ट्रेस ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 13:17, 5 December 2022

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एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका ट्रेस (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत फलनों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मान समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान फलनों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक परिबद्ध, चिकने डोमेन (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ पर, विषम के साथ पॉइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें डिरिचलेट सीमा शर्तें:

{\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}

दिए गए फलन ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ के साथ नियमितता के साथ नीचे दिए गए एप्लिकेशन सेक्शन में चर्चा की गई है। इस समीकरण के कमजोर समाधान ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ .

${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u}$ की नियमितता इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। चूँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि ${\textstyle u}$ किस अर्थ में सीमा शर्त ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$ : को संतुष्ट कर सकते हैं परिभाषा के अनुसार, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिसका ${\textstyle \partial \Omega }$ पर मनमाना मान हो सकता है चूंकि यह n-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ में ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ रखने पर, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ से आंशिक ${\textstyle \partial \Omega }$ का प्रतिबंध फलन ${\textstyle g}$ से सहमत हैं (अधिक उपयुक्त रूप से: ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ में ${\textstyle u}$ का एक प्रतिनिधि मौजूद है इस गुण के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n>1}$ के साथ ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और यहां प्रस्तुत ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का प्रयोग ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ के साथ $T u$

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-== ट्रेस शून्य के साथ कार्य ==
+== ट्रेस शून्य के साथ फलन ==
-सोबोलेव रिक्त स्थान <math display="inline">W^{1,p}_0(\Omega)</math> के लिये <math display="inline">1 \leq p < \infty</math> क्लोजर (टोपोलॉजी) के रूप में परिभाषित किया गया है # कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित परीक्षण फलनों के सेट के सेट का क्लोजर <math display="inline">C^\infty_c(\Omega)</math> के प्रति सम्मान के साथ <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>-आदर्श। निम्नलिखित वैकल्पिक लक्षण वर्णन धारण करता है:
+<math display="inline">1 \leq p < \infty</math> के लिये सोबोलेव स्पेस <math display="inline">W^{1,p}_0(\Omega)</math> कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सेट के बंद होने के रूप में परिभाषित किया गया है फलन <math display="inline">C^\infty_c(\Omega)</math>  <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>-आदर्श के संबंध में। निम्नलिखित वैकल्पिक लक्षण वर्णन धारण करता है:
 : <math>W^{1, p}_0(\Omega) = \{ u \in W^{1, p}(\Omega) \mid T u = 0 \} = \ker(T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)),</math>
-कहाँ पे <math display="inline">\ker(T)</math> का [[कर्नेल (रैखिक बीजगणित)]] है <math display="inline">T</math>, अर्थात। <math display="inline">W^{1, p}_0(\Omega)</math> में फलनों का उप-स्थान है <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> ट्रेस जीरो के साथ।
+जहाँ  <math display="inline">\ker(T)</math> का <math display="inline">T</math> [[कर्नेल (रैखिक बीजगणित)]] है, अर्थात <math display="inline">W^{1, p}_0(\Omega)</math> में फलनों का उप-स्थान है <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math> ट्रेस जीरो के साथ है।
 == ट्रेस ऑपरेटर की छवि ==
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 === पी> 1 === के लिए
-ट्रेस ऑपरेटर पर विशेषण नहीं है <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> यदि <math display="inline">p > 1</math>, अर्थात् हर फलन में नहीं <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> में एक फलन का ट्रेस है <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>. जैसा कि नीचे दी गई छवि में ऐसे कार्य सम्मालित हैं जो एक को संतुष्ट करते हैं <math display="inline">L^p</math>-होल्डर स्थिति का संस्करण|होल्डर निरंतरता।
+ट्रेस ऑपरेटर पर विशेषण नहीं है <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> यदि <math display="inline">p > 1</math>, अर्थात् हर फलन में नहीं <math display="inline">L^p(\partial \Omega)</math> में एक फलन का ट्रेस है <math display="inline">W^{1, p}(\Omega)</math>. जैसा कि नीचे दी गई छवि में ऐसे फलन सम्मालित हैं जो एक को संतुष्ट करते हैं <math display="inline">L^p</math>-होल्डर स्थिति का संस्करण|होल्डर निरंतरता।
 ==== सार लक्षण वर्णन ====
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 : <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p}(\Omega) / W^{1, p}_0(\Omega) </math>.
-==== सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान का प्रयोग करते हुए अभिलक्षणन ====
+==== सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस का प्रयोग करते हुए अभिलक्षणन ====
 की छवि का अधिक ठोस प्रतिनिधित्व <math display="inline">T</math> सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस का प्रयोग करके दिया जा सकता है|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस जो धारक के निरंतर फलनों की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है <math display="inline">L^p</math>-स्थापना। तब से <math display="inline">\partial \Omega</math> एक (n-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] में एम्बेडेड है <math display="inline">\mathbb R^n</math> इन स्थानों का एक स्पष्ट लक्षण वर्णन तकनीकी रूप से सम्मालित है। सरलता के लिए पहले एक समतलीय डोमेन पर विचार करें <math display="inline">\Omega' \subset \mathbb R^{n-1}</math>. के लिये <math display="inline">v \in L^p(\Omega')</math> (संभवतः अनंत) मानक को परिभाषित करें
@@ Line 108: / Line 108: @@
 : <math>\| E v \|_{W^{1, p}(\Omega)} \leq C \| v \|_{W^{1-1/p, p}(\partial \Omega)}</math>.
-उल्लेखनीय मात्र अस्तित्व नहीं है बल्कि सही व्युत्क्रम की रैखिकता और निरंतरता है। इस ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस # एक्सटेंशन ऑपरेटर | होल-स्पेस एक्सटेंशन ऑपरेटर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math display="inline">W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p}(\mathbb R^n)</math> जो सोबोलेव रिक्त स्थान के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।
+उल्लेखनीय मात्र अस्तित्व नहीं है बल्कि सही व्युत्क्रम की रैखिकता और निरंतरता है। इस ट्रेस एक्सटेंशन ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस # एक्सटेंशन ऑपरेटर | होल-स्पेस एक्सटेंशन ऑपरेटर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math display="inline">W^{1, p}(\Omega) \to W^{1, p}(\mathbb R^n)</math> जो सोबोलेव स्पेस के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।
-== अन्य रिक्त स्थान का विस्तार ==
+== अन्य स्पेस का विस्तार ==
 === उच्च डेरिवेटिव ===
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 : <math>T_m\colon W^{m, p}(\Omega) \to \prod_{l = 0}^{m-1} W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega)</math>
 :
-सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान के साथ <math display="inline">W^{s, p}(\partial \Omega)</math> गैर-पूर्णांक के लिए <math display="inline">s > 0</math> पर परिभाषित <math display="inline">\partial \Omega</math> प्लानर मामले में परिवर्तन के माध्यम से <math display="inline">W^{s, p}(\Omega')</math> के लिये <math display="inline">\Omega' \subset \mathbb R^{n-1}</math>, जिसकी परिभाषा सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस पर लेख में विस्तार से दी गई है। परिचालक <math display="inline">T_m</math> इस अर्थ में पारम्परिक सामान्य ट्रेस का विस्तार करता है
+सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस के साथ <math display="inline">W^{s, p}(\partial \Omega)</math> गैर-पूर्णांक के लिए <math display="inline">s > 0</math> पर परिभाषित <math display="inline">\partial \Omega</math> प्लानर मामले में परिवर्तन के माध्यम से <math display="inline">W^{s, p}(\Omega')</math> के लिये <math display="inline">\Omega' \subset \mathbb R^{n-1}</math>, जिसकी परिभाषा सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस पर लेख में विस्तार से दी गई है। परिचालक <math display="inline">T_m</math> इस अर्थ में पारम्परिक सामान्य ट्रेस का विस्तार करता है
 : <math>T_m u = \left(u |_{\partial \Omega}, \partial_N u |_{\partial \Omega}, \ldots, \partial_N^{m-1} u |_{\partial \Omega}\right)</math> सभी के लिए <math display="inline">u \in W^{m, p}(\Omega) \cap C^{m-1}(\bar \Omega).</math>
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 : <math>E_m\colon \prod_{l = 0}^{m-1} W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega) \to W^{m, p}(\Omega)</math>.
-अंत में, रिक्त स्थान <math display="inline">W^{m, p}_0(\Omega)</math>, का पूरा होना <math display="inline">C^\infty_c(\Omega)</math> में <math display="inline">W^{m, p}(\Omega)</math>-नॉर्म, के कर्नेल के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math display="inline">T_m</math>,<ref name="Necas1967" />अर्थात।
+अंत में, स्पेस <math display="inline">W^{m, p}_0(\Omega)</math>, का पूरा होना <math display="inline">C^\infty_c(\Omega)</math> में <math display="inline">W^{m, p}(\Omega)</math>-नॉर्म, के कर्नेल के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math display="inline">T_m</math>,<ref name="Necas1967" />अर्थात।
 : <math>W^{m, p}_0(\Omega) = \{ u \in W^{m, p}(\Omega) \mid T_m u = 0 \}</math>.

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