सम्मुचय में सम्मुचय करता है {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}.


=== {{anchor|multi-binomial}} बहु-द्विपद प्रमेय ===
=== {{anchor|multi-binomial}} बहु-द्विपद प्रमेय ===
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सामान्य लीबनिज नियम देता है {{mvar|n}}द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का वें व्युत्पन्न:<ref>{{cite book |last=Olver |first=Peter J. |year=2000 |title=झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग|publisher=Springer |pages=318–319 |isbn=9780387950006 |url=https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&pg=PA318 }}</ref>  
सामान्य लीबनिज नियम देता है {{mvar|n}}द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का वें व्युत्पन्न:<ref>{{cite book |last=Olver |first=Peter J. |year=2000 |title=झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग|publisher=Springer |pages=318–319 |isbn=9780387950006 |url=https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&pg=PA318 }}</ref>  
<math display="block">(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math>
<math display="block">(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math>
यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} इंगित करता है {{mvar|n}}एक समारोह का व्युत्पन्न। अगर एक सेट {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, और उसके बाद के सामान्य कारक को रद्द कर देता है {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} परिणाम के दोनों पक्षों से, साधारण द्विपद प्रमेय पुनर्प्राप्त किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} इंगित करता है {{mvar|n}}एक समारोह का व्युत्पन्न। अगर एक सम्मुचय {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, और उसके बाद के सामान्य कारक को रद्द कर देता है {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} परिणाम के दोनों पक्षों से, साधारण द्विपद प्रमेय पुनर्प्राप्त किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>




Revision as of 02:01, 9 December 2022

The binomial coefficient appears as the kth entry in the nth row of Pascal's triangle (counting starts at 0). Each entry is the sum of the two above it.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है (x + y)n फॉर्म के योग में शर्तों को शामिल करने वाले axbyc है, जहां घातांक b तथा c के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं b + c = n, और गुणांक a प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो n और b पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए n = 4,