विभेदक वक्र

This article is about curves in Euclidean space. For curves in an arbitrary topological space, see Curve.

वक्रों की विभेदक ज्यामिति ज्यामिति की वह शाखा है जो अंतर कलन और अभिन्न कैलकुलस के तरीकों से यूक्लिडियन विमान और यूक्लिडियन स्पेस में स्मूदनेस (गणित) वक्रों से संबंधित है।

सिंथेटिक ज्यामिति का उपयोग करके कई वक्रों की सूची की पूरी तरह से जांच की गई है। विभेदक ज्यामिति एक और रास्ता अपनाती है: कर्व्स को एक पैरामीट्रिक समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएँ, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, वेक्टर पथरी का उपयोग करके यौगिक और इंटीग्रल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट फ्रेम है, एक गतिशील फ्रेम जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जो उस बिंदु के निकट वक्र के लिए सबसे अच्छा अनुकूलित होता है।

सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में घटता का सिद्धांत बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित वक्र में कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं है। चाप की लंबाई ("प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन") द्वारा किसी भी नियमित वक्र को पैरामीट्रिज किया जा सकता है। वक्र पर एक परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग अंतरिक्ष वक्र केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे झुकते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक वक्र के 'वक्रता' और 'वक्रों का मरोड़' कहे जाने वाले अंतर-ज्यामितीय आक्रमणकारियों द्वारा मापा जाता है। वक्रों का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएँ

Main article: Curve

एक पैरामीट्रिक C^r-वक्र या ए C^r-पैरामेट्रिजेशन एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है

$\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$

वह है r-समय लगातार अलग-अलग (अर्थात, का घटक कार्य करता है γ लगातार अलग-अलग हैं), जहां $n\in \mathbb {N}$, $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$, तथा I वास्तविक संख्याओं का एक गैर-खाली अंतराल (गणित) है। image पैरामीट्रिक वक्र का }} है $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. पैरामीट्रिक वक्र γ और इसकी छवि γ[I] प्रतिष्ठित होना चाहिए क्योंकि एक दिया गया सबसेट $\mathbb {R} ^{n}$ कई अलग-अलग पैरामीट्रिक वक्रों की छवि हो सकती है। पैरामीटर t में γ(t) समय का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और γ अंतरिक्ष में एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेपवक्र। कब I एक बंद अंतराल है [a,b], γ(a) प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है और γ(b) का चरमोत्कर्ष है γ. यदि आरंभिक और अंतिम बिंदु संपाती हैं (अर्थात, γ(a) = γ(b)), फिर γ एक बंद वक्र या एक पाश है। होना चाहिए C^r-लूप, समारोह γ होना चाहिए r-समय लगातार अलग और संतुष्ट γ^(k)(a) = γ^(k)(b) के लिये 0 ≤ k ≤ r.

पैरामीट्रिक वक्र है simple यदि

$\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

इंजेक्शन है। यह है analytic यदि प्रत्येक घटक कार्य करता है γ एक विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात यह वर्ग का है C^ω.

वक्र γ नियमानुकूल है m (कहाँ पे m ≤ r) अगर, हर के लिए t ∈ I,

$\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$

का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$. विशेष रूप से, एक पैरामीट्रिक C¹-वक्र γ है regular अगर और केवल अगर γ′(t) ≠ 0 किसी के लिए t ∈ I.

पुन: पैरामीट्रिजेशन और तुल्यता संबंध

See also: Position vector and Vector-valued function

पैरामीट्रिक वक्र की छवि को देखते हुए, पैरामीट्रिक वक्र के कई अलग-अलग पैरामीट्रिजेशन हैं। डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उद्देश्य पैरामीट्रिक वक्रों के गुणों का वर्णन करना है जो कुछ पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी पैरामीट्रिक वक्रों के समुच्चय पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक पैरामीट्रिक वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण (जैसे इसकी लंबाई, इसकी #Frenet फ्रेम, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए समतुल्यता वर्ग के गुण हैं। समतुल्य वर्ग कहलाते हैं C^r-curves और घटता के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं हैं।

दो पैरामीट्रिक C^r-वक्र, $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ तथा $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$, कहा जाता है equivalent यदि और केवल यदि कोई विशेषण मौजूद है C^r-नक्शा φ : I₁ → I₂ ऐसा है कि

$\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$

तथा

$\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

γ₂ तब ए कहा जाता है re-parametrization का γ₁.

पुन: पैरामीट्रिजेशन सभी पैरामीट्रिक के सेट पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है C^rवर्ग के वक्र C^r. इस संबंध का तुल्यता वर्ग केवल a C^r-वक्र।

ओरिएंटेड पैरामीट्रिक का और भी बेहतर तुल्यता संबंध C^r-curves को आवश्यकता के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है φ को पूरा करने के φ′(t) > 0.

समतुल्य पैरामीट्रिक C^r-curves की एक ही छवि है, और समतुल्य उन्मुख पैरामीट्रिक है C^r-वक्र छवि को उसी दिशा में पार भी करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन

Main article: Arc length

See also: Curve § Length of a curve

लंबाई l एक पैरामीट्रिक का C¹-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ की तरह परिभाषित किया गया है

$l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

एक पैरामीट्रिक वक्र की लंबाई पुनर्मूल्यांकन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए पैरामीट्रिक वक्र की एक अंतर-ज्यामितीय संपत्ति है।

प्रत्येक नियमित पैरामीट्रिक के लिए C^r-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$, कहाँ पे r ≥ 1, फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t\in <!--\; \in \; -->[a,b]:s(t)\stackrel{\text{def}}{=}{\int <!--\; \int \; -->}_a^t\Vert {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\prime }(x)\Vert \mathrm{d}$