ट्रेस ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 11:03, 5 December 2022

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत कार्यों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मान समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान कार्यों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक सीमित, चिकने डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ , विषम डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ पोइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें:

{\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}

दिए गए कार्यों के साथ ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ ट्रेस ऑपरेटर नीचे दिए गए आवेदन में चर्चा की गई नियमितता के साथ। कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ . ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ वें>- की नियमितता ${\textstyle u}$ इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस अर्थ में ${\textstyle u}$ सीमा शर्त को पूरा कर सकते हैं ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$ : परिभाषा से, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिस पर मनमाना मान हो सकता है ${\textstyle \partial \Omega }$ चूंकि यह एन-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ वहाँ रखती है ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ सोबोलेव असमानता द्वारा, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ प्रति ${\textstyle \partial \Omega }$ फलन से सहमत हैं ${\textstyle g}$ (अधिक सटीक रूप से : का एक प्रतिनिधि उपस्थित है ${\textstyle u}$ में ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ इस संपत्ति के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ साथ ${\textstyle n>1}$ के लिये ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का प्रयोग ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ के साथ

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-[[File:Trace_operator_illustration.png|right|thumb|एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।]]गणित में, ट्रेस ऑपरेटर प्रोग्राम की धारणा को उसके डोमेन की सीमा तक [[सोबोलेव स्पेस]] में सामान्यीकृत प्रोग्राम तक बढ़ाता है। यह विशेष रूप से निर्धारित सीमा स्थितियों ([[सीमा मूल्य समस्या|सीमा मूल्य समस्याओं]]) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है, जहां [[कमजोर समाधान]] नियमित रूप से कार्यों के शास्त्रीय अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।
+[[File:Trace_operator_illustration.png|right|thumb|एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।]]गणित में, ट्रेस ऑपरेटर [[सोबोलेव स्पेस]] में सामान्यीकृत कार्यों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह  निर्धारित सीमा स्थितियों ([[सीमा मूल्य समस्या|सीमा मान समस्याओं]]) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां [[कमजोर समाधान]]  कार्यों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।
 == प्रेरणा ==
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 :'''<math>\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \varphi \,\mathrm dx = \int_\Omega f \varphi \,\mathrm dx</math> सभी के लिए <math display="inline">\varphi \in H^1_0(\Omega)</math>. <math display="inline">H^1(\Omega)</math>वें>- की नियमितता <math display="inline">u</math> इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस अर्थ में <math display="inline">u</math> सीमा शर्त को पूरा कर सकते हैं <math display="inline">u = g</math> पर <math display="inline">\partial \Omega</math>: परिभाषा से, <math display="inline">u \in H^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)</math> फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिस पर मनमाना मान हो सकता है <math display="inline">\partial \Omega</math> चूंकि यह एन-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।'''
-यदि <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^1</math> वहाँ रखती है <math display="inline">H^1(\Omega) \hookrightarrow C^0(\bar \Omega)</math> सोबोलेव असमानता द्वारा, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि <math display="inline">u</math> शास्त्रीय अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात  <math display="inline">u</math> प्रति <math display="inline">\partial \Omega</math> फलन से सहमत हैं <math display="inline">g</math> (अधिक सटीक रूप से : का एक प्रतिनिधि उपस्थित है <math display="inline">u</math> में <math display="inline">C(\bar \Omega)</math> इस संपत्ति के साथ)।  <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^n</math> साथ <math display="inline">n > 1</math> के लिये ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर <math display="inline">T</math> का प्रयोग <math display="inline">u |_{\partial \Omega}</math> का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर <math display="inline">u \in H^1(\Omega)</math>  के साथ <math display="inline">T u = g</math> को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित  <math display="inline">T u = u |_{\partial \Omega}</math> के लिए <math display="inline">u</math> होना चाहिए |
+यदि <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^1</math> वहाँ रखती है <math display="inline">H^1(\Omega) \hookrightarrow C^0(\bar \Omega)</math> सोबोलेव असमानता द्वारा, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि <math display="inline">u</math> पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात  <math display="inline">u</math> प्रति <math display="inline">\partial \Omega</math> फलन से सहमत हैं <math display="inline">g</math> (अधिक सटीक रूप से : का एक प्रतिनिधि उपस्थित है <math display="inline">u</math> में <math display="inline">C(\bar \Omega)</math> इस संपत्ति के साथ)।  <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^n</math> साथ <math display="inline">n > 1</math> के लिये ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर <math display="inline">T</math> का प्रयोग <math display="inline">u |_{\partial \Omega}</math> का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर <math display="inline">u \in H^1(\Omega)</math>  के साथ <math display="inline">T u = g</math> को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित  <math display="inline">T u = u |_{\partial \Omega}</math> के लिए <math display="inline">u</math> होना चाहिए |
 == ट्रेस प्रमेय ==
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 ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस में कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है <math display="inline">W^{1,p}(\Omega)</math> साथ <math display="inline">1 \leq p < \infty</math>, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। होने देना <math display="inline">\Omega \subset \mathbb R^n</math> के लिये <math display="inline">n \in \mathbb N</math> Lipschitz सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। फिर<ref name="Gagliardo1957" />वहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर उपस्थित है
 : <math>T\colon W^{1, p}(\Omega) \to L^p(\partial \Omega)</math>
-ऐसा है कि <math display="inline">T</math> शास्त्रीय ट्रेस का विस्तार करता है, अर्थात
+ऐसा है कि <math display="inline">T</math> पारम्परिक ट्रेस का विस्तार करता है, अर्थात
 : <math>T u = u |_{\partial \Omega}</math> सभी के लिए <math display="inline">u \in W^{1, p}(\Omega) \cap C(\bar \Omega)</math>.
 की निरंतरता <math display="inline">T</math> इसका आशय है
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 === मामला पी = ∞ ===
-यदि <math display="inline">\Omega</math> घिरा हुआ है और एक है <math display="inline">C^1</math>-सीमा तब मोरे की असमानता से एक सतत एम्बेडिंग उपस्थित है <math display="inline">W^{1, \infty}(\Omega) \hookrightarrow C^{0, 1}(\Omega)</math>, कहाँ पे <math display="inline">C^{0, 1}(\Omega)</math> Lipschitz निरंतरता कार्यों के स्थान को दर्शाता है। विशेष रूप से, कोई फलन <math display="inline">u \in W^{1, \infty}(\Omega)</math> एक शास्त्रीय निशान है <math display="inline">u |_{\partial \Omega} \in C(\partial \Omega)</math> और वहाँ रखती है
+यदि <math display="inline">\Omega</math> घिरा हुआ है और एक है <math display="inline">C^1</math>-सीमा तब मोरे की असमानता से एक सतत एम्बेडिंग उपस्थित है <math display="inline">W^{1, \infty}(\Omega) \hookrightarrow C^{0, 1}(\Omega)</math>, कहाँ पे <math display="inline">C^{0, 1}(\Omega)</math> Lipschitz निरंतरता कार्यों के स्थान को दर्शाता है। विशेष रूप से, कोई फलन <math display="inline">u \in W^{1, \infty}(\Omega)</math> एक पारम्परिक निशान है <math display="inline">u |_{\partial \Omega} \in C(\partial \Omega)</math> और वहाँ रखती है
 : <math>\| u |_{\partial \Omega} \|_{C(\partial \Omega)} \leq \| u \|_{C^{0, 1}(\Omega)} \leq C \| u \|_{W^{1, \infty}(\Omega)}.</math>
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 : <math>T_m\colon W^{m, p}(\Omega) \to \prod_{l = 0}^{m-1} W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega)</math>
 :
-सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान के साथ <math display="inline">W^{s, p}(\partial \Omega)</math> गैर-पूर्णांक के लिए <math display="inline">s > 0</math> पर परिभाषित <math display="inline">\partial \Omega</math> प्लानर मामले में परिवर्तन के माध्यम से <math display="inline">W^{s, p}(\Omega')</math> के लिये <math display="inline">\Omega' \subset \mathbb R^{n-1}</math>, जिसकी परिभाषा सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस पर लेख में विस्तार से दी गई है। परिचालक <math display="inline">T_m</math> इस अर्थ में शास्त्रीय सामान्य निशान का विस्तार करता है
+सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान के साथ <math display="inline">W^{s, p}(\partial \Omega)</math> गैर-पूर्णांक के लिए <math display="inline">s > 0</math> पर परिभाषित <math display="inline">\partial \Omega</math> प्लानर मामले में परिवर्तन के माध्यम से <math display="inline">W^{s, p}(\Omega')</math> के लिये <math display="inline">\Omega' \subset \mathbb R^{n-1}</math>, जिसकी परिभाषा सोबोलेव स्पेस#सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस|सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस पर लेख में विस्तार से दी गई है। परिचालक <math display="inline">T_m</math> इस अर्थ में पारम्परिक सामान्य निशान का विस्तार करता है
 : <math>T_m u = \left(u |_{\partial \Omega}, \partial_N u |_{\partial \Omega}, \ldots, \partial_N^{m-1} u |_{\partial \Omega}\right)</math> सभी के लिए <math display="inline">u \in W^{m, p}(\Omega) \cap C^{m-1}(\bar \Omega).</math>

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